线性代数复习
线性代数复习要点
2
2、初等变换的性质 (1) 对调变换使得行列式的值反号； (2) 倍乘变换只是放大或缩小行列式的值； (3) 倍加变换不改变行列式的值． 3、加法原理：若行列式的某一行（或列）的元都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和． 4、乘积法则：对任何 n 阶矩阵 A 和 B ，均有 | AB | | Α | | B | ． 5、转置运算不改变行列式的值． 三、行列式的计算 1、典型方法：三角化方法、降阶法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法． 2、设 A 为 n 阶矩阵， k 为任意数，则 kA k A ．
1 * * 1 * T T *
4、 ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) ．
T 1
AT A 5、 B
T
， T B B
1
A T A
T
BT ；
A1 A 当 A, B 可逆时，有 B
一、行列式的概念
n 阶行列式 A 或 det A 是 n 阶矩阵 A [aij ] 按下述运算法则得到的一个算式： 当 n 1 时， A a11 a11 ； 当 n 2 时，
A a11 A11 a12 A12
这里 A1 j (1)
三、分块矩阵的求逆公式 当 A, B 可逆时，有
， 1 B B
A 1 A
1
B 1 ．
A 1 A C 0 B 0
四、重要结论
1
A1 A1CB 1 A 0 ， 1 1 B 1 C B B CA
(5) rank
A 0 0 rankA rankB ， rank 0 B B
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
线性代数--总复习
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
49页：10, 11, 12, 18
第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.
线性代数复习
线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。
初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。
初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。
初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。
A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。
|Q|=|A||B|。
0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。
|Q|=(-1)mn|A||B|。
B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。
C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。
向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。
②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。
③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。
线性代数复习课
(ii) 设 λi 为 A 的特征值，ηi (ηi ≠ 0) 为 A 属于 λi 的 特征向量，则 Aηi =λiηi；
n
n
∑ ∑ (iii)= A λ1λ2λn，tr= ( A) = aii λi；
=i 1=i 1
A= A* A= * A A E、A* = A n−1 、A* = A A−1
(3) r( A) 与 r( A* ) 的关系
n 当 r( A) = n； r( A* )= 1 当 r( A)= n − 1；
0 当 r( A) < n − 1.
6. 可逆矩阵 (1) 定义； (2) 矩阵可逆的等价命题；
(i) 计算 A的全部特征值；
(ii) 对每一个不同的特征值 λi，求出属于 λi 的线性
无关的特征向量 (即求出齐次线性方程组
(λi E − A)X = 0 的一个基础解系)；
λ1
(iii)令 U
(η= 1 η2 ηn )，则 U −1 AU
λ2
.
λn
A 属于不同特征值的特征向量必线性无关.
(1) 化三角形法 (行列式的性质)； (2) 行列式按行、列展开定理及推论； *(3) 数学归纳法.
*3. 克莱姆法则
二、线性方程组 1. n 维向量 (1)向量定义及运算 (加法、数量乘法、内积)； (2)向量组线性组合、线性表出及等价 (判定定理)； (3)向量组线性相关及线性无关 (判定定理)； (4)向量组的秩及极大线性无关组；
n 阶矩阵 A 可逆 ⇔ A ≠ 0 ⇔ 存在 n 阶矩阵 B 使= AB E (= 或 BA E) ⇔ r( A) = n ⇔ A的行 (列)向量组线性无关 ⇔ A的标准形为En ⇔ A的所有特征值均大于0
线性代数-要点考点复习
六、行列式的计算
1.基本计算方法 (1)化三角形法 (2)展开法(降阶法)
展开前尽量化 0 按特殊的一行、列展开 按0多的一行、列展开
2.常见行列式的计算方法
(1)各行(列)和相等
b a"a
a b"a
# #%#
a a"b
a1 + b a2 " an
a1 a2 + b " an
#
#%#
a1
a2 " an + b
2.向量的长度及其性质 向量的单位化 (标准化 ) 3.向量的正交 (1)夹角 (2)正交 (3)求与一个或几个向量均 正交的向量 解齐次方程组 由部分特征向量求实对 称矩阵的其余特征向量
(4)正交向量组与标准正交 向量组
4.施密特正交化方法
向量组的正交化
向量组的标准正交化
六、正交矩阵
1.定义 AT A = I
QT AQ = Λ QT AkQ = Λk Ak = QΛkQT
( ) AX = 0与 AT A X = 0同解 : ( ) AX = 0 ⇒ AT A X = AT ( AX ) = 0 ( ) ( ) AT A X = 0 ⇒ XT AT A X = 0
⇒ ( AX )T ( AX ) = 0
⇒ AX = 0
第一章 行列式
复习要点 :
一、排列及其逆序
τ (i1"in ) = a,
τ
(in " i1 )
=
n(n − 2
1)
a.
