运筹学讲义LPILP
运筹学讲义_1线性规划
第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。
【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。
【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。
【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。
第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。
§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。
已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。
453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。
首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。
01-LP管理运筹学
9
§1 线性规划问题及其数学模型
本节重点：
线性规划模型的特点 线性规划解的存在情况 线性规划标准型 线性规划解的基本概念（特别是基解和基可行解）
10
1．1 问题的提出
例 1． 某 工 厂 计 划 期 内 要 安 排 生 产 Ⅰ 、 Ⅱ 两 种 产 品 ，
xn
x1 b1
x2
=
b2
xn bm
x1
x2
=
b
xn
Σaijxj =bi i=1,…,m
AX = b X ≥0
xj≥0 j=1,…,n
21
例3．将例1的数学模型化为标准型。
标准型：
max z = 2x1+ 3x2
x1 + 2 x2 8 4 x1 16
4 x2 12 x1，x2 0
max z = 2x1+ 3x2 + 0 x3 + 0 x4+ 0 x5
设备
1
原材料A
4
原材料B
0
利润
2
Ⅱ
可利用资源
2
8台时
0
16kg
4
12kg
3
？元
设x1、x2分别表示计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量， 建立数学模型：
利润最大 目标函数 max z = 2x1+ 3x2
设备台时 约束条件 s.t. 原材料A (Subject to) 原材料B 产品产量
x1 +2x2 8 4x1 16
矩阵A的秩 设A为一个m×n阶矩阵(m<n)若矩阵中最大线性
无关列向量个数为k,则称矩阵A的秩为k,记
为rank(A)=k.
运筹学PPT(LP)BaiDi剖析
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
Page 4
例1 窗户问题：三个工厂分别进行三种生产：工厂1 生产产品1是铝窗，工厂2生产产品2是木窗，工厂3做 组装产品的工作。具体数据如下表，应如何安排生产 计划，使总的利润最大？
线性规划问题的数学模型
Page 7
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
管理工程系核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP问题的提出 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论 LP模型的应用举例
线性规划问题的数学模型
Page 3
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
图解法
例4 用图解法求解线性规划问题（窗户问题）
Max Z= 3x1+ 5x2
《管理运筹学》教学课件-第1章线性规划
要求至少应增加出油能力500桶/天，但又不得超过1100桶/天，试确定该公司总经济效益最大的
投资方案。
表 1.5
方 案 序 号
投资方案内容
技改方案内容
决
投资（万元）
策
年收益
变 量
第一年 第二年 （万元）
1 更新旧装置，提高炼油能力 500 桶/ X1
200
200
100
天
2 建造新装置， 提高炼油能力 1000 X2
2 、数学模型中系数的含义:
Max Z = 70x1＋30x2 s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540
5x1 + 5x2 ≤ 450 9x1 + 3x2 ≤ 720 x1 , x2 ≥0
