第六节 泰勒公式与泰勒级数
10(6)泰勒级数
∴ (1 + x ) s′( x ) α (α 1) 2 α 2 (α 1)(α n + 1) n1 x ++ x + = α + α 2x +
= α s( x )
2! n!
s ′( x ) α , 且 s(0) = 1. ∴ = s( x ) 1 + x
20
泰勒级数
两边积分 得
∫0
x
x α s ′( x ) dx = ∫ dx , 0 1+ x s( x )
解 ∵ f ( n ) ( x ) = α (α 1)(α n + 1)(1 + x )α n ,
f ( n ) (0) = α (α 1)(α n + 1), ( n = 0,1,2,)
1 + αx +
α (α 1)
2!
x ++
2
α (α 1)(α n + 1)
n!
xn +
a n +1 α n = ∵ lim =1 n→ ∞ a n+1 n
3
泰勒级数
回顾
泰勒公式: 泰勒公式
若函数f 在 若函数 (x)在x0
的某邻域内有 阶导数, 可表为: 的某邻域内有n+1阶导数 则 f (x)可表为 阶导数 可表为
f ′′( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) (1) ( x x0 )n + Rn ( x ) + + n! f ( n +1) (ξ ) ( x x0 ) n +1 , ξ 介于 与x0之间 介于x与 之间. 其中 Rn ( x ) =
7-6-8 泰勒公式与泰勒级数
当
a 1 1 a 0 a 1
收敛域 = (-1,1)
收敛域 = (-1,1]
收敛域 = [-1,1]
第7章 无穷级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
特别的,
1 2 3 n n (1 x ) 1 x x x ... ( 1) x ... ( 1 x 1) 1 x
arctan x
x
0
1 dt 2 1 t
1 2 3 n n 1 x x x ... (1) x ... ( 1 x 1) 1 x 1 2 4 6 n 1 2( n 1) 1 x x x ... (1) x ... 2 1 x 2 n 1 x x 1 n 1 2( n 1) n x dt (1) arctan x dt (1) t 2 0 0 1 t 2n 1 n 0 n 0 2 n 1 1 3 1 5 n 1 x x x x ... (1) ... (1 x 1) 3 5 2n 1
f ( x ) (cos x ) sin x sin x ;
3 f ( x ) ( sin x ) cos x sin x ; 2
f (4) ( x ) ( cos x ) sin x sin x 2 ;
7.6 泰勒公式与泰勒级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
第7章 无穷级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
主要教学内容
(1) 泰勒公式与泰勒级数；(2) 函数的幂级数展开
教学目的及要求:
理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间 接法
重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数 难点: 函数的幂级数展开 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时
第六节泰勒公式与泰勒级数
第六节泰勒公式与泰勒级数泰勒公式和泰勒级数是微积分中重要的概念，它们被广泛应用于函数的近似计算和函数的性质研究。
本文将详细介绍泰勒公式与泰勒级数的概念、定义以及它们的应用。
一、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近用多项式逼近的公式。
它基于以下的泰勒定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，且x=c是区间[a,b]上的一点，那么对于该函数，存在一个n次多项式P(x)，使得对于[a,b]上的任意x，有以下的公式成立：f(x)=P(x)+R_n(x)其中，P(x)是f(x)在x=c处的n次泰勒多项式，R_n(x)是一个余项。
在泰勒公式中，多项式P(x)称为函数f(x)的n次泰勒多项式，它的表达式为：P(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+...+f^n(c)(x-c)^n/n!其中f^(k)(c)表示函数f(x)在x=c处的k阶导数。
泰勒公式的重要性在于它将复杂的函数逼近为简单的多项式，从而方便了函数的计算和分析。
二、泰勒级数泰勒级数是泰勒公式的一种特殊形式，它是将泰勒多项式的所有项展开为无穷级数的形式。
具体而言，对于函数f(x)，如果它的任意阶导数都存在，并且在其中一点c处的n次泰勒多项式P(x)收敛到f(x)，则函数f(x)在x=c处的泰勒级数表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+...+f^n(c)(x-c)^n/n!+...对于泰勒级数，需要注意的是它可能只在一些区间内收敛，而在其他地方发散。
