2-4-1二次函数的图像
二次函数图像与性质
课堂互动讲练
例3 解题示范本题满分12分 已知二次函数fx＝ax2＋bxa;b为常
数;且a≠0满足条件：f－x＋5＝fx－3; 且方程fx＝x有等根．
1求fx的解析式； 2是否存在实数m;nm＜n;使fx的 定义域和值域分别为m;n和3m;3n？如 果存在;求出m;n的值；如果不存在;说 明理由．
课堂互动讲练
t2－2t－7，t<1，
பைடு நூலகம்
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
2gt的图象如图所示． gt的最小值为－8.
课堂互动讲练
规律小结 二次函数区间最值主 要有三种类型：轴定区间定;轴定区间 动和轴动区间定．
一般来说;讨论二次函数在闭区间 上的最值;主要是看区间是落在二次函 数的哪一个单调区间上;从而应用单调 性求最值．
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
1一般式：fx＝ ax2＋bx＋ca≠；0 2顶点式：fx＝ax－h2＋ka≠0;h;k是顶 点； 3标根式或因式分解式：fx＝ax－x1x －x2a≠0；其中x1;x2分别是fx＝0的两实 根．
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
规律方法总结
1．二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0 在区间m;n上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
规律方法总结
当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝ 4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与－2ba 较远的一个为最大)．
课堂互动讲练
考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起．
人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
二次函数的图像与性质(含答案)
九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。
（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
二次函数的图像(一般式)
直接画函数
我们知道,作出二次函数 y 1 x 2 的图象,通过平移抛物 2 1 2 线 y x 是可以得到二次函数 y 1 x 2 6 x 21 的图象. 2 2 1 应该在什么位置作出函数 y x 2 6 x 21 的图象呢?
1 2 y x - 4x 3 2
1 2 y x 4 - 5 2
函数y=ax2+bx+c的顶点式
用配方法求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax bx c c 2 b a x x a a
2
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
4ac b 2 0 ，且a＜0，所以4ac b2 0 ，故 4a
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
b (5)因为顶点横坐标小于1，即 1 ， 2a
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
●
●
5
● ● ● ●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 1 2 y x 2 可以得到抛物线 1 2 y x 6 x 21？ x 2
你学会了吗？
研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到 对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)² +k的形式，然后确定抛 物线的开口方向、对称轴和顶点。 练习： 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2 2 1 1 1. y 3x 2x y 3 x 3 3 2.
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第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1 2 在同一直角坐标系内，画出函数 y＝－2x ； 1 2 1 y＝－ x －1； y＝－ (x＋1)2－1 的图像， 并说明图像之间 2 2 的关系．
[解析] 列表如下：
第二章 ·§4 ·第1课时
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第二章 ·§4 ·第1课时
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(4) 函 数 y ＝ f(x ＋ a) 的 图 像 可 由 y ＝ f(x) 的 图 像 ____________________得到； (5) 函 数 y ＝ f(x) ＋ k 的 图 像 可 由 y ＝ f(x) 的 图 像 ________________________得到．
成才之路· 数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
函
数
第二章 函数
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§4
二次函数性质的再研究
第二章 ·§4 ·第1课时
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第1课时
二次函数的图像
第二章 ·§4 ·第1课时
1 2 (2)将抛物线 y＝－ x 向下平移 1 个单位，就得到抛物线 2 1 2 1 2 y＝－2x －1， 将抛物线 y＝－2x －1 向左平移 1 个单位， 就得 1 到抛物线 y＝－2(x＋1)2－1.
第二章 ·§4 ·第1课时
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二次函数的形状和位置
[例 4] 将二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向左平移 2 个单
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[方法总结]
(1)根据条件选用恰当的解析式形式是求二
次函数解析式的关键． (2)若 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则 x1,2 －b± b2－4ac ＝ ， 2a b2－4ac ∴|x1－x2|＝ ，由本例可知，这个公式是一个十 |a| 分重要的结论，因此必须熟练地掌握．
[解析]
设二次函数的解析式为 y＝a(x＋2)2＋4(a≠0)，
其图像与 x 轴的两交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则 x1、x2 是方程 a(x＋2)2＋4＝0 的两根． 2 4 ∴a<0 且 x1,2＝－2± ，∴|x1－x2|＝ ＝8，∴a＝－ －a －a 1 . 4 1 故所求函数的解析式为 y＝－4(x＋2)2＋4.
