2020年四川省泸州市高考数学三诊试卷(二)(有答案解析)
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 A={x|y=ln（x-1）}，B={y|y=2x}，则 A∩B=（ ）
A. [0，+∞）
B. （0，+∞）
C. [1，+∞）
D. （1，+∞）
2. 已知复数 z 满足
，则|z|的值为（ ）
可得 y=cos（x+m+ ）的图象，
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根据到的图象关于坐标原点对称，可得 m+ =kπ+ ，求得 m=kπ+ ，k∈ ，
则 m 的最小值为 ， 故选 B．
10.答案：C
解析：解：显然直线 y=k（x- ）
过抛物线的焦点 F（ ，0），
如图：过 A，M 作准线的垂线， 垂足分别为 C，D，过 M 作 AC 的垂线，垂足为 E， 根据抛物线的定义可得 MD=MF，AC=AF， 又 AM=MN，所以 M 为 AN 的 中点，所以 MD 为三角形 NAC 的中位线，所以
5.答案：A
解析：解：由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体， 圆柱的底面半径为 2，棱柱的底面棱长为 2， 两个柱体的高均为 4， 故组合体的体积 V=（π•22-2×2）×4=16π-16， 故选：A． 由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体，代入柱体体
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 四人并排坐在连号的四个座位上，其中 A 与 B 不相邻的所有不同的坐法种数是
（）
A. 12
B. 16
C. 20
D. 8
9. 将函数
的图象向左平移 m(m > 0)个单位长度后，得到的图象
关于坐标原点对称，则 m 的最小值为（ ）
MD=CE=EA= AC，
设 MF=t，则 MD=t，AF=AC=2t，所以 AM=3t，在直角三角形 AEM 中，
ME=
=
=2 ，
所以 k=tan∠MAE= = =2 ．
故选：C． 根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义可得． 本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．
11.答案：C
解析：解：由[x]表示不超过 x 的最大整数， 对于 A，函数 f（x）=x-[x]∈[0，1），A 错误； 对于 B，函数 f（x）=x-[x]为非奇非偶的函数，B 错误； 对于 C，函数 f（x）=x-[x]是周期为 1 的周期函数，C 正确； 对于 D，函数 f（x）=x-[x]在区间[0，1）上为增函数，但整个定义域为不具备单调性， D 错误． 故选：C． 根据[x]表示不超过 x 的最大整数，分别判断函数 f（x）=x-[x]的值域、奇偶性、周期性、 单调性，即可得出结论． 本题考查了函数的值域、单调性、奇偶性和周期性应用问题，正确理解新定义是解题的 关键．
，四边形 ABCD 是平行四边形，且 AE⊥BD．
（Ⅰ）求证：AB=AD； （Ⅱ）若点 F 在线段 AE 上，且 EC∥平面 BDF，∠BCD=60°， BC=CE，求二面角 A-BF-D 的余弦值．
20. 设椭圆
的右焦点为 F，右顶点为 A，已知椭圆离心率为 ，
过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线 l 斜率的取值 范围．
．
（Ⅰ）判断点 P 与直线 的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线 C 的两个交点分别为 A，B，求
的值．
23. 已知 a＞0，b＞0，函数 f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值为 1． （1）求证：2a+b=2； （2）若 a+2b≥tab 恒成立，求实数 t 的最大值．
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等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1=3，S5=35，则数列{an}的公差为（ ）
A. -2
B. 2
C. 4
D. 7
4. 双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=± x
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
（）
A. f（x）的值域是[0，1]
B. f（x）是奇函数
C. f（x）是周期函数
D. f（x）是增函数
12. 三棱锥 S-ABC 的各个顶点都在求 O 的表面上，且△ABC 是等边三角形，SA⊥底面
ABC，SA=4，AB=6，若点 D 在线段 SA 上，且 AD=3SD，则过点 D 的平面截球 O
13.答案：-2
解析：解：由
展开式通项公式 Tr+1= （ax2）6-r（- ）r=（-1）ra6-r x12-3r，
令 12-3r=3，解得 r=3，
所得截面的最小面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C. 8π
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
D. 13π
13.
展开式中 x3 项系数为 160，则 a 的值为______．
14. 已知实数 x，y 满足约束条件
，则 的最小值为______．
15. 已知函数 f（x）=
，则 f（-2）+f（log23）=______．
4.答案：A
解析：解：∵双曲线的离心率为 e= = ，
则= = =
= =，
即双曲线的渐近线方程为 y=± x=± x，
故选：A． 根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求解即可． 本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决 本题的关键．
月份
56
7
8
9
10
11
12
研发费用（百万
元）
23
6
10
21
13
15
18
产品销量（万台） 1
1
2
2.5
6
3.5 3.5 4.5
（Ⅰ）根据数据可知 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出 y 与 x 的线性回归方程（系
数精确到 0.01）；
（Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以 Z（单位：万台）表示日销售，当 Z∈[0，0.13）
12.答案：A
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解析：解：如图，
设三角形 ABC 外接圆的圆心为 G，则外接圆半径 AG=
=，
设三棱锥 S-ABC 的外接球的球心为 O，则外接球的半径 R=
．
取 SA 中点 E，由 SA=4，AD=3SD，得 DE=1，
∴OD=
．
∴过点 D 的平面截球 O 所得截面圆的最小半径为
16. 过直线 4x+3y-10=0 上一点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则 •
的最小值是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
．
（Ⅰ）求角 A
（Ⅱ）若
，求 b．
18. 下表是某公司 2018 年 5～12 月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体 数据：
D. y=± x
）
A. 16π-16
B. 8π-8
C. 16π-8
D. 8π-16
6. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，且公比为 2，则 Sn 与 an 的关系正确的
是（ ）
A. Sn=4an-1
B. Sn=2an+1
C. Sn=4an-3
D. Sn=2an-1
7. 设 ， 为非零向量，则“存在正数 λ，使得 =λ ”是“ • ＞0”的（ ）
9.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于 基础题． 利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得 m 的最小 值． 【解答】
解：将函数
=cos（x+ ）的图象向左平移 m（m＞0）个单位长度后，
获得奖励金额总数大约多少元．
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参考数据：
参考公
式：相关系数 r=
，其回归直线 = x 中的 =
，
若随机变量 x 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ ＜x≤μ+2σ）=0.9544，
19. 如图，四棱锥 E-ABCD 中，平面 ABCD⊥平面 BCE，若
8.答案：A
解析：解：根据题意，分 2 步进行分析： ①，将除 A、B 之外的 2 人全排列，有 A22=2 种情况，排好后有 3 个空位， ②，将 A、B 安排在 3 个空位中，有 A32=6 种情况， 则 A 与 B 不相邻的所有不同的坐法有 2×6=12 种； 故选：A． 结合题意，分 2 步进行分析：①，将除 A、B 之外的 2 人全排列，②，将 A、B 安排在 3 个空位中，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意不相邻问题用插空法分析，属于基础题．
2.答案：C
解析：解：由
，得 z= ，
则|z|=| |=
．
故选：C． 把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
四川省泸州市高考数学三诊试卷
2018年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科)副标题题号 一二三总分得分一、选择题(本大题共12小题，共6 0.0分)1. 己知集合 A={x\0< x + l<3}, 3=(-2 , J, 0, 7,2},则 ADB=( )A. {0. 1}。
B. {1.2} oC. {- 1 , 0 }D.02.若复数z=g(其中，为虚数单位)，贝忙1=()A.5OB. IC.[gD. g3.已知 t a n a=£|,则 tan2a=()(1,2) , & 伽,3加一2),且平而内的任一向呈|都可以唯一的表示成中入^+卩© (人卩为实数)，则加的取值范用是()A. (—8, 2)oB ・(2, 4-oo) C ・(-co, +a>)D •(—oc, 2) U ( 2 , +oo)5.某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了 100名性别不同的学生，得到如下的2x2列联表：0・1 50・1 0 0.0 5 0.0 25 0. 0 10 k Q2・ 0722.7 063.84 1 5 . 0246.6 35很据以上数拯，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关” ?()A. 9 9%以上。
B. 9 7.5%以上C. 95% 以上D.将函数 f (A ) = A si n (3x+cp) (A>0, co> 0 , |p I <7r)的图象向 右平移|个单位长度得到乡(X )的部分图象如图示,则函数/(X )的解 析式为()男生女生总计喜爱 30 20 50 不喜爱 20 30 50 总计5050100n(ad-bc)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + rf).□■A.4.已知平而直角坐标系内的两个向就Q6.A./U)=2s i n (2A-+^)AB./( AT)=2S i n(2x+卧C J( x) =2sin(2.Y+^) ^D./(x)= 2sin(2x：+^)亠12. 7.已知[x]表示不超过x 的最大整数，比如:[0. 4]=0, [-0 . 6]=1.执行如图所示的 程序框图,若输入x 的值为2. 4,则输岀z 的值为（ ）8. 9.10.11.A. 1.2B. 0 . 6C. 0. 4 oD. -0.4已知双曲线A -2-|=1,左、右焦点分別为几F?,若圆％3） 2+〉—2 （r>o ）上总 存在点P满足…；=0,则r 的取值范围是（）A. [1,5] oB. [1,3]，C. [3, 5]oD. [ 1,-Ho ）如图，网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实线画岀的是一个空 间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 护.恥恥乌椭圆口 （&>b>0）的左、右焦点为别为戸（一c, 0） ,F2（C ,0）,点P 在C 上，戶尸2与x 轴垂直，若A PF,F 2的内切圆半径等于甘 则C 的离心率为（） A*目。