所以在应用泰勒级数进行近似计算时，需要注意选取合适的展开点。
泰勒级数的应用非常广泛，它可以用来近似计算复杂函数的值，在数学、物理、工程等领域都有重要的作用。
例如，在计算机图形学中，泰勒级数被用来逼近函数以实现图像的平滑和变形；在自然科学中，泰勒级数被用来描述物理量的变化规律，如波动现象等。
泰勒级数课件
e , 例如 f ( x ) 0,
1 x2
x0 x0
(n)
在x=0点任意可导, 且 f
(0) 0 ( n 0,1,2,)
f ( x )的麦氏级数为 0 x n
n 0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x ) 的麦氏级数处处不收敛 f ( x ). 于
例5 将函数
1 (1) n x n ( 1 x 1 ) 解: f ( x) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
如果函数 f ( x )
a n ( x x0 ) n ， 即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 )
n
易得a0 f ( x0 ),
逐项求导任意次,得
f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
令 S n 1 ( x)
k 0
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x ( x0 )
二、函数展开成幂级数
x
例8 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰摘要：泰勒公式及泰勒级数在数学分析中有着很大的作用，是重要的数学工具。
除了我们熟悉的应用方面外，在其他问题解决中也有妙用。
本文举例介绍了泰勒公式及泰勒级数在求极限、求高阶导数值、判定级数和广义积分的敛散性、函数的不等式证明和近似计算中的应用等问题。
这对学生解决问题的能力及综合运用知识的能力有着很好的指导作用。
可以开阔学生的解题思路，提高学生的分析问题的能力。
关键词：泰勒公式泰勒级数应用The Application of a T aylor Formula and T aylor SeriesAbstract: Taylor formula and Taylor series have many important applications in mathematical analysis . This paper gives some examples to show several applications which include limit and differential coefficient calculation,judgement of convergence and divergence of progression and improper integral, proving variable function equation and so on. It is an important guide for us to exploit students’ thinking to study problems, to improve students’ ability in analyzing and solving problems.Key words: Taylor formula Taylor series application0引言泰勒公式和泰勒级数是极重要的数学工具。
第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开PPT课件
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解： cos z eiz eiz 2
又，
eiz (iz)n , eiz (iz)n
n0 n!
n0 n!
故
cos z
1 2
(iz)n
n0
n!
(iz)n n!
+
f (z) =
f (n)(a) (z a)n
n0 n!
证明：B(a, d )表示以a为圆心，d为半径的圆，B(a, d ) D. 对z B(a, d )，取r 使得 z - a r d，显然有， f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
1 关于 一致收敛
=======
n0 2 i
Kr
(
f ( )
a)n1
(z
a)n d
=
n0
1
2
i
Kr
(
f ( )
a)n1
d
( z
a)n
=
f (n)(a)(z a)n
n0 n!
证毕
上式右端的级数称为f (z)在点a 的Taylor级数，或
Taylor展开式。cn
f (n) (a) 称为Taylor系数。 n!
+
f (x) =
f (n)(a) ( x a)n
n0 n!
