2019-2020学年上海市复旦附中高二(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海市复旦附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知正三角形ABC 的边长为2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则( )A. |a ⃗ +b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b ⃗ =1D. (4a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ 2. 已知直线y =2x 上一点P 的横坐标为a ，有两个点A(−1,1)，B(3,3)，那么使向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为钝角的一个充分不必要条件是( )A. −1<a <2B. 0<a <1C. −√22<a <√22D. 0<a <23. 已知a >0，且a ≠1，若a b >1，则( )A. ab >bB. ab <bC. a >bD. a <b4. 已知△ABC 中，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2.点P 为BC 边上的动点，则PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为( )A. 2B. −34C. −2D. −2512 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知向量a ⃗ =(1,−1),b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则x = ______ ．6. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是(1−11012)，则x +y =______ 7. 若行列式∣∣∣∣x −1−2∣∣∣a 301∣∣∣∣∣∣∣的展开式的绝对值小于6的解集为(−1,2)，则实数a 等于______． 8. 直线y =−x +2的倾斜角是_________．9. 已知矩阵A =(10−12)，B =(241−3)，则A +B = ______ ． 10. 直线2x +y =1与直线4x −ay −3=0平行，则a = ______ ．11. 直线x −y +m =0与圆x 2+y 2−4x +2y =0的相切，则m = ______ ．12. 过点A(0,3)，被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3的直线方程是__________．13. 若P(x,y)满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，设A(3,−4)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为______． 14. 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l ：8x +6y =25反射后通过点P(−4,3)，则反射光线方程为______．15. 曲线C ：x =√−y 2−2y 与直线l ：x −y −m =0有两个交点，则实数m 的取值范围是______．16. 向量a ⃗ =(−1,1),b⃗ =(1,0)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥(2a ⃗ +λb ⃗ )，则λ=____________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．(1)求BC 边所在的直线的方程；(2)求△ABC 的面积．18.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=5，|a⃗+b⃗ |=√21，求：①a⃗⋅b⃗ ②(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+3b⃗ )19.已知定点A(−2,0)，点B是圆x2+y2−8x+12=0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．20.已知|a⃗=|√3，|b⃗ |=√5，|a⃗+b⃗ |=3√2．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)若(2a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+k b⃗ )，求k的值．21.下列各结论中：①抛物线y=14x2的焦点到直线y=x−1的距离为√2；②已知函数f(x)=xα的图象经过点(2,√22)，则f(4)的值等于12；③命题“存在x∈R，x2−x>0”的否定是“对于任意x∈R，x2−x<0．正确结论的序号是______ ．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查平面向量的模、向量的数量积以及向量垂直的判定，根据条件分别求出|a ⃗ +b ⃗ |，a ⃗ ⋅b ⃗ ，(4a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ 的值，即可得到答案，属于基础题．【解答】解：易得|a ⃗ +b ⃗ |=√3，a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，(4a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2⋅|2a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120∘+|b ⃗ |2=2×2×2×(−12)+4=0， 故选D ．2.答案：B解析：解：由题意知P(a,2a)，向量PA⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为钝角的充要条件是：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠−|PA|⋅|PB|，即(−1−a,1−2a)⋅(3−a,3−2a)<0，且(−1−a,1−2a)⋅(3−a,3−2a)≠−√(−1−a)2+(1−2a)2⋅√(3−a)2+(3−2a)2， 解得：0<a <1或1<a <2，故选B ．使向量PA⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为钝角的充要条件是：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠−|PA|⋅|PB|， 把2个向量的坐标代入、两点间的距离公式代入，由充要条件可得一个充分条件． 本题考查充要条件、充分条件的概念，关键是把条件进行等价转化．3.答案：A解析：解：当a ∈(0,1)时，若a b >1，则b <0，则a <b 不成立，当a ∈(1,+∞)时，若a b >1，则b >0，则ab <b 不成立，a >b 不一定成立，而两种情况，ab >b 一定成立．故选：A ．对a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四个不等式关系成立与否可得答案．本题考查了不等式的基本性质及指数函数的单调性等知识点，难度中档．4.答案：D解析：解：以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(−1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x,y)，由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，可得(x +1,y)⋅(2,0)=2x +2=−2，即x =−2，y ≠0，则PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−a,0)⋅(x −a −1−a +1−a,y +0+0)=(1−a)(x −3a)=(1−a)(−2−3a)=3a 2−a −2=3(a −16)2−2512， 当a =16时，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为−2512． 故选：D ．以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得B(−1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x,y)，运用向量的坐标表示，求得A 的轨迹，进而得到a 的二次函数，可得最小值．本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．5.答案：1解析：解：由题意可得a ⃗ ⋅b ⃗ =(1,−1)⋅(2,x)=2−x =1，解得x =1，故答案为1．由条件利用两个向量的数量积公式可得(1,−1)⋅(2,x)=2−x =1，由此解得x 的值．本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6.答案：5解析：解：由增广矩阵是(1−11012)，则二元一次方程组{x −y =10+y =2， 解得：x =3，y =2，∴x +y =5，故答案为：5．根据增广矩阵求得二元一次方程组，即可求得x 和y ，即可求得答案．本题考查二元一次方程组的增广矩阵的求法，考查转化思想，属于基础题．7.答案：4解析：解：∵行列式∣∣∣∣x −1−2∣∣∣a 301∣∣∣∣∣∣∣的展开式的绝对值小于6的解集为(−1,2)， ∴|ax −2|<6的解集为(−1,2)，∴−6<ax −2<6，即−4<ax <8解集为(−1,2)，解得a =4．故答案为：4．推导出|ax −2|<6的解集为(−1,2)，从而−4<ax <8解集为(−1,2)，由此能求出a 的值．本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：135°解析：【分析】本题考查了直线斜率与倾斜角之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设直线y =−x +2的倾斜角为α，α∈[0,π).可得tanα=−1，解得α即可得出．【解答】解：设直线y =−x +2的倾斜角为α，α∈[0,π)．∴tanα=−1，解得α=135°．故答案为135°．9.答案：(340−1解析：解：矩阵A =(10−12)，B =(241−3)， ∴A +B =(10−12+(241−3=(340−1． 故答案为：(340−1． 直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．本题考查矩阵的和的求法，是基础题．10.答案：−2解析：解：∵直线2x +y =1与直线4x −ay −3=0平行，∴42=−a 1≠−3−1，解得a =−2， 故答案为：−2．由平行关系可得42=−a 1≠−3−1，解方程可得．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．11.答案：−3±√10解析：解：圆x 2+y 2−4x +2y =0的圆心坐标为(2,−1)，半径为√5，因为直线x −y +m =0与圆x 2+y 2−4x +2y =0的相切， 所以√2=√5，所以m =−3±√10． 故答案为：−3±√10．利用直线x −y +m =0与圆x 2+y 2−4x +2y =0的相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求出m 的值．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，比较基础．12.答案：x =0或y =−43x +3解析：解：当直线的斜率不存在时，直线方程是x =0，截圆得到的弦长等于2√3，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y −3=k(x −0)，则由弦长公式得2√3=2√r 2−d 2=2√4−d 2，∴d =1．根据圆心(1,0)到直线的距离公式得d =1=2，∴k =−43，故直线方程为y =−43x +3．综上，满足条件的直线方程为x =0或y =−43x +3． 故答案为：x =0或y =−43x +3设出直线的斜率，由弦长公式求得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，求出斜率即得直线的方程．本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，弦长公式的应用．由弦长公式求出圆心到直线的距离是解题的关键，体现了分类讨论的数学思想． 13.答案：−15解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求z =3x −4y 的最小值即可．【解答】解：∵P(x,y)，A(3,−4)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )， 设z =3x −4y ，得y =34x −z4，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =34x −z 4，由平移可知当直线y =34x −z 4经过点B(1,1)时，直线y =34x −z 4的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入z =3x −4y =3−4=−1，则投影的最小值为−15．故答案为−15．14.答案：y =3解析：解：由条件根据反射定律可得点(−4,3)关于直线l 的对称点M(a,b)在入射光线所在的直线上．由{b−3a+4×(−43)=−18⋅a−42+6⋅b+32=25， 即3a {3a −4b +24=04a +3b −32=0， 解得{a =5625b =19225，即M(5625,19225)，x，则直线OM的方程为y=247,3)，联立直线8x+6y=25，可得交点为(78即有反射光线的方程为y=3故答案为：y=3．由条件根据反射定律可得点(−4,3)关于直线l的对称点M(a,b)在入射光线所在的直线上，利用垂直及中点在轴上这两个条件，即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，利用点关于某直线的对称，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，考查学生的运算能力．15.