2022年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年四川省泸州市高考数学三诊试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.复数( )A. B.C.D.3.等差数列的前n 项和为，若，，则数列的公差( )A. 2B. 4C. 6D. 84.从1，3，5，7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是( )A.B.C.D.5.空气质量指数简称是能够对空气质量进行定量描述的数据，AQI 越小代表空气质量越好．甲，乙两地在9次空气质量监测中的AQI 数据如图所示，则下列说法不正确的是( )A. 甲地的空气质量好于乙地B. 甲地的AQI 的平均值大于乙地C. 甲地的AQI 的方差小于乙地D. 甲地的AQI 的中位数大于乙地6.抛物线C ：的焦点为F ，点P 是C 上一点，若，则点P 到y 轴的距离为( )A. 2B. 3C. 4D. 57.下列函数中，定义域为R 且周期为的偶函数是( )A. B.C. D.8.圆的圆心到双曲线的一条渐近线的距离是( )A. B. C. D.9.点M、N分别是正方体的棱、的中点，用过平面AMN和平面的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正主视图、侧左视图、俯视图依次为( )A. ①、②、③B. ②、③、④C. ①、③、④D. ②、④、③10.已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是( )A. B. C. D.11.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要参考数据：，( )A. 8分钟B. 9分钟C. 10分钟D. 11分钟12.已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D【解析】利用交集的定义直接计算即可. 【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.2．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.3．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行； 当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行. 所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件， 当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【答案】B【解析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 5．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35- C ．45D ．35【解析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵1 tan2α=，∴22222211cos sin1tan34cos21cos sin1tan514ααααααα---====+++，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．32πC．2πD．3π【答案】B【解析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32π. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.7．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【详解】()2321f x x x '=-+，故()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.8．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D【解析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 9．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A【解析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=--⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．10．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D【解析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤+()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D【解析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥. 因为1,3CD BD BC ===231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=. 由正弦定理可得1322sin 3DO ==，故11DO =，又因为3AD =23DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ， 因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ， 所以四边形21OO DO 为平行四边形，所以1232OO DO ==， 所以3714OD =+=72，外接球的表面积为74=74ππ⨯.故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.12．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ） A ．5B ．2C ．5D ．10 【答案】D【解析】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =.在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以5102c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.二、填空题13．()621x -的展开式中2x 的系数为__________（用具体数据作答）. 【答案】60【解析】利用二项展开式的通项公式可求2x 的系数. 【详解】()621x -的展开式的通项公式为()()61621rrrr T C x -+=-，令62r -=，故4r =，故2x 的系数为()44261260C -⨯=.故答案为：60. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题. 14．已知变量，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】-5【解析】画出，满足的可行域，当目标函数经过点时，最小，求解即可。
2020年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科) (解析版)
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0） B ．[﹣1，0） C ．（﹣2，1） D ．[﹣1，1]2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（ ） A ．每天新增疑似病例的中位数为2B ．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C ．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D ．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f （x ）＝e x +1（其中e 为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线为l ，命题p ：点（1，3）在直线l 上，命题q ：点（﹣1，2）在直线l 上，则下列命题正确的是（ ）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则S10a4值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．−239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√312），c＝f（√3）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若AB→+AM→=0→，则|AB|的值等于（）A．34p B．2p C．3p D．94p12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量a→与b→满足a→•b→=−2，且a→•（a→+2b→）＝5，则|a→|＝．14．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18，S3﹣a1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别 选择物理选择历史 总计 男生 50 m 女生 30 n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且SB =4√2，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x +1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1． （Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3my =2+4m （m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分） 23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ． （I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0）B ．[﹣1，0）C ．（﹣2，1）D ．[﹣1，1]【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}， B ＝{x |x 2﹣1≤0}＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1≤x ＜0}＝[﹣1，0）． 故选：B ． 2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由2i z=1﹣i ，得z =2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，故选：D ．3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0对应的平面区域，由图象可知点A 到直线y ＝x 的距离最小， 此时d =2=√2， 即|PA |的最小值为√2， 故选：C ．