在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式
的收敛区间。
注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛 散情况。
几个基本的展开式:
(1) e x xn 1 x x2 x3
第六节-泰勒公式与泰勒级数
§7.6 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x 很小时，1xe x ≈+，设()xf x e =，1()1P x x =+，则11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====若将21222()()1,(0)(0)1,()2x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即212!nxx x e x n ≈++++.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-，再令)()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,若 ()()00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.（(0)(0)00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则)(!10)(x f k a k k =（n k ,,1,0 =），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-.证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-,10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… ,()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,那么 ()()00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!10)(x f k a k k =, n k ,,1,0 =.一、泰勒（Taylor ）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出()200()()(),,2!f R x x x x x ξξ''=-∈.如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去20()x x -的高阶无穷小量，此时有 200020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-，其中012,,,a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''==== 于是()P x 可以写成200000()()()()()()2!P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +- 若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以做出一个n 次多项式200000()()()()()()2!n P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +-()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定. 设10()()(1)!n n kR x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定了.【定理7.14】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为()()()n n f x P x R x =+)())((!1))(()(00)(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-++-'+= . 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与x 之间. 证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+为求出k 的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=------()11()()()!(1)!n n n k f t x t x t n n +----+显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >），在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点0(,)x x ξ∈，使得()0ϕξ'=，因为()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ϕ''''''=------2()[()()()]2!f t x t f t x t '''''----(4)32()()[()()]3!2!f t f t x t x t '''----- (1)()(1)()()[()()]()!(1)!!n n nn n f t f t k x t x t x t n n n +-----+--化简整理得 (1)()()[()]!nn x t t k f t n ϕ+-'=- 所以(1)()[()]0!nn x k f n ξξ+--=，而 ()0n x ξ-≠ 由 (1)(1)()0()n n k fk f ξξ++-=⇒=，于是 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n '''=+++++其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+ 或令,01x ξθθ=<<，则 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0 =.那么)()()()()()()()()()()()(0101110010x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n n n n nn n n n n n '-''-'=''=--=-+ξξξξ )!1()()()()()()1(1)1(1)1(22+===''''=+++++n f G R G R n n n n n n n n n ξξξξξ , 其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξ ，所以10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于0x 与x 之间. 例1 求xe xf =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x k e x f=)()(,1)0(0)(==e f k ,1,,1,0+=n k ，那么1)1()()!1()()0(!1)0()0()(++++++'+==n n nn xx n x f x f n x f f x f e θ1 2)!1(!1!211+++++++=n xn x n e x n x x θ ,10<<θ.例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式.解 因)2sin()()(πk x x f k +=, )2sin()0()(πk f k =.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====-0)0()2(=k f ,(21)(0)(1)k k f +=-,0,1,2k =，那么 sin ()x f x =(21)()211()(0)(0)(0)!(21)!n n n n f x f f x f x x n n θ++'=+++++35212()3!5!(21)!n n x x x x R x n -=-+-++-,(或21()n R x +都可以)其中：212sin[(21)]2()(21)!n n x n R x x n πθ+++=+,10<<θ. 特别地：1n =时，x x ≈sin , !3||||32x R ≤；2n =时，!3sin 3x x x -≈, !5||||54x R ≤；3n =时，!5!3sin 53x x x x +-≈, !6||||66x R ≤. 例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.解 324(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-=244(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-= (5)(4)24,()0,()0n f f x R x '''===,所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有1,(1)1n n x x x ∞==<-∑收敛域 )11()1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x nx x n n n .问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有nn nx x a x f )()(0-=∑∞=？