(完整word版)2019年上海市静安区高考数学二模试卷
2019年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）不等式6x2+17x+12＜0的解集是．
2．（4分）已知复数（其中i是虚数单位），则|z|＝．
3．（4分）已知点A（1，﹣2，﹣7），B（3，10，9），C为线段AB的中点，则向量的坐标为．
4．（4分）若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最大值
为．
5．（4分）若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为．6．（4分）已知，则tanα＝．
7．（5分）已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为．
8．（5分）函数y＝sin x+cos x﹣|sin x﹣cos x|的值域是．
9．（5分）已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，则取出的2个球颜色不同的概率是（结果用最简分数表示）．
10．（5分）若等比数列{a n}（n∈N*）满足a1+a3＝30，a2+a4＝10，则a1•a2•…•a n的最大值为．
11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c．已知a，b，c依次成等比数列，且，延长边BC到D，若BD＝4，则△ACD面积的最大值为．12．（5分）已知函数，若
，则实数a ＝．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）
A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007
B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007
C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007
D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007．
14．（5分）若，均为单位向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
15．（5分）函数f（x）＝sin2x+b cos x+c的最小正周期（）
A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
16．（5分）设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y，都有f（x+y）＝f （x）f（y），若，a n＝f（n）（n∈N*），数列{a n}的前n项和S n组成数列{S n}，则有（）
A．数列{S n}递增，最大值为1
B．数列{S n}递减，最小值为
C．数列{S n}递增，最小值为
D．数列{S n}递减，最大值为1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA＝AD ＝m，VA⊥平面ABCD．
（1）求证：CD⊥平面VAC；
（2）若VA＝m，求CV与平面VAD所成角的大小．
18．（14分）已知函数（a为实常数）．
（1）若的定义域是，求a的值；
（2）若是奇函数，解关于x的不等式．
19．（14分）某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x套玩具的成本p由两部分费用（单位：元）构成：
a．固定成本（与生产玩具套数x无关），总计一百万元；
b．生产所需的直接总成本．
（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？
（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q元，（a，b∈R）．若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a、b的值．（利润＝销售收入﹣成本费用）
20．（16分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点T（t，4）到其焦点F的距离为5．（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；
（3）过点（2，0）的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若，求直线m的斜率的取值范围．
21．（18分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，皆满足S n+a n＝2a（实常数a＞0）．在等差数{b n}（n∈N*））中，b1＝a1，b2＝2S2．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）试判断数列{a n+1}能否成等比数列，并说明理由；
（3）若，c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并计算：（已知）．。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
(完整版)2019上海高中数学二模中档题汇编
高中数学上海19届二模真题中档题汇编姓名：年级：宝山区1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是2。
方程sec 301sin x x-=的解集为3。
如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧 AB 上异于A 、B 的点,且PQ OB ⊥交OB 于Q 点,当 △POQ 的面积大于38时,POQ ∠的大小范围为 4. 一个口袋中有9个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1，2,⋅⋅⋅，9,随机摸出两 个球,则两个球的编号之和大于9的概率是 （结果用分数表示）5. 设点12(,)A a a ，12(,)B b b ，12(,)C c c 均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的( ） A. 充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C 。
充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，则（ )A. ||b k a >B. ||b k a < C 。
||c k a > D. ||c k a<7。
已知21()cos cos 2f x x x x =-+。
（1）若[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围；（2）设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ,周长1，若1()2f B =-，求△ABC 面积最大值。
8. 对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数。
如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利。
（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和;（精确到0.1万元）; （2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么， 至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）杨浦区1。
上海市静安区达标名校2019年高考二月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2019年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) AB ．2C ．1D2．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2743．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A2BC ．52D ．55．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ．y =D．y =6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =7．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．08．若21i iz =-+，则z 的虚部是9．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β10．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行11．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π12．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市静安区高考数学模拟试卷
到 ①A=R，运算“⊕”为普通减法；
②A={Am×n|Am×n 表示 m×n 阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；
马 ③A={X|X⊆M}（其中 M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．
其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ）
考 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
数列{bn}前 m 项和 Tm．
！
功
成
到
马
考
高
您
祝
上海市静安区高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填
写结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分．
1．（5 分）若复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a= 4 ．
！
【解答】解：∵ =
=2﹣ ；
当 x= 时，f（x）=2；
当 ＜x≤π﹣arctan2 时，同理可得 f（x）=2﹣ ．
当 π﹣arctan2＜x≤π 时，f（x）=4﹣
=4+
．于是可得：
①
=
= ，正确；
②对任意 x∈[0， ]，都有 f（ ﹣x）+f（ +x）=4
！
