线性系统理论线性系统的运动分析
合集下载
线性系统的运动分析第二章PPT课件
t0)
x(t)(t)x(0) 则有： x(t)(tt0)x(t0)
线性定常系统的状态转移矩阵
9
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： (t0t0)I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： (tt0)A (tt0)
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
即 A d I ： e A ) 0 ti ( ( i I A ) p i 0 p i T e A
24
（2）当A具有n重特征根 i ：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit
eAtTeAtT1
T
0
0
teit
1 tn1eit (n1)!
T1
teit
0
eit
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
故上式成立，意为 t 0 至 t 2 的状态转移过程可分解为t 0 至 t 1
及 t 1 至 t 2 的分段转移过程。
11
3、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1和t2为两个独立 自变量，则有：
e e e A(t1t2)
A1t A2t
4、可逆性： e At 总是非奇异的，必有逆存在，且：(eAt)1 eAt
23
（1）当A的特征值 1,2,,n为两两相异时：对角线标准型
e1t eAtTeAtT1 T
0
0 T1
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 p i ，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏反变换法 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿定理
线性系统理论3线性系统的运动分析
THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
2线性系统运动分析
二 运动分析的目的：是要提示系统状态的运动规律和基本特性。 运动分析分为： 定量分析：对系统的运动规律进行精确研究，即定量地 确定系统由外部激励作用所引起的响应。
{
定性分析：着重对决定系统行为和综合系统结构具有重 要意义的几个关键性质，如能控性、能观测 性和稳定性等进行定性研究。
2.1 引言
一 运动分析的数学实质 分析系统运动的目的：就是从其数学模型出发，来定量地和精确地定出系统运 动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。 线性系统状态方程
时变: 时不变 :
& = A(t)x + B(t)u x & = Ax + Bu x
[t0 , tα ]
x(t0 ) = x0
t ∈[t0 tα ] t ≥0
(1) (2)
x(0) = x0
从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u，来求解方程（1） 和（2）的解，即系统响应。 二 解的存在性和唯一条件 如果系统A(t)、B(t)的所有元在时间定义区间[ t 0 , t α]上均为 t 的实值连续函 数，而输入u(t)的元在时间定义区间[ t 0 , t α ]上是连续实函数，则其状态方程 的解x(t)存在且唯一。 在数学上可表为
1
(1)
式中: α 0 (t ),α1 (t ),L,α n−1 (t )称为待定系数, 是时间t的函数.(1)式称为e At的
−1
M α ( ) t n−1
=
2
L L 2 n −1 1 λn λn L λn
M λnt e
e λ2 t
0 T −1 O λn t e
性质10
若A经过非奇异变换后, 变为约当标准形J , 即 : 0 λ1 1 λ O 1 T −1 AT = J = O 1 0 λ 1 n×n 式中λ1为A的n重特征值, T为变换阵
线性系统理论(第三章)线性系统的运动分析
00
eAt x(t) x(0) t eAτ Bu(τ) d τ 0
两边同乘 eAt，并且移项
x(t) eAt x(0) eAt t eAτ Bu(τ) d τ 0
eAt x(0) t eA(tτ) Bu(τ) d τ 0
eAt x(0) t eAτ Bu(t τ) d τ 0
e λ2t
2!
而
0
e
λnt
A PΛP1
因此，状态转移矩阵为
eAt ePΛP-1t I PΛP-1t 1 PΛP-1 2 t 2 2!
PP-1
P
Λt
P -1
P
1 2!
Λ2t
2
P -1
P
I
Λt
1 2!