答案：[2,√2+1)解析：解：由x=√−y2−2y可知x≥0，得x2=−y2−2y，即x2+y2+2y=0，则x2+(y+1)2=1，作出曲线C：x=√−y2−2y的图象如图：当直线x−y−m=0经过点A(0,−2)时，直线直线和曲线有两个交点，此时2−m=0，解得m=2，当直线与曲线相切时，=1，圆心(0,−1)到直线x−y−m=0的距离d=√2即|m−1|=√2，解得m=√2+1或1−√2，直线x−y−m=0得方程为y=x−m，当−m<0时，m>0，即m=√2+1，此时直线和曲线只有一个交点，故满足条件的m的取值范围为[2,√2+1)，故答案为：[2,√2+1)作出曲线图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：3解析：【分析】本题考查了向量数量积的运算，考查了学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意知a⃗−b⃗ =(−2,1)，2a⃗+λb⃗ =(−2,2)+(λ,0)=(λ−2,2)．因为(a⃗−b⃗ )⊥(2a⃗+λb⃗ )，所以(a⃗−b⃗ )·(2a⃗+λb⃗ )=0，所以(−2,1)·(λ−2,2)=−2(λ−2)+2=0，解得λ=3．故答案为3．17.答案：解：(1)y =23x +3(2)A 到BC 的距离d =17√1313为17√1313，AB 长度为√52 故S =17．解析：(1)求出直线BC 的斜率，求出直线BC 的方程即可；(2)求出A 到BC 的距离d ，根据三角形的面积公式求出三角形的面积即可．本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积公式，是一道基础题．18.答案：解：①|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ +b ⃗ |2−|a ⃗ |2−|b ⃗ |22=21−16−252=−10．②(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +3b ⃗ )=2a ⃗ 2+5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=2|a ⃗ |2+5a ⃗ ⋅b ⃗ −3|b ⃗ |2=2×42+5×(−10)−3×52=−93．解析：①由题设条件，计算：①|a ⃗ +b ⃗ |2=|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=21将|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=5代入求得a ⃗ ⋅b ⃗ ；②由数量积的运算规则将(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +3b ⃗ )展开为2|a ⃗ |2+5a ⃗ ⋅b ⃗ −3|b ⃗ |2再将|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=5及a ⃗ ⋅b ⃗ 代入求值．本题考查平面向量数量积的运算，解题的关键是熟练掌握数量积的运算规则，及模的意义，考查利用向量的数量积运算求值的能力19.答案：解：设点M(x,y)，点B(x 0,y 0).因为M 为AB 的中点，所以x =x 0−22，y =y 0+02，所以x 0=2x +2，y 0=2y ．将点B(x 0,y 0)代入圆x 2+y 2−8x +12=0得(2x −2)2+4y 2=4，化简得(x −1)2+y 2=1． 即点M 的轨迹方程为(x −1)2+y 2=1．解析：本题考查与圆有关的轨迹方程的求法.用代入法解决即可．设点M(x,y)，点B(x 0,y 0).根据中点坐标公式解出x 0=2x +2，y 0=2y.代入圆的方程可得结果．20.答案：解：(1)∵，|a ⃗ +b ⃗ |=3√2.∴a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=18， ∴3+5+2a ⃗ ⋅b⃗ =18， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =5．(2)∵(2a ⃗ −b ⃗ )⊥(a ⃗ +k b ⃗ )，∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +k b ⃗ )=0，即2a ⃗ 2−k b ⃗ 2+(2k −1)a ⃗ ⋅b ⃗ =0， ∴6−5k +5(2k −1)=0，解得k =−15．解析：(1)对|a⃗+b⃗ |=3√2两边平方即可得出a⃗⋅b⃗ ；(2)令(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+k b⃗ )=0，解出k．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．21.答案：①②解析：解：①抛物线y=14x2的焦点为(0,1)，到直线y=x−1的距离为√2=√2，正确；②已知函数f(x)=xα的图象经过点(2,√22)，则2α=√22，∴α=−12，∴f(4)的值等于12，正确；③命题“存在x∈R，x2−x>0”的否定是“对于任意x∈R，x2−x≤0”，故不正确．故答案为：①②．①抛物线y=14x2的焦点为(0,1)，利用点到直线的距离公式，可求焦点到直线y=x−1的距离；②先求出α=−12，再计算f(4)的值；③命题“存在x∈R，x2−x>0”的否定是“对于任意x∈R，x2−x≤0”．本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点多，需要逐一判断，属于中档题．。
【100所名校】上海市复旦附中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题Word版含解析
上海市复旦附中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线的倾斜角是____________.2.若矩阵，，则__________．3.行列式的元素的代数余子式的值为，则______．4.已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________5.直线的一个单位方向向量．．．．．．是________.6.已知直线，若，则.7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.8.若，则实数t的取值范围是_____________.9.已知，则“”是“两直线与平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.10.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程．．．．．是____________.11.已知实数满足：，且其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.12.如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得则n的取值范围为( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}14.给出下列命题:①非零向量满足，则和的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC中，若，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 315.在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为，则取得最小值时，直线l的斜率（）A. 等于1B. 等于-1C. 等于D. 不存在16.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（）A. B. C. D.三、解答题（本大题共5题，共76分）17.已知，直线的方程为，直线的方程为.当m 变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标；（2）讨论直线和的位置关系.18.已知直线过点，且与轴、轴都交于正半轴，当直线与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求：（1）直线的方程；（2）直线l关于直线m:y=2x-1对称的直线方程.19.类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴的交点为，与轴正方向同向的单位向量分别是，且与的夹角为，其中。
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
绝密★启用前上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设,a b r 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若,a b a b a b ⊥+=-r r r r r r 则 C.若a b a b +=-r r r r ，则存在实数λ，使得a b λ=r r D.若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r【答案】C 【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-r r r r ，则2222a b ab a b a b r r r rr r r r ++=+-，得0ab a b =-≠r r r r ，则a b ⊥r r 不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠r r r r ，所以B 不正确．对于C a b a b +=-r rr r ，则2222a b ab a b a b r r r r r r r r ++=+-，得0ab a b =-≠r r r r ，则cos 1θ=-，则a r 与b r 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=rr，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=rr，则22,a b a a b a r r r r r r λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b r rr r ≠-，则a b a b +≠-r rr r ，所以D 不正确．故选C ．试卷第2页，总23页考点：平面向量的综合题2．设()12,A a a ，()12,B b b ，()12,C c c 点均非原点，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合，则OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，即()()()121212,,,c c x a a y b b =+， 即111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，则方程有解即可，不一定是唯一解，若111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，即OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合，即必要性成立，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r 的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合平面向量基本定理进行判断是解决本题的关键．3．已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；② 当0a >时，2+a b 有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ；正确的个数是（ ） A.1B.2C.3D.4…装…………○………__姓名：___________班级：_______…装…………○………【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()3450450a b -+++<，推出3450a b -+<，根据题意，作出不等式所表示的平面区域，分别由2+a b ，22a b +，11b a +-的几何意义，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧， 所以()()3450450a b -+++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时，3450a b -+<表示的平面区域如下： 令2t a b =+，则22a t b =-+，显然t 表示直线22a tb =-+在b 轴截距的2倍， 截距越大，t 越大；由图像可得，t 无最大值和最小值；故②错误. 设坐标原点到直线3450x y -+=的距离为d ，则1==d ，又22a b +表示3450-+<x y 对应的平面区域内的点与原点距离的平方， 因此221a b +>；故③正确；因为11b a +-表示345001a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应平面区域内的点(,)M a b 与定点(1,1)P -连线斜率，作出345001a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应的平面区域如下：试卷第4页，总23页○…………线…………○……○…………线…………○……由图像可得：5194104--<==--PM PA k k 或34>PM k ， 即11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ，故④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，会分析目标函数所表示的几何意义，作出不等式所表示平面区域，即可求解，属于常考题型.4．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =u u u r，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤uu u r ，6AP AB ⋅=uu u r uu u r，2AQ PA =u u u r u u u r ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A.36B.60C.72D.108【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，根据向量数量积的运算，得到动点P 的轨迹，求出AP 扫过的三角形的面积；再推出动点Q 轨迹，求出AQ 扫过的三角形的面积，进而可求出结果. 【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，所以(,)=AP x y uu u r ，(2,0)AB =u u u r，由||5AP ≤uu u r 得2225+≤x y ；又6AP AB ⋅=uu u r uu u r ，所以26x =，即3x =，………装…………○…………订…________姓名：___________班级：___________考号：………装…………○…………订…所以216≤y ，解得44y -≤≤；因此，动点P 在直线3x =且44y -≤≤上，即8=PC ，则AP 扫过的三角形的面积为：183122⨯⨯=； 设点00(,)Q x y ，因为2AQ PA =u u u r u u u r，所以00(,)2(,)=--x y x y ，所以026=-=-x x ，02=-y y ，因此，动点Q 在直线6x =-且088-≤≤y 上，所以16=QD ， 则AQ 扫过的三角形的面积为：1166482⨯⨯=； 所以动线段PQ 所形成图形的面积为124860+=. