2.3报童问题模型
报童 数学建模
报童诀窍一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则()()()()[]()()()∑∑=∞+=-+----=n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)()()()()[]()()()⎰⎰∞-+----=n ndr r np b a dr r p r n c b r b a n G 0计算()()()()⎰---=ndrr p c b n np b a dndG 0()()()()dr r p b a n np b a n ⎰∞-+--令0=dndG 得dndG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n⎰⎰∞-+---=02得到()()cb b a drr p dr r p nn --=⎰⎰∞n 应满足上式。
9-报童问题
Qiu canhua, Tongji University
超额预售问题的解法
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。 再多售一张机票就要蒙受400美元的损失， co = $. X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预 订数量减少一个就蒙受100美元的损失， cu = $100.。 最佳的 X* 应当满足
Qiu canhua, Tongji University
有不确定因素的决策问题
这三个问题有以下几个方面的共同点： 都有一个决策变量 X (报纸供应量；出发时间；多预售的 座位）和一个随机变量 Y (报纸需求量；实际路程时间； 持票而未登机人数）。这两个变量共同决定结果。但是我 们必须先选定 X 的数值，然后才能看到Y的数值。 都有一个 X 大于 Y 的单位成本（过量成本） (未售出的报 纸；一名因客满而未能乘机的乘客；提前一分钟）。 都有一个Y 大于X 的单位成本（不足成本）(差一份报纸； 一个空座；晚到一分钟）。 都需要测算 Y 的概率分布。
Qiu canhua, Tongji University
报童问题 II的解
设 X为留作自售的份数， Y 为明天的报纸需求。. {X > Y} 意味着留得太多，否则可以前一天卖给另一报贩， 每份可赚0.40元，所以每份损失利润 co = 0.40 元。 {X < Y} 意味着留得太少，每份前一天只卖了0.40元，留着 可卖0.50元, 多卖 cu = 0.50-0.40 = 0.10元。 最 优解X* 应满足
P{Y>X*} 表示需求Y大于X*的概率。 P{Y<X*} 表示需求Y小于X*的概率。 CuP{Y>X*} 第X*件产品售出时所带来的收益； CoP{Y<X*} 第X*件产品未售出时所带来的损失。
报童问题模型
§2 报童问题模型[问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设为a>b>c．这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．[问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是)f．有了)(rrf和a，b，c，,2,1,0)(r(就可以建立关于购进量的优化模型了．假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n，等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入．[模型的建立及求解] 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概率是)f，所以(r问题归结为在)f，a，b，c已知时，求n使G(n)最大．(r通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)f转化为概率密度函数)(r(rp，(1)式变成计算令0=dn dG.得到使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为⎰∞=01)(dr r p ，所以(3)式又可表为根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作因为当购进n 份报纸时，⎰=n dr r p P 01)(是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率：⎰∞=n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.。
报童问题模型 ppt课件
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3
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
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4
问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
报童问题模型
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1
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
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2
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
等于每天收入的期望
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2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
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9
4、报童问题的推广与应用
报童数学建模
报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。
()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。
报童问题模型
§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。