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3cos(−x)+1−x=−f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ， 又f （﹣π）=3cos(−π)+1−π=2π＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则S 10a 4值为（ ） A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出S 10a 4．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．则S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=5(−3d+9d)−32d+3d =20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m ]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13−1）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（ ）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直 B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直 C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确． 解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误； BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√2，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确． 故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √312），c ＝f （√3）的大小关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√3），只要分析清楚3√3，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数； a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √312）＝f （log √32）＝f （3log √3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√3）＝f （log 33√3），因为32＞23所以3＞21.5＞2√2，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√2ln 2， 所以ln3ln2＞1.5＞√2，所以√2ln 3＞2ln 2， 所以3√2＞4， 所以3√3＞3√2＞4，要分析3√3与92大小，只需确定√3ln 3与ln 92的大小，也就是√3ln 3与2ln 3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3−√3ln 3＝（2−√3）ln 3的大小， 需分析2−√3与ln3ln2的大小，而2−√3=2+√3，ln3ln2=log 23∈（1，2），所以2+√3＞log 23， 所以3√3＞92，所以3√3＞92＞4，所以log 33√3＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√3）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ， 故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若AB →+AM →=0→，则|AB |的值等于（ ） A ．34pB ．2pC ．3pD ．94p【分析】由AB →+AM →=0→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为AB →+AM →=0→，可得A 为BM 的中点，则AA′BB′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ， |BB ′|＝|BF |＝2t ，故|FF′||BB′|=p2t=4t6t，即有t=34p，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝3t＝3×34p=94p，故选：D．12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g（x）．由x的范围求得2x+π3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x1+x2的值，进一步求出g（x1+x2）判断（2）；求出函数m（x），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C：f（x）＝sin（4x+π3）．把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝sin（2x+π3）．（1）当x∈(−1112π，−512π)时，2x+π3∈(−3π2，−π2)，则g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数，故（1）正确；（2）当x∈(−3π4，−π12)时，2x+π3∈(−7π6，π6)，由2x+π3=−π2，得一条对称轴方程为x =−5π12． 又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴x 1+x 2=−5π6， 则g （x 1+x 2）＝g （−5π6）＝sin （−5π3+π3）＝﹣sin 4π3=√32，故（2）正确； （3）m(x)=g(x −π6)+2g(12x −π6)=sin[2（x −π6）+π3]+2sin[2（12x −π6）+π3]＝sin2x +2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x +2cos x ＝2（2cos 2x +cos x ﹣1）＝2（cos x +1）（2cos x ﹣1）， 令m ′（x ）＝0，解得x =π3或x =5π3或x ＝π， 可得m （x ）在（0，π3），（5π3，2π）上单调递增，在（π3，5π3）上单调递减．∴当x =5π3时f （x ）取得最小值为sin 10π3+2sin 5π3=−3√32，故（3）正确． ∴正确命题的个数是3个． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上） 13．已知平面向量a →与b →满足a →•b →=−2，且a →•（a →+2b →）＝5，则|a →|＝ 3 ． 【分析】a →•（a →+2b →）可整理为|a →|2﹣4＝5，解得即可．解：a →•（a →+2b →）＝|a →|2+2a →⋅b →=|a →|2﹣4＝5，解得|a →|2＝9，所以|a →|＝3， 故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比． 解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34， ∴q ＞0，且q ≠1， ∴{a 1q 3=18a 1(1−q 3)1−q−a 1=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12． 故答案为：12．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是 4 ．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解． 解：由双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0），得x 2m−y 2m=1，∴a ＝b =√m ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆x 2+y 2﹣2ym ＝0化为x 2+（y ﹣m ）2＝m 2， 如图：联立{y =x x 2+y 2−2ym =0，解得B （m ，m ），同理解得A （﹣m ，m ）．∴几何图形M 的面积为12×2m ×m =m 2=16，即m ＝4（m ＞0）． 故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为 √6π8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案． 解：如图，分别取AB ，BC ，AC 的中点D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF ，沿DE ，EF ，DF ，剪开，把三角形DEF 作为底面， 可得正三棱锥P ﹣DEF ，则三棱锥P ﹣DEF 的所有棱长相等，等于1． 把P ﹣DEF 放置在棱长为√22的正方体中， 则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)2+(√22)2+(√22)2=√64．则该三棱锥外接球的体积为43π×(√64)3=√68π．， 故答案为：√6π8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 m 女生3060n总计90 110 200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ． P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n 的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×200=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60−50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a +2b ＝2c cos A ，将边化为角，得sin A +2sin B ＝2sin C cos A ，再结合A +B +C ＝π与正弦的两角和公式化简可得cosC =−12，由于C ∈（0，π），所以C =2π3；（Ⅱ）S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin A+2sin B＝2sin C cos A，而sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以sin A+2sin A cos C＝0，又因为sin A≠0，所以cosC=−1 2，由于C∈（0，π），所以C=2π3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√3，所以S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=1+16−2×1×4×cos 2π3=21，故c=√21．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且SB=4√2，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故SA=√SB2−AB2=4，SG=2√3，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12 SG，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13S ABCD⋅SG−13S△ACD⋅SG−13S△ABC⋅12SG =13×2√3(2+42×4−12×4×2−12×4×4×12) =8√33．20．