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，以及轨迹问题，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型.试卷第6页，总23页第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知向量(,1)a k=与(2,1)b k=+r垂直，则实数k=________.【答案】13-【解析】【分析】根据向量垂直，得到数量积为0，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量(,1)a k=r与(2,1)b k=+r垂直，所以21310⋅=++=+=r ra b k k k，解得13k=-.故答案为：13-【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 6．若矩阵()20210A x=，1By⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则AB=________.【答案】()2021【解析】【分析】根据矩阵乘积的概念，可直接得出结果.【详解】因为()20210A x=，1By⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，所以()()20211002021=⨯+⨯+⨯=AB x y.故答案为：()2021【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，熟记概念与运算法则即可，属于基础题型.7．行列式42354112k---的元素3-的代数余子式的值为10，则(,8)a k =r的模为________.【答案】10 【解析】 【分析】先由题意，结合代数余子式的概念，得到212(1)2(2)11012+-=-⨯-+⨯=-kk ，求出6k =，再由向量模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为行列式42354112k---的元素3-的代数余子式的值为10，所以212(1)2(2)141012+-=-⨯-+⨯=+=-kk k ，解得6k =，因此10===a r .故答案为：10 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记代数余子式的概念，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.8．若(2,1)n =r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角是________. 【答案】arctan 2π- 【解析】 【分析】先由题意求出直线斜率，再记l 的倾斜角为α，进而可求出结果. 【详解】因为(2,1)n =r是直线l 的一个法向量，所以直线l 的斜率为：2k =-，记l 的倾斜角为α，则tan 2α=-，则arctan 2απ-=. 故答案为：arctan 2π- 【点睛】本题主要考查由直线的法向量求直线倾斜角，熟记法向量的概念，以及斜率的定义即可，属于基础题型.试卷第8页，总23页9．关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则mn =________.【答案】1- 【解析】 【分析】先由题意得到31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解，求出11m n =-⎧⎨=⎩，进而可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解， 因此65312m n +=⎧⎨-=⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩，所以1mn =-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组，熟记线性方程组与矩阵之间关系即可，属于常考题型.10．若直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，则a 的值为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】由直线平行，得到(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，求解，即可得出结果.【详解】因为直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，所以有(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，即(3)(1)030a a a -+=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数的问题，熟记两直线平行的充要条件即可，属于常考题型.11．直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，且l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的直线l 共有________条. 【答案】6 【解析】 【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，分别讨论：截距相等（不为0），截距互为相反数，直线过原点，三种情况，根据直线与圆相切，列出等式，分别求解，即可得出结果.【详解】因为圆22(5)4x y -+=的圆心坐标为()5,0，半径2r = 由l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，（1）若截距相等（不为0），可设:l x y a +=，因为直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，2r ==，解得5a =?，此时直线有两条；（2）若截距互为相反数，可设:l x y a -=，2r ==，解得5a =?，此时直线有两条；（3）若直线过原点，可设：:0l kx y -=，2r ==，解得21k =?，此时直线有两条；综上，满足条件的直线共有6条. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查判断圆的切线条数，熟记点到直线距离公式，会用几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．直线l 过点(4,7)-， 且被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为8，则l 的方程试卷第10页，总23页为_____.【答案】4x=或4350x y ++= 【解析】 【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离；分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为圆22(1)(2)25x y -+-=的圆心坐标为(1,2)，半径=5r ，又直线l 被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为：3==d 当直线l 斜率不存在时，由l 过点(4,7)-，得:4l x =，满足题意；当直线l 斜率存在时，可设:(7)(4)l y k x --=-，即470kx y k ---=，3=1=，解得43k =-，因此4:(4)73l y x =---，即4350x y ++=. 故答案为：4x =或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程，熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.13．在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(A ，点(),P x y 的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 【答案】[]3,3- 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结外…………○……………线………学校内…………○……………线………果. 【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos OA AOP AOP AOP ∠=∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦cos AOP ⎡∴∠∈⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v 本题正确结果：[]3,3- 【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.14．如图，光线从(,0)P a (0)a >出发，经过直线:30l x y -=反射到(,0)Q b ，该光线又在Q 点被x 轴反射，若反射光线恰与直线l 平行，且13b >，则实数a 的取值范围是________.【答案】(5,)+∞ 【解析】 【分析】先记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ，由题意得到直线MQ 的斜率为：试卷第12页，总23页......外............○...※※......内............○ (1)3MQ k =-，与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-；设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式求出139PM k =，再由直线MQ 与直线l 联立求出点M 坐标，表示出PM k ，求出a b 、关系，进而可得出结果. 【详解】记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ， 由题意可得：直线MQ 的斜率为：13MQ k =-， 与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-；设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式可得：11MQ PM PM MQ k k k k k k k k --=+⋅+⋅，即133431133133PM PMk k -+--==-+⋅，解得139PM k =， 又直线MQ 的方程为：1()3y x b =--，由1()330y x b x y ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩解得,26b b M ⎛⎫⎪⎝⎭， 因此013692PMbk b a -==-，解得513a b =， 又13b >，所以5513a b =>. 故答案为：(5,)+∞【点睛】本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型. 15．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是________.【答案】6, 【解析】 【分析】先由题意，设cos x θ=、sin y θ=，得到2x y ≤+≤|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关得到6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩出结果. 【详解】因为实数x 、y 满足221x y +=，可设cosx θ=、siny θ=，则()2cos 2sinx y θθθϕ+=+=+，其中1tan 2ϕ=， 所以2x y +≤因为|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，所以只需|2||62|(2)(62)6x y a a x y x y a a x y +-++--=+-++--=，即6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩6a ≤≤故答案为：6, 【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，熟记圆的参数方程即可，属于常考题型. 16．已知(1,1)A a -，(1,1)B a +，若在曲线|||1|143x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=u u u r u u u r，则λ的取值范围是________.【答案】119{}(8,15)25U 【解析】 【分析】 先由|||1|143x a y --+=得24y -≤≤，设(,)P x y ，得到(1,1)PA a x y =---u u u r ，试卷第14页，总23页(1,1)PB a x y =+--u u u r ，进而得到222523119,21925252573119,1492525y y PA PB y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭⋅=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩u u u v u u u v ，令222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意得到，函数222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩与t λ=只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】由|||1|143x a y --+=得|1|13y -≤，解得24y -≤≤； 因为点P 在曲线|||1|143x a y --+=上，可设(,)P x y ，又(1,1)A a -，(1,1)B a +， 则(1,1)PA a x y =---u u u r ，(1,1)PB a x y =+--u u u r，所以()22221241()1(1)(1)19y PA PB a x y y --⋅=--+-=+--u u u r u u u r 2222523119,2125(1)96192525192573119,1492525y y y y y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪---⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩， 令222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为在曲线|||1|143x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=u u u r u u u r ， 则函数222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩与t λ=只需有两个交点； 作出函数大致图像如下：…………○…………线…………○……考号：___________…………○…………线…………○……由图像可得：11925λ=或815λ<<. 