材料力学-02-拉伸与压缩
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩
第2章 杆件的拉伸与压缩提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。
为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。
由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。
根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。
为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。
本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。
在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。
不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。
2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架第2章 杆件的拉伸与压缩 ·9··9·2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。
下面讨论杆件横截面上内力的计算。
取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。
为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。
杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。
由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。
由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。
材料力学——2拉伸和压缩
对于拉压杆，学习了 • 应力计算 • 力学性能 • 如何设计拉压杆？—— 安全，或 不失效
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
材料力学第2章轴向拉伸与压缩
ε 相同，这就是变形的几何关系。
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
材料力学拉伸与压缩实验报告
材料力学拉伸与压缩实验报告一、实验目的本实验旨在通过拉伸与压缩实验，探讨材料在受力下的力学性能，了解材料的强度、延展性和变形特点，为材料的工程应用提供理论依据。
二、实验原理1. 拉伸实验原理：拉伸试验是通过对试样施加拉力，使其发生长度方向的拉伸变形，以研究材料的强度、延展性和断裂特性。
在拉伸过程中，可以通过载荷和位移数据来绘制应力-应变曲线，从而得到材料的力学性能参数。
2. 压缩实验原理：压缩试验是通过对试样施加压力，使其产生长度方向的压缩变形，以研究材料在受压状态下的变形特性和抗压性能。
通过测量载荷和位移数据，可以得到材料的应力-应变关系，并分析其力学性能。
三、实验装置及试样1. 实验装置：拉伸试验机、压缩试验机、数据采集系统等。
2. 试样：常用的拉伸试样为标准圆柱形试样，常用的压缩试样为标准方形试样。
四、实验步骤1. 拉伸实验：a. 准备好拉伸试样，安装在拉伸试验机上。
b. 设置合适的加载速率和采样频率，开始施加拉力。
c. 记录载荷和位移数据，绘制应力-应变曲线。
d. 观察试样的变形情况，记录拉伸过程中的各阶段特征。
2. 压缩实验：a. 准备好压缩试样，安装在压缩试验机上。
b. 设置合适的加载速率和采样频率，开始施加压力。
c. 记录载荷和位移数据，得到应力-应变关系曲线。
d. 观察试样的变形情况，记录压缩过程中的各阶段特征。
五、实验结果及分析1. 拉伸试验结果分析：根据绘制的应力-应变曲线，分析材料的屈服点、最大强度、断裂点等力学性能参数，并观察材料的断裂形态和变形特点。
2. 压缩试验结果分析：根据得到的应力-应变关系曲线，分析材料在受压状态下的变形和抗压性能，并观察材料的压缩断裂形态。
六、实验结论通过拉伸与压缩实验，我们得到了材料在拉伸和压缩条件下的力学性能参数，并对其力学性能进行了分析。
实验结果表明，材料在拉伸状态下具有较好的延展性和韧性，而在受压状态下表现出良好的抗压性能。
这些结果为材料的工程应用提供了重要参考。
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
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n：综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数
轴向拉压变形
阶梯杆AC段横截面积A1=20 mm2，CD段横截面积A2=10 mm2。 材料的弹性模量E=200 GPa。求：杆端D的伸长量∆l
（1）画轴力图
（2）综合不同 轴力和横截面积 相交形成的最大 分段为3
A 1m
N (kN)
15 kN B 0.5 m C 1 m
变截面变轴力杆的拉压变形
当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常 数，则应当先求微段变形，然后将微段变形累加
微段dx变形量：
d l
N xdx EA x
微段变形累加的结果：
l
l
0
d l
= l 0
N xdx EA x
此公式更具有一般性，但是计算比较复杂。