用换元法，以 x 代替 ﹣x，可得： f（x）+f（π﹣x）=4，
14．（5 分）已知椭圆 C1，抛物线 C2 焦点均在 x 轴上，C1 的中心和 C2 顶点均为原
点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1 的左焦点到 C2 的 准线之间的距离为（ ） x 3 ﹣2 4
y
0 ﹣4
！ A．
B．
C．1 D．2
15．（5 分）对于集合 A，定义了一种运算“⊕”，使得集合 A 中的元素间满足条件：
上海市沪教版数学高考二模试卷含详细答案2套选择填空有解析
目录第一套：2019年上海市静安区高考数学二模试卷第二套：2019年上海市虹口高考数学二模试卷2019年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．16．已知f （x ）是偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若f （ax+1）≤f （x ﹣2）在上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，1]B ．[﹣2，0]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2，其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定5个顶点在面DCC 1D 1上的投影，即可得出结论． 【解答】解：A 1在面DCC 1D 1上的投影为点D 1，E 在面DCC 1D 1的投影为点G ，F 在面DCC 1D 1上的投影为点C ，H 在面DCC 1D 1上的投影为点N ，因此侧视图为选项C 的图形． 故选C15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B ，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△APD 的面积公式即可得出．【解答】解：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4， ∴B （﹣2，﹣2），C （2，﹣2），由足= [（﹣2，﹣2）+（2，﹣2）]=（0，﹣），=（0，﹣）+（4，0）=（，﹣），∴△ADP的面积为S=||•||=××=，故选：A．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A﹣B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD⊥AC于D，可求BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A ﹣B=π﹣2B．从而sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．=acsinB==．∴S△ABC（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD ⊥AC 于D ，则BD===．∴S △ABC ==． （II ）cosB===． sinB===．由（I ）知A=C ⇒2A ﹣B=π﹣2B ． ∴sin （2A ﹣B ）=sin （π﹣2B ）=sin2B =2sinBcosB =2××=．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，证明HG ⊥AM ，推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出AM=4．AF ，设直线AF 与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF 与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，… ，…所以，．…（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，由题意，HG ⊥平面ABB 1A 1，故HG ⊥AM ，所以AM ⊥平面EFGH ． … 因为，，所以S △AEH =10，）因为EH=5，所以AM=4． … 又，…设直线AF 与平面α所成角为θ，则．… 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （5，0，0），H （5，5，0），E （5，2，4），F （0，2，4），… 故，，…设平面α一个法向量为，则即所以可取． …设直线AF 与平面α所成角为θ，则． …所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4，然后求解椭圆C的方程．（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，推出．设B（x，y），通过解得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，c=1，…设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4（舍去），…所以，椭圆C的方程为．…（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8，因为|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF 2|=2|BF 2|， 于是3|BF 2|=8，即． …设B （x 0，y 0），由解得，…（或设，则，解得，，所以）． 所以，，直线l 的方程为，即，… 圆O 的方程为x 2+y 2=4，圆心O 到直线l 的距离，…此时，弦PQ 的长． …20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，∵cos（x+2kπ）=cosx，∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f （﹣x）恒成立，∴y=f（x）是偶函数．设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．②当时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，y=f（m）=0，，值域为[0，（1﹣m）2]．min③当时，y=f（m）=0，，值域为[0，m2]．min④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g （x），∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2019个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2019个交点恰好为，所以．同理，当p＜0时，．综上，．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）求出{a n }的通项公式为，即可证明：{a n }是指数数列；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：对于数列{a n }，因为a 3=a 1+2≠a 1•a 2，所以{a n }不是指数数列． …对于数列{b n }，对任意n ，m ∈N *，因为，所以{b n }是指数数列． …（2）证明：由题意，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n ），所以数列{a n+1﹣a n }是首项为a 2﹣a 1=2，公比为2的等比数列． … 所以．所以，=，即{a n }的通项公式为（n ∈N *）． …所以，故{a n }是指数数列． …（3）证明：因为数列{a n }是指数数列，故对于任意的n ，m ∈N *，有a n+m =a n •a m ，令m=1，则，所以{a n }是首项为，公比为的等比数列，所以，． …假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u ＜v ＜w ，则由2a v =a u +a w ，得，所以2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u ，… 当t 为偶数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是偶数，（t+3）w ﹣u 是奇数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 不能成立； … 当t 为奇数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是奇数，（t+3）w ﹣u 是偶数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 也不能成立．… 所以，对任意t ∈N *，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列． …2019年上海市虹口高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ．9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A．B．C．D．15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足，，则△ADP的面积为（）A．B．C．D．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市虹口高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2， 其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）。
2019年上海高三二模客观难题汇编(详解版)