故答案为：119{}(8,15)25U 【点睛】本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型. 三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -. （1）求BC 边所在直线的点方向式方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=，且7ABC S =△，求点A 的坐标. 【答案】（1）2142x y --=-；（2）(3,0)-或(3,4). 【解析】 【分析】（1）根据题意求出直线的方向向量，进而可求出结果；（2）先由（1）得到直线BC 的一般式方程，根据题意求出中线AD 的方程，根据三角形面积求出三角形的高为：2△===ABC S h BC试卷第16页，总23页及直线AD 的方程，即可求出结果. 【详解】（1）因为(2,1)B 、(2,3)C -，所以BC 边所在直线的方向向量为：(4,2)=-u u u rBC ，因此，BC 边所在直线的点方向式方程为：2142x y --=-； （2）由（1）得，直线BC 的一般式方程为：240x y +-=； 因为D 点为(2,1)B 、(2,3)C -的中点，则(0,2)D ，由中线AD 的方程为230x y c -+=，所以6c =，因此2360-+=m n 又==BC 7ABC S =△， 所以三角形的高为：2△===ABC S h BC 即点(,)A m n 到直线BC =所以211+=m n 或23+=-m n ， 由2112360m n m n +=⎧⎨-+=⎩得34m n =⎧⎨=⎩；由232360m n m n +=-⎧⎨-+=⎩得3m n =-⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(3,4)或(3,0)-. 【点睛】本题主要考查求直线的方程，以及由直线方程求点的坐标问题，熟记直线方程的几种形式，以及两直线交点坐标的求法即可，属于常考题型.18．已知()()4,3,23261.a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r（1）求向量a r 与b r的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-r r r，且0b c r r ⋅=，求t 及c r .【答案】(1)23π. (2) 35T =,c =v 【解析】分析：（1）要求向量a r 与b r的夹角θ，根据夹角公式应先求cos a b a b θ⋅=⋅rr r 。
复旦附中高二期中考试(2020.05)
复旦附中高二期中数学试卷2020.05一. 填空题1. 若31010x C C =（x *∈N ），则x 的值为2. 已知平面α的一个法向量为(1,2,2)n =r ，(2,1,0)AB =-uu u r，则直线AB 与平面α的位置关系为3. 若6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=4. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的点估计值是5. 已知球O 的半径R ，A 、B 是球面上两点，若线段AB 的长为R ，则A 、B 两点间的球 面距离为6. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有 种（用数字作答）第7题 第8题 第9题8. 微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120 个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步，于是，他做了个统计， 作表如下，则这天大家平均步数为 万步9. 如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成角的大小为10. 盒子里有2020个质地均匀的小球，2019个黑球，1个白球，每次从中随机取一个球， 然后放回一个黑球，则第m （m *∈R ）次恰好取到黑球的概率为11. 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的序号为① 点F 的轨迹是一条线段 ② 1A F 与BE 是异面直线 ③ 1A F 与1D E 不可能平行 ④ 三棱锥1F ABD -的体积为定值12. 已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于 点S ，交PA 、PB 的延长线于M 、N两点，则111PS PM PN++的取值范围为二. 选择题13. 已知l 是平面α的一条斜线，直线m α⊄，则（ ） A. 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ B. 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ C. 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m D. 存在无限多条直线m ，使得l ∥m14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过A 、E 、1C 的平面截去 该正方体的下半部分，则剩余几何体的主视图是（ ）A. B. C. D.15. 一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取两个，则概率为1102264264230C C C C C ⋅+⋅的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个红球 D. 至多有一个白球 16. 如果空间三条直线a 、b 、c 两两成异面直线，那么与a 、b 、c 都相交的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 多于1的有限条 D. 无穷多条三. 解答题17. 已知二项式31()2nx x+（n *∈N ）的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128. （1）求31()nx x+（n *∈N ）的展开式中的常数项； （2）在232(1)(1)(1)(1)n x x x x +++++++⋅⋅⋅++的展开式中，求3x 项的系数. （结果用数字作答）18. 已知圆柱1OO ，底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示，将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转2π后，边11B C 与曲线Γ相交于点P . （1）求曲线Γ的长度；（2）求点1C 到平面APB 的距离.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，△ACD 是边长为2的等边三角形，且2AB BC ==，2PA =，点M 是棱PC 上的动点. （1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）当线段BM 最小时，求直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值.20. 疫情期间，有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：（1）为进行某项研究，从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆，若用分层随机抽样 的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中抽取几辆；（2）若从（1）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率；（3）假设汽车A 只能在约定时间的前11h 出发，汽车B 只能在约定时间的前12h 出发，为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车A 和汽车B 应如何选择各自的道路？21. 定义：对棱相等的四面体为等腰四面体.（1）若等腰四面体的每条棱长都是2，求该等腰四面体的体积； （2）求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；（3）设等腰四面体ABCD 的三个侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，请判断cos cos cos αβγ++是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 3或72. 直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行3. 644. 2.55.53R 6. 23 7. 420 8. 1.269. 3π10. 1201912020m m-- 11. ③ 12. 3{}2020二. 选择题13. B 14. C 15. B 16. D三. 解答题17.（1）常数项为238617216T C =⋅=；（2）330.18.（1；（2）24π+.19.（1）证明略；（220.（1）2，4；（2）93155=；（3）汽车A 应选择公路1，汽车B 应选择公路2.21.（1）3；（2）证明略；（3）定值为1.。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市复旦大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知向量(,1)a k =r与(2,1)b k =+r 垂直，则实数k =________.【答案】13- 【解析】 【分析】根据向量垂直，得到数量积为0，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量(,1)a k =r与(2,1)b k =+r 垂直，所以21310⋅=++=+=r r a b k k k ，解得13k =-.故答案为：13-【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.2.若矩阵()20210A x =， 10B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =________.【答案】()2021 【解析】 【分析】根据矩阵乘积的概念，可直接得出结果.【详解】因为()20210A x =， 10B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()20211002021=⨯+⨯+⨯=AB x y . 故答案为：()2021【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，熟记概念与运算法则即可，属于基础题型.3.行列式42354112k---的元素3-的代数余子式的值为10，则(,8)a k =r的模为________.【答案】10 【解析】 【分析】先由题意，结合代数余子式的概念，得到212(1)2(2)11012+-=-⨯-+⨯=-kk ，求出6k =，再由向量模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为行列式42354112k ---的元素3-的代数余子式的值为10，所以212(1)2(2)141012+-=-⨯-+⨯=+=-kk k ，解得6k =，因此10===a r .故答案为：10【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记代数余子式的概念，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.4.若(2,1)n =r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角是________.【答案】arctan 2π- 【解析】 【分析】先由题意求出直线斜率，再记l 的倾斜角为α，进而可求出结果.【详解】因为(2,1)n =r是直线l 的一个法向量，所以直线l 的斜率为：2k =-，记l 的倾斜角为α，则tan 2α=-，则arctan 2απ-=. 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题主要考查由直线的法向量求直线倾斜角，熟记法向量的概念，以及斜率的定义即可，属于基础题型.5.关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则mn =________. 【答案】1- 【解析】 【分析】 先由题意得到31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解，求出11m n =-⎧⎨=⎩，进而可得出结果. 【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解， 因此65312m n +=⎧⎨-=⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩，所以1mn =-. 故答案为：1-【点睛】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组，熟记线性方程组与矩阵之间关系即可，属于常考题型.6.若直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，则a 的值为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】由直线平行，得到(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，求解，即可得出结果.【详解】因为直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，所以有(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，即(3)(1)030a a a -+=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数的问题，熟记两直线平行的充要条件即可，属于常考题型.7.