二、2、3阶行列式的对角线原理
三、行列式的定义
D
=| aij
|=
p1
∑
p2"
线性代数期末复习
二、相似矩阵 1、相似矩阵的定义与性质。 、相似矩阵的定义与性质。 性质 2、区分矩阵相似、矩阵等价（P.54 定义 1. 15） 、矩阵合 、区分矩阵相似、矩阵等价（ 等价 ） 同的概念。 同的概念。
三、矩阵的对角化 1、矩阵可以对角化的判定（定理 4 . 9 及其推论 、 、矩阵可以对角化的判定（ 判定 定理 4 . 10 ） 。 2、当矩阵 A 可以对角化时，求出可逆矩阵 P、对角矩阵 、 可以对角化时， 、 Λ，使 P −1 A P = Λ 。 进而， 可以对角化时， 进而，当矩阵 A 可以对角化时，r ( A ) = 矩阵 A 的非零特 征值的个数。 征值的个数。 3、实对称矩阵 A 的对角化：求出正交矩阵 Q、对角矩阵 、实对称矩阵 对角化： 、 Λ ， 使 Q− 1 A Q = Λ 。 4、当矩阵 A 可以对角化时，利用矩阵 A 的特征值和特征 、 可以对角化时， 向量， 向量，求出矩阵 A 以及 A k 。
9、练习1. 6 的 3、求解下列矩阵方程： 、练习 求解下列矩阵方程：
2 1 0 5 1 1 （3*）X 1 1 2 = 0 0 − 6 3*） 1 2 5 1 0 − 1
0 0 1 （ − 1 2 − 1 ）、 0 2 − 1
16、习题二的 8 ： 、 考题有时会更难； 注：① 考题有时会更难； ② 题中方程组的两个解 γ1 ，γ2 可能会以另一种形式给 出： 设 4 × 3 矩阵 A 分块为 A = ( α1 ，α2 ，α3 ) ，其中 α i ∈ R4 ，i = 1，2，3，− α1 + α2 = β ，α1 + α3 = β ，且线性 ， ， ， 方程组 A x = β 满足 r ( A ) = r (A ) = 2 ，试求出该方程组 的全部解。 的全部解。 17、习题二的 10 ； 、 18、习题二的 12 。 、
线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
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可以表示为两个初等
矩阵P与Q的乘积，求P与Q。
6、设线性方程组
x1 x 2 x 3 0 x1 2 x 2 ax 3 0 2 x1 4 x 2 a x 3 0
与方程
x1 2 x 2 x 3 a 1
有公共解，求a的值及所有公
共解。 7、设n阶方阵A可逆，n维列向量b0，向量组b,Ab 线性无关，而向量组b，Ab，A2b线性相关。证明： 线性方程组Ax=b的唯一解x*可由向量组b，Ab线性 表示。 8、设向量组(I) 1 , 2 , , r 可由向量组（II） 线性表示，当r与s的大小满足___时， 向量组（I）必线性相关。
例7 设A是3阶方阵，rankA=1, det(A+3E)=0,问A 是否可对角化?说明理由.
例8 证明：若n阶方阵A满足A2=A,则
rank(A-E)+rankA=n，且A可对角化。 例9 设A为n阶方阵，证明：
n rankA n * rankA 1 rankA n 1 0 rankA n 1
1 A 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
（1）求A的特征值与特征向量； （2）求矩阵A。
四. 应用
1. 线性方程组Ax=b有解rank(A b)=rankA； 当rank(A b)=rankA<n, 有无穷多解； 当rank(A b)=rankA=n, 有唯一解； 2. 求An； 3. 二次曲面xTAx=1 为椭球面 A是正定矩阵.
例1 设A是n阶方阵，x 是n维列向量，若存在一正整数 k使得 Ak-1x0，Akx=0，证明 向量组x, Ax, ,Ak-1x 线性无关. 例2 设A是三阶方阵，1,2是A的两个互异特征值，x1 与x2是对应的特征向量，又Ax3= x2+ 2 x3, 证明向量组 x1, x2, x3线性无关。
线性代数复习
一. 行列式
1. 定义
aij (1)
( p1 , pn )
a1 p1 a2 p2 anpn
2. 性质
ri r j （1）detA=detAT, (2)若 A B, 则 det A det B
kri （3）若 A B, 则 det B k det A
例3 设向量空间
V={(x1,x2,xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0}, 则dimV=_______ 例4 设A,B分别是mn与np 矩阵，且AB=0，证明 rankA+rankBn
例5 设矩阵A,B 都是n阶方阵，证明：若 rankA+rankB<n, 则Ax=0与Bx=0必有公共非零解。 例6 若方阵A,B满足 A-B=AB， 证明: 1不是B的特征值（B-E可逆）； 例7 设正交矩阵A的行列式detA=-1，证明：-1是A 的特征值.