…① …② …③ …④ …⑤
①.目标函数中决策变量的系数70,30 ------ 叫价值系数，表单位产品提供的利润(元/件)；
1946年，世界上第一台计算机问世，使单纯形法处理大规模L.P.数模成为可能。
三、 L.P.问题的求解过程
1、将实际问题转化为数学模型(数学公式)：建模。 2、求解数学模型：
• 图解法： 适合于 2 个变量的 L.P. 数学模型。 • 单纯形法：适合于任意个变量的 L.P. 数学模型。 3、利用数学模型的最优解获得原问题的最优决策方案。
解: ① 设甲、乙产品产量分别为x1、x2 公斤——— 决策变量，简称变量 ② 设总利润为Z，则
Max Z = 70x1＋30x2 ③ 设备可用工时数限制
——— 目标函数 ——— 约束条件
s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540 A 设备可用工时约束
5x1 + 5x2 ≤ 450 B 设备可用工时约束
运筹学讲义
OPERATIONS RESEARCH运筹学Ⅰ——怎样把事情做到最好第一章绪论♦1.1题解Operations 汉语翻译工作、操作、行动、手术、运算Operations Research日本——运用学港台——作业研究中国大陆——运筹学Operational Research原来名称，意为军事行动研究——历史渊源绪论♦1.2 运筹学的历史早期运筹思想：田忌赛马丁渭修宫沈括运粮Erlang 1917 排队论Harris 1920 存储论Levinson 1930 零售贸易康脱洛维奇1939 LP绪论♦1.2运筹学的历史军事运筹学阶段德军空袭防空系统Blackett运输船编队空袭逃避深水炸弹轰炸机编队绪论♦1.2运筹学的历史管理运筹学阶段战后人员三分:军队、大学、企业大学：课程、专业、硕士、博士企业：美国钢铁联合公司英国国家煤炭局运筹学在中国：50年代中期引入华罗庚推广优选法、统筹法中国邮递员问题、运输问题1.3学科性质▪应用学科▪Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化为基础的科学方法。
▪Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、技术和工具，来处理一个系统运行中的问题，使系统控制得到最优的解决方法。
▪中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
1.4定性与定量♦例：店主进货♦两者都是常用的决策方法♦定性是基础，定量是工具，定量为定性服务。
♦定性有主观性也有有效性，定量有科学性也有局限性。
管理科学的发展，定量越来越多。
但定量不可替代定性。
1.5运筹学的模型♦模型：真实事物的模仿，主要因素、相互关系、系统结构。
♦形象模型：如地球仪、沙盘、风洞♦模拟模型：建港口，模拟船只到达。
学生模拟企业管理系统运行。
♦数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。
运筹学讲义
第一章绪论一运筹学的发展历史1学科起源：二战期间英美等国军事部门集中多学科人员，研究提高武器系统效能，如反空袭雷达控制系统，使雷达和高炮相配合。
诺将物理学家布莱克特（Blackett）领导研究小组“Operational Research”，多学科构成（布莱克特马戏团）。
战争结束后专家转移到企业和院校——学科形成。
2我国古代的运筹思想：齐王赛马——齐王“上中下”，田忌“下上中”丁渭修皇宫——北宋真宗宰相丁渭（澶chan州之盟的主和派），主持皇宫失火后的修复。
宫前大街取土、引汴河运料、完工后回填废土。
3我国近代以来：50年代开始钱学森、许志国等引进运筹学理论，华罗庚教授回国后从事优选法和统筹法研究推广（烧茶壶的故事）4翻译：来自汉高祖“夫运筹帷幄之中,决胜千里之外,吾不如子房;填国家,抚百姓,给饷馈,不绝粮道,吾不如萧何;连百万之众,战必胜,攻必取,吾不如韩信。
”台湾地区直译为“运作研究”。
二运筹学的特点运筹学存在多种定义，如“依照给定目标和条件，从众多方案中选择最优方案的最优化技术”，学科特点：最优化、定量化1 多种专家的协作2 科学的方法：从实际情况出发，通过假设的模型打到一个符合实际的结论3 目的在于解决实际问题。
4 需要系统的信息资料5 需要建立模型——运筹学的核心问题就是通过合适的模型分析系统的未来情况6 对于复杂问题，需要计算机三运筹学的模型运筹学的主要特点是通过模型来描述和分析所认定范围内的系统状态。