直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，且l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的直线l 共有________条. 【答案】6 【解析】 【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，分别讨论：截距相等（不为0），截距互为相反数，直线过原点，三种情况，根据直线与圆相切，列出等式，分别求解，即可得出结果.【详解】因为圆22(5)4x y -+=的圆心坐标为()5,0，半径2r = 由l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，（1）若截距相等（不为0），可设:l x y a +=，因为直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，2r ==，解得5a =?，此时直线有两条；（2）若截距互为相反数，可设:l x y a -=，2r ==，解得5a =?，此时直线有两条；（3）若直线过原点，可设：:0l kx y -=，2r ==，解得21k =?，此时直线有两条；综上，满足条件的直线共有6条. 故答案为：6【点睛】本题主要考查判断圆的切线条数，熟记点到直线距离公式，会用几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.8.直线l 过点(4,7)-， 且被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为8，则l 的方程为_____. 【答案】4x =或4350x y ++=【解析】 【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离；分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为圆22(1)(2)25x y -+-=的圆心坐标为(1,2)，半径=5r ， 又直线l 被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为：3==d 当直线l 斜率不存在时，由l 过点(4,7)-，得:4l x =，满足题意；当直线l 斜率存在时，可设:(7)(4)l y k x --=-，即470kx y k ---=，3=1=，解得43k =-，因此4:(4)73l y x =---，即4350x y ++=. 故答案为：4x =或4350x y ++=【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程，熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.9.在平面直角坐标系中，设点()0,0O，(A ，点(),P x y的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v上的投影的取值范围是__________ 【答案】[]3,3- 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos 93cos 23cos OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦33cos ,22AOP ⎡⎤∴∠∈-⎢⎥⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v本题正确结果：[]3,3-【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.10.如图，光线从(,0)P a (0)a >出发，经过直线:30l x y -=反射到(,0)Q b ，该光线又在Q 点被x 轴反射，若反射光线恰与直线l 平行，且13b >，则实数a 的取值范围是________.【答案】(5,)+∞ 【解析】 【分析】先记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ，由题意得到直线MQ 的斜率为：13MQ k =-，与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-；设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式求出139PM k =，再由直线MQ 与直线l 联立求出点M 坐标，表示出PM k ，求出a b 、关系，进而可得出结果.【详解】记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ， 由题意可得：直线MQ 的斜率为：13MQ k =-， 与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-； 设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式可得：11MQ PM PM MQ k k k k k k k k --=+⋅+⋅，即133431133133PM PMk k -+--==-+⋅，解得139PM k =， 又直线MQ 的方程为：1()3y x b =--，由1()330y x b x y ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩解得,26b b M ⎛⎫⎪⎝⎭， 因此013692PMbk b a -==-，解得513a b =， 又13b >，所以5513a b =>. 故答案为：(5,)+∞【点睛】本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型.11.当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[56,5]-【解析】 【分析】先由题意，设cos x θ=、sin y θ=，得到2x y ≤+≤，再由|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y均无关得到6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩求解，即可得出结果. 【详解】因为实数x 、y 满足221x y +=，可设cos x θ=、sin y θ=，则()2cos 2sin x y θθθϕ+=+=+，其中1tan 2ϕ=，所以2x y +≤因为|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，所以只需|2||62|(2)(62)6x y a a x y x y a a x y +-++--=+-++--=，即6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩6a ≤≤故答案为：6,【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，熟记圆的参数方程即可，属于常考题型. 12.已知(1,1)A a -，(1,1)B a +，若在曲线|||1|143x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=u u u r u u u r，则λ的取值范围是________.【答案】119{}(8,15)25U 【解析】 【分析】先由|||1|143x a y --+=得24y -≤≤，设(,)P x y ，得到(1,1)PA a x y =---u u u r ，(1,1)PB a x y =+--u u u r ，进而得到222523119,21925252573119,1492525y y PA PB y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭⋅=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩u u u v u u u v ，令222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意得到，函数222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩与t λ=只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】由|||1|143x a y --+=得|1|13y -≤，解得24y -≤≤； 因为点P 在曲线|||1|143x a y --+=上，可设(,)P x y ，又(1,1)A a -，(1,1)B a +， 则(1,1)PA a x y =---u u u r ，(1,1)PB a x y =+--u u u r，所以()22221241()1(1)(1)19y PA PB a x y y --⋅=--+-=+--u u u r u u u r 2222523119,2125(1)96192525192573119,1492525y y y y y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪---⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩， 令222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为在曲线|||1|143x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=u u u r u u u r ， 则函数222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩与t λ=只需有两个交点； 作出函数大致图像如下：由图像可得：11925λ=或815λ<<. 故答案为：119{}(8,15)25U 【点睛】本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型. 二、选择题13.设,a b rr 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A. 若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B. 若,a b a b a b ⊥+=-r r r r r r 则C. 若a b a b +=-r r r r ，则存在实数λ，使得a b λ=r rD. 若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r【答案】C 【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-r r r r ，则2222a b ab a b a b r r r rr r r r ++=+-，得0ab a b =-≠r r r r ，则a b ⊥r r 不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠r r r r ，所以B 不正确．对于C a b a b +=-r r r r ，则2222a b ab a b a b r r r rr r r r ++=+-，得0ab a b =-≠r r r r ，则cos 1θ=-，则a r 与b r 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=r r ，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=r r ，则22,a b a a b a r r r r r r λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b r r r r ≠-，则a b a b +≠-r rr r ，所以D 不正确．故选C ．考点：平面向量的综合题14.设()12,A a a ，()12,B b b ，()12,C c c 点均非原点，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合，则OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，即()()()121212,,,c c x a a y b b =+，即111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，则方程有解即可，不一定是唯一解，若111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，即OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合，即必要性成立，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r 的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合平面向量基本定理进行判断是解决本题的关键．15.已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；② 当0a >时，2+a b 有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ；正确的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()3450450a b -+++<，推出3450a b -+<，根据题意，作出不等式所表示的平面区域，分别由2+a b ，22a b +，11b a +-的几何意义，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧， 所以()()3450450a b -+++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时，3450a b -+<表示的平面区域如下： 令2t a b =+，则22a t b =-+，显然t 表示直线22a tb =-+在b 轴截距的2倍， 截距越大，t 越大；由图像可得，t 无最大值和最小值；故②错误. 设坐标原点到直线3450x y -+=的距离为d ，则22513(4)==+-d ，又22a b +表示3450-+<x y 对应的平面区域内的点与原点距离的平方， 因此221a b +>；故③正确；因为11b a +-表示345001a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应平面区域内的点(,)M a b 与定点(1,1)P -连线斜率，作出345001a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应的平面区域如下：由图像可得：5194104--<==--PM PA k k 或34>PM k ， 即11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ，故④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，会分析目标函数所表示的几何意义，作出不等式所表示平面区域，即可求解，属于常考题型.16.