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a ，b ，然后求出椭圆方程． （Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），利用韦达定理设出M ，N ，利用|CM |＝|DN |，结合y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，求出CD ，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：e =c a =√32=√1−b 2a2，2b2a =1， 所以a ＝2，b ＝1， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，又M(−mk ，0)，N （0，m ），因|CM |＝|DN |，所以x M ﹣x 1＝x 2﹣x N ，即x M +x N ＝x 1+x 2， 所以−8km 1+4k2=−mk ，因为y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ， 所以m ≠0，又k ＞0， 则k =12，故x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，因为直线y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以−√3≤−2m ≤√3，即−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−2)=√5(2−m 2)，因为−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以当m=√32或m=−√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a＝0，a＞0及a＜0三种情况讨论f′（x）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于m≥1−axlnx−xx+1在x＞0且0＜a≤1上恒成立，令h(x)=1−axlnx−xx+1，当x≥1时，易知只需m≥0，当0＜x＜1时，通过放缩思想可知只需m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，然后分m≥2，m＝1及m＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1+alnx+a＝a（lnx+1）+1，当a＝0时，f（x）＝x﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(e−1a−1，+∞)；当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(0，e−1a−1)；（Ⅱ）因为g（x）≥0，则m（x+1）+axlnx+x﹣1≥0，因为x＞0，所以m≥1−axlnx−xx+1，令h(x)=1−axlnx−xx+1，（i）当x≥1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤0，因此1﹣x﹣axlnx≤0，故只需m≥0；（ii）当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤﹣xlnx，所以h(x)≤1−xlnx−xx+1≤m，即m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，则p′(x)=x−m+1x2，当m≥2时，p（x）在（0，1）上递减，p（x）min＝p（1）＝2m＞0；当m＝1时，p（x）＝lnx+2，则p(13)=−3+2=−1＜0，不合题意；当m＝0时，p(x)=lnx−1x+1，则p(1e)=−e＜0，不合题意；综上可知，整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1．（Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC 心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC 心形线的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM ||PN |的值．解：（Ⅰ）由ρ√1−|cosθ|sinθ=1，得ρ2（1﹣|cos θ|sin θ）＝1，①当θ∈[−π2，π2]时，①化为ρ2﹣ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）； 当θ∈（π2，3π2）时，①化为ρ2+ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2+xy ＝1（x ＜0）．综上，RC 心形线的直角坐标方程为x 2+y 2﹣|x |y ＝1；（Ⅱ）由直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），消去参数m ，可得4x +3y ﹣6＝0． 化为{x =−35t y =2+45t （t 为参数），代入x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）， 得3725t 2+2225t +3=0．设M 、N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=7537． ∴|PM ||PN |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ．（I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m 3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163． 【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m ； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m 值代入a +b +c =m 3，得a +b +c ＝1，然后利用柯西不等式证明（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163． 【解答】（Ⅰ）解：f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|={−3x +3，x ≤−1−x +5，−1＜x ＜23x −3，x ≥2，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m ＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163， 当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号，∴（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．。
2020年5月四川省泸州市泸县四中2020届高三毕业班“泸州三诊”模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前四川省泸州市泸县第四中学2020届高三毕业班下学期“泸州三诊”模拟考试数学(文)试题2020年5月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数i i z 2143--=,则复数在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{}2|0,A x x x x R =+=∈,则满足{}0,1,1A B =-U 的集合B 的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．9B ．203C ．103D ．24．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中,甲所得为A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱5．定义运算a b ad bc c d =-,则函数()1sin 21x f x x =的大致图象是 A ．B ．C ．D ． 6．已知4sin()5πα+=,且α是第四象限角,则cos(2)απ-的值是 A ．35- B ．35 C ．35± D ．457．已知圆C :221x y +=,定点()00,P x y ,直线l :001x x y y +=,则“点P 在圆C 外”是“直线l 与圆C 相交”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.在边长为4的正方形ABCD 内部任取一点M,则满足AMB ∠为锐角的概率为A ．18π-B ．8πC ．14π-D ．4π 9．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数．若(2)2f =-,则满足2(2)2f x -≤-≤的x 的取值范围是A ．[]22-,B ．[]1,3C ．[]1,1-D ．[]0,410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称,则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为 A ．3 B ．32 C ．12 D ．12- 11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ,焦点到双曲线C 3,则双曲线的渐近线方程为A ．3y x =B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±。
2020届 四川省泸州市 第三次教学质量诊断性考试数学(理)试题(解析版)
B． 2
C． 2 2
D．2
【答案】C
【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数 z，进而求得其模.
【详解】
因为 1 z
1i
z 1 1 i
1i 1 i2
1 1 i ，所以 22
z
1 2 2
1 2
2
2 2
故选：C
【点睛】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
3．等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a1 3， S5 35 ，则数列an的公差为（ ）
的是（ ）
A． f x 的值域是0,1
B． f x 是奇函数
C． f x 是周期函数
D． f x 是增函数
【答案】C
【解析】根据 x 表示不超过 x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、
奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】
由 x 表示不超过 x 的最大正整数，其函数图象为
求得答案.
【详解】 该二项式的展开式的第 r+1 项为
Tr1 C6r
ax2
6r
1 x
r
1r
a6rC6r
x123r
令12 3r 3 r 3 ，所以T4 13 a63C63 x1233 20a3x3 ，则
20a3 160 a 2
故答案为： 2 【点睛】
本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.
0
个单位长度后，得到的图
像关于坐标原点对称，则 m 的最小值为（ ）
A． 3
B．
4
C． 2
D．
【答案】B
【解析】由余弦的二倍角公式化简函数为
y
cos
x
【精准解析】四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试数学(理)试题
3. 2
因为 AD DB, AD CD, DB CD D ，故 AD 平面 BCD ，所以 OO1 //AD ，
因为 AD 平面 BCD ， DO1 平面 BCD ，故 AD DO1 ，故 OO2 //DO1 ，
所以四边形 OO2DO1 为平行四边形，所以 OO1 DO2
3， 2
sin2 sin2
1 tan2 1 tan2
1 1 4
1 1
3
，
5
4
故选 D
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，
主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
6.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 1π 2
所以 OD 3 1 7 ，故外接球的半径为 7 ，外接球的表面积为 4 7 =7 .