Λ2t
2
P
-1
P eΛt
P-1
例 线性定常系统的齐次状态方程为 用特征值法，计算其状态转移矩阵
2t et e2t 2t et 2 et 2 e2t
2t et 4 et 4 e2t
3t et 2 et 2 e2t 3t et 5 et 4 e2t 3t et 8 et 8 e2t
t et et e2t
t
et
2
et
2
e
2t
t et 3et 4 e2t
4、非齐次状态方程的解
x b0 b1t b2t 2 b3t3 bkt k
x b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1 A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A
2b0
而
b0 x(0)
线性系统理论(第2章)2[1].1
![线性系统理论(第2章)2[1].1](https://img.taocdn.com/s3/m/21fd85f8700abb68a882fb01.png)
2、对于线性定常系统情况
系数矩阵 A 和 B 均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件 满足，解存在且唯一。
3
2010-10-08
三、零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理。 即线性系统在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两 个单独的分运动： 初始状态作用 → 自由运动 输入向量作用 → 强迫运动
Φ ( t ) = e A(t) , t 0 Φ (t t0 ) = e A(t t0 ) , t t0
则系统零输入响应可表达式为：
φ(t;0, x0 ,0) = Φ(t) x0 , t 0 φ (t; t0 , x0 ,0) = Φ(t t0) x0 , t t0
物理意义： Φ(t t0 ) 就是将时刻 t 0 之状态 x0 映射到时刻 t 之状态 x 的一个线性变换。
12 22
1n 1 e t 2n 1 e t
1 2
n2
n 1 n t n e
④ 对给定 n n 常阵 A ，先求出预解矩阵：
(sI - A)-1
则有
e At = L-1 (sI - A)-1
二、零状态响应
给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程：
& = Ax + Bu, x (0) = 0, t 0 x
其中，x 为 n 维状态向量，u为p 维输入向量，A和B 分别为 n ×n 和 n × p 常阵。
8
2010-10-08
结论 2 ： 零状态响应的表达式为：
(t;0,0, u) = e A(t ) Bu( )d ,
第2 章
线性系统的运动分析
2.1 引言
一、运动分析的实质
线性系统理论全讲课文档
若表征系统的数学描述为L
系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统
x t A tx t B tu t
yt C txt D tu t
x Rn, u R p, y Rq
第十三页，共309页。
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运
动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、
L(R1 R2)
(R1RR1RR122)CuiLc
(R1
1 RR2 2)Ce
L(R1 R2)
L(R1 R2) e(t )
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc iL
R1R2R2
e
x1 x2
(R1
1
R2)C R1
L(R1 R2)
线性系统理论全PPT课件
第一页，共309页。
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分
线性系统的复第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第二页，共309页。
第一章 绪论
(R1RR1RR122)Cxx12
线性系统的运动分析
1
1
结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获 得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数 较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍 要借助计算机来计算。
跳转
0 1 [例2.2] 已知系统矩阵 A 2 3 ，试用拉普拉斯变换 ( t ) 法求系统状态转移矩阵 。
Φ(t ) e
At
1 2 2 1 i i I At At At 2! i!
① 证：
Φ(0) I
1 2 1 i Φ(0) I A.0 A .0 A .0 2! i! I
(t ) AΦ(t ) Φ(t )A ② Φ 证： 下式逐项对t求导
1 1 1 2 n T 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1
(t ) e At I (TAT 1 ) t
1 1 (TAT 1 )2t 2 (TAT 1 )it i 2! i! 1 1 I (T A T 1 ) t (T A 2 T 1 ) t 2 (T A i T 1 ) ti 2! i! 1 1 T(I At A2t 2 A it i )T 1 2! i! Te A t T 1 Te
2
3
结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机 求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。
2 3 1 t t 7 2t 3t 2 t 3 3
（2）状态转移矩阵的计算 2.普拉斯变换法
(t ) e
At
L [(sI A) ]
[例2.2]
Φ 1 (t ) Φ(t )
⑤ 证明：
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 线性系统的运动分析
3.1 运动分析的含义
分析系统运动的目的:揭示系统状态运动规律和基本性质。
定量分析： 从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的 变化规律,，以为系统的实际运动过程做出估计.（一般 研究系统在外部激励作用下的响应）