已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =u u u r，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤uu u r，6AP AB ⋅=uu u r uu u r，2AQ PA =u u u r u u u r，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 108【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，根据向量数量积的运算，得到动点P 的轨迹，求出AP 扫过的三角形的面积；再推出动点Q 轨迹，求出AQ 扫过的三角形的面积，进而可求出结果.【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，所以(,)=AP x y uu u r ，(2,0)AB =u u u r，由||5AP ≤uu u r 得2225+≤x y ；又6AP AB ⋅=uu u r uu u r，所以26x =，即3x =，所以216≤y ，解得44y -≤≤；因此，动点P 在直线3x =且44y -≤≤上，即8=PC ，则AP 扫过的三角形的面积为：183122⨯⨯=； 设点00(,)Q x y ，因为2AQ PA =u u u r u u u r，所以00(,)2(,)=--x y x y ，所以026=-=-x x ，02=-y y ， 因此，动点Q直线6x =-且088-≤≤y 上，所以16=QD ，则AQ 扫过的三角形的面积为：1166482⨯⨯=； 所以动线段PQ 所形成图形的面积为124860+=. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，以及轨迹问题，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型. 三、解答题17.已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -. （1）求BC 边所在直线的点方向式方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=，且7ABC S =△，求点A 的坐标. 【答案】（1）2142x y --=-；（2）(3,0)-或(3,4). 【解析】 【分析】（1）根据题意求出直线的方向向量，进而可求出结果；（2）先由（1）得到直线BC 的一般式方程，根据题意求出中线AD 的方程，根据三角形面积求出三角形的高为：275525△===ABC S h BC AD 的方程，即可求出结果.【详解】（1）因为(2,1)B 、(2,3)C -，所以BC 边所在直线的方向向量为：(4,2)=-u u u rBC ，因此，BC 边所在直线的点方向式方程为：2142x y --=-； （2）由（1）得，直线BC 的一般式方程为：240x y +-=；因为D 点为(2,1)B 、(2,3)C -的中点，则(0,2)D ， 由中线AD的方程为230x y c -+=，所以6c =，因此2360-+=m n又==BC 7ABC S =△， 所以三角形的高为：2△===ABC S h BC 即点(,)A m n 到直线BC =所以211+=m n 或23+=-m n ，由2112360m n m n +=⎧⎨-+=⎩得34m n =⎧⎨=⎩；由232360m n m n +=-⎧⎨-+=⎩得30m n =-⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(3,4)或(3,0)-.【点睛】本题主要考查求直线的方程，以及由直线方程求点的坐标问题，熟记直线方程的几种形式，以及两直线交点坐标的求法即可，属于常考题型.18.已知()()4,3,23261.a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r（1）求向量a r与b r的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-r r r，且0b c r r ⋅=，求t 及c r .【答案】(1)23π. (2) 35T =,c =v . 【解析】分析：（1）要求向量a r 与b r 的夹角θ，根据夹角公式应先求cos a b a b θ⋅=⋅rr r。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
上海市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷A卷
上海市 2019-2020 学年数学高二上学期理数期中考试试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 y=sin（2θ+ ）的值为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 已知 是（ ）的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ， 则这个三角形的周长A.9B . 12C . 15D . 183. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 椭圆的焦距为 8，且椭圆的长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（ ） A.B.或C.D.或5. （2 分） (2019 高二上·榆林期中) 已知 A.5 B.4 C.8 D.6，函数的最小值是（ ）6. （ 2 分 ） (2019 高 二 上 · 郑 州 期 中 ) 在中，则的值等于（ ）A. B. C. D.7. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ， A.3第 2 页 共 11 页，则=（ ）B.7 C . 10 D . 158. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 设 ， 是椭圆 ：的左右焦点， 为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆 的离心率为（ ）A.B. C. D.9. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 设 ， 满足约束条件 最大值为（ ）A.5，目标函数的B.C. D.110.（2 分）(2019 高二上·郑州期中) 在中，A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，，则的形状一定是（ ）A . 直角三角形B . 等边三角形第 3 页 共 11 页C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形11. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ 且 ”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 已知，在这两个实数数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ）之间插入三个实数，使这五个A. B.C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 已知等比数列{an}中，a1= ，且有 a4a6=4a72 ， 则 a3=________．14. （1 分） 已知中，是角的对边，则其中真命题的序号是________.①若，则直角三角形；③，则在 上是增函数；②若的最小值为；④若.第 4 页 共 11 页，则是，则；⑤若15. （1 分） (2019 高二上·郑州期中) 若数列 满足，________.，则16. （1 分） (2019 高二上·郑州期中) 若实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x＋log2y＝1，则 值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)的最小17. （10 分） (2016 高一上·铜仁期中) 已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 x≤0 时，f（x）=log （1 ﹣x）．（1） 求 f（0），f（1）；（2） 求函数 f（x）的解析式．18. （10 分） 已知函数.（1） 当时，求函数的单调递减区间；（2） 若函数在上单调递增，求实数 的取值范围．19. （10 分） 若函数 y=f（x）对任意的 x，y∈R，恒有 f（x+y）=f（x）+f（y）．当 x＞0 时，恒有 f（x）＜ 0（1） 判断函数 f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2） 判断函数 f（x）的单调性，并证明你的结论；（3） 若 f（2）=1，解不等式 f（﹣x2）+2f（x）+4≤0．20. （10 分） (2019 高二上·洛阳期中)（1） 设不等式对于满足的实数 x 都成立，求正实数 的取值范围；（2） 设不等式对于满足的实数 都成立，求实数 的取值范围.21. （10 分） (2020·辽宁模拟) 在 .中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知第 5 页 共 11 页（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）若， 为 的中点，且，求 .22. （ 10 分 ） 设 数 列的前 n 项和为 .满足（1） 求数列 的通项公式；（2） 证明：对一切正整数 n，有.，且，设第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、18-2、第 8 页 共 11 页19-1、 19-2、19-3、第 9 页 共 11 页20-1、20-2、21-1、第 10 页 共 11 页22-1、22-2、第11 页共11 页。
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．双曲线22124x y -=的两条渐近线的夹角的大小为（ ）A ．B ．C ．π-D ．π-【答案】D【解析】先求出双曲线的渐近线方程，结合斜率可求夹角.【详解】因为双曲线22124x y -=的两条渐近线为y =，所以y =的倾斜角为，因为45>︒，所以两条渐近线的夹角的大小为π-故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及性质，注意夹角的范围是易错点，侧重考查数学运算的核心素养.2．在复数范围内，下列命题中为假命题的是（ ）A ．复数z R ∈的充要条件是z z =.B ．若z z =-，则z R ∈.C ．若1z z=，则1z =±或z i =± D ．对任意z C ∈，22z z =都成立. 【答案】C【解析】结合复数的性质及运算规则可以进行求解.【详解】对于选项A ，设z a bi =+，若z R ∈，则0b =，此时z z =；反之，z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，此时z R ∈；故A 正确；对于选项B ，因为z 是实数，z z =-，所以z R ∈；故B 正确；对于选项C ，设z a bi =+，因为1z z=，所以()222i =2i 1a b a b ab +-+=，解得1,0a b =±=，所以1z =±；故C 不正确；对于选项D ，222222,2i z a b z a b ab =+=--=22a b =+，所以D 正确； 故选：C.【点睛】 本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅I ，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>【答案】C【解析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r时，ABC ∆有（ ）A ．2个B ．4个C ．有限个，但多于4个D ．无限多个 【答案】D【解析】根据0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得F 为△ABC 的重心，结合解的情况可求.【详解】因为0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以F 为△ABC 的重心，设00(,)A x y ，BC 的中点为M ，则3AM MF =-u u u u r u u u r ，可得003,22x y M -⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 只要满足点M 在抛物线内部，即2003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得002x ≤<， 所以ABC ∆有无限多个.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，明确点的取值范围是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题 5．一个方向向量为()1,3d =u r 的直线的倾斜角的大小是__________． 【答案】60︒【解析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为()1,3d =u r，所以直线的斜率为3k =， 所以直线的倾斜角的大小是60︒.故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .【答案】2【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.7．已知复数1z i =+，则z z=__________． 【答案】i - 【解析】先求解z ，再利用复数的除法进行求解.【详解】因为1z i =+，所以1z i =-； 所以()()()21i 1i i 1i 1i 1i z z --===-++-. 故答案为：i -.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及共轭复数，明确复数的除法规则—分母实数化，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知复数()()312a i i ++是纯虚数，则实数a 的值为__________．【答案】6【解析】先对复数()()312a i i ++进行化简，结合纯虚数可求实数a 的值.【详解】因为()()3126(23)i a i i a a ++=-++为纯虚数，所以60a -=且230a +≠，即6a =.故答案为：6.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及纯虚数的概念，侧重考查数学运算的核心素养. 9．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则b =__________．