4
2
2
4
故选：D.
【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦 定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，
然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
A. 20
B. 24
C. 25
D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为 C52 C53 C54 C55 ，再利用组合数的计算
公式可得所求的种数.
【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为 C52 C53 C54 C55 20 5 1 26（种），
纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
8.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第 12 回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五
四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数3412iZ i-=- ，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】341121255i z i z i -==+-在复平面内对应的点Z 坐标为112(,)55在第一象限，故选A.2.已知集合{}2|0,A x x x x R =+=∈，则满足{}0,1,1A B =-的集合B 的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合A ，然后根据{}0,1,1AB =-可求集合B 的个数.【详解】因为{}{}2|0,0,1A x x x x =+=∈=-R ，{}0,1,1AB =-，所以集合B 可能是{}{}{}{}1,0,1,1,1,0,1,1--. 故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是（ ）A. 9B.203C.103D. 2【答案】B 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中()10514,33A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，.作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点B 时，z 取得最小值，min 105202333z =+⨯=，故选B.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d-+-=++++,解得6a d=-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.5.定义运算a bad bc c d=-，则函数()1sin 21xf x x=的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数()f x 为奇函数排除B 、D ；再根据函数的单调性排除选项C ，即可得到答案． 【详解】根据题意得，1()sin 2f x x x =-且函数()f x 为奇函数，排除B 、D ； (0)0f =；当0πx <<时，1()cos 2f x x '=-， 令()03f x x ππ'>⇒<<，令()003f x x π'<⇒<<，∴函数()f x 在(0,)π上是先递减再递增的，排除选项C ；故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 6.已知4sin()5πα+=，且α是第四象限角，则cos(2)απ-的值是（ ） A.35B. 35C. 35± D. 45【答案】B【解析】 【分析】先化简已知得到4sin 5α=-，再化简()cos 2απ-=cos α，再利用平方关系求值得解. 【详解】因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，因为()cos 2απ-=cos α，α是第四象限角，所以3cos 5α=.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 利用平方关系22sin cos 1αα+=求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号.7.已知圆C :221x y +=，定点()00,P x y ，直线l :001x x y y +=，则“点P 在圆C 外”是“直线l 与圆C 相交”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点P 在圆C 外，则22001x y +>，圆心到直线l :001x x y y +=的距离1d =<，此时直线l 与圆C 相交；若直线l 与圆C 相交，则1d =<，即22001x y +>，此时点P 在圆C 外.故选：C .【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.8.1012x dx ⎫=⎪⎭⎰（ ）A.14π+ B. 12π+ C.124π+ D. 14π+【答案】A 【解析】【详解】1112001111022444x x dx dx xdx ππ+⎫=+=+=⎪⎭⎰⎰⎰故选A.9.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(2)2f =-，则满足2(2)2f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A. []22-,B. []1,3C. []1,1-D. []0,4【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性把2±变换为对应函数值，再利用函数的单调性得到答案. 【详解】函数()f x 在(,)-∞+∞为奇函数．若(2)2f =-，满足2(2)2f x -≤-≤ 则：(2)(2)(2)f f x f ≤-≤- 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减 即：22204x x -≤-≤⇒≤≤ 故答案为D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题型. 10.函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A. B.2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2， 故选B ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．11.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（）A. y =B. y =C. y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为，可得：=，可得b c =，b a =C 的渐近线方程为y =．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.12.已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A. a b ab += B. 4a b +>C. ()()22112a b -+-< D.228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据||||cos a b a b a ⋅=<，b >，得a 在b 上的投影为||cos a a <，||a bb b ⋅>=，求出a b ⋅，代入投影的公式计算即可． 【详解】向量(3a =，1)-，(3b =，1)，∴312a b ⋅=-=，||2b =，∴a 在b 方向上的投影为||cos a a <，212||a b b b ⋅>===． 故答案为：1．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．14.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．15.若过点()2,0M的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____．【答案】8 【解析】 【分析】由直线方程为2)y x -与准线:al x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值. 【详解】解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=-过点()2,0M的直线方程为2)y x =-，联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B坐标为)(,)a a 844+-， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA =，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()4423(8)402a x a y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨-+⎪+⎪=⎪⎩，解得()(,)a 3a 8A 444++，将()(,)a 3a 8A 444++代入抛物线方程， 即()()()23a 8aa 44+=+， 因为0a >， 解得8a =.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，现有如下四个结论：AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确；对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误． 综上知①②③正确，故答案为①②③【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos 5C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.【答案】（1）4A π=；（2【解析】 【分析】（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理即可得结果.【详解】（1）∵cos C =，∴sin 5C ===.由正弦定理sin sin a c A C=5=.得sin A =cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4A π=.（2）∵()B A C π=-+，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+22⎛=+= ⎝⎭由正弦定理得sin sin b a B A==得b =在ACD ∆中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅⋅242222=+-⨯=，∴CD =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.18.在某外国语学校举行的HIMCM (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求a 的值,并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)填写下面的22⨯列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生男生 总计 获奖 5不获奖总计 200附表及公式：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）0.025a =，69x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22⨯列联表,再计算出2K ,与临界值比较可得．【详解】解：(Ⅰ)110a =⨯[1(0.010.0150.03-+++0.0150.005)10]0.025+⨯=, 450.1550.1565x =⨯+⨯+0.25750.3850.15950.0569⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22⨯列联表如下：女生男生 总计获奖 5 3540不获奖 45 115 160总计 50150200因为22200(51153545)40160150K ⨯⨯-⨯=⨯⨯ 4.167 3.841≈>,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，DAB 60︒∠=，AD 2=，AM 1=， ME 2=，E 为AB 的中点.