2014年高考数学模拟试题及答案四

2014年高考数学模拟试题及答案四高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分． 一、选择题1．已知集合{|(1)()0},{||1|A x x a x B x x =-->=++集合|2|3},(),R x C A B R -≤⋃=且则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(1,)-+∞C ．[—1，2]D ．[1,1)(1,2]-⋃2．已知圆O 的半径为R,A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则⋅的值等于 （ ）A．22R B ．212R -C．22R -D ．232R - 3．函数()x x x x x f 44cos cos sin 2sin ++=的最小值是 （ ）A ．1B ．12 C ．12-D ．32-4．设函数()()x g x f ,的定义域分别为F ，G ，且F 是G 的真子集。

若对任意的F x ∈，都有()()x f x g =，则称()x g 为()x f 在G 上的一个“延拓函数”。

已知函数()()02≤=x x f x ，若()x g 为()x f 在R 上的一个“延拓函数”，且()x g 是偶函数，则函数()x g 的解析式是（ ）A ．||2xB ．2log ||xC ．||12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12log ||x5．b a ,为非零向量，“b a ⊥”是“函数()()()a b x b a x x f -⋅+=为一次函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要也不充分条件6．定义在R 上的函数()x f 满足()14=f ，()x f '为()x f 的导函数，已知函数()x f y '=的图像如右图所示，若两正数b a ,满足()12<+b a f ，则22++a b 的取值范围是（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（-∞，-3）7．设M 是ABC ∆内一点，且030,32=∠=⋅BAC AC AB ,定义()()p n m M f ,,=，其中p n m ,,分别是MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积，若()⎪⎭⎫⎝⎛=y x M f ,,21，则y x 41+的最小值是（ ）A ．18B ．16C ．9D ．88 ．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=,则=⋅（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．29．数列{}n a 满足：0,1,221>==n a a a ，()22122121212≥-=-++--n a a a a a a n nn n n n ，则=834a（ ）A ．25B ．125C ．1D ．210．函数()()π20cos 45sin ≤≤+=x xx x f 的值域是（ ）11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数,例如：[ 2.5]3-=-，[2.5]2=，[2]2=，那么222[log 1][log 2][log 1024]+++=（ ）A ．8204B ．4102C ．2048D ．102412．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2=a ，且满足222sin 32c b a C ab ++=，则ABC ∆的面积是（ ）A ．1B ．2CD二、填空题13．如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+= ．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*11,().n n a S n a n N ==∈则n S 的表达式为____ 15．若函数()x x x f -=331在()210,a a -上有最小值，实数a 的取值范围为___________ 16．若规定{}1021,,,a a a E =的子集{}n i i i a a a ,,,21 为E 的第k 个子集，其中11122221---+++=n i i i k ，则E 的第211个子集是______________三、解答题：17．（10分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为ABC ∆的三内角,,A B C 的对边，且3cos 4B =． （1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}2|2||A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．H18．（12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP的比为1．（1）记函数()f PB CA α=⋅ ，(,)82ππα∈-，讨论函数()f α的单调性，并求其值域；（2）若,,O P C 三点共线，求||OA OB +的值．19．（12分）某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润1,1251266025n n a n n ≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩（单位：万元，*n N ∈），记第n 天的利润率n n b n =第天的利润前天投入的资金总和，例如3312.38a b a a =++ （1）求第n 天的利润率n b ；（2）该商店在经销此纪品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率。

20．（12分）已知函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当0,0m n >>时，比较()()f m f n +与()()ln 2f m n m n +-+的大小并证明。

21．（12分）已知函数()||ln (0).f x x a xa =-->（1）若1,a =求()f x 的单调区间及()f x 的最小值； （2）求()f x 的单调区间；（3）试比较222222ln 2ln 3ln (1)(21)232(1)n n n n n -+++++ 与的大小，*(2)n N n ∈≥且，并证明你的结论。

22．（12分）已知曲线:4,:4()xx nn C y C y n N +*==∈，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设111,,n n n x a x x +==-1n n ny b y +=． （1）记4n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，试比较n S 与3732的大小()n N *∈；并证明。

（2）记2352(1)nn n n d b +⨯=⨯-，数列{}n d 的前n 项和为n T ，试证明：21(21)n n n d T --⋅≤2155[1()]38n -≤⨯-。