【答案】2-【解析】把12i +代入方程，结合复数相等可求b .【详解】因为12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，所以()()212i 12i 0b c ++++=，即()324i 0b c b +-++=， 所以2b =-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查复数的运算及相等的条件，两个复数相等时，实部与虚部都要相等，侧重考查数学运算的核心素养.10．曲线4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[)0,2θ∈π）的焦距等于__________． 【答案】27 【解析】消去参数，化为标准方程，然后求解焦距. 【详解】因为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，所以221169x y +=， 由方程可知曲线为椭圆，且2216,9a b ==，所以2227c a b =-=，即7c =；故焦距为27.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化，明确常见的消参方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______【答案】45【解析】试题分析：圆转化为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，则．【考点】1.直线与圆的位置关系；2.弦长公式．12．如图所示，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =.以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为______．【答案】43 【解析】根据直角三角形的性质及焦距可得,AC BC ，结合椭圆的定义可得短轴的长. 【详解】因为在ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，4AB =， 所以3AC =，225BC AB AC =+=，由椭圆的定义得2AC BC a +=，所以4a =，因为2c =，所以2223b a c =-=，故答案为：43.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，明确椭圆中长轴长、短轴长、焦距间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅u u u r u u u u r 最小值为 ．【答案】－2 【解析】12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，12(1,)(2,)PA PF x y x y ⋅=--⋅-u u u r u u u u r，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是21245PA PF x x ⋅=--u u u r u u u u r 21145816x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-． 14．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．【答案】[0,7)【解析】根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围.【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以03i 4z -<，根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部， 数形结合可得07z <.故答案为：[0,7)【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过点F 线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若MD =__________．【答案】2y =【解析】作出图形，根据三角形MNF 的形状可得MN ，从而得到抛物线的方程.【详解】 如图，由抛物线的定义可知MN MF =，因为MF ，//MN OF ，所以60NMF ∠=︒，即MNF ∆为等边三角形，在ANF ∆中易知D 为NF 的中点，因为MD =，所以MN MF ==2p M ；由62)2p p =可得p =，故答案为：2y =.【点睛】本题主要考查抛物线的方程及性质，合理利用抛物线的定义式能简化解题过程，侧重考查直观想象的核心素养.16．已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PB λ=u u u r u u u r （R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为__________． 【答案】1817+【解析】由112312x y +-+222312x y +-联想到点到直线的距离，结合中位线和换元法求解.【详解】由AP PB λ=u u u r u u u r 知,,A B P 三点共线，当直线AB 的斜率不存在时，(0,22),(0,22)A B -，此时112312x y +-+22231224x y +-=.当直线AB 的斜率存在时，设:2AB y kx =+， 联立2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)880k x kx ++-=， 1212122284,()41212k x x y y k x x k k +=-+=++=++， 设AB 的中点()00,M x y ，则002242,1212k x y k k =-=++， 消去参数k 可得()2200112x y +-=，其中00y >；令001sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，其中2,2k k θπ≠π-∈Z ，则点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离为d ==所以d ≤； 因为由梯形的中位线性质可得,A B 到直线23120x y +-=的距离之和为点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离的2倍.所以112312xy +-+22231218x y +-=≤+综上可得112312x y +-+222312x y +-的最大值为18+【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合性较强，难度较大，侧重考查了换元的意识及数学运算的核心素养.三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程2230x kx k +-=()k R ∈的虚根为12,x x . （1）求k 的取值范围，并解该方程； （2）若123321i x x i=++，求k 的值. 【答案】（1）30k -<<，1x k=-，2x k =-；（2）34k =-. 【解析】（1）利用方程有两个虚根可以得出判别式的符号，可得k 的取值范围，利用求根公式可得方程的解；（2）利用共轭复数模长相等，化简已知条件，结合模长公式可求.【详解】（1）因为一元二次方程2230x kx k +-=有两个虚根，所以24120k k ∆=+<，解得30k -<<；由求根公式可得，122k x k --==-，2x k =-.（2）因为12,x x 互为共轭复数，所以12x x =， 因为123321i x x i =++，所以133212i x i ==+， 所以22932k k k ++=，解得3534k +=-或3534k -=（舍）. 故353k +=-. 【点睛】本题主要考查实系数方程复数根的求解，明确求根公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、640,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D .观测点()4,0A 、()6,0B 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【答案】（1） 216477y x =-+（[6,8]x ∈）；（2） 观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为54时，应向航天器发出变轨指令.【解析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点求出方程；（2）先求解变轨时的点的坐标，结合两点间的距离可求.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为2647y ax =-+，因为抛物线经过点(8,0)D ，所以646407a -+=，解得17a =；联立22211002516477x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得64x y =⎧⎨=⎩，故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程216477y x =-+（[6,8]x ∈）. （2）当6x =时，分别代入椭圆方程和抛物线方程均得到4y =，所以在观测点B 处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；=A 处测得离航天器的距离为应向航天器发出变轨指令.故观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令. 【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 19．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z zz z++为纯虚数，求z .【答案】（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-；（2）122z=+或12z =-. 【解析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z zz z++为纯虚数可求.【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y =+=++=++-+++， 因为1w z z=+是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以1z ==；因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+，因为2z z z z++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠，联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以122z =+或122z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的长轴长是短轴长的2倍，点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线l 与椭圆C 相交所得弦长为2，求直线l 的斜率； （3）过点()1,0P 的任意直线与椭圆C 交于A 、B 两点，设点A 、B 到直线0l ：()002x x x =>的距离分别为,A B d d .若AB PA d d PB=，求0x 的值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2±；（3）4. 【解析】（1）利用长轴长是短轴长的2倍，点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上，建立方程组求解；（2）联立方程，结合弦长可求直线l 的斜率； （3）把A B PA d d PB=转化为,A B 坐标间的关系，结合韦达定理可求. 【详解】（1）由题意2a b =，则方程化为222214x y b b+=，因为点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2231144b b+=，解得21b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l的方程为(y k x =，联立(2214y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(14)1240k x x k +++-=，设直线l 与椭圆C 相交于1122(,),(,)M x y N x y ，则()()22224(14)1240k k ∆=-+->，21212212414k x x x x k-+==+，MN ==()2224121414k k k +===++， 解得2k =±，故直线l 的斜率为2±. （3）当直线AB 的斜率不存在时，A B PA d d PB=恒成立； 当直线AB 的斜率为0时，由A B PA d d PB =得002132x x -=+，即04x =； 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设():1AB y k x =-，0k ≠.联立()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y <>， 则()()222284(14)440kk k ∆=--+->，22121222844,1414k k x x x x k k-+==++， 因为12PA y PB y =，所以1122AB y d y d y y -==，即()()1011022211k x x x y x x y k x ----==--， 整理可得()()0121201220x x x x x x ++--=，()2200228441221414k k x x k k-+-⨯=++ 解得04x =. 综上可得04x =. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的关系，长度关系的巧妙转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知动圆P 过点()22,0F ，并且与圆1F ：()2224x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于,A B 两点，当P 为AB 的中点时，求OA OB ⋅的值；（3）过点2F 的直线1l 与曲线C 交于,E F 两点，设直线l ：12x =，点()1,0D -，直线ED 交l 于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）221(0)3y x x -=>；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为(1,0). 