第二章 ·§4 ·第1课时
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(2)求抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴交点． 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B 及 抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D，将这五个 点按从左到右的顺序连结起来，并向上或向下延伸，就得到 二次函数的图像． 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线 与 y 轴的交点 C 及对称点 D.由 C、M、D 三点可粗略地画出 二次函数的草图，如果需要画出比较精确的图像，可再描出 一对对称点 A、B 然后顺次连接五点，画出二次函数的图像．
第二章 ·§4 ·第1课时
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[答案]1.y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0) a<0
R
y＝ax2
原点
a>0
2．(1)横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 a 倍 (2)向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位， 再向上(k>0)(或 向下(k<0))平移|k|个单位 (3)配方 (4)向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位 (5)向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位
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已知函数 y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1 是一个二次函数， 求满足条件的 a 的值．
[解析]
4a＋3≠0 由题意可得 2 4a －a－1＝2
，
3 a≠－4 即 a＝－3或a＝1 4
∴a＝1.
即 a 的值为 1 时，函数为二次函数.
注意：上述平移的规律是“h 值正、负，左、右移”，即 “加时左移， 减时右移”； 值正、 “k 负， 上、下移”， 即“加 时上移，减时下移”．实际上有关抛物线的平移问题，不能 死记硬背规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它 们的顶点的位置关系，确定平移方向和距离，非常简便．
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学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
第二章 ·§4 ·第1课时
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知能目标解读
1．理解在二次函数的图像中 a，b，c，h，k 的作用，领 会研究二次函数图像利用的方法，并能变换得到其它函数． 2．掌握二次函数解析式的表示法，并能灵活应用．
第二章 ·§4 ·第1课时
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重点难点点拨
重点：二次函数的解析式求法与图像． 难点：二次函数图像的平移变换．
第二章 ·§4 ·第1课时
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学习方法指导
第二章 ·§4 ·第1课时
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一、利用描点法作二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 因为二次函数的图像是一条抛物线，它的基本特征是： ①有顶点；②有对称轴；③有开口方向；所以画二次函数的 图像通常采用描点法——五点法，其步骤是： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角 坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴．
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知能自主梳理
第二章 ·§4 ·第1课时
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1．二次函数 函数__________________叫作二次函数．它的定义域是 ________． 如果 b＝c＝0，则函数变为________．我们知道，它的图 像是一条顶点为________的抛物线．________时，抛物线开 口向上，________时，抛物线开口向下．
第二章 ·§4 ·第1课时
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已知二次函数的图像经过原点和点 A(1,8)， 对称轴为直线 3 x＝－ ，求这个二次函数的解析式． 2
[解析] 设二次函数的解析式为
32 y＝ax＋2 ＋k(a≠0)，
9 4a＋k＝0， 由题意得 25a＋k＝8， 4
第二章 ·§4 ·第1课时
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[方法总结] 抛物线 y＝a(x＋h)2＋k 在平移时，a 不变， 只是 h 或 k 发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确 求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．
第二章 ·§4 ·第1课时
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阅读下面文字后解答问题．有这样一道题目：“已知二 次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点 A(0，a)，B(1，－ 2)，________，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线 x＝ 2”． 题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文 字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适 当的条件，把原题补充完整．
第二章 ·§4 ·第1课时
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在同一坐标系内描点、连线，如图所示．
对三条抛物线在坐标系内的形状和位置比较后可知， 1 2 1 2 1 (1)抛物线 y＝－2x ，y＝－2x －1，y＝－2(x＋1)2－1 的 形状相同．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
32 9 ∴y＝2x＋2 － . 2
a＝2， 解得 9 k＝－2.
第二章 ·§4 ·第1课时来自成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
二次函数的平移变换
[例 3] 如何由函数 y＝2x2 的图像变换为函数 y＝2x2＋4x
－6 的图像？ [分析]
[解析]
先配方，再平移．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
注意：有些二次函数与 y 轴交点距顶点太远，画图时用 不上，这时需利用函数的对称性列表，以顶点为中心，对称 地选取两对对称点(每对对称点的横坐标与顶点横坐标的差的 绝对值相等)，然后描出这五个点，顺次连接并延伸，就得到 函数的图像．
将 y＝2x2＋4x－6 配方得 y＝2(x＋1)2－8，
因此，把函数 y＝2x2 的图像向左平移 1 个单位长度，得 到函数 y＝2(x＋1)2 的图像，再向下平移 8 个单位长度，得到 函数 y＝2(x＋1)2－8 的图像，即函数 y＝2x2＋4x－6 的图像．
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求二次函数解析式
设二次函数的图像的顶点坐标为(－2,4)，图像与
[例 2]
x 轴的两个交点间的距离为 8，求这个二次函数的解析式． [分析] 来解题． 由于其图像的顶点坐标为(－2,4)， 故设其顶点式
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位，再向上平移 3 个单位，便得到函数 y＝x2－2x＋1 的图像， 求 b 与 c. [分析] 要求 b 与 c， 需先求函数 y＝x2＋bx＋c 的解析式，
要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的 平移情况可以确定其顶点坐标．