（1）平面ADNM ⊥平面ABCD（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（27【解析】 【分析】（1）由四边形ADMN 为矩形，所以AM AD ⊥，再由勾股定理，得到AE AM ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AM ⊥平面ABCD ，进而得到平面ABCD ⊥平面ADNM . （2）建立空间直角坐标系D xyz -，求得平面PEC的法向量为(12n h =，又由平面DEC 的法向量()20,0,1n =，利用向量的夹角公式，即可求解，得到结论. 【详解】（1）证明：由题意知，四边形ADMN 为矩形，所以AM AD ⊥， 又∵四边形ABCD 为菱形，E 为AB 中点， 所以1AM =，1AE =，ME =222AE AM ME +=，所以AE AM ⊥，又AE AD A ⋂=，所以AM ⊥平面ABCD ，又AM ⊂平面ADNM ， 所以平面ABCD ⊥平面ADNM（2）假设线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π，在AM 上取一点P ， 连接EP ，CP .由于四边形ABCD 是菱形，且60DAB ︒∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 又四边形ADMM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∴DN ⊥平面ABCD ， 所以建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - 则()0,0,0D，)E ，()0,2,0C，)1,Ph -，则()3,2,0CE =-，()0,1,EP h =-，设平面PEC 的法向量为()1,,n x y z =，则11·0·0cE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴20y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，则(12n h =，又平面DEC 的法向量()20,0,1n =，所以121212·cos ,27n n n n n n h ===，解得7h =， 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π，此时h =.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.【答案】(1) 2214x y += (2) 3.2【解析】 【分析】（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=，所以12x x =， 又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，11,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫-⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x '=--<恒成立，()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.21.已知函数2()ln()f x x a x x =+-+，2()1(0)x g x x e x x =⋅-->，且()f x 点1x =处取得极值．（Ⅰ）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （Ⅱ）证明：()()g x f x ≥．【答案】（Ⅰ）5,ln 232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导，利用'(1)0f =求值；分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（Ⅱ）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．【详解】（Ⅰ）∵2()ln()f x x a x x =+-+， ∴1()21f x x x a-+'=+ ∵函数2()ln()f x x a x x =+-+在点1x =处取得极值， ∴'(1)0f =，即当1x =时1210x x a-+=+， ∴1101a-=+，则得0a =．经检验符合题意 ∵5()2f x x b =-+，∴25ln 2x x x x b -+=-+， ∴27ln 2x x x b -+=．令27()ln (0)2h x x x x x =-+>， 则17(41)(2)'()222x x h x x x x+-=-+=-．∴当[]1,3x ∈时，随的变化情况表：1（1，2）2（2，3）3↗极大值↘计算得：5(1)2h =，35(3)ln 322h =+>，(2)ln 23h =+，5(),ln 232h x ⎡⎤∴∈+⎢⎥⎣⎦所以b 的取值范围为5,ln 232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）证明：令()()()F x g x f x =-ln 1x x e x x =⋅---()0x >， 则()()111xF x x e x =+⋅--'()()11x x x e x+=⋅⋅-，令()1xG x x e =⋅-，则()()10(0)x G x x e x =+⋅>>'，∴函数()G x 在()0,∞+递增，()G x 在()0,∞+上的零点最多一个又(0)10G =-<，(1)10G e =->，∴存在唯一的()0,1c ∈使得()0G c =，且当()0,x c ∈时，()0G x <；当(),x c ∈+∞时，()0G x >． 即当()0,x c ∈时，()0F x '<；当(),x c ∈+∞时，()0F x '>．∴()F x ()0,c 递减，在(),c +∞递增，从而()F x ≥()ln 1c F c c e c c =⋅---．由()0G c =得10c c e ⋅-=即1c c e ⋅=，两边取对数得：ln 0c c +=，∴()0F c =，∴()()0F x F c ≥=，从而证得()()g x f x ≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. ()1若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或3m =；()22⎡-+⎣.【解析】 【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l的距离（弦心距）2d ==,圆心()2,0到直线y x m =-的距离为2=, ∴21m -=∴1m =或3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为： 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） (),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣.【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x x m x =-+，x ∈R .（Ⅰ）若不等式()2f x m ≥对x ∀∈R 恒成立，求正实数m 的取值范围； （Ⅱ）设实数t 为（Ⅰ）中m 的最大值.若正实数a ，b ，c 满足2t abc =，求()()()111a b c +++的最小值.【答案】（Ⅰ）(]0,2；（Ⅱ）8.【解析】【分析】 （Ⅰ）利用绝对值不等式可求()f x 的最小值为m ，从而有2m m ≥，结合0m >可得m 的取值范围.（Ⅱ）利用基本不等式可求()()()111a b c +++的最小值.【详解】（1）()222f x x m x x m x m =-+≥--=，当且仅当()20x m x -≤时等号成立， 22m m ∴≤，解得22m -≤≤，∴正实数m 的取值范围为(]0,2.（2）由（1）知，2t =，即1abc =.10a +≥>，10b +≥>，10c +≥>()()()1118a b c ∴+++≥=，当且仅当1a b c ===时()()()111a b c +++取得最小值为8.【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式a b a b +≥+中，等号成立的条件是0ab ≥，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件.。
2020年四川省泸州市高考数学三诊试卷（文科）（解析版）
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣1，0）C．（﹣2，1）D．[﹣1，1]2．若2??=1﹣i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．已知点A（2，0），动点P（x，y）满足{-??≤??≥??，则|PA|的最小值为（）A．1B．2C．√??D．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3+1的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则104值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．-239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√12），c＝f（√）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C 的准线交于点M ，若→+→=??→，则|AB |的值等于（）A ．34B ．2pC ．3pD ．94??12．已知曲线：??(??)=(????+3)，把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，关于g （x ）有下述四个结论：（1）函数g （x ）在(-1112??，-512??)上是减函数；（2）当，????∈(-3??4，-??12)，且x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），则(??+????)=√32；（3）函数()=??(??-6)+(12??-??6)（其中x ∈（0，2π））的最小值为-3√32．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量→与→满足??→???→=-2，且??→?（??→+2??→）＝5，则|??→|＝．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生50m 女生30n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+d+c+d ．P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2b ＝2ccosA ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且=??√??，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆??：22+??22=??(??＞??＞??)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx+m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD|的最小值．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ√??-||=1．（Ⅰ）求RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P（0，2）与直线l：{=-=??+（m为参数），若直线l与RC心形线交于两点M，N，求|PM||PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|的最小值为m．（I）求m的值；（II）当a+b+c=3时，证明：（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣1，0）C．