例3 已知3阶方阵A的行列式det(A)=2, 求det(A-1-2A*)
例4 求例1中的第一行代数余子式之和.
二.矩阵 1. 矩阵的定义
2. 矩阵的运算
3. 矩阵的初等变换及初等矩阵(E(i,j),E(i(k),E(i,j(k)))
矩阵的等价变换（矩阵的秩）
4. 矩阵的相似变换(特征值，特征向量，对角化，
A 2 1 b a a ,x 1 3 2
是A的伴随
矩阵A*的一个特征向量，求a，b的值。
11、设3阶实对称矩阵A的特征值1=1，2=2，3=-2，
1=(1,-1,1)T是A的属于1的一个特征向量。记
B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵。验证1是矩阵B的 特征向量，并求矩阵B的全部特征值的特征向量。 12、A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
4、设
A 0 1
1
1
1
1 a 0 ,b 1 . 1
已知线性方程组
Ax=b存在两个不同的解。
（1）求，a；（2）求方程组Ax=b的通解。
0 A 0 1 0 1 0 1 0 2
5、已知矩阵
1、设 若f(x)有n+1个不同的根，那么f(x)是零多项式。
3 A 0 0 0 3 0 1 0 3
f x c 0 c1 x c n x 用线性方程组理论证明：
n
2、设
求Ak.
3、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0,则有 (a)E-A不可逆， E+A不可逆； (b) E-A不可逆， E+A可逆；(c) E-A可逆， E+A可逆； (d) E-A可逆， E+A不可逆；
三.向量空间
1. 定义 2.向量组的线性关性 线性相关一个向量可由其余向量线性表示； 矩阵的秩小于向量的个数. 向量组(I)可由向量组(II)线性表示(I)秩≦ (II)秩 3. 基（标准正交基）与坐标 4. 基变换与坐标变换 5. 向量空间 V={xAx=0}或V=L(1,2,,n)
（4）
a i1 c i1
a in c in
ain
ain ci1
（5）
A B, 则 det A det B
ri kr j
（6）若A，B是n阶方阵，则det(AB)=det(A)det(B)
（7）若A是n阶方阵，det(kA)=kndet(A)
3. 按一行（列）展开
ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn= det A (i j )
0 (i j )
4. 算法 （1）每行（列）和相等的行列式；
（2）箭形行列式；
（3）三对角行列式；
（4）范德蒙行列式；
（5）块上（下）三角行列式；
（6）升阶法；
（7）数学归纳法(证明).
例1
0 a12 , Dn b a1n a
a12 0 a2 n
a1n a2 n ( n为奇数)
0
例2 已知3阶方阵A=(a1,a2,a3), det(A)=2, 3阶方阵
B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3), 求det(B).
注：利用矩阵运算；
实对称矩阵正交相似对角阵)
5. 矩阵的合同变换(二次型，正交变换化二次型为 标 准形，正定二次型，正定矩阵）
例1 22方阵X 满足 AXB=2AX+C, 其中A, B, C是
已知二阶方阵，求X; (A+E)-1(A2-2A+3E)
例2 三阶方阵P,A, A=(a1,a2,a3), 如果
AP=(2a1,a1+a2,a3-a1) ,则P=______
a Dn x x x a x
a1 Dn1
x x a
a1 a2
a1 b1 , Dn a1 a1
a2 a2 b2 a2
an an an bn
a2 an an 1
1
1
1
a Dn b
b a
例3 设A是mn的矩阵，且m>n，则det(AAT)=___
例4 设A 是列满秩矩阵，证明:det(ATA)>0
例5 设A是实对称矩阵，证明：对于x0,都有 xTAx/xTxmax (A) 例6 求f=x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz在满足x2+y2+z2=1的条 件下的最大值与最小值。
1 , 2 , , s
9、设A为mn矩阵，B为nm矩阵，E为m阶单位矩 阵。若AB=E,则_____.
（a）rankA=m，rankB=m； （b）rankA=m， rankB=n ； （c）rankA=n，rankB=m ；（d）rankA=n， rankB=m 2 1 2 1 10、已知方阵