2019年上海市高三二模数学填选难题解析宝山11. 已知无穷等比数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅各项的和为92，且22a =-，若49||102n S --<，则n 的最小值为【解析】10. 根据题意，0||1q <<，1912a q =-，12a q =-，解得13q =-，16a =， ∴1(1)91[1()]123n n n a q S q -==---，∴49911||()22310n n S -=⨯<，且n ∈*N ，∴10n ≥， 即n 的最小值为10.12. 在线段12A A 的两端点各置一个光源，已知1A 、2A 光源的发光强度之比为1:2，则该线段上光照度最小的一点到1A 、2A 的距离之比为 （光学定律：P 点的光照度与P 到光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）【解析】31:2. 设1PA a =，2PA b =，不妨设线段12A A 定长为d ，1A 光源的发光强度为定值1，则2A 光源的发光强度为2，即转化为“已知a b d +=，当2212a b+取得最小值时，求ab的值”，∵3221133a a a a a a ++≥⋅⋅⋅=，332222332b b b b b b ++≥⋅⋅⋅=，两不等式相加，即3221222332a b a b +++≥+，∵a b d +=，∴322123322d a b +≥+-，当且仅 当21a a =，22b b=时等号成立，即1a =，32b =，∴距离之比为31:2. 16. 设向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，且22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ） A. 向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关） B. u v ⋅的最大值为2 C. u 与v 夹角的最大值为34πD. ad bc -的最大值为1【解析】选B. 结合空间直角坐标系，u 、v 向量如图，由题意，u OU =，v OV =， 图中圆柱底面半径为1，高为1. A 选项，4VOz π∠=，即v 与z 轴正方向夹角为4π， 正确；B 选项，结合投影的几何意义，2||1u v u ⋅≤=，即u v ⋅的最大值为1，∴B 选项错误；C 选项，VOU ∠最大值为34π，正确；D 选项，∵111||222V OU S ad bc OV OU '∆'=-≤⋅⋅=，∴1ad bc -≤，正确；综上所述，选B. 杨浦11. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【解析】45. 方法一：如左图构造，GA GB ⊥，根据题意，AA '、BB '均为中线， 设1GA '=，GB t '=，作CD BD ⊥，∴△AGB '与△CDB '全等， ∴2CD =，DB t '=，4BD t =，∴2tan tan 333tan tan()1tan tan 222/24BCD B CD t C BCD B CD BCD B CD t t t '∠-∠'=∠-∠===≤'+∠∠++， ∴tan C 的最大值为34，即cos C 的最小值为45.方法二：如右图构造，GA GB ⊥，点G 在以AB 中点O 为圆心的圆上，不妨设半径为1， 则3CO =，要求cos C 的最小值，即求C ∠的最大值，很明显CO AB ⊥时，C ∠会最大，此时1tan23C =，∴3tan 4C =，即4cos 5C =. 12. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列； 这样的不同函数()f x 的个数为【解析】155. 根据题意，当n 为奇数，()f n 也为奇数，当n 为偶数，()f n 也为偶数，且()f n n ≤，因为2(12)(6)f f =，∴(12)f 只能为平方数4，∴(6)2f =±.① (1)1f =，(6)2f =，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有2步1-、3步1+，(6)(12)f f →的六步中有2步1-、4步1+，∴()f x 的个数为2256150C C =；② (1)1f =，(6)2f =-，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有4步1-、1步1+，(6)(12)f f →的六步中有0步1-、6步1+，∴()f x 的个数为40565C C =； 综上所述，这样的不同函数()f x 的个数为1505155+=个16. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7cos 8A =，I 为△ABC 内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A.54 B. 12C. 56D. 45【解析】选D. ∵()()a AI bIB cIC b IA AB c IA AC bIA cIA bAB cAC =+=+++=+++， ∴()a b c AI bAB cAC ++=+，即b c AI AB AC a b c a b c=+++++，∴b cx y a b c++=++，由余弦定理：22222152cos ()4a b c bc A a b c bc =+-⇒=+-，∵2()4b c bc +≤，∴2221511()()()4164a b c bc b c a b c =+-≥+⇒≥+，∴45x y +≤，故选D.奉贤11. 实系数一元二次方程210ax bx ++=(0)ab ≠的两个虚根1z 、2z ，1z 的实部1Re()0z <，则1220212020292020m m m z z +--的模等于1，则实数m =【解析】2. 设1i z x y =+，x ∈R ，y ∈R ，且0x <，则2i z x y =-，∴1220212020202120202020i2920202920202020im m m m m m z x y z x y +-+--=--+，其模为1，即20212020292020m m m x x +-=-或20212020202029m m m x x +-=-（由0x <舍），∴202129m m m +=，用计算器可求出2m =.12. 设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，x y xy ++的取值范围为【解析】[1,3]. 以A 为原点，AB 为x 正半轴建立平面直角坐标系，∴(1,0)AB =，13(,)22AC =-，设(cos ,sin )P θθ，2[0,]3πθ∈，13(,)22AP xAB y AC x y y =+=-，∴1cos 2x y θ-=，3sin 2y θ=，即23sin 3y θ=，3cos sin 3x θθ=+， ∴31121cos 3sin sin 2cos22sin()sin(2)3336363x y xy ππθθθθθθ++=++-+=++-+∵1sin()6y πθ=+和2sin(2)6y πθ=-均在[0,]3π上单调递增，在2[,]33ππ上单调递减， 且3x π=为两个三角函数的对称轴，∴0θ=或23π时，min ()1x y xy ++=，3πθ=时，max ()3x y xy ++=，∴x y xy ++的取值范围为[1,3].16. 设有△000A B C ，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△111A B C ，再作 △111A B C 的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△222A B C ，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△n n n A B C （1,2,3,n =⋅⋅⋅），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 与原三角形相似D. 以上均不对【解析】选A. 如右图所示，由△n n n A B C 内切圆的三个切点确定△111n n n A B C +++， ∵内切圆圆心为三条角平分线的交点，到三边距离相等， ∴12n n n B C A +∠+∠∠=，12n n n A C B +∠+∠∠=，12n nn A B C +∠+∠∠=， ∴△111n n n A B C +++内角为△n n n A B C 内角的均值，故三个内角会趋于相等，即等边三角形.虹口11. 若函数20()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为【解析】1-. 0x >，(3)(2)(1)[(1)()](1)()f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+--+=-，∴(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即0x >时，周期为6. 或者简单归纳，(1)2f -=，(0)1f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)2f =-，(3)1f =-，(4)1f =，(5)2f =， (6)1f =，…，观察可得，周期为6，∴(2019)(33663)(3)1f f f =⨯+==-12. 过点1(,2)2P -作圆224:()(1)13C x m y m -+-+=（m ∈R ）的切线，切点分别为A 、B ，则PA PB ⋅的最小值为【解析】223-. 设ACP θ∠=，(0,)2πθ∈，2ACB θ∠=，1cos CP θ=， ∴()()PA PB PC CA PC CB ⋅=+⋅+2PC PC CB CA PC CA CB =+⋅+⋅+⋅2111cos2cos θθ=--+2212cos 3223cos θθ=+-≥-，当22cos 2θ=时等号成立.16. 已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n ∈N ，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为（ ） A.72 B. 94 C. 114D. 136【解析】选B. 31[1()]23n n S =--，11()3n --取值依次为113+、119-、1127+、1181-、…， ∴21n S S S ≤≤，即423n S ≤≤，设1()3n n n f S S S =-，可知其在4[,2]3上单调递增，∴4()()(2)3n f f S f ≤≤，即1311()42n f S ≤≤，∴min 11139()244B A -=-=，故选B.普陀11. 《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖 臑，如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为（结果用反三角函数值表示） 【解析】2arctan2. 根据题意，CD ⊥平面ABC ，∴AD 与平面ABC 所成角即DAC ∠，设1AB BC CD ===，∴2AC =，∴12tan 22DAC ∠==，即所求角为2arctan 2. 12. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为【解析】(,4)(0,)-∞-+∞. 根据题意，()g x 为偶函数，由2(2)(2)4f x f x x+->+得，22(2)(2)(2)2f x x f +-+>-，即(2)(2)g x g +>，∵()g x 为偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，∴|2|2x +>，∴4x <-或0x >，即解集为(,4)(0,)-∞-+∞.