（﹣2，1）D．[﹣1，1]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0}＝[﹣1，0）．故选：B．2．若2??=1﹣i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由2??=1﹣i，得z=2??1-??=2??(1+??)(1-??)(1+??)=-??+??，故选：D．3．已知点A（2，0），动点P（x，y）满足{-??≤??≥??，则|PA|的最小值为（）A．1B．2C．√??D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P（x，y）满足{-??≤??≥??对应的平面区域，由图象可知点A到直线y＝x的距离最小，此时d=2√2=√??，即|PA|的最小值为√??，故选：C．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3+1的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3(-??)+1-??=-f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ，又f （﹣π）=3(-??)+1-??=2??＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则104值为（）A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=-32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出104．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=-32d ．d ≠0．则104=10??1+10×９2????1+3??=5(-3??+9??)-32??+3??=20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x﹣1，则f （m ）的值为（）A ．2B ．﹣2C ．23D ．-23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13-??）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确．解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误；BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√??，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确．故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x+l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √??12），c ＝f （√）的大小关系正确的是（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√），只要分析清楚3√，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x+l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √??12）＝f （√2）＝f （323√3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√??）＝f （log 33√），因为32＞23所以3＞21.5＞2√??，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√ln 2，所以32＞1.5＞√，所以√ln 3＞2ln 2，所以3√??＞4，所以3√??＞3√??＞4，要分析3√与92大小，只需确定√l n 3与ln 92的大小，也就是√ln 3与2ln3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3-√??ln 3＝（2-√??）ln 3的大小，需分析12-√3与32的大小，而12-√3=2+√??，32=log 23∈（1，2），所以2+√??＞log 23，所以3√＞92，所以3√??＞92＞4，所以log 33√＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ，故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若→+→=??→，则|AB |的值等于（）A ．34??B ．2pC ．3pD ．94??【分析】由→+→=??→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为→+→=??→，可得A 为BM 的中点，则′′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ，|BB ′|＝|BF |＝2t ，故|′｜|′｜=??2??=4??6??，即有t =34p ，所以|AB |＝|AF |+|BF |＝3t ＝3×34p =94p ，故选：D ．12．已知曲线??：??(??)=(????+3)，把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，关于g （x ）有下述四个结论：（1）函数g （x ）在(-1112，-512??)上是减函数；（2）当，????∈(-3??4，-??12)，且x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），则(+????)=√32；（3）函数()=??(??-6)+(12??-??6)（其中x ∈（0，2π））的最小值为-3√32．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g （x ）．由x 的范围求得2x+3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x 1+x 2的值，进一步求出g （x 1+x 2）判断（2）；求出函数m （x ），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C ：f （x ）＝sin （4x+3）．把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝sin （2x+3）．（1）当x ∈(-1112??，-512??)时，2x+3∈(-3??2，-??2)，则g （x ）在(-1112??，-512??)上是减函数，故（1）正确；（2）当x ∈(-3??4，-??12)时，2x +3∈(-7??6，??6)，由2x +??3=-??2，得一条对称轴方程为x =-5??12．又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴??+????=-5??6，则g （x 1+x 2）＝g （-5??6）＝sin （-5??3+??3）＝﹣sin 4??3=√32，故（2）正确；（3）()=??(??-6)+(12??-??6)=sin[2（x -6）+??3]+2sin[2（12??-??6）+??3]＝sin2x+2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x+2cosx ＝2（2cos 2x+cosx ﹣1）＝2（cosx+1）（2cosx ﹣1），令m ′（x ）＝0，解得x=3或x =5??3或x ＝π，可得m （x ）在（0，3），（5??3，2π）上单调递增，在（??3，5??3）上单调递减．∴当x =5??3时f （x ）取得最小值为sin10??3+2sin5??3=-3√32，故（3）正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量→与→满足??→???→=-2，且??→?（??→+2??→）＝5，则|??→|＝3．【分析】→（??→+2→）可整理为|??→|2﹣4＝5，解得即可．解：→（??→+2→）＝|??→|2+2??→→=|??→|2﹣4＝5，解得|??→|2＝9，所以|→|＝3，故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比．解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34，∴q ＞0，且q ≠1，∴{????=181(1-??3)1-??-??=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12．故答案为：12．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是4．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解．解：由双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0），得2-??2??=??，∴a＝b=√??，双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆x2+y2﹣2ym＝0化为x2+（y﹣m）2＝m2，如图：联立{=??+????-=??，解得B（m，m），同理解得A（﹣m，m）．∴几何图形M的面积为12××??=??=，即m＝4（m＞0）．故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为√6??8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案．解：如图，分别取AB，BC，AC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，沿DE，EF，DF，剪开，把三角形DEF作为底面，可得正三棱锥P﹣DEF，则三棱锥P﹣DEF的所有棱长相等，等于1．把P﹣DEF放置在棱长为√22的正方体中，则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)+(√22)??+(√22)??=√64．则该三棱锥外接球的体积为43×(√64)=√68??．，故答案为：√6??8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生6050m女生3060n总计90110200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+d+c+d ．P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60-50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2b ＝2ccosA ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a+2b ＝2ccosA ，将边化为角，得sinA+2sin B ＝2sinCcosA ，再结合A +B+C ＝π与正弦的两角和公式化简可得=-12，由于C ∈（0，π），所以??=2??3；（Ⅱ）△=12=12×??×??×2??3=√??，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinA+2sinB＝2sinCcosA，而sin B＝sin（A+C）＝sinA cosC+cosA sinC，所以sin A+2sinAcosC＝0，又因为sinA≠0，所以=-12，由于C∈（0，π），所以=2??3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√??，所以△=12=12×??×??×2??3=√??，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=??+-??×??×??×2??3=，故??=√．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且=??√??，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC?平面SAD，FD?平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故=√-??=??，=??√??，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13??-13??