【解析】（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到OA OB ⋅u u u r u u u r，进而可求OA OB ⋅； （3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线FM 经过定点. 【详解】（1）设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，则由题意可得212PF r PF r ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即122PF PF -=，因为1242F F =>，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线的右支，且1,2a c ==， 所以曲线C 的方程为221(0)3y x x -=>.（2）当直线的斜率不存在时，(1,0),(1,P A B ，此时4OA OB ⋅=； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ， 联立2230y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得222(3)20k x kmx m ---=， 230k -≠，21212222,33km m x x x x k k +==---， ()()222121212121222632,33m m y y k x x m y y k x x km x x m k k+=++==+++=--. 因为P 为AB 的中点，所以223(,)33km mP k k --，代入曲线方程得()()22222223133k m m k k -=--；整理可得223m k =-；2221212222322333m m m OA OB x x y y k k k-⋅=+=+==----u u u r u u u r ， 因为2230x y -=恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线y =的倾斜角为60︒，所以1cos12022OA OB OA OB OA OB ⋅=︒=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以4OA OB =u u u r u u u r .综上可得4OA OB =u u u r u u u r.（3）证明：当直线1l 的斜率不存在时，(2,3),(2,3)E F -,13(,)22M ，直线:330FM x y +-=经过点(1,0).当直线1l 的斜率存在时，设直线1:(2)l y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ， 直线11:(1)1y ED y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131(,)221y M x +，联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得2222(3)4(34)0k x k x k -+-+=，230k -≠，22121222434,33k k x x x x k k++=-=---， 下面证明直线FM 经过点()1,0Q ，即证FQ MQ k k =，1212311y yx x -=+-， 把()112y k x =-，()222y k x =-代入整理得()12124540x x x x -++=，即22222223441216204544440333k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++-⨯--⨯-+=+=-+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以直线FM 经过点()1,0. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.。
上海市复旦附中高二上学期期中考试数学---精校解析Word版
上海市2018-2019学年复旦附中高二上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.直线的倾斜角是____________.【答案】【解析】【分析】先求直线2x+3y﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x+3y﹣1＝0的斜率为k＝﹣，倾斜角为α，所以tanα＝﹣，则α＝π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2.若矩阵，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可．【详解】解：矩阵，B＝（1 2 1），则AB＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题．3.行列式的元素的代数余子式的值为，则______．【答案】3【解析】【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣ ,求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】解：由题意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．4.已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________【答案】10【解析】【分析】首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t即可；【详解】解：是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则 ,解得m＝8，t＝2，则m+t＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．5.直线的一个单位方向向量．．．．．．是________.【答案】【解析】【分析】取直线的方向向量：＝±（1,）．利用该直线的单位方向向量＝即可得出．【详解】解：取直线的方向向量：＝±（1,）.∴该直线的单位方向向量＝= ,故答案为：.【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知直线，若，则.【答案】1或-3【解析】【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．【详解】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，解得k＝1或k＝﹣3故答案为：1或﹣3【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.【答案】（1,2）【解析】【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【详解】解：∵点P在直线=0上，∴点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，∴，解得a＝1，∴点P的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若，则实数t的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t|≥2时，，可得，可得t＝﹣2．当|t|＜2时，可得：，综上可得：实数t的取值范围是：[﹣2，2）．故答案为：[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．9.已知，则“”是“两直线与平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 【答案】_充分非必要【解析】【分析】由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行列式求得a值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，可得，即a＝0或a＝ .∴“a＝”是“两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．10.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程．．．．．是____________. 【答案】【解析】【分析】由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝，利用夹角公式求解k可得方程；【详解】解：由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝当k存在时，设过点P（3，﹣2）直线斜率为k，直线2x+y+1＝0的斜率为-由tanθ＝＝ ,解得：k＝；当k不存在时，x＝3．此时两直线夹角tanθ＝，∴所求的直线方程为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；故答案为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题的关键11.已知实数满足：，且其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，把已知等式变形求得,,的夹角为，再由a1＞a2可得A的位置，数形结合可得以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的取值范围．【详解】解：向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，由得 ,即向量与向量的夹角为，又a1＞a2，可得点A在曲线x﹣y+1＝0（x＞﹣1）上，如图，则OA所在直线的斜率为（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的斜率为（0，+∞）∪（﹣1，0），倾斜角的范围为（0，）∪（，π），当A为（0，1）时，以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角为0．∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的范围为[0，）∪（，π），故答案为： [0，）∪（，π）.【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法．12.如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,＝（ 4，0），.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点，向量（m，n为实数），=（0，4），＝（ 4，0），可得＝（ 4m，4n）．当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，＝（4+cosθ，sinθ），此时，4m+4n＝4﹣ sin（θ+），m+n取得最小值为：1﹣，此时P（ 4﹣，﹣）．同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时，m+n取得最小值为：1﹣，此时P（-，4﹣）．∴则m+n的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得则n的取值范围为( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}【答案】B【解析】【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y＝f（x）的图象，数形结合分析可得答案．【详解】解：令y＝f（x），y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4个交点，故k＝（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．14.给出下列命题:①非零向量满足，则和的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC中，若，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】①由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论；②根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数y＝|x﹣2|的图象；③由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论．【详解】解：①∵，∴所对应的平行四边形是菱形，∴与+的夹角为30°；②将函数y＝|x﹣1|的图象按向量＝（1，0）平移，得到函数y＝|x﹣2|的图象；③在△ABC中，若，则以AB、AC为邻边所作的平行四边形是菱形，∴△ABC为等腰三角形；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象的平移，难度不大，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为，则取得最小值时，直线l的斜率（）A. 等于1B. 等于-1C. 等于D. 不存在【答案】D【解析】【分析】分别计算k＝1，k＝﹣1，k＝，和k不存在时，原式的值，比较大小可知选D．【详解】解：当k＝1时，l：y＝x，此时S2＝S△ABC＝，S1＝，∴=，当k=﹣1时，l：y＝﹣x，此时，S1＝，S2＝，∴＝，当k＝时，l：y＝x，此时，S2＝，S1＝，∴=，当k不存在时，l：x＝0，此时，S1＝S2＝，∴＝3，比较可知，当k不存在时，原式值最小．故选：D．【点睛】本题考查了正弦定理．属中档题．16.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n，b n的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以=4-===3-=+=所以选A.【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题（本大题共5题，共76分）17.已知，直线的方程为，直线的方程为.当m变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标；（2）讨论直线和的位置关系.【答案】(1) 直线过定点；同理，直线过定点（3,1）；(2)见解析.【解析】【分析】（1）将直线l1的方程改写为m（x﹣2y﹣3）+（x+y）＝0，令，求解x，y的值，可得答案；同理，直线l2一样求法；（2）联立方程，得求解交点D，讨论即可；【详解】（1）将直线的方程改写为，令得直线过定点(1,-1)；同理，直线过定点（3,1）；（2）联立方程，得D=2m(m-2),D x=-2(m-1)(m-2),D y=-2(2m+1)(m-2)当m和2时，D，两直线相交；当m=0时，D=0,，两直线平行；当m=2时，，两直线重合。