定性分析： 对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的关键
t0 ,t
At
说明： 系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
系统状态转移矩阵只取决于系统矩阵A(t) ！！！
t,t0 I
t A d
t0
t
t0 A 1
A 1
t0
2
d 2d1
命题3.2.2
设 (t, t0 )为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，且系统
x&
A(t ) x
B(t )u,
x(t0 )
x0 ,
t
t0 ,
ta
y C(t)x D(t)u
★系统状态全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
3.3.1 线性时变系统的零输入响应
定理3.3.1（零输入响应求解）
1(t, t0 ) (t0 , t)
(3.2.9) (3.2.10)
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
4.导数性质
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
(3.2.11)
对任意t0和t,
d dt
1
t,
t0
d dt
t0
,
t
3.2.2 状态转移矩阵的定义
定义3.2.1
设1(t), 2(t),L n(t)是齐次方程：
x&(t) A(t)x(t) 的一组线性独立的解，那么矩阵
(t) 1(t) 2(t)L n(t)
称为齐次方程的基本解阵。
(3.2.5)
性质Ⅰ
如果 (t) 满足方程
&(t) A(t) (t)
t t0
[bik
(t)]2
dt
,
i 1, 2,L n, k 1, 2L r
(3.1.4)
③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
t t0
[uk
(t )]2
dt
,
k 1, 2L r
(3.1.5)
条件②③可一步合并为要求B(t) u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。
x& A(t)x, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.7)
其解（零输入响应）： (t, t0 , x0 , 0)
●强迫运动 系统的强迫方程：
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) 0， t [t0, t ]
其解（零状态响应）： (t, t0 , 0, u)
设时变线性系统(3.3.1)满足解的存在唯一性条件，
(t, t0 ) 为系统的状态转移矩阵,则
定量分析：按照给定的初始状态x0和外部输入作用u，求解方程的解
系统的解（运动形态）主要由系统的结构和参数决定。
只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.
如果系统矩阵A(t), B(t)的所有元在时间定义区间[t0, tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。
x&(t) A(t)x(t)
满足解的存在唯一性条件，则
(t, t0 )与方程 x&(t) A(t)x(t) 的基本解阵的选取无关。
而是由下述矩阵微分方程惟一决定
&(t
,
t0
)
A(t ) (t, t0 )
(t0 , t0 ) In
(3.2.12)
3.3 线性时变系统的运动分析
性质（稳定性、能观性和能控性等）进行研究。
3.1.1 问题的提出及其解的存在惟一性
解的存在性和唯一性条件 ：
设系统状态方程
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
或
x& Ax Bu, x(0) x0， t 0
(3.1.2)
(3.1.8)
★系统全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
(3.1.9)
3.2 状态转移矩阵及其性质
3.2.1 线性齐次方程的解空间
系统的自由方程（齐次方程）：
x& A(t)x
(3.2.1)
定理3.2.1 齐次方程的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。
从数学观点，上述条件可减弱为：
引理 3.1.1：
线性时变系统(3.1.1)对于任何x(0)有解且解为唯一的充分必要条件：
①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0 | aij (t) | dt ,
i, j 1,2, n
(3.1.3)
②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
(3.2.6)
且对某个t0 , (t0 )非奇异，那么 (t)必为方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵。
性质Ⅱ
对任意 t ，基本解阵 (t) 都是非奇异的。
定义3.2.2 (系统的状态转移矩阵) 令 (t)是方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵，则矩阵
(t, t0 ) (t) 1(t0 ), t t0
称为系统的状态转移矩阵。
说明：
系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
(3.2.8)
3.2.3 状态转移矩阵的性质
命题3.2.1
(t, t0 ) 为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，
则它具有下述性质：
1.自反性： 对任意t,有
(t,t) In 2.反身性： 对任意t0和t,有
3.1.2 线性系统响应的特点
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
◆零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理
在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两个单独的分运动。
初始状态 自由运动 输入作用 强迫运动
●自由运动 系统的自治方程：
3.1 运动分析的含义
分析系统运动的目的:揭示系统状态运动规律和基本性质。