报童模型概念
报童模型概念引言报童模型（Newsboy Model）是供应链管理中常用的一种模型，用于帮助企业决策商品订购量。
它的目标是在不确定需求的情况下，最大化企业的利润。
本文将从报童模型的基本概念入手，深入探讨其原理、适用范围以及在实际应用中的注意事项。
什么是报童模型？报童模型是一种在需求不确定的情况下，进行商品订购量决策的模型。
它的名称源自于一位报童，在购买报纸时不知道具体有多少人会买报纸，只能根据过去的数据和一些预测来决定购买的数量。
报童模型的目标是最大化利润，即最大化销售额与成本之间的差额。
原理报童模型的核心原理是基于销售量与利润之间的关系。
一般来说，销售量越高，利润越大，但过高的销售量也会导致库存积压和浪费。
因此，企业需要在平衡销售量与成本之间做出决策。
具体而言，报童模型需要考虑以下几个关键因素：需求分布需求不确定是报童模型的前提条件之一。
一般来说，需求可以被建模为一个概率分布，比如正态分布、泊松分布等。
通过分析过去的销售数据和市场趋势，可以对需求分布进行估计。
订购成本订购成本是指企业为了获得一定数量的商品而需要支付的费用，包括采购成本、运输成本等。
订购成本一般随着订购量的增加而增加。
销售收益是指企业通过销售商品所获得的收入。
销售收益与销售量成正比，但一般销售收益与销售量之间并非线性关系。
在报童模型中，一般假设销售收益可以通过销售价格和销售量之间的函数关系来描述。
库存损失库存损失是指由于库存过剩导致的商品价值降低、过期等损失。
库存损失是报童模型考虑的一个重要因素，过高的库存会增加企业的成本。
基于以上因素，报童模型的目标是找到一个最优的订购量，使得销售收益与订购成本之间的差额最大化。
通常使用数学模型和优化算法来求解最优解。
适用范围报童模型在许多行业中都有广泛的应用。
以下是几个适用范围的示例：零售业零售业是报童模型应用最广泛的领域之一。
对于一些季节性商品或者具有一定时效性的商品，企业需要根据过去的销售数据和市场趋势来进行订购决策，以最大化利润。
应对不确定需求：报童模型
考虑一下 …
尽管借着电影”玩具总动员” 尽管借着电影”玩具总动员”的热潮生产了 50百万的玩具 Burger King 还是经历了 百万的玩具, 百万的玩具 大面积的缺货. 大面积的缺货 在一年内 IBM由于 由于ThinkPad笔记本缺货 笔记本缺货 由于 百万. 预期损失达到 100百万 百万 2001年许多科技公司 (如., Palm, 年许多科技公司 如 Cisco) 由于库存问题产生了重大的削减 由于库存问题产生了重大的削减. Kmart 和 Sears 在边缘挣扎而 WalMart 的业绩仍然引人注目 的业绩仍然引人注目..
报童模型适用性很广，其本质是必须在随机 事件发生之前作出决策。最后在随机事件发 生后你才能了解你是订购太多（需求小于订 购量）还是订购太少（需求大于订购量）。 IMB损失1亿美元的案例.
考虑一下 …
图书零售商将 30%的精装新书返还给出版 的精装新书返还给出版 商. 航空公司的上座率为72.4%, 而 70.4% 航空公司的上座率为 的上座率才可以达到收支平衡. 的上座率才可以达到收支平衡 在新车市场上,有53%的消费者对至少一项 在新车市场上 有 的消费者对至少一项 主要产品特性不满意. 主要产品特性不满意
9.0
25000
8.0 20000
7.0
6.0 15000 5.0 Turns 销售 (百万美元) BBY turns CC turns BBY Sales CC Sales
4.0 10000 3.0
2.0
5000
1.0
0.0 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
概率
日产出量 (千桶))
英国石油的投资方案
两个方案:
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i 4 10
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Expected profit if order k
pi [i( p c) (k i)(c s)] [1 Pk ](k )( p c)
High availability =>
larger inventory higher costs risk of obsolescence
12
Newsboy Model Newsvendor
single period model (one selling season)
(one-time order, e.g. for quantity discount)
L.L. Bean Example – Demand Distribution
Table 13-1 Demand Di (in hundreds) 4 5 Probability pi 0.01 0.02 Cumulative Probability of Demand Being Di or Less (Pi) 0.01 0.03 Probability of Demand Being Greater than Di 0.99 0.97
1 more unsold
Additional contribution
0
order k+1 instead of k
Co
Cu
1 fewer lost sale
Order k+1 instead of k if Pr(D>k) Cu Pr(D<k) (Co) > 0 or Pr(D< k ) (Co) + [1-Pr(D<k)] Cu > 0
Copyright ©2013 Pearson Education. 13-15
Example: Selling parkas at LL Bean
Cost per parka = c = $45 Sale price per parka = p = $100 Inventory holding (until season end) and transportation cost (to outlet store) per parka = $10 Discount price per parka (season end sales) = $50 Salvage value per parka = $50 -$10 = $40 = s
Demand d(i) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Probability p(i) 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04 0.02 0.01 Cumulative Prob. P(i) = Pr( D < d(i) ) 0.01 0.03 0.07 0.15 0.24 0.35 0.51 0.71 0.82 0.92 0.96 0.98 0.99