方法二：取特殊情况，不妨设2()2f x x =，符合题意，解得解集为(,4)(0,)-∞-+∞.16. 设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0,]m 上总存在唯一确 定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A.6π B. 2πC. 76πD. π【解析】选B. ∵5[,]62ππα∈--，∴3()[,0]2f α∈-，3()[0,]2f α-∈，设()t f α=-，即对任意3[0,]2t ∈，()f t β=在区间[0,]m 上有唯一解，结合图像可知， ∵53()()262f f ππ==， ∴526m ππ≤<，即m 的最小值为2π徐汇10. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是【解析】6. ∵当1[,4]4x ∈，1()[3,15]4f x ∈，11153544÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴n 的最大值为6 11. 在平面直角坐标系中，设点(0,0)O ，(3,3)A ，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 【解析】[3,3]-. 点P 在图中阴影部分（含边界），结合图像可知，5[,]66AOP ππ∠∈，OA 在OP 上的投影即||cos 23cos [3,3]OA AOP AOP ∠=∠∈-12. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=【解析】40372π. 先求1ω，如左图所示，11242T ππωω==⇒=；再分析2ω， 如右图所示，22233342T ππωω=⋅=⇒=； 归纳可得，2(21)(21)(21)42n n n n T n ππωω--=-⋅=⇒=.15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.3716 B. 115 C. 2 D. 74【解析】选C. ∵动点P 到直线2:1l x =-的距离等于P 到焦点(1,0)F 的距离，∴所求的距离之和的最小值可以转化为焦点(1,0)F 到直线1:4360l x y -+=的距离，2d =，选C. 16. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【解析】选D. 函数()f x 要具有性质P ，即函数图像上存在两点，使它们中点也在图像上. 如图，对于①②，均为奇函数，存在12x x =-满足题意；对于③，存在1x =，2x =使之具有性质P ；对于④，函数图像上任意两点的中点都不在2y x =上，故选D.青浦10. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 【解析】22. 构造如图边长为3的正方体， 四棱锥P ABCD -即满足题意的四棱锥，可知PC 最长，22233222PC =++=11. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围是【解析】(0,2). 由函数在(1,1)-内有两个零点，可得(1)0f >，(1)0f ->，(1,1)2a-∈-， 0∆>，即10a b ++>，10a b -+>，22a -<<，24a b >，转化为线性规划问题，画出可行域如图阴影部分所示，求目标函数22z a b =-的取值范围.结合图像可知，2z-为函数222a z b =-在y 轴上的截距，(1,0)2z-∈-，即(0,2)z ∈方法二：设两根为s 、t ，(1,1)s ∈-，(1,1)t ∈-，s t a +=-，st b =，∴22222()2(0,2)a b s t st s t -=+-=+∈. 12. 已知O 为△ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为【解析】23. 如图所示，作BD AC ⊥，OF BD ⊥，OE AC ⊥， BO BA BC BO BD BA BD BC BD λμλμ=+⇒⋅=⋅+⋅，∴22||||BF BD OEBF BD BD BD BD BDλμλμ-⋅=+⇒+==， 设外接圆半径为1，则32BD ≤，12OE =，即23λμ+≤.16. 等差数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅（3n ≥，*n ∈N ）满足121|||||||1|n a a a a ++⋅⋅⋅+=+2|1|a ++|1|n a +⋅⋅⋅++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=，则（ ）A. n 的最大值为50B. n 的最小值为50C. n 的最大值为51D. n 的最小值为51【解析】选A. 构造函数()|||||2||(1)|f x x x d x d x n d =+++++⋅⋅⋅++-，可知方程()2019f x =至少有三个解1a 、11a +、12a -，∴该绝对值函数为平底型，∴n 为偶数，且3d ≥，不妨设2n k =，k ∈*N ， ∴12,,,k a a a ⋅⋅⋅均为负，122,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅均为正， ∴12112||||||n k k k a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+211222()()()2019k k k k a a a a a a k d ++-+-+⋅⋅⋅+-==，3d ≥，∴220192019253k k d =≤⇒≤，250n k =≤.黄浦11. 设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ= 【解析】6π或76π. sin(2)y x ϕ=+周期π，且三解和为43π，∴(0)()()3f f f a ππ===， ∴2sin sin()3πϕϕ=+，∵[0,2)ϕπ∈，∴23πϕϕπ++=或3π，解得ϕ=6π或76π. 12. 已知复数集合{i |||1,||1,,}A x y x y x y =+≤≤∈R ，221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为【解析】72. 1i z x y =+，设2333333i (i)(i)()i 444444z m n x y x y x y =+=++=-++，∴3344m x y =-，3344n x y =+，∴2()3x m n =+，2()3y m n =-+，∵||1x ≤，||1y ≤，∴3||2m n +≤，3||2m n -≤，∴集合A 、B 图形如图为两个正方形，其公共部分面积为17422-=.16. 在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，下列说法中正确的是（ ）A. 为边长不可以作成一个三角形B. 为边长一定可以作成一个锐角三角形C. 为边长一定可以作成一个直角三角形D. 为边长一定可以作成一个钝角三角形【解析】选B. 不妨设a b c ≤≤，∴a b c +>为边长构成的三角形≤≤所对角，设其为C '，由余弦定理222cos 0C '==>，即最大角为锐角，故为锐角三角形.长宁、嘉定10. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC 3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________【解析】43. 4293CP mCA CB mCA CD =+=+，由共线定理，13m =，由ABC S 4CA CB ⋅=，∴2CA CB ⋅=，222214148()()()393927CP CA CB CA CB CA CB =+=++⋅≥1416162()()39279CA CB ⋅⋅+=，∴||CP 43≥.11. 已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 所有项的和为(1)S ，第二及以后所有项的和 为(2)S ，⋅⋅⋅ ，第n （1n m ≤≤）及以后所有项的和为()S n ，若()S n 是首项为1公差为2的等差数列前n 项的和，则当1n m ≤<时，n a =________ 【解析】21n --. 2(1)()122n n S n n n -=⋅+⋅=，根据题意，1()n n m S n a a a +=++⋅⋅⋅+， 12(1)n n m S n a a a +++=++⋅⋅⋅+，∴()(1)21n a S n S n n =-+=--，1n m ≤<.12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________【解析】[0,3]. ∵()f x 为定义在R 上奇函数，∴(0)01f a =⇒=，∵(2)()f x f x +=-，∴周期为4，画出()f x 图像如图所示，∵22115()1log 3()()222f x tx f f -++≥-=-=， ∴211544222k x tx k -+≤-++≤+，k ∈Z ，∵对于任意[0,1]x ∈都成立，∴代入0x =，∴11544222k k -+≤≤+，即0k =，∴对于任意[0,1]x ∈，2115222x tx -≤-++≤成立， 当(0,1]x ∈，分离参数得12x t x x x -≤≤+恒成立，∴max min 12()()x t x x x-≤≤+，[0,3]t ∈15. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【解析】选C. 如上右图，AC BC =，AC ∥MP ，B BAC BMP ∠=∠=∠，∴PM PB =，∴34PM PC PB PC BC MC -=-==<=，∴点P 的轨迹是双曲线的一部分. 16. 对于△ABC ，若存在△111A B C ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”，“V 类三角形”一定满足有一个内角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°【解析】选B. ∵△111A B C 中，1sin A 、1sin B 、1sin C 均为正，∴cos A 、cos B 、cos C 均为正，即△ABC 为锐角三角形. 假设△111A B C 也为锐角三角形，由1sin cos A A =可得，190A A ︒+=，同理190B B ︒+=，190C C ︒+=， 相加为111270A B C A B C ︒+++++=，明显不成立，故△111A B C 为钝角三角形. 不妨设1A 为钝角，∴118090A A ︒︒-+=，190B B ︒+=，190C C ︒+=，相加整理得，11190B C A ︒+-=-，∴1180290A ︒︒-=-，∴1135A ︒=，即45A ︒=.