参考答案CDCCB CABBC AC 13．12 ;14．12+=n n S n ;15．12<≤-a ;16．{}87521,,,,a a a a a 17．解：（1）依题意知：2b ac =，由余弦定理得：222113cos ()2224a cb ac B ac c a +-==⨯+-=，．．．．．．3分而2c q a =，代入上式得22q =或212q =，又在三角形中,,a b c 0>，q ∴=或2q =；．．．．．．6分 （2）2422||,40x x x x <∴-< ，即22(4)0,22x x x -<∴-<<且0x ≠，．．．．．．8分又x N ∈，所以{}11,1A a =∴=，1n n a -=或1(2n n a -=．．．．．．．10分 18．解：依题意知：(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)A B C ααα-，设点P 的坐标为(,)x y ，则：sin 1cos ,01111x yαα++==++，所以2cos sin ,1x y αα=-=-，点P 的坐标为(2cos α-sin ,1)α-．．．．．．2分 （1）(sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=- 2()2sin f PB CA αα∴=⋅=-2sin cos 1αα-(sin 2cos 2)αα=-+=)4πα+，．．．．．．4分 由52(0,)44ππα+∈可知函数()f α的单调递增区间为(,)82ππ，单调递减区间为(,)88ππ-，．．．．．．6分所以sin(2)(4πα+∈，其值域为[；．．．．．．8分 （2）由,,O P C 三点共线的41(sin )2(2cos sin ),tan 3αααα-⨯-=⨯-∴=，．．10分∴2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，∴||OA OB +===．．．．．．．12分 19．解：（1）当125n ≤≤时，1211n n a a a a -===== ．121113838137n n n a b a a a n n-∴===+++++-+ ． （3分）当2660n ≤≤．2125261225(26)(25)3825006350nn n na nb n n a a a a n n -===-+++++++-++, ∴第n 天的利润率**21,125()3722660()2500n n n N nb n n n N n n ⎧≤≤∈⎪⎪+=⎨⎪≤≤∈⎪-+⎩ （6分） （2）当125n ≤≤时，137n b n=+是递减数列， 此时n b 的最大值为1138b =;当2660n ≤≤时，222225002500991n n b n n n n ==≤=-++-（当且仅当2500n n =,即50n =时，“=”成立）． （10分） 又123899>,1n ∴=时，max 1()38n b =．∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大， 且该天的利润率为138． （12分）20．解：（Ⅰ）∵0x >且()ln 1f x x =+'，当()0f x ='时，得1x e=……2分当1(0,)x e ∈时，()0f x <'， ()f x 递减当1(,)x e ∈+∞时，()0f x >'，()f x 递增∴1x e=是()f x 的极小值点，也是最小值点．∴()f x 的最小值为11()f e e=-………………………………………………4分（Ⅱ）∵()()()()ln 2f m f n f m n m n ++-+≥⇔ ()[()]()()ln 2f m f m n m f m n m n ++-+-+≥记m n k +=，则0k >构造函数()()()()ln 2F x f x f k x f k k =+--+ (0)x k << ∴()()()ln ln F x f x f k x x k x =+-=--（）''' 由()0F x ='得2k x =当(0,)2k x ∈时，()0F x <'，()F x 递减当(,)2k x k ∈时，()0F x >'，()F x 递增∴2kx =时，()F x 取最小值．∴()F x ()02kF =≥即：()()()()ln 2f m f n f m n m n ++-+≥……………………………12分21．解（1）1,()1ln a f x x x ==--111,()1ln ,()10.x x f x x x f x x x-'≥=--=-=≥当时 [)()1,.f x ∴+∞在区间上是递增的 （2分）101,()1ln ,()10x f x x x f x x'<<=--=--<当 ()(0,1).f x ∴在区间上是递减的故a =1时，()f x 的增区间为[1,)+∞，减区间为（0，1），m i n ()(1)0.f x f ==（4分）（2）若111,()ln ,()10.x a x a f x x a x f x x x-'≥≥=--=-=≥当时， 则()f x 在区间[,]a +∞上是递增的；当10,()ln ,()10x a f x a x x f x x'<<=--=--<时()f x ∴在区间(0,)a 上是递减的．（5分）若01,,()ln ,a x a f x x a x <<≥=--当时11()1,1,()0,1,()0x f x x f x a x f x x x-'''=-=>><<< 则()f x 在区间[1,)+∞上是递增的，()f x 在区间[,1)a 上是递减的； 当10,()ln ,()10,x a f x a x x f x x'<<=--=--<时 ()f x 在区间（0，a ）上是递减的，而()f x 在x a =处连续；则()f x 在区间[1,)+∞上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 （7分） 综上：当1,()a f x ≥时的递增区间是[,)a +∞，递减区间是（0，a ）； 当01a <<时，()f x 的递增区间是[1,)+∞，递减区间是（0，1） （8分） （3）由（1）可知，当1a =，1x >时，有1ln 0x x -->，即ln 11x x x<-222222ln 2ln 3ln 23n n∴+++ 22211111123n <-+-++- 2221111()23n n=--+++1111()2334(1)n n n <--+++⨯⨯+ 1111111()23341n n n =---+-++-+11(1)(21)1()212(1)n n n n n -+=---=++ （12分） 22．解：（1）依题意点n P 的坐标为1(,)n n x y +，1144n n x nx n y +++∴==，1n n x x n +∴=+，∴1211(2)(1)12(1)n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-==++++- (1)12n n -=+；．．．．．．3分 114n n c n -=⋅ ，由137132S =<，2193718832S =+=<，311553718484832S =++=<，∴当3n >时，211111124344n n S n -=++++⨯⨯⨯2311111124343434n -<+++++⨯⨯⨯⨯22111(1)119114411838369414n n --⨯-=++⨯=+-⨯- 1911378329432n -<+-=⨯；．．．．．．7分（2）2352(41)n n n n d +⨯=⨯- ，所以易证：158n n d d +<，∴当2n ≥时，211215555()()()8888n n n n n d d d d ---<<<<= ，221211221555()()888n n n T d d d ---∴=++≤+++= 2155[1()]38n -⨯-，（当1n =时取“=”）．．．．．．10分另一方面，当2,1,2,21n k n ≥=- 时，有：235[42(41)k k n kk k d d -+=⨯+⨯-2225]2(41)n kn k n k---⨯-34≥⨯==，又222224424,44414241(41)kn kn n k n k n n n --+≥⨯∴--+≤-⨯+=- ，226512241n k n kn n n d d d -+⨯∴+≥⨯=-，211(21)2(21)2n n n T n d n d -≥⨯-⨯=-⨯．所以 对任意的n N *∈，都有21(21)n n n d T --⋅≤2155[1()]38n -≤⨯-．．．．．．．12分。