报童问题

关于报童问题的分析

摘要

本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用蒙特卡洛（MC ）算法、插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计的背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的进货量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。

在问题一中，首先对题目中给出的报童159天的报纸需求量进行概率分布计算，得出报纸需求量的概率分布)(r f ，...2,1,0=r ，代入建立好的报童收益模型中求出平均收益的最大值7358.33)(=n MaxG ，n

r

r f =

)(，200=n 。 在问题二中，即将第一问中的概率分布)(r f 转化为概率密度)(r p ，在Matlab 工具箱子CFtool 中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和转化为积分，通过对目标求导等手段分析得出每天的报纸进货量n 。其中

2

)

98

.54)1.190((

)(--=x e

r p ，=)(n G （ ） ，=n

关键词

随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益

1、问题重述

1.１问题背景

在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。

１.２报童获利途径

报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。当天销售不出去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。

１.３问题提出

现在需用数学建模解决以下问题：

问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？

问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？

２、模型假设

（１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（２）假设不考虑缺货损失

（３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用

（４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量

３、符号说明

r报纸需求量

f报纸需求量概率分布（离散型）

(r

)

p报纸需求量概率密度（连续性）

(r

)

G报童每天购进n份报纸的平均收入

)

(n

)(n g 报童一天的利润收入 n

报童每天买进报纸量

1p n r <时的概率 2p

n r >时的概率

４、问题分析

单周期随机贮存在实际生产生活中经常遇到，单周期即只订一次（缺时也不订），期后可处理余货；随机因素是需求和拖后时间，统计规律为历史资料。报童问题模型的提出及最优解决方案可以为类似问题提供借鉴之处。 ４.１问题一的分析

问题一要求将报纸需求量看作离散型分布，根据给出的数据求报纸需求量的分布律。当数据是离散型的时候我们可以直接计算得出报纸需求量的分布律。根据计算出的分布律代入到建立的模型中，经求导等步骤后得出报童每天买进报纸数量及最大平均总收入。 ４.２问题二的分析

问题二要求将报纸需求量看作连续型分布。因统计数据为历史资料，因而只能得出历史条件下的概率密度。在问题一的模型基础上我们需将题目中给出的数据进行统计分析，数据拟合得出概率密度)(r p ，将求和转化为积分，同样利用求导等手段求出最优解。

５、模型的建立与求解

５.１问题一的模型建立与求解 ５.１.１计算)(r f

因该组数据为离散型分布：

表1

所以：

n

r r f =

)( ○1 计算结果如下表：

报纸需求量概率分布表

５.１.２计算目标函数

（１）当天若需求量r 小于供应量n 时，售出r 份，退回)(r n -份，报童收 入为))(2.03.0()3.05.0(r n r ----元；

（２）当天若需求量r 大于供应量n 时，售出n 份，退回０份，报童收 入为n )3.05.0(-元。

故有n

r n r n

r n r n g ><⎩⎨

⎧--=2.0)

(1.02.0)(

根据○

1可得 ∑∑=∞

+=-+

----=n

r n r r nf r f r n r n G 01

)()3.05.0()()])(2.03.0()3.05.0[()(

∑∑=+∞

+=+--=n

r n r r nf r f r n r 0

1

)(2.0)()](1.02.0[ ○

2 即求n 使)(n G 最大 即问题一的数学模型为：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

+--==∑∑=∞

++=n r n r r nf r f r n r n G n r r f 01)(2.0)()](1.02.0[)()(

在lingo 环境下计算出)(,n G n 的值。其中 7358.33)(,200==n MaxG n 5．2问题二的模型建立与求解