金山11、若集合{}2|(2)20,A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是 . 【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】法一：由题意可知方程2(2)20x a x a -++-=存在两个不同的根1212,()x x x x <设， 韦达定理可知121222x x a x x a+=+⎧⎨⋅=-⎩121202,2a x x x x >∴+>⋅<，两根之间只存在一个整数∴1x 不可能为负，即120x x <<若11x >，则21x >，与 122x x ⋅<矛盾，故12012x x <<<≤，即存在的元素为1由求根公式可得012<<<≤解得12,23a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦法二：由2(2)20x a x a -++-<得222(1)x x a x -+<+数形结合：左边为抛物线()f x ，右边为过定点(1,0)-的直线()g x ，只存在一个整数解必为1；故(0)g(0)(2)g(2)(1)g(1)f f f ≥⎧⎪≥⎨⎪<⎩解得12,23a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12、正方形ABCD 的边长为2，对角线AC BD 、相交于点O ，动点P 满足22OP =若AP mAB nAD =+，其中,m n R ∈，则2122m n ++的最大值是 .【答案】1【解析】以点A 为原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立直角坐标系。
上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测6月高三数学试题(解析版)
上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测 高三数学试卷 2020.06一. 填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）1．若36sin =x ，则()x 2cos -π的值为 ▲ ． 2．若幂函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-81f 的值为 ▲ ．3．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ▲ ．4．若函数)(x f y =)R (∈x 是偶函数，在区间(]0,∞-上是增函数，2=x 是其零点，则0)(>x f 的解集为 ▲ ．5．现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2,2,20所确定的区域为D ，若),(y x M 为区域D 上的动点，点)1,2(A ，则OA OM z ⋅=的最大值为 ▲ ．7．已知,A B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为()()()0,0,0,2,1,1,0,2,2O AB -，则,A B 两点的球面距离为 ▲ ．8．设由复数组成的数列{}n a 满足：对任意的*N n ∈，都有i 1=+nn a a （i 是虚数单位），则数列{}n a 的前2020项和的值为 ▲ ． 9．一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时， 量得水面宽度30=AB 米，则当水面升高1米 后，水面宽度为 ▲ 米．（精确到0.1米）10．设),(n n y n A )N (*∈n 是函数xx y 12+=的图像上的点， 直线1+=n x 与直线n y y =的交点为n B ，1+∆n n n A B A 的 面积为n S ，则n n S ∞→lim 的值为 ▲ ．11．如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若1=MN ，2=PQ ，则四面体PMNQ 的 体积的最大值为 ▲ ．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）12．设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 （ ）． A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．13．方程089222=+-y xy x 的曲线C 所满足的性质为 （ ）．①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称．A ．①③；B ．②③；C ．①④；D ．①②．14．当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约%25，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生MPQN第11题图“医疗资源挤兑”现象，只需要约 （ ）． A ．7天； B ．10天； C ．13天； D ．16天．三、解答题（本大题共有4题，共66分）15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2πθ=时，AC 与底面所成角为515arctan． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值．16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．D17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式；（3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足3122a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列．上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测 高三数学试卷 2020.06一. 填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）1．若36sin =x ，则()x 2cos -π的值为 ▲ ． 【答案】31 【解析】311sin 22cos )2cos(2=-=-=-x x x π 2．若幂函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-81f 的值为 ▲ ． 【答案】2-【解析】设αx x f =)(，则2)81(=α，所以31-=α，所以2)81(8131-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--f3．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ▲ ．【答案】20【解析】642=n ，所以6=n ，所以常数项为2036=C4．若函数)(x f y =)R (∈x 是偶函数，在区间(]0,∞-上是增函数，2=x 是其零点，则0)(>x f 的解集为 ▲ ．【答案】()2,2- 【解析】(2)(2)0f f =-=，由图易知，解集为()2,2-5．现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为 ▲ ． 【答案】2021【解析】212013934=-=C C P6．在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2,2,20所确定的区域为D ，若),(y x M 为区域D 上的动点，点)1,2(A ，则OA OM z ⋅=的最大值为 ▲ ．【答案】4【解析】最优解为)2,2(，y x OA OM z +=⋅=2，最大值为47．已知,A B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为()()()0,0,0,2,1,1,0,2,2O AB -，则,A B 两点的球面距离为 ▲ ．【答案】π【解析】2=OB ，20π=∠⇒=•AOB OB OA ，所以,A B 两点的球面距离为π8．设由复数组成的数列{}n a 满足：对任意的*N n ∈，都有i 1=+nn a a （i 是虚数单位），则数列{}n a 的前2020项和的值为 ▲ ． 【答案】0【解析】1111,,,ia a ia a --，周期为4，每4个数之和为0，所以02020=S 9．一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时， 量得水面宽度30=AB 米，则当水面升高1米 后，水面宽度为 ▲ 米．（精确到0.1米） 【答案】5.26【解析】建系，设抛物线解析式为()220x py p =<代入()15,5-，得22.5p =- 245x y ∴=-令4y=-，得25180,6x x ==± ∴ 宽度为12526.8m ≈O10．设),(n n y n A )N (*∈n 是函数xx y 12+=的图像上的点， 直线1+=n x 与直线n y y =的交点为n B ，1+∆n n n A B A 的 面积为n S ，则n n S ∞→lim 的值为 ▲ ．【答案】【解析】由题设知：1(,2)n A n n n +，111(1,2),(1,2(1))1n n B n n B n n nn +++++++显然1n n n A B A +∆为Rt ∆，则1121111(2(1))(2)21lim 1n n n n n n n S A B B B n n n n S +→∞=⎡⎤=++-+⎢⎥+⎣⎦→=11．如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若1=MN ，2=PQ ，则四面体PMNQ 的 体积的最大值为 ▲ ． 【答案】41 【解析】MNQ PM 平面⊥，NQ MN ⊥，设x NQ =， 则12+=x MQ ，22223)1(4x x MQ PQ PM -=+-=-=，412361361312131312222=-+⋅≤-=-⋅⋅⋅⋅=⋅=x x x x x x PM S V MNQ 当且仅当232=x 时取等号 二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）12．设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 （ ）．A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；MPQN第11题图C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．【答案】B【解析】250x x -<等价于50＜＜x ，|1|1x -<等价于20＜＜x ，故为必要不充分条件 13．