线性控制系统运动分析
[计算机软件及应用]2 线性系统运动分析
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1 0 2t e 0
1 1 2 1 0 2
1 (1 e 2t ) 2 e 2t
方法三
由于
s sI A 0 0 0 s 0 1 s 2 0
1 1 1
0 1 2
0 1 2
方法四：化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法) 利用凯莱-哈密尔顿定理，化为A的有限项，然后 通过求待定时间函数获得的方法。 必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。 设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特 内插公式，通过求解行列式 1 e
2.1 状态方程的齐次解 所谓系统的自由解,是指系统输入为零时,由初始 状态X(0)引起的自由运动.即零输入响应.
x(t ) Ax(t )
若
x(t 0 ) x 0
则
x(t ) (t; t 0 , x 0 ,0) e A(t t 0 ) , t t 0
x(0) x 0 若 则 x(t ) (t;0, x 0 ,0) e At , t 0 证明: 当 x(0) x 0 时,对矩阵方程进行拉氏变换,得
方法一：直接计算法(矩阵指数函数)
e
At
A2t 2 A3 t 3 I At 2! 3!
1 k k A t k 0 k!
(2.9)
可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说， 这个无穷级数都是收敛的。
方法二：对角线标准形与Jordan标准形法 1)若可将矩阵A变换为对角线标准形，
s sI A 0
( sI A)1
(t ) e At L1[(sI A) 1 ]
线性系统理论3线性系统的运动分析
THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
第三章线性系统的运动分析
Chapter 3 Analysis of Linear System3.1 INTRODUCTION运动分析的数学实质：从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
(Solving the time-invariant state equation)3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION系统响应=系统的零输入响应+系统的零状态响应System response=a term consisting of the transition of the initial state +a term arising from the input vector零输入响应：自由运动，由系统矩阵决定，不受外输入影响。
零状态响应：强迫运动，响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
01!k k ∞−+=∑0k k b t ∞=+=∑2012Ab Ab t Ab t +=+++b k 0)b +Equating the coefficients of the equal powers of t, we obtain By substituting this assumed solution in to Equation (1)解的说明：1.零输入响应是状态空间中由初始状态经线性变换矩阵所导出的一个变换点。
2.自由运动3.自由运动的轨迹由唯一决定。
4.当自由运动轨迹趋于平衡状态时，则系统是渐近稳定的。
At e0x Ate 0=x若初始时间取为t 0≠0则0)(,)(0t t x e t x t t A ou ≥=−00)(x t x =01!k k ∞−+=∑+232322332323332)()2!3!F F I Ft t t F t A t A Ft AF t F t ++++++0+=0,1,2,))AtAt Ae A e A ++=+=利用性质+λ)neλ)n t0000i i λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦12)l J t J tJ t e e 0i i t t e e e λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为有表达式⎰⎰≥−+=+=−t A Att t A At t d t Bu e x e d Bu e x e t x 000)(00,)(,)()(ττττττ⎰≥+=−−t t t A t t A t t d Bu e x e t x 000)(0)(,)()(τττ对初始时刻t 0=0 情形有表达式注意：物理意义解的讨论:(1)卷积特征；(2)零初始响应的几何特征；(3)可达性；(4)任意时刻的表达式00≥,=)(),(+=t t x t x t Bu Ax x3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵State-Transition Matrix设连续时间线性时不变系统，状态方程为：as To verify this, note thatWe thus confirm that Equation (2) is the solution of Equation (1))2()0()()(x t t x Φ=where )(Φt is n n ⨯Matrix and is the unique solution of)0()0()0()0(x x x =Φ=Ate t =)(Φ)(=)0()(Φ=)0()(Φ=)(t Ax x t A x t t xI t A t =)0(Φ)(Φ=)(Φ )1(=Ax x and状态转移矩阵的形式为()()()0000,0000t t e t t t t e t t t t A At ≥=−Φ≠≥=Φ=−时，时，基于状态转移矩阵的系统响应表达式()()()()()()()()()⎰⎰−Φ+−Φ=≥−Φ=−Φ=tt t t ox ou d Bu t x t t t x t t d Bu t t x x t t t x 0000000ττττττ。
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
线性系统分析
=
bnsn +bn−1sn−1 +......+b1s +b0 sn +an−1sn−1 +......+a1s +a0
( ) ( ) ( ) = bn +
bn−1 − bnan−1 sn−1 + ......+ b1 − bna1 s + sn + an−1sn−1 + ......+ a1s + a0
⎥ ⎥ ⎥
− a2 L− an−1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎢
xn−1
⎥ ⎥
⎣xn ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎢0⎥⎥ ⎢M⎥u ⎢0⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
[ ] y = β0
β1
L
β n−1
⎢ ⎢
x
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
+
bn u
⎢⎥
⎣xn ⎦
u
1
bn x’n 1/s xn
βn-1 1/s xn-1
M
βn = b0 − β an−1 n−1 − β an−2 n−2 −La1β1 −a0β0
0 L 0]x + bnu
复习其证明 （p35-38）
18
9
线性系统理论1
3 Jordan标准型实现——并联分解（p39结论2.3）
1) N(s)/D(s)只含单实数极点