轴向拉压变形
受自重的杆的变形---轴力变化
x
横截面的内力与应力
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正；
遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
横截面的内力与应力
图示杆长为L，受分布力 q作用，方向如图，试画出杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
横截面的内力与应力
N2
同理，求得AB、 BC、CD段内力
分别为： N2= –3P N3= 5P N4= P
B
C
PB
N3
PC C
PC
N4
轴力图如右图
N
2P + –
3P
5P
+
P
D PD
D PD D PD
危险点：应力最大的点。
max
max
N (x) A(x)
横截面的内力与应力 公式的应用条件
(1) 适用于轴向拉伸与压缩 P
(2) 轴向压缩时只适用于粗短杆
P
想想为什么？
P P
(3) 适用于弹性变形和塑性变形
(4)不适用于集中力作用点和截面突然变化附近的局部区域。 （“圣维南原理”）
P
P
横截面的内力与应力
基本概念
北盘江特大桥: 2016年12月29日通车
基本概念
基本概念
拉伸与压缩
1. 基本概念 2. 横截面的内力与应力 3. 斜截面的内力与应力 4. 轴向拉压变形
横截面的内力与应力
内力的求法—截面法
用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
弹性体内力的特征
1. 连续分布力系 2. 与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成 自相平衡
N<0
横截面的内力与应力
例如： 截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替： 平衡：
P
N
A
X 0 PN 0 PN
横截面的内力与应力
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、
8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
B
C
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
B
C
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
l
（绝对变形,有量纲） （相对变形,无量纲）
轴向拉压变形
力学处理问题的一般过程
1. 做实验，观察实验现象，提出基本假设 2. 进行逻辑推导，得到计算公式 3. 实践或实验检验计算公式的合理性，如果偏差过
大，重新回到1 4. 直到计算结果与实验或实践结果吻合
应力计算公式是怎么得到的？ 应变呢？
轴向拉压变形
北京科技大学
数理学院 应用力学系
拉伸与压缩
1. 基本概念 2. 横截面的内力与应力 3. 斜截面的内力与应力 4. 轴向拉压变形
基本概念
1. 构件：组成机械的零件或构筑物的杆件统称为构件。 2. 结构：由构件组成的体系，工程结构是工程实际中采用的结构。 3. 载荷 ：构件和结构承受的负载或荷重。 4. 变形 ：在载荷的作用下，构件的形状及尺寸发生的变化称为变形。 5. 内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系
横截面的内力与应力
轴力 —— 轴向拉压杆的内力，用 N 表示。
N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N
N>0
N
N
N 与外法线反向,为负轴力(压力)
轴力图—— N (x) 的图象表示。
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
N
②确定出最大轴力的数值
P
及其所在横截面的位置，
+
即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
fl
f
l
x
沿杆长均匀分布的荷载集度为 f = Aγ
其轴力为：
轴力图
总伸长量为：
l
l N x dx 0 EA x
l xdx x2 l l 2
0 E 2E 2E 0
轴向拉压变形
变截面杆的变形---截面积变化
x dx
P d1
P
Dx
d2
解:
Dx
d2
d1
x l
d1
Ax l
d l
力系)
横截面的内力与应力
截面法的基本步骤：
1. 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 2. 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在
截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 3. 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计
算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分 而言是外力）。
沿与轴线呈450方向的斜截面发生破坏。
需要研究直杆轴向拉压时斜截面上的应力
450 P
P P
k k
P
斜截面上的内力
P
X 0, P P 0
P P
斜截面的内力与应力
斜截面上的应力
P
由“平面假设”知斜截
P
面上的应力Sa均匀分布
则有 S A P P
因S
P A
，A
A
cos
P
故S
P cos
A
cos
横截面的内力与应力
应力的定义
P
M
①平均应力
A
pM
ΔP ΔA
②全应力（总应力）
pM
lim
Δ A0
Δ Δ
P A
dP dA