方程089222=+-y xy x 的曲线C 所满足的性质为 （ ）．①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称．A ．①③；B ．②③；C ．①④；D ．①②． 【答案】A【解析】对089222=+-y xy x 变形，得xy y x =-2)2(2，故0≥xy ，所以曲线C 不经过第二、四象限，①正确以),(y x -代替),(y x ，方程改变，所以曲线C 不关于x 轴对称，②错误 以),(y x --代替),(y x ，方程不改变，所以曲线C 关于原点对称，③正确 以),(x y 代替),(y x ，方程改变，所以曲线C 不关于直线y x =对称，④错误14．当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约%25，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约 （ ）． A ．7天； B ．10天； C ．13天； D ．16天．【答案】C【解析】10001=a ，200)%251(1-+⋅=+n n a a ，所以)800(458001-=-+n n a a ， 所以{}800-n a 是首项为200，公比为45的等比数列，所以145200800-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=n n a ，令4000≥n a ，得16451≥⎪⎭⎫⎝⎛-n13116log 45≈+≥n三、解答题（本大题共有4题，共66分）15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2πθ=时，AC 与底面所成角为515arctan． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值． 【解析】（1）OB OA AOB ==∠,2π，设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．SO ⊥平面AOB ，CD ∴⊥平面AOB ，515arctan=∠∴CAD ， 在Rt AOD ∆中，2,2π=∠=AOD OA ，得5=AD ．得⨯=5CD 3)515tan(arctan=，32=SO ， 故，4=SA ．.842221ππ=⨯⨯⨯=S （2）解法一：如图建立空间直角坐标系xyz O - 则()0,0,2A ，()0,sin 2,cos 2θθB ，()32,0,0S ，()3,sin ,cos θθC ，()3,sin ,2cos θθ-=AC ，DzE()0,sin 2,cos 2θθ=．由题意，21cos 0=⇔=⋅θπθ20<< ，.353ππθ或=∴解法二：设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．OB CD ⊥∴．又⊥AC OB ，可得⊥OB 平面ADC OB AD ⊥⇒， AB OA =∴． AOB ∆∴是等边三角形．故，3πθ=或35π．解法三：设E 为SO 中点，联结CE ，AE ，CE AC ⊥∴． 设D 为OB 中点，联结CD ，AD ，AD CD ⊥∴． 在ADO ∆中，由余弦定理，有θcos 452-=AD ， 所以，在ADC Rt ∆中，θcos 482-=AC ． 在AOE ∆中，有72=AE ，所以，在ACE Rt ∆中，222CE AC AE +=，即得21cos =θ．πθ20<< ，.353ππθ或=∴16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．【解析】（1）由题意，可得最小正周期T π=，由2T ππω==，解得2ω=．()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，2A ∴=，2262k ππϕπ+=+，26k πϕπ∴=+，（Z k ∈）又0ϕπ≤<，6πϕ∴=．故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）2sin 216B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3B π∴=，又02B A ππ<--<，02A π<<， 62A ππ∴<<．sin sin sin 3b a c BA A ππ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22sinA a c π⎛⎫- ⎪∴==22sin 12sin 16A l A ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫∴=++=++ ⎪⎝⎭． 2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．所以，周长(1l ⎤∈⎦．17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．【解析】（1）第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-．但点(2,2)-不在抛物线Γ上所以这样的“核心三角形”不存在．（反证法叙述同样给分）（2）设直线AB 的方程为t x y +=4，与24y x =联立，得02=+-t y y ．设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y.241)2(41,1212121tt y y x x y y -=-+=+=+ 由()()123123,3,0x x x y y y ++++=得41123+=t x ，31y =-．代入方程24y x =，解得5m =-，所以直线AB 的方程为450x y --=． （3）设直线BC 的方程为x ny m =+，与24y x =联立，得2440y ny m --=．因为直线BC 与抛物线Γ相交，故判别式()2160n m ∆=+>．234y y n +=，所以，22342x x n m +=+．点A 的坐标为()2423,4n m n --+-， 又因为点A 在抛物线Γ上，故221616812n n m =--+，得2342m n =-+． 2m n >-，212n ∴<． 故，点A 的横坐标22224234842n m n n n --+=-+=<． 注：（3）也可以用反证法证明，同样给分．18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式； （3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足3122a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列．【解析】（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，k n n n a a b ++++⋅=∴111．02111>=⋅⋅=+++++q a a a a b b kn n kn n n n ． 又，0111>⋅=+k a a b ． 所以{}n b 是等比数列．故{}n a 为)(k B 数列．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-==--kn q a k n q a a k k n 2,,12,1211（q a a 2122≠）．（答案不唯一）简洁的例子如：⎩⎨⎧=-==kn k n a n 2,2,12,1)N (*∈k ． （3）因为{}n a 为)1(B 数列，所以，{}n b 是等比数列，其中1+⋅=n n n a a b )N (*∈n ，nn n n n n n n a aa a a ab b 21211+++++=⋅⋅=∴)N (*∈n ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴+n n a a 2)N (*∈n 是常数列，设常数为2q ，即22q a ann =+)N (*∈n ．以下用数学归纳法证明（一）221++⋅=n n n a a a )N (*∈n ．（i ）由已知3122a a a ⋅=，可得当1=n 时命题成立． （ii ）假设1-=k n )2,N (≥∈*k n 时命题成立，即，112+-⋅=k k k a a a ．当k n =时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 2 )N (*∈n 是常数列． 112-++=∴k k k k a a a a )2,N (≥∈*k k ， 211122+-++=⋅=⋅∴k k k k k k a a a a a a ．等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，221++⋅=n n n a a a 对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列．令nn n a a c 1+=，以下用数学归纳法证明（二）q c n =)N (*∈n ． （i ）3122a a a ⋅= ，1223a a a a =∴，221213q a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴，q a a =∴12，即，q c =1． 故，当1=n 时命题成立． 假设k n =)1,N (≥∈*k k 时命题成立，即q c k =（q a a kk =+1）． （ii ）当1+=k n 时，q a aq a a a a a a c k kk k k k k =⋅=⋅==+++++21212121．等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，q c n =对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列．。
详解及答案：上海市静安区2019高三4月教学质量检测(二模)数学试题(解析版)
一、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分） 1.不等式 6x2 +17x +12 < 0 的解集是__________．
【答案】
−
3 2
,
−
4 3
【解析】
【分析】
把不等式化为 (2x + 3)(3x + 4) < 0 ，求出解集即可．
1
，
3
所以 a1
1 +
1 9
= 30 ，解得
a1
=
27 ，所以 an
= 27 ×
1 n−1 3
= 34−n ，
当1 ≤ n ≤ 4 时， an ≥ 1；当 n ≥ 5 时， 0 < an < 1，
故 a1 ⋅ a2 ⋅...⋅ an 最大值为 a1 ⋅ a2 ⋅ a3 = a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ a4 = 33+2+1+0 = 36 = 729 ，故填 729 .