n r 0
售出n, 赚(a b)n
G(n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
求n使G(n)最大
r n 1
(a b)nf (r )
求 解
将r视为连续变量
n
f (r ) p(r ) (概率密度)
G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
i 4 k
18
LLBean: Expected profit
Demand d(i) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Probability p(i) 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04 0.02 0.01 Sum(d(i)xp(i)) Cumulative Prob. Prob. demand greater Expected profit P(i) = Pr( D < d(i) ) 1 - P(i) = Pr( D > d(i) ) if stock d(i) 0.04 0.01 0.99 220.00 0.14 0.03 0.97 274.40 0.38 0.07 0.93 327.60 0.94 0.15 0.85 378.40 1.66 0.24 0.76 424.40 2.65 0.35 0.65 465.00 4.25 0.51 0.49 499.00 6.45 0.71 0.29 523.40 7.77 0.82 0.18 535.80 9.07 0.92 0.08 541.60 9.63 0.96 0.04 541.40 9.93 0.98 0.02 538.80 10.09 0.99 0.01 535.00
3、模型的建立与求解
准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天需求量为 r 的 概率 f(r), r=0,1,2…
• 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
• 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
rn
售出r , 退回n r
赚(a b)r, 赔(b c)(n r )
r n
Cost of overstocking = Co = $45 + $10 - $50 = c - s = $ 5 Marginal profit from selling parka = cost of understocking = Cu = $100 - $45 = p - c = $55
16
6
7 8 9 10 11 12 13 14
0.04
0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04
0.07
0.15 0.24 0.35 0.51 0.71 0.82 0.92 0.96
0.93
0.85 0.76 0.65 0.49 0.29 0.18 0.08 0.04
demand uncertainty order placed (and delivered) before demand is known unmet demand is lost unsold inventory at the end of the period is discard (or salvaged at lower value)
Understocking cost Cu
Customer/Cycle service level CSL
Determining Optimal Level of Product Availability
• Single period • Possible scenarios
– Seasonal items with a single order in a season – One-time orders in the presence of quantity discounts – Continuously stocked items – Demand during stockout is backlogged – Demand during stockout is lost
n dG (a b)np(n) 0 (b c) p(r )dr (a b)np(n) dn
n (a b) p(r )dr (b c) 0 p(r )dr (a b) n p(r )dr
n
dG 0 dn
p (r )dr a b p (r )dr b c
报童问题的推广与应用：
多产品报童问题； 考虑风险偏好的报童问题； 基于需求预测的报童问题； 考虑采购提前期的报童问题；
Product Availability: Tradeoffs
High availability =>
responsive to customers attract increased sales higher revenue
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Newsvendor : Marginal Analysis
Stock one unit if … Stock 2 units (instead of 1 unit) if ...
Stock 1
D=0 D=1
Stock 2
Stock 3
D=2
D=3
20
keep order size at k
How much to order?
13
Factors affecting availability
Demand uncertainty Overstocking cost C0
= loss incurred when a unit unsold at end of selling season = profit margin lost due to lost sale (because no inventory on hand) =level of product availability = Prob(Demand < stock level) 14
报童问题模型
1、报童问题的提出
2、报童问题所属范畴
3、报童模型的建立与求解
的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。