控制系统中连续域—离散化设计 非常全

图5-7 向前差分矩形积分法
s与z之间的变换关系
z1 1z1 s T Tz1
z 1Ts
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2.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定[改进方法是 适当减少采样周期T ]。
z1Ts 平移放大关系
j
[S] s z 1
T
-1/T
o
Im [Z]
1
K P [ e ( k ) e ( k 1 ) ] K I e ( k ) K D [ e ( k ) 2 e ( k 1 ) e ( k 2 ) ]
算法优点： （1）较为安全。因为一旦计算机出现故障，输出控制指令 为零时，执行机构的位置（如阀门的开度）仍可保持前一步 的位置，不会给被控对象带来较大的扰动。 （2）计算时不需进行累加，仅需最近几次误差的采样值。
D(s)U E((ss))Kp1T1IsTDs
离散化 t k T (k 0 ,1 ,2 ,L ) e(t)e(kT)
k
k
e(t)dt e(jT)TT e(jT)
de(t)e(kT)e[(k1)T]j0Biblioteka j0dtT
kT均用k简化表示 u (k)K p { e(k) T T I jk 0e(j) T T D [e(k) e(k 1 )]}
k
K pe(k)K I e(j)K D [e(k)e(k1)]
j0
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2．PID的增量式算法
k 1
u (k 1 ) K p e (k 1 ) K I e (j) K D [e (k 1 ) e (k 2 )] j 0
仅对应执行机构（如阀门）位置的改变量
u (k)u (k) u (k 1 )
用一阶向后差分替换
u (k T ) u [(k 1 ) T ] T e (k T )
做z变换，得 U (z)z1U (z)TE(z)
比较
D (z) U (z)/E (z) T /(1 z 1 )
s与z之间的变换关系
图5-3向后差分(矩形积分)法
s(1z1)/T
z 1 1 sT
5
1. 一阶向后差分法
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5.2 数字PID控制器设计
• 根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D) 进行控制(简称PID控制)，是控制系统中 应用最为广泛的一种控制规律。
• 优点：
– 原理简单 – 通用性强
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5.2.1 数字PID基本算法
1．模拟PID控制算法的离散化
模拟PID控制器的基本规律：
1t
u(t)K p[e(t)T I 0e(t)d t T D d e(t)/d t]
t
u(t) 0 e(t)dt
实质：将梯形面积 u(k)u(k1)T[e(k)e(k1)]
近似代替积分
2
进行z变换，得
U (z)z 1 U (z)T[E (z)z 1E (z)] 2
D(z)
U(z) E(z)
T (1z1) 2
1z1
2
1 (z1)
比较
T (z1)
s与z之间的变换关系
图5-9 梯形积分法
z域角频率为D
s域角频率
s 2 ( z 1) T ( z 1)
z
1 1
T
2 T
2
s s
1
T 2
1 T2
j j
T
2
T
2
sj
z
2
1 1
T 2 T 2
2 2
T 2 T 2
2 2
j AT 21 1 e e jj D D T TT 2e ejj D D T T//2 2 e e jj D D T T//2 2 图5-10 双线性变换映射关系
s 2 ( z 1) T ( z 1)
1 T s z 2
1 T s 2
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3.双线性变换法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
– 当=0（s平面虚轴)映射为z平面 的单位圆周。
– 当> 0（s右半平面），映射到z 平面单位圆外 。
– 当< 0（s左半平面），映射到z 平面单位圆内 。
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。
④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
D(s)s0D(z)z1
(3) 应用
由于这种变换的映射关
系畸变严重，变换精度较低。
所以，工程应用受到限制，
用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
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2. 一阶向前差分法
(2)主要特性
z 1 11(1Ts) 1Ts 2 2(1Ts)
① s平面与z平面映射关系
sj
– 当=0 （s平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为该小圆的圆周。
– 当> 0（s右半平面），映射到z 平面为上述小圆的外部。
– 当< 0（s左半平面），映射到z 平面为上述小圆的内部。
z12 1(1T)2(T)2 2 4(1T)2(T)2
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4. 修正双线性变换
解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变 ”问题的方法。
(1)离散化方法
D(z) D(s)
s
1
z1
tan(1T/2) z1
1是设计者选定的
特征角频率
依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修 正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。
(2) 主要特性
– 该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特 性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在处连续频率特性与离 散后频率特性相等，即满足
主要问题：执行机构的实际位置也就是控制指令全量的累 加需要用计算机外的其他的硬件(如步进电机)实现。
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图5-21 PID计算机控制系统
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5.2.2 数字PID控制算法改进
1. 抗积分饱和算法
(1)积分饱和的原因及影响
– 因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有很 大，超出D/A转换器所能表示的数值范围。这时的执 行机构已到极限位置，仍不能消除偏差，且由于积分 作用，尽管计算PID差分方程式所得的运算结果继续 增大或减小，但执行机构已无相应的动作，这就称为 积分饱和。
D(s)
注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持
器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行
z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。
(1) ② 一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）
由于和零阶保持器z变换法类似的原因，这种方法应用得较少。
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5.1 连续域—离散化设计 5.2 数字PID控制器设计 5.3 控制系统z平面设计性能指标要求 5.4 z平面根轨迹设计 5.5 w’变换及频率域设计
T 22 2jcso isn(( D D T T//2 2))jT 2tan2 D T
A
2 T
tanDT
2
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3.双线性变换法
(2)主要特性 ③频率畸变：双线性变换的一对一映
射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变。
A
2 T
tanDT
2
当采样频率较高 D T 足够小
A
2DT
n
m
特点：
– 零、极点分别按 z esT 匹配
– 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子
– 确定D(z)的增益k1的方法： • 按右式来匹配
D(s)s0D(z)z1
• 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
D(s)sD(z)z1
• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即
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6. 其他离散方法
(1) z变换法（脉冲响应不变法） D(z)ZD(s)
这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同，但由 于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生 频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。
(2) 带保持器的z变换 ①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
D(z) Z1essT
– 当控制量达到饱和后，闭环控制系统相当于被断开。
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小信号控制下， 积分器没有饱和的 响应曲线。
控制饱和值不变， 但系统给定值加大， 使控制作用出现饱和 时的仿真曲线
在同样给定值时， 控制作用没有饱和限 制时的仿真曲线。
• 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法(脉冲响应不变法)
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1. 一阶向后差分法
(1)离散化公式
D(z) D(s) s1z1 T
D (s) U (s)/E (s) 1 /s
du(t)/dte(t)
实质：将连续域中的微分 d u ( t) /d t [ u ( k T ) u [ ( k 1 ) T ] ] /T
(1)离散化公式 D(z) D(s) sz1 T
D (s) U (s)/E (s) 1 /s
du(t)/dte(t)
实质：将连续域中的微分 d u ( t) /d t { u [ ( k 1 ) T ] u ( k T ) } /T 用一阶向前差分替换
做z变换，得 E (z)(z 1 )U (z)/T D ( z ) U ( z )/E ( z ) T /( z 1 ) 比较
第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。
第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。
第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；否则，重新进行设计。