2]；
当
x
∈
π 4
,
5π 4
时，
sin
x
>
cos
x
，=y
sin x + cos x − sin x + co= s x
2cos x ∈[−2,
2) ；
当
x
∈
5π 4
,
2π
时，
cos
x＞sin
x
，=y
2sin x ∈[−2，0] ，
∴ x ∈[0，2π] 时， y ∈[−2，2] ，
根据正余弦函数的周期性可知， y ∈[−2，2] ．
上海市静安区2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题及答案及解析
上海市静安区2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题一、填空题（本大题共12小题，共54.0分）1.不等式6x2+17x+12＜0的解集是______．2.已知复数（其中i是虚数单位），则|z|=______．3.已知点A（1，-2，-7），B（3，10，9），C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．4.若变量x，y满足约束条件，，，则目标函数z=-2x+y的最大值为______．5.若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为______．6.已知，则tanα=______．7.已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为______．8.函数y=sin x+cos x-|sin x-cos x|的值域是______．9.已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，则取出的2个球颜色不同的概率是______（结果用最简分数表示）．10.若等比数列{a n}（n∈N*）满足a1+a3=30，a2+a4=10，则a1•a2•…•a n的最大值为______．11.设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c．已知a，b，c依次成等比数列，且，延长边BC到D，若BD=4，则△ACD面积的最大值为______．12.已知函数，若，则实数a=______．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）13.为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）A. 总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B. 总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C. 总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D. 总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007．14.若，均为单位向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件15.函数f（x）=sin2x+b cos x+c的最小正周期（）A. 与b有关，且与c有关B. 与b有关，但与c无关C. 与b无关，且与c无关D. 与b无关，但与c有关16.设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y，都有f（x+y）=f（x）f（y），若，a n=f（n）（n∈N*），数列{a n}的前n项和S n组成数列{S n}，则有（）A. 数列递增，最大值为1B. 数列递减，最小值为C. 数列递增，最小值为D. 数列递减，最大值为1三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC=BA=AD=m，VA⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面VAC；（2）若VA=m，求CV与平面VAD所成角的大小．18.已知函数（a为实常数）．（1）若的定义域是＜或＞，求a的值；（2）若是奇函数，解关于x的不等式＞．19.某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x套玩具的成本p由两部分费用（单位：元）构成：a．固定成本（与生产玩具套数x无关），总计一百万元；b．生产所需的直接总成本．（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q元，（a，b∈R）．若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a、b的值．（利润=销售收入-成本费用）20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点T（t，4）到其焦点F的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；（3）过点（2，0）的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若＜，求直线m 的斜率的取值范围．21.设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，皆满足S n+a n=2a（实常数a＞0）．在等差数{b n}（n∈N*））中，b1=a1，b2=2S2．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）试判断数列{a n+1}能否成等比数列，并说明理由；（3）若，c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并计算：（已知）．答案及解析1【答案】（-，-）【解析】解：不等式6x2+17x+12＜0可化为（2x+3）（3x+4）＜0，解得-＜x＜-，∴所求不等式的解集是（-，-）．故答案为：（-，-）．把不等式化为（2x+3）（3x+4）＜0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2【答案】【解析】解：∵=，∴|z|=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3【答案】（1，6，8）【解析】解：依题意，点A（1，-2，-7），B（3，10，9），C为线段AB的中点，所以C点坐标为（，，），即C（2，4，1），所以向量的坐标为=（3-1，10-4，9-1）=（1，6，8）．故填：（1，6，8）．依题意，点A（1，-2，-7），B（3，10，9），C为线段AB的中点，所以C点坐标为（2，4，1），所以向量的坐标为（1，6，8）本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标．属于基础题．4【答案】2【解析】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（0，2），化目标函数z=-2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5【答案】2π【解析】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的体积V=πr2h=π×12×2=2π．故答案为：2π．根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入体积公式计算即可．本题考查了圆柱的结构特征和体积的计算，属于基础题．6【答案】【解析】解：∵，则tanα=tan[（）+]===，故答案为：．由tanα=tan[（）+]，利用两角和的正切公式展开即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式的简单应用，属于基础试题．7.【答案】【解析】解：双曲线C与椭圆的焦点相同，即（±3，0），直线，为双曲线C的一条渐近线，可得=，又a2+b2=9，可知a2=4，b2=5．则双曲线C的方程是：．故答案为：．求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线法方程的求法，考查计算能力．8【答案】，【解析】解：当x∈[0，]时，cosx＞simx，y=sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx∈[0，]；当x∈（，]时，sin＞cosx，y=sonx+cosx-sinx+cosx=2cosx∈[-2，）；当x∈[，2π]时，cosx＞sinx，y=2sinx∈[-2，0]，∴x∈[0，2π]时，y∈[-2.]，根据正余弦函数的周期性可知，y∈[-2，]．故答案为：[-2，]．分3段讨论后，根据正余弦函数的性质可得．本题考查了三角函数的最值，属中档题．9【答案】【解析】解：甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，基本事件总数n=9×6=54，取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数m==42，则取出的2个球颜色不同的概率是p==．故答案为：．从两个盒子中各取1个球，基本事件总数n=9×6=54，取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数m==42，由此能求出取出的2个球颜色不同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】729【解析】解：设等比数列{an }的公比为q，∵a1+a3=30，a2+a4=10，∴a1+a3=30=a1（1+q2），a2+a4=10=q（a1+a3）=30q，联立解得q=，a1=27．∴an=27×=34-n．则a1•a2•…•an=33+2+…+（4-n）==，可得n=3或4时，a1•a2•…•an的最大值为729．故答案为：729．设等比数列{an }的公比为q，由a1+a3=30，a2+a4=10，可得a1+a3=30=a1（1+q2），a2+a4=10=q（a1+a3）=30q，联立解得q，a1．利用通项公式与求和公式及其二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11【答案】【解析】解：∵，cos（A-C）+cos（A+C）=2cosAcosC=，∴cosAcosC=，①∵a，b，c依次成等比数列，∴b2=ac，由正弦定理可得，sin2B=sinAsinC②①-②可得，=cos（A+C）=-cosB∴∴cosB=，∴B=，∵，∴cos（A-C）=1，即A-C=0∴△ABC为正三角形，设边长a，====∴s△ACD当且仅当a=4-a即a=2时取等号故答案为：由已知结合诱导公式可得cos（A-C）+cos（A+C）=2cosAcosC，可求cosAcosC，然后由等比数列的性质及正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，结合两式可求B=，进而可判断出△ABC为正三角形，结合三角形的面积公式及基本不等式即可求解面积的最大值本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角公式在求解三角形中的应用，三角的面积公式，基本不等式的应用是求解面积最值的关键12.【答案】【解析】解：∵函数，∴f（x）关于点（，a）成中心对称，则f（x）+f（1-x）=2a，则由，得f（1）+f（）+…+f（0）=1010，两式相加得2020[f（0）+f（1）]=2020，即f（0）+f（1）=1，即2a=1，得a=，故答案为：根据函数f（x）的性质，得到f（x）关于点（，a）成中心对称，利用对称性进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．13.【答案】B【解析】解：因为了解的是上海市民家庭存书量，所以总体是上海市民家庭的存书量不是家庭数；样本是2007位市民家庭的存书量不是市民；样本的容量是2007．故选：B．