(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数? 3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,则在),(0δx U 内n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ⇔0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ.证明 由于 ()000()()()()()()!n nn n n n n f x f x x x R x P x R x n ==-+=+∑. 所以等式两边取极限 ()000()()()lim ()!n n n n n f x f x x x P x n ∞→∞==-=∑⇔lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞→∞=-=, ),(0δx U x ∈.4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式⇔)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞→x R n n .注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数()0()!n f x n （0,1,2,n =）是唯一的.2）n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级 数，等式nn nx x a x f )()(0-=∑∞=在0)(lim =∞→x R n n 时成立，称为函数的Taylor 展式.5．泰勒级数与麦克劳林级数设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称 (1)n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为)(x f 在点0x 的泰勒级数, 记作 n n n x x n x f x f )(!)(~)(000)(-∑∞=.(2)nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数, 记作 nn n x n f x f ∑∞=0)(!)0(~)(. )0(0=x 注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=在收敛区间内是否收敛于)(x f ？ 例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 在0=x 点任意可导,且,1,0,0)0()(==n f n ,于是~)(x f =∑∞=nn n x n f 0)(!)0(000=⋅∑∞=n nx,+∞<<∞-x显然≠)(x f 0!)0(0)(=∑∞=nn n x n f , 0≠x . 结论：当级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=收敛于)(x f 时，即 0)(lim =∞→x R n n 时有泰勒展式.小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+其中余项为, ξ介于0x 与x 之间公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ，其系数()0()!n n f x a n =为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且lim ()0n n R x →∞=.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.。
泰勒公式与泰勒级数的比较教学
公式 （ １ ） 通常被称为泰勒公式 ， 并频繁地被用 于各种数 学证明． 我们 记 Ｒ （ ）＝ ＿ 厂 （ ）一 （ ） ， 称 之为 泰勒公 式 的
医学 、 数学等诸多 领域 的教学 ． 本 文将 运用 比较 教学 法 ， 探
讨泰 勒公 式和泰勒级数的异同点及其作用． 众所周知 ， 泰勒公式 和泰勒级数均 为古老 的数学命 题 ， 它们 首次被杰出的英 国数学家 Ｂ ｒ ｏ ｏ ｋ Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 所提 出并命 名． 它们 在近似计 算以及 函数性 质研究 等方 面发 挥着 极其
重要 的作 用． 我们 注意 到对二 者 的应 用 已经远 远超 出了其 初衷 ， 换言之 ， 它们 不仅 仅作 为工具 应 用于 数学 领域 ， 它们 更加被广 泛地应 用 于 某些 应 用型 学 科 ， 譬 如力 学 、 分 析 化 学、 计算物理等等． 因此 ， 它们都 被作 为大 学生 在学 习专 业
定理．
知识之前 的先修 内容而 出现在 “ 高等 数学 ” 中， 特别 是对 主
攻科 学与工程 计算的学生尤为重要 ． 然而 遗憾 的是 ， 由于大 学新生们 知识 相对 匮缺 、 经验不 足 ， 他们 在学 习过程 中很难 辨别二者 的细微差异 ， 从 而不 能方便 地应 用这 两个 重要 工 具． 在学习这些 内容 时 ， 大学 生们 面临 如下 实际 问题 ： 泰 勒 公式与泰勒级数 的区别 与联 系是什 么？它们在未 来 的学习 中到底有何作用或 者应 用？ 本文结构安排如下 ． 下节 ， 我 们详细讨论 以上 提 出的两 个问题 ， 具 体地 讲 ， 我们将通过分 析它们各 自的定 义来 明确 二者 的差异并指 出它们 的作 用与在各方 面的应 用． 最后， 我 们给 出一些相关结论 ， 并希望对学生有所启发与 帮助 ．
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§ 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：O 、近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x 很小时，1xe x ≈+，设()xf x e =，1()1P x x =+，则11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====若将21222()()1,(0)(0)1,()2x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即212!nxx x e x n ≈++++.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-，再令)()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,若 ()()00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.（(0)(0)00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则)(!10)(x f k a k k =（n k ,,1,0 =），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-.证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-,10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , ()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,那么 ()()00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!10)(x f k a k k =, n k ,,1,0 =.一、泰勒（Taylor ）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出()200()()(),,2!f R x x x x x ξξ''=-∈. 如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去20()x x -的高阶无穷小量，此时有 200020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-，其中012,,,a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''====于是()P x 可以写成200000()()()()()()2!P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +-若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以做出一个n 次多项式200000()()()()()()2!n P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +-()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定.设10()()(1)!n n kR x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定了.【定理】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为()()()n n f x P x R x =+)())((!1))(()(00)(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-++-'+= . 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与x 之间.