分析过程包括：1 系统分析和问题描述。
认定问题的实质——社会经济问题复杂性、不可重复性，不同于具有可控性的物理模型（提高企业效益：开发市场？增加设备？加强研发？）。
明确系统的主要目标（利润最大化、市场占有率最大化、销售收入最大化？GDP增长、可持续协调增长？）、找出系统主要变量和参数、变化范围、相互关系及其对目标的影响。
分析问题的可行性：技术可行性—有无现成的运筹学方法？经济可行性—研究的成本和预期的效果，考虑运筹决策的时间和代价，要对研究问题的深度和广度作出一定限制操作可行性—研究人员的配备2 建立数学模型——要尽可能简单；要能完整的描述所研究的系统。
运筹学第一章
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
运筹学讲义完整版
等可能准则
n
max{
i
1 n
Vij
j=1
}
S1 A1 20 A2 9 A3 6
S2
S3
Vi =
1 3
Vij
1 -6
5
80
5
2 3
max=5
2 3
54
5
选 A2
第36页
5.后悔值准则（Savage原则 ） （最小机会损失决策）
定义：称每个方案aj在结局Si下的最大可能 收益与现收益的差叫机会损失，又称后悔值 或遗憾值。记Rij(si,aj)=MaxQij(si,aj)-Qij(si,aj)
第27页
收益矩阵
事件 高
方案
S1
A1
20
A2
9
A3
6
中
低
S2 S3(万元)
1
-6
8
0
5
4
第28页
1.乐观准则（Hurwicz原则、MaxMax ） （冒险型决策）
对于任何行动方案 ，都认为将是最好的状态发 生，即益损值最大的状态发生。然后，比较各 行动方案实施后的结果，取具有最大益损值的 行动为最优行动的决策原则，也称为最大最大 准则。
第39页
（3）在机会损失表中，从每一行选一 个最大的值，即每一方案的最大机会损 失值 Max Rij(si,aj) （4）再在选出的 Max Rij(si,aj)选择最 小者：
第37页
对于任何行动方案aj ,都认为将是 最大的后悔值所对应的状态发生。然后， 比较各行动方案实施后的结果，取具有 最小后悔值的行动为最优行动的决策原 则，称为后悔值准则。记
R (s,aopt) = Min Max Rij(si,aj) ji
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运筹学LPILP
运筹学模型（2）
【七桥问题】 在哥雷斯堡（Konigsberg）有一条名叫普雷尔（Pregel）的河流从城市中 间流过，普雷尔河的中央有一大一小两座岛屿，河岸和两座岛由七座桥相互连 接，如图 3-53 所示:
A
B
C
D
图 3-53 于是在居民们每天散步的时候就产生了一项有趣的消遣活动：从 A 岸、B 岛、C 岛、D 岸这四个地方任选一处出发，走过所有七座桥，最后回到出发的地方， 而且要求每座桥只能经过一次，不得重复。
x3+3x4 +x6+3x7+x8>=100
Xj>=0且为整数 j=1,2,3,……8
运筹学模型（4）
【排班问题】
某工厂的中心调度室，每昼夜 24 小时都要有人员值班，已知每 个时间段（每 4 小时为一个时间段）所需要的值班人员如表 1.6。又 知每一调度人员在任 1 时段开始上班后，要连续工作 8 小时（包括 轮流吃饭时间）才能满足调度值班工作需要。为使参加值班的总人 数最少，试列出数学模型
x1 x1
x2 1 2x2
0
x1,2 0
图解法（5）——无可行解
min s 2 x 1 2 x 2
s
.t
.
x
1
x1
x2 x2
1 2
x1,2 0
图解法（6）—— 结论
线性规划问题的解有四种情况 1．有唯一最优解 2．有无穷多最优解 3．有可行解，但无最优解（解无界） 4．无可行解
运筹学模型（3）
【合理下料问题】 某工地要求做 100 套钢筋，每套为 3 根，它们的长度分别为
2.9 米，2.1 米和 1.5 米；原材料长为 7.4 米，为应当怎样截割钢 筋，才能使所需的原材料根数为最少？
提示1：如果只需要截2.9米的100根，如何下料？ 提示2：如果需要截2.9米和2.1米的各100根，又如何下料？
可行解 ——不可行解 可行解集（可行区域） 最优解 最优目标函数值 基本可行解 基本最优解
图解法（3）——无穷多最优解
max s x1 2 x2
x1 4
s.t.
x2 3 x1 2x2 8
x j 0( j 1.2)
图解法（4）——解无界
max s 2 x 1 2 x 2
s .t .