横截面的内力与应力
全应力的分解与计算
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)
p
lim
ΔN dN
ΔA0 ΔA dA
M
位于截面内的应力称为“剪应力”(Shear Stress)
5
D 10 kN
10
轴向拉压变形
l
横向变形
P b1
l1 •横向变形： b b1 b
•横向应变： b
b
•泊松比(实验测得):
Pb
1 （1与 总是符号相反）
轴向拉压变形
材料名称 碳钢 合金钢 灰口铸铁 铜及其合金 铝合金 花岗石 石灰石 混凝土 木材（顺纹）
橡胶
E(GPa) 196~216 190~220 115~160 73~130
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图
P
a
b
c
P
红色实线为变形前的线 红色虚线为红色实线变形后的形状
应力分布示意图
横截面的内力与应力
轴向拉压杆系结构，杆AB为直径 d = 50 mm的圆截面钢
杆；杆AC由两根5号等边角钢构 成。 不计杆的自 重， 20o，P = 50 kN。试求各杆横截面上的应力。
直径为d=1 cm的圆杆,P=10 kN。试求最大剪应 P
力；并求与横截面夹角为 30o 的斜截面上
的正应力和剪应力。
30o
最大剪应力
2
sin 2
当 45o时，有
P
max
2
N 2A
P
2d2
63.7
MPa
4
斜截面的内力与应力
30o 斜截面上的应力
P
cos2
30o
2
sin 2
30o cos2 30o 95.6 MPa
q(x)
自由端。
L
取左侧x段为对象，内力N(x)为：
O x
N
q(x)
Nx x
qL
N(x) qx
N (x)max qL
横截面的内力与应力
问题提出： P
P
P
P
(1) 内力大小不能衡量构件强度的大小。 (2) 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
结构的破坏不一定在内力最大处。 而在内力密度(应力)的最大处。
轴向拉伸或者压缩实验告诉我们
•虎克定律(Hooke’s law)：（力与变形的关系）
——（1）
E —— 弹性模量(modulus of elasticity) ，单位：GPa
（由实验测定）
N
A
l ——（2）
l
(2)代入(1) N E l
Al
EA —— 抗拉(压)刚度
— 轴向变形
轴向拉压变形
138103 7.794 104
176106
N/m2
176
MPa
轴向拉压变形
阶梯杆AC段横截面积A1=20 mm2，CD段横截面积A2=10 mm2。 材料的弹性模量E=200 GPa。求：杆端D的伸长量∆l
（1）画轴力图
（2）综合不同 轴力和横截面积 相交形成的最大 分段为3
A 1m
N (kN)
15 kN B 0.5 m C 1 m
变截面变轴力杆的拉压变形
当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常 数，则应当先求微段变形，然后将微段变形累加
微段dx变形量：
d l
N xdx EA x
微段变形累加的结果：
l
l
0
d l
= l 0
N xdx EA x
此公式更具有一般性，但是计算比较复杂。
轴向拉压变形
受自重的杆的变形---轴力变化
x
横截面的内力与应力
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正；
遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
横截面的内力与应力
图示杆长为L，受分布力 q作用，方向如图，试画出杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
横截面的内力与应力
N2
同理，求得AB、 BC、CD段内力
分别为： N2= –3P N3= 5P N4= P
B
C
PB
N3
PC C
PC
N4
轴力图如右图
N
2P + –
3P
5P
+
P
D PD
D PD D PD
危险点：应力最大的点。
max
max
N (x) A(x)
横截面的内力与应力 公式的应用条件
(1) 适用于轴向拉伸与压缩 P
(2) 轴向压缩时只适用于粗短杆
P
想想为什么？
P P
(3) 适用于弹性变形和塑性变形
(4)不适用于集中力作用点和截面突然变化附近的局部区域。 （“圣维南原理”）
P
P
横截面的内力与应力
基本概念
北盘江特大桥: 2016年12月29日通车
基本概念
基本概念
拉伸与压缩
1. 基本概念 2. 横截面的内力与应力 3. 斜截面的内力与应力 4. 轴向拉压变形
横截面的内力与应力
内力的求法—截面法
用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
弹性体内力的特征
1. 连续分布力系 2. 与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成 自相平衡
N<0
横截面的内力与应力
例如： 截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替： 平衡：
P
N
A
X 0 PN 0 PN
横截面的内力与应力
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、
8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
B
C
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
B
C
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