证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+ ()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+为求出k 的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=------()11()()()!(1)!n n n k f t x t x t n n +----+显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >），在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点0(,)x x ξ∈，使得()0ϕξ'=，因为()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ϕ''''''=------2()[()()()]2!f t x t f t x t '''''----(4)32()()[()()]3!2!f t f t x t x t '''----- (1)()(1)()()[()()]()!(1)!!n n nn n f t f t k x t x t x t n n n +-----+--化简整理得 (1)()()[()]!nn x t t k f t n ϕ+-'=- 所以(1)()[()]0!nn x k f n ξξ+--=，而 ()0n x ξ-≠ 由 (1)(1)()0()n n k fk f ξξ++-=⇒=，于是 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n '''=+++++其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+ 或令,01x ξθθ=<<，则 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+ 另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0 =.那么)()()()()()()()()()()()(010*******x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n n n nnn n n n n n '-''-'=''=--=-+ξξξξ )!1()()()()()()1(1)1(1)1(22+===''''=+++++n f G R G R n n n n n n n n n ξξξξξ , 其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξ ，所以10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于0x 与x 之间. 例1 求xe xf =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x k e x f=)()(,1)0(0)(==e f k ,1,,1,0+=n k ，那么1)1()()!1()()0(!1)0()0()(++++++'+==n n nn xx n x f x f n x f f x f e θ1 2)!1(!1!211+++++++=n xn x n e x n x x θ ,10<<θ.例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式. 解 因)2sin()()(πk x x f k +=, )2sin()0()(πkf k =.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====-0)0()2(=k f ,(21)(0)(1)k kf +=-,0,1,2k =，那么sin ()x f x =(21)()211()(0)(0)(0)!(21)!n n n n f x f f x f x x n n θ++'=+++++35212()3!5!(21)!n n x x x x R x n -=-+-++-,(或21()n R x +都可以) 其中：212sin[(21)]2()(21)!n n x n R x x n πθ+++=+,10<<θ.特别地：1n =时，x x ≈sin , !3||||32x R ≤；2n =时，!3sin 3x x x -≈, !5||||54x R ≤；3n =时，!5!3sin 53x x x x +-≈, !6||||66x R ≤. 例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.解 324(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-=244(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-= (5)(4)24,()0,()0n f f x R x '''===,所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件2.问题：已知函数有1,(1)1n n x x x ∞==<-∑收敛域 )11()1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x nx x n n n .问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有nn nx x a x f )()(0-=∑∞=(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定 (3) 展开式是否唯一(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数 3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,则在),(0δx U 内n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ⇔0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ.证明 由于 ()000()()()()()()!n nn n n n n f x f x x x R x P x R x n ==-+=+∑. 所以等式两边取极限 ()000()()()lim ()!n n n n n f x f x x x P x n ∞→∞==-=∑⇔lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞→∞=-=, ),(0δx U x ∈.4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式⇔)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞→x R n n .注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数()0()!n f x n （0,1,2,n =）是唯一的.2）n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级 数，等式nn nx x a x f )()(0-=∑∞=在0)(lim =∞→x R n n 时成立，称为函数的Taylor 展式.5．泰勒级数与麦克劳林级数设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称 (1)n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为)(x f 在点0x 的泰勒级数, 记作 n n n x x n x f x f )(!)(~)(000)(-∑∞=. (2)nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数, 记作 nn n x n f x f ∑∞=0)(!)0(~)(. )0(0=x 注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么 级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=在收敛区间内是否收敛于)(x f 例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 在0=x 点任意可导,且,1,0,0)0()(==n f n ,于是~)(x f =∑∞=nn n x n f 0)(!)0(000=⋅∑∞=n nx,+∞<<∞-x显然≠)(x f 0!)0(0)(=∑∞=nn n x n f , 0≠x .结论：当级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=收敛于)(x f 时，即 0)(lim =∞→x R n n 时有泰勒展式.小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+其中余项为, ξ介于0x 与x 之间公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n n n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞= ，其系数()0()!n n f x a n =为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且lim ()0n n R x →∞=.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.。