⎧x& = Ax + Bu ⎩⎨y = Cx + Du
8
4
线性系统理论1
7) 结构图——积分环节、比例环节、比较环节组成。
线性控制理论总复习(2012)
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理
第二章 线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为： 写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则 由待定系数法，得： 考虑到初始条件： 最后得：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AX t kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab kb Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为： 若初始条件为： 可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即： 两边拉氏变换：可见状态转移矩阵： 证明：由于：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX Xt === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。
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e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
x(t)
eAt x(0)
t 0
2e(t ) 2e(t )
e2(t ) 2e2(t )
e (t e (t
) )
e2(t ) 2e2(t
)
101(
)d
2-4 线性定常系统的强迫运动
更一般的形式:
x(t) eAt x(0) t eA(t )Bu( )d 0
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
t t0
初始状态的转移项
控制输入作用下的受控项
x(0) 0 零状态响应
受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的轨线满足期望要求的可能性 分析系统结构特性 对系统进行综合的基本依据
系统状态方程为
2-4 线性定常系统的强迫运动
例2-3
x&1 x&2
0 2
1 3
x1 x2
0
1
u
t 0
解：
x(0)
0 1
, u(t)
1(t )
试求方程的解
x(t) eAt x0
t eA(t ) Bu( )d
0
根据例2-1和例2-2的结果，初始条件 x0 x(0)
e At
2et 2et
x(t)
e At
x(0)
t 0
2e(t )
2e(t
)
e2(t ) 2e2(t
)
e (t e (t
) )
e2(t ) 2e2(t
)
101(
)d
2et e2t x(t) 2et 2e2t
et et
e2t 2e2t
0 1
1
2
et 1 e2t 2
et e2t
et et
由 x& Ax Bu得 x& Ax Bu
对上式从0到t进行积分
t d (eA x( ))d t eA Bu( )d
0 d
0
可以得到
eAt x(t) x(0)I t eA Bu( )d 0
等式两端左乘 eAt
x(t) eAt x(0) t eA(t )Bu( )d 0
命题得证
2-4 线性定常系统的强迫运动
x(t) eA(tt0 ) x0
2-4 线性定常系统的强迫运动
e (tt0 )[cos
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0)]x1(t0)
e (tt0 )
sin
1 2
1 2 (t t0 )x2 (t0 )
e (tt0 )[cos
1 2 (t t0 )
则:
x&1 x2
x&2
x1
2
x2
即:
x&1 x&2
0 1
1 x1
2
x2
2-4 线性定常系统的强迫运动
2 根据定理求解
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
eAt L1[(sI A)1]
t t0
A
0 1
1
2
(sI A)1 1 (sI A)*
sin 1 2
1
2
(t
t0
)]x2
(t0
)
e (tt0 )
sin
1 2
1
2
(t
t0
)
x1
(t0
)
3 写出方程的解
2-4 线性定常系统的强迫运动
x1 z, x2 z& x&1
z(t) x1(t) e (tt0 )[cos
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0 )]z(t0 )
线性定常系统状态方程
x& Ax Bu
x(t0 ) x0
t t0
给定初始变量的初值x(0)和控制输入u(t)，则系统的状态响应为：
x(t) eAt x0
t eA(t ) Bu( )d
0
t 0
将 x(t ) 左乘 e At 之后再求导
证明
d [e At x(t)] e At [x&(t) Ax(t)] e At Bu(t) dt
x1
2
x2
u(t
)
eA(tt0 ) L1[(sI A)1]
e
(
t
t0
)
[cos
1 2 (t t0 )
e (t t0 )
sin
1 2
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0 )]
e (t t0 ) sin
e (t t0 )
sin
1 2
1 2 (t t0 )z&(t0 )
以上是无控制输入的情况,当引入控制输入时,可参考上述 过程进行求解
2-4 线性定常系统的强迫运动
d 2z 2 dz z u(t), 求z
dt
dt
1 化为状态方程,令
x1 z, x2 z& x&1
则:
x&1 x2
x&2
sI A
s
1 s 2 1
1
1
s
1 s 2
s2
1
2 s
1
s
2
1
s 2
1 s
s2
2 s
1
1
s2 2 s 1
1
s2 2 s 1
s
s2 2 s 1
eA(tt0 ) L1[(sI A)1]
e (tt0 )[cos 1 2 (t t0 )
e (t t0 )
sin
1 2
e2t 2e2t
1
2
et 1 e2t 2
et 2t
1
2
1 e2t 2 e2t
例2-4
2-4 线性定常系统的强迫运动
用状态转移矩阵求解下列二阶微分方程
d 2z 2 dz z 0, 求z
dt
dt
解：
先转换为状态方程,再用定理求解
1 化为状态方程,令
x1 z, x2 z& x&1
第二章 线性控制系统的运动分析
➢ 2-1 概 述 ➢ 2-2 线性定常系统的自由运动
➢ 2-3 矩阵指数 eAt 的计算方法
➢ 2-4 线性定常系统的强迫运动 ➢ 2-5 离散系统的状态空间描述 ➢ 2-6 线性离散系统的运动分析 ➢ 2-7 线性连续系统的离散化
2-4 线性定常系统的强迫运动
2-4 线性定常系统的强迫运动
自由运动 线性定常系统在没有外加输入作用下，即 u 0
由初始条件引起的运动
零输入响应
齐次状态方程（自由运动）
x& Ax
A Rnn
自由运动的解可表示为：
x(t) (t t0 ) x(t0 ) 状态转移矩阵
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
矩阵指数
2-4 线性定常系统的强迫运动
受控运动 线性定常系统在控制作用作用下的运动，即 u 0
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0 )]
e (t t0 ) sin
1 2
1 2 (t t0 )
e (tt0 )[cos 1 2 (t t0 )
sin 1 2
1 2 (t t0 )]
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
0
t t0