定量分析： 从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的 变化规律,，以为系统的实际运动过程做出估计.（一般 研究系统在外部激励作用下的响应）
定性分析： 对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的关键
t0 ,t
At
说明： 系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
系统状态转移矩阵只取决于系统矩阵A(t) ！！！
t,t0 I
t A d
t0
t
t0 A 1
A 1
t0
2
d 2d1
命题3.2.2
设 (t, t0 )为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，且系统
x&
A(t ) x
B(t )u,
x(t0 )
x0 ,
t
t0 ,
ta
y C(t)x D(t)u
★系统状态全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
3.3.1 线性时变系统的零输入响应
定理3.3.1（零输入响应求解）
1(t, t0 ) (t0 , t)
(3.2.9) (3.2.10)
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
4.导数性质
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
(3.2.11)
对任意t0和t,
d dt
1
t,
t0
d dt
t0
,
t
3.2.2 状态转移矩阵的定义
定义3.2.1
设1(t), 2(t),L n(t)是齐次方程：
x&(t) A(t)x(t) 的一组线性独立的解，那么矩阵
(t) 1(t) 2(t)L n(t)
称为齐次方程的基本解阵。
(3.2.5)
性质Ⅰ
如果 (t) 满足方程
&(t) A(t) (t)
t t0
[bik
(t)]2
dt
,
i 1, 2,L n, k 1, 2L r
(3.1.4)
③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
t t0
[uk
(t )]2
dt
,
k 1, 2L r
(3.1.5)
条件②③可一步合并为要求B(t) u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。
x& A(t)x, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.7)
其解（零输入响应）： (t, t0 , x0 , 0)
●强迫运动 系统的强迫方程：
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) 0， t [t0, t ]
其解（零状态响应）： (t, t0 , 0, u)
设时变线性系统(3.3.1)满足解的存在唯一性条件，
(t, t0 ) 为系统的状态转移矩阵,则
定量分析：按照给定的初始状态x0和外部输入作用u，求解方程的解
系统的解（运动形态）主要由系统的结构和参数决定。
只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.
如果系统矩阵A(t), B(t)的所有元在时间定义区间[t0, tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。
x&(t) A(t)x(t)
满足解的存在唯一性条件，则
(t, t0 )与方程 x&(t) A(t)x(t) 的基本解阵的选取无关。
而是由下述矩阵微分方程惟一决定
&(t
,
t0
)
A(t ) (t, t0 )
(t0 , t0 ) In
(3.2.12)
3.3 线性时变系统的运动分析
性质（稳定性、能观性和能控性等）进行研究。
3.1.1 问题的提出及其解的存在惟一性
解的存在性和唯一性条件 ：
设系统状态方程
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
或
x& Ax Bu, x(0) x0， t 0
(3.1.2)
(3.1.8)
★系统全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
(3.1.9)
3.2 状态转移矩阵及其性质
3.2.1 线性齐次方程的解空间
系统的自由方程（齐次方程）：
x& A(t)x
(3.2.1)
定理3.2.1 齐次方程的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。
从数学观点，上述条件可减弱为：
引理 3.1.1：
线性时变系统(3.1.1)对于任何x(0)有解且解为唯一的充分必要条件：
①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0 | aij (t) | dt ,
i, j 1,2, n
(3.1.3)
②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
(3.2.6)
且对某个t0 , (t0 )非奇异，那么 (t)必为方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵。
性质Ⅱ
对任意 t ，基本解阵 (t) 都是非奇异的。
定义3.2.2 (系统的状态转移矩阵) 令 (t)是方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵，则矩阵
(t, t0 ) (t) 1(t0 ), t t0
称为系统的状态转移矩阵。
说明：
系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
(3.2.8)
3.2.3 状态转移矩阵的性质
命题3.2.1
(t, t0 ) 为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，
则它具有下述性质：
1.自反性： 对任意t,有
(t,t) In 2.反身性： 对任意t0和t,有
3.1.2 线性系统响应的特点
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
◆零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理
在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两个单独的分运动。
初始状态 自由运动 输入作用 强迫运动
●自由运动 系统的自治方程：