3
50
4
30
25
如何调运，才能使总成本最省？
第一章 线性规划
图解法 单纯型法 两阶段法 对偶规划 对偶单纯型法 灵敏度分析 目标规划
图解法（1）——唯一最优解
max s 2 x1 5 x2
x1 4
s.t.
x2 3 x1 2 x2 8
x j 0( j 1.2)
图解法（2）——基本概念
J段
时间段
需人数
1
2-----6
2
2
6-----10
5
3
10-----14
10
4
14------18
12
5
18-------22
6
6
22-------2
7
Xj-----j时段初形成得人数 j=1,2,3,4,5,6 Minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6 X1+x6>=2 X1+x2>=5 X2+x3>=10 X3+x4>=12 X4+x5>=6 X5+x6>=7
例 1.5 将 下 列 线 性 规 划 问 题 化 为 标 准 形
m in f 2 x1 x2
3 x1 2 x2 6
s.t.
x1 7 x2 4 x1 x2 2
x j 0，j 1，2
单纯型法（一）
某工厂计划在一个生产周期内生产甲、乙两种产品， 这两种产品分别需要经过A、B两道工序加工。已知每件 产品在每道工序上加工所需的机时及生产每件产品可以获 得的利润如下表，如何安排生产，才能使总利润最大？
（ 2） 标 准 形 的 矩 阵 表 示
m ax f = c Tx
A x= b
s .t.
x
0
其中
A
（
a
）
ij m
n
c c 1 , c 2 , . . . , b b 1 , b 2 , . . . ,
x x 1 , x 2 , . . . ,
T
cn
b n T T
xn
线性规划问题的标准形式（二）
单纯型法
标准化 单纯型法
线性规划问题的标准形式(一)
1．目标函数求最大 2．约束条件取等号 3．变量为非负
(1) 标 准 形 的 代 数 表 示
m ax
n
f c j x j x j bi
j1
(i 1, 2, ..., m )
xj 0
( j 1, 2, ..., n )
甲 乙 可用机时
工序A 2
4
80
工序B 3
2
60
单位利润 60 50
单纯型法（二）
m ax f = 60x1+ 50x 2
2x1+ 4x2 80
s .t .
3
x
1
+
2
x
2
60
x
1
0, x2
0
x2
（0，20）C
B（10，15）
（0，0）O
x1
A （20，0）
单纯型法（三）
x2
（0，20）C
B（10，15）
max f = 60x1+50x2
（0，0）O
2
x
1
+
4
x
2
x3
80
s.t. 3x1+ 2x 2
x4 60
x
1
0,
j
1，2，3，4
A （20，0）
单纯型法（四）
max f = 60x1+50x2
2
x
1
+
4
x
2
x3
80
s.t. 3x1+ 2x 2
x4 60
x
1
0,
j
1，2，3，4
有八种方法截取
2.9m 2.1m 1.5m
1 2 34 56 7 8 2 1 11 00 0 0 0 2 10 32 1 0 0 0 13 01 3 4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
Mf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
2x1+x2+x3+x4>=100
2x2+3x3 +3x5+2x6+x7>=100
运筹学模型（5）
【运输问题】
现有两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要。三个 纺织厂所需数量和两个仓库现有库存量，以及每吨原棉从各个仓库运送到各个纺 织厂所需的运费见表 1.3
表 1.3 运输费
仓库 1# 仓库 2# 需求量（吨）
工厂 1*
2 2 40
工厂 2*
1 2 15
工厂 3* 库存量（吨）
max f 120010x2 20x4
s.t.
x1
8 3
x2
2 3
x2
x3
2 3
x4
1 3
x4
40 20
xj 0, j 1,2,3,4
maxf 150015x1 25x4