l
（绝对变形,有量纲） （相对变形,无量纲）
轴向拉压变形
力学处理问题的一般过程
1. 做实验，观察实验现象，提出基本假设 2. 进行逻辑推导，得到计算公式 3. 实践或实验检验计算公式的合理性，如果偏差过
大，重新回到1 4. 直到计算结果与实验或实践结果吻合
应力计算公式是怎么得到的？ 应变呢？
轴向拉压变形
北京科技大学
数理学院 应用力学系
拉伸与压缩
1. 基本概念 2. 横截面的内力与应力 3. 斜截面的内力与应力 4. 轴向拉压变形
基本概念
1. 构件：组成机械的零件或构筑物的杆件统称为构件。 2. 结构：由构件组成的体系，工程结构是工程实际中采用的结构。 3. 载荷 ：构件和结构承受的负载或荷重。 4. 变形 ：在载荷的作用下，构件的形状及尺寸发生的变化称为变形。 5. 内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系
横截面的内力与应力
轴力 —— 轴向拉压杆的内力，用 N 表示。
N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N
N>0
N
N
N 与外法线反向,为负轴力(压力)
轴力图—— N (x) 的图象表示。
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
N
②确定出最大轴力的数值
P
及其所在横截面的位置，
+
即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
fl
f
l
x
沿杆长均匀分布的荷载集度为 f = Aγ
其轴力为：
轴力图
总伸长量为：
l
l N x dx 0 EA x
l xdx x2 l l 2
0 E 2E 2E 0
轴向拉压变形
变截面杆的变形---截面积变化
x dx
P d1
P
Dx
d2
解:
Dx
d2
d1
x l
d1
Ax l
d l
力系)
横截面的内力与应力
截面法的基本步骤：
1. 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 2. 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在
截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 3. 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计
算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分 而言是外力）。
沿与轴线呈450方向的斜截面发生破坏。
需要研究直杆轴向拉压时斜截面上的应力
450 P
P P
k k
P
斜截面上的内力
P
X 0, P P 0
P P
斜截面的内力与应力
斜截面上的应力
P
由“平面假设”知斜截
P
面上的应力Sa均匀分布
则有 S A P P
因S
P A
，A
A
cos
P
故S
P cos
A
cos
横截面的内力与应力
应力的定义
P
M
①平均应力
A
pM
ΔP ΔA
②全应力（总应力）
pM
lim
Δ A0
Δ Δ
P A
dP dA
横截面的内力与应力
全应力的分解与计算
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)
p
lim
ΔN dN
ΔA0 ΔA dA
M
位于截面内的应力称为“剪应力”(Shear Stress)
5
D 10 kN
10
轴向拉压变形
l
横向变形
P b1
l1 •横向变形： b b1 b
•横向应变： b
b
•泊松比(实验测得):
Pb
1 （1与 总是符号相反）
轴向拉压变形
材料名称 碳钢 合金钢 灰口铸铁 铜及其合金 铝合金 花岗石 石灰石 混凝土 木材（顺纹）
橡胶
E(GPa) 196~216 190~220 115~160 73~130
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图
P
a
b
c
P
红色实线为变形前的线 红色虚线为红色实线变形后的形状
应力分布示意图
横截面的内力与应力
轴向拉压杆系结构，杆AB为直径 d = 50 mm的圆截面钢
杆；杆AC由两根5号等边角钢构 成。 不计杆的自 重， 20o，P = 50 kN。试求各杆横截面上的应力。
直径为d=1 cm的圆杆,P=10 kN。试求最大剪应 P
力；并求与横截面夹角为 30o 的斜截面上
的正应力和剪应力。
30o
最大剪应力
2
sin 2
当 45o时，有
P
max
2
N 2A
P
2d2
63.7
MPa
4
斜截面的内力与应力
30o 斜截面上的应力
P
cos2
30o
2
sin 2
30o cos2 30o 95.6 MPa
q(x)
自由端。
L
取左侧x段为对象，内力N(x)为：
O x
N
q(x)
Nx x
qL
N(x) qx
N (x)max qL
横截面的内力与应力
问题提出： P
P
P
P
(1) 内力大小不能衡量构件强度的大小。 (2) 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
结构的破坏不一定在内力最大处。 而在内力密度(应力)的最大处。
轴向拉伸或者压缩实验告诉我们
•虎克定律(Hooke’s law)：（力与变形的关系）
——（1）
E —— 弹性模量(modulus of elasticity) ，单位：GPa
（由实验测定）
N
A
l ——（2）
l
(2)代入(1) N E l
Al
EA —— 抗拉(压)刚度
— 轴向变形
轴向拉压变形
138103 7.794 104
176106
N/m2
176
MPa