要了解的是上海市民家庭存书量，因此总体是存书量，样本也是存书量，样本容量是2007．本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，属基础题．14.【答案】C【解析】解：，均为单位向量，“|2-|=|+2|”⇒4+1-4=1+4+4⇔=0⇔“⊥”．∴“|2-|=|+2|”是“⊥”的充要条件．故选：C．，均为单位向量，“|2-|=|+2|”⇒4+1-4=1+4+4⇔=0⇔“⊥”．即可判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin2x+bcosx+c，=1-cos2x+bcosx+c，所以函数的关系式，是以cosx为自变量的二次函数，所以：函数的周期与b无关，函数的值域与c有关．故选：C．直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步求出函数的周期的影响变量和值域的影响变量．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的形式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16【答案】C【解析】=，故f（1）=，解：∵a1∴a=f（2）=f2（1）=，2=f（3）=f（1）f（2）=f3（1）=，a3……=，∴当n∈N*时，an又Sn==1-（）n＜1，故{Sn }递增，当n=1时，Sn取得最小值S1=a1=．故选：C．计算f（n）的值，得出{an }的通项公式，从而可得{Sn}的通项公式，根据其通项公式进行判断．本题考查了函数性质的应用，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17.【答案】（1）证明：连结AC，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，取AD中点G，连CG，因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形．所以CG=GD，∠CGD=90°，∴∠DCG=45°，∴∠DCA=90°……………………（4分）所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，CD⊥平面VAC………………（6分）（2）解：法1：连VG由CG⊥ADCG⊥VA⇒CG⊥面VAD，∴∠CVG是CV与平面VAD所成的角………………（11分）VC==2m；CG=m，∴∠CVG=30°∴CV与平面VAD所成角为30°………………（14分）法2：以A为原点，射线AB，AD，AV所在直线为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则平面VAD法向量=（m，0，0），又，，，设向量与夹角为θ，则cosθ=，θ=，CV与平面VAD所成的角为．【解析】（1）证明连结AC，取AD中点G，连CG，证明四边形ABCG为正方形．推出CD⊥CA，CD⊥VA，即可证明CD⊥平面VAC．（2）连VG，说明CG⊥面VAD，∠CVG是CV与平面VAD所成的角，通过求解三角形得到CV与平面VAD所成角为30°．法2：以A为原点，射线AB，AD，AV所在直线为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，平面VAD法向量=（m，0，0），又，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直判定定理的应用，直线与平面所成角的求解，考查空间想象能力以及计算能力．18.【答案】解法1：（1）函数的定义域是＜或＞，即＞的解集是＜或＞，……………………（2分）也即＞的解集是＜或＞，所以令，解得a=3；……………………（6分）（2）如果是奇函数，则定义域即＞的解集关于原点对称，所以，解得a=1；……………………（8分）当a=1时，，所以是奇函数，关于x的不等式＞，即＞，………………（10分）即＞，化为＞，解得x＞1；所以所求不等式的解集为{x!x＞1}．……………………（14分）解法2：（1）的定义域是＜或＞，当时，，解得；检验，a=3时，y=lg（+3）=lg，令＞0，解得x＜或x＞1，所以函数y的定义域为{x|x＜或x＞1}，所以a=3；（2）因为是奇函数，所以，即（2-a）2-a2x2=1-x2，由，解得a=1，检验a=1时，函数y的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），关于原点对称，满足题意；又不等式化为lg＞lg1，即＞1，即＞0，解得x＞1，所以所求不等式的解集为{x!x＞1}．【解析】解法1：（1）根据函数的定义域得出不等式的解集，列出关于a的方程求得a的值；（2）根据函数y是奇函数，定义域关于原点对称，列出关于a的方程求得a的值，再求对应不等式的解集．解法2：（1）根据函数的定义域求出a的值，再检验所求的a是否满足题意；（2）根据奇函数的定义列方程求得a的值，并检验所求的a是否满足题意，再求对应不等式的解集．本题考查了对数函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性应用问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，生产成本为p=1000000+50x+x2，……………………（3分）=++50≥2+50=250，……………………（5分）当且仅当=时，即x2=100000000，解得x=10000；……………………（6分）答：该公司生产1万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，且每套的成本费用为250元；……………………（7分）（2）利润qx-p=x（a+）-（1000000+50x+x2）=（-）x2+（a-50）x-1000000；……………………（10分）根据题意，有-＜0，a+=300，且-=15000，解得a=250，b=300．……………………（14分）【解析】（1）由题意写出生产成本p，利用基本不等式计算的最小值，并且求出对应的x值；（2）利用利润函数qx-p，结合题意列方程求得a、b的值．本题考查了根据实际函数模型求成本与利润的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）解法1：由题意，根据抛物线的定义，有，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y；……………………（4分）解法2：将T（t，4）代入x2=2py得，t2=8p，又点T（t，4）到其焦点F的距离为5，焦点坐标为，，所以，将t2=8p代入整理得p2+16p-36=0，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y；……………………（4分）（2）依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+b，由得x2-4kx-4b=0，……………………（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4b，所以=，令b2-4b=-4，得b=2，所以直线l过定点（0，2）．……………………（10分）（3）依题意，直线m的斜率k存在且k≠0，设m的方程为y=k（x-2），由消去y，得x2-4kx+8k=0，……………………（12分）由△＞0，即k2-2k＞0，解得k＜0或k＞2．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=8k，且，，所以，，=，因为＜，所以12k+1＜0，解得＜；所以，直线m的斜率的取值范围是，．……………………（16分）【解析】（1）解法1：根据抛物线的定义列方程，求得p的值，写出抛物线方程；解法2：将T（t，4）代入x2=2py，再由点T到其焦点F的距离，列出方程组求得p的值，再写出抛物线方程；（2）可直线l的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系计算•，从而证明直线l过定点（0，2）；（3）依题意设直线m的方程为y=k（x-2），与抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系计算•，由求得k的取值范围．本题考查了抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，也考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，以及化简整理的运算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）由S n+a n=2a（a＞0），令n=1得，2a1=2a，所以b1=a1=a，S2=2a-a2，所以，b2=2S2=3a．……………………（2分）等差数列{b n}的公差d=2a．……………………（3分）所以数列{b n}的通项公式b n=2an-a……………………（5分）（2）因为对任意正整数n，皆满足S n+a n=2a（a＞0），所以当n≥2时，S n-1+a n-1=2a，两式相减得：2a n-a n-1=0．即，所以数列{a n}是等比数列，公比为.，．……………………（7分）假设数列{a n+1}能成等比数列，则对任意正整数k，，即，因为a＞0，所以，即．显然不成立．因此数列{a n+1}不可能为成等比数列．……………………（10分）（用特殊的项加以说理亦可：例如，假设数列{a n+1}能成等比数列，则数列前3项也成等比，即，，因为a＞0，所以不成立）（3），……………………（11分），，上述两式相减得：，所以．……………………（15分），．……………………（18分）【解析】（1）因为对任意正整数n，皆满足Sn +an=2a，令n=1，得b1=a1=a，令n=2，得，b2=2S2=3a，又因为数列{bn }是等差数列，则公差d=2a，数列{bn}的通项公式可求．（2）根据题意，Sn +an=2a，所以当n≥2时，Sn-1+an-1=2a，两式相减得：2an-an-1=0．即数列{an}是等比数列，假设数列{an +1}能成等比数列，推出1=1+，矛盾，故假设错误，即数列{an+1}不能成等比数列，（3）cn =an•bn，故{cn}的前n项和Tn可以用错位相减法求，得到{cn}的前n项和后再求其极限即可．本题考查了数列的通项公式和前n项和之间的关系、等差数列的通项公式，等比数列的定义、等比数列的性质、错位相减法求数列的前n项和、数列的极限等知识．考查分析解决问题的能力和计算能力．本题属于难题．。
上海市静安区达标名校2019年高考二月调研数学试卷含解析
上海市静安区达标名校2019年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．442．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．23D ．53．已知点()25,310A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．10 B ．10 C ．10 D ．2104．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 5．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 6．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 8．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =9．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ） A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-11．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-12．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。