△-13??△?12=13×??√??(2+42×??-12×??×??-12×??×??×12)=8√33．20．已知椭圆??：22+??22=??(??＞??＞??)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于点C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a，b，然后求出椭圆方程．（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入24+??=??得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，设D（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理设出M，N，利用|CM|＝|DN|，结合y＝kx+m （k＞0）与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，求出CD，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：==√32=√??-??22，2??2=??，所以a＝2，b＝1，则椭圆E的方程为24+??=??；（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入24+??=??得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，设D（x1，y1），C（x2，y2），则??+????=-81+4??2，????????=4??2-41+4??2，又??(-，??)，N（0，m），因|CM|＝|DN|，所以x M﹣x1＝x2﹣x N，即x M+x N＝x1+x2，所以-81+4??2=-??，因为y＝kx+m（k＞0）与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m≠0，又k＞0，则=12，故x1+x2＝﹣2m，????????=-??，因为直线y＝kx+m（k＞0）与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以-√??≤-≤√??，即-√32≤??≤√32，且m≠0，所以||=√??+??|??-????|=√52√(????+????)??-??????=√52√(-)-??(??-??)=√??(??-????)，因为-√32≤??≤√32，且m≠0，所以当=√32或??=-√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x+1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a ＝0，a ＞0及a ＜0三种情况讨论f ′（x ）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于≥1--??+1在x ＞0且0＜a ≤1上恒成立，令??(??)=1--????+1，当x ≥1时，易知只需m ≥0，当0＜x ＜1时，通过放缩思想可知只需(+1)+-1??+≥??，构造函数()=??(??+1)+-1??+??，然后分m ≥2，m ＝1及m ＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝1+alnx +a ＝a （lnx +1）+1，当a ＝0时，f （x ）＝x ﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得＞??-1-??，故函数f （x ）的单调递增区间为(??-1??-??，+∞）；当a ＜0时，由f ′（x ）＞0得＜??＜??-1-??，故函数f（x ）的单调递增区间为(??，??-1??-??)；（Ⅱ）因为g （x ）≥0，则m （x+1）+axlnx +x ﹣1≥0，因为x ＞0，所以≥1--??+1，令??(??)=1--????+1，（i ）当x ≥1时，因为0＜a ≤1，则﹣axlnx ≤0，因此1﹣x ﹣axlnx ≤0，故只需m ≥0；（ii ）当0＜x ＜1时，因为0＜a ≤1，则﹣axlnx ≤﹣xlnx ，所以()≤1--??+1≤??，即(+1)+-1??+??≥??，构造函数??(??)=??(??+1)+-1??+??，则??′(??)=??-??+12，当m ≥2时，p （x ）在（0，1）上递减，p （x ）min ＝p （1）＝2m ＞0；当m ＝1时，p （x ）＝lnx +2，则??(13)=-??+??=-??＜??，不合题意；当m ＝0时，()=-1+??，则??(1??)=-??＜??，不合题意；综上可知，整数m 的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ√??-||=1．（Ⅰ）求RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P（0，2）与直线l：{=-=??+（m为参数），若直线l与RC心形线交于两点M，N，求|PM||PN|的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC心形线的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM||PN|的值．解：（Ⅰ）由ρ√-||=1，得ρ2（1﹣|cosθ|sinθ）＝1，①当θ∈[-2，2]时，①化为ρ2﹣ρ2cosθsinθ＝1，即x2+y2﹣xy＝1（x≥0）；当θ∈（2，3??2）时，①化为ρ2+ρ2cosθsinθ＝1，即x2+y2+xy＝1（x＜0）．综上，RC心形线的直角坐标方程为x2+y2﹣|x|y＝1；（Ⅱ）由直线l：{=-=??+（m为参数），消去参数m，可得4x+3y﹣6＝0．化为{=-35??=??+45??（t为参数），代入x2+y2﹣xy＝1（x≥0），得3725+2225??+??=??．设M、N对应的参数分别为t1，t2，则????=7537．∴|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|的最小值为m．（I）求m的值；（II）当a+b+c=3时，证明：（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m值代入a+b+c=3，得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式证明（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|={-+??，??≤-?? -??+??，-??＜??＜??-??，??≥??，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥163，当且仅当a＝b＝c=13时取等号，∴（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．。
2020年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−x2+x+6>0,x∈N}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {0,1}D. {−1,0，1，2}2.(1+i)(2−i)=()A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3.在(x2−yx)5的展开式中，xy3的系数为()A. 20B. 10C. −10D. −204.如图是2017年1−11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是()A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5.已知命题p:曲线y=e−x在点(−1,e)处的切线方程是y=−ex，命题q：a，b是任意实数，若a>b，则1a+1>1b+1，那么()A. p假q真B. “p且q”为真C. “p或q”为真D. p，q都为假6.函数f(x)=sinx+|sinx|x的部分图象为()A. B.C. D.7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5−a2=10，则S15=()A. 20B. 75C. 150D. 3008.从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有()A. 60种B. 72种C. 84种D. 96种9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()．A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C110.若函数f(x)=√x−lnx，则()A. f(7)>f(5)>f(6)B. f(6)>f(7)>f(9)C. f(9)>f(7)>f(6)D. f(7)>f(9)>f(6)11.已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交C于A，B两点若|AB|=16，则p=()A. 2B. 4C. 6D. 1212. 设函数f(x)=sin(2x +π6)，则下列结论正确的是( )A. f(x)的图象关于直线x =π3对称 B. f(x)的图象关于点(π6,0)对称C. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π12]上为增函数D. 把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 在等比数列{a n }中，首项为a 1，公比为q ，前n 项和为S n ，且a 1=3，q =2，S 6= ______ ． 15. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2=90°，点M 到x 轴的距离为72，若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为________． 16. 已知正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直于底面)的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人，女生未入围80人． (1)根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生． (ⅰ)求这11名学生中女生的人数；(ⅰ)若抽取的女生的脑力测试分数各不相同(每个人的分数都是整数)，求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.100.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.∠A=2π，a=2√7，b=2．3(Ⅰ)求cos B；(Ⅱ)求c的长及△ABC的面积．19.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF//平面BCE ；(2)求二面角C −BE −D 的余弦值的大小． 20. 已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，圆E ：x 2+y 2=a 2+b 2椭圆C 的离心率为√32，P 为椭圆上任意一点F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2为面积最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程(2)斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相切于点M ，与园E 交于A ，B 两点，问AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 是否成立？请说明理由21. 已知函数f(x)=x 2−aln x +(2−a)x ，a ∈R ，求f(x)在[1,e]上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：{x=2+3cosβy=3sinβ(β为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)，若直线l与曲线C交于M,N两点，且|MN|=2√6，求直线l的直角坐标方程．23.设函数f(x)=2|x+1|+|x−3|的最小值为m，且f(t)=m．(1)求m及t的值；(2)若正实数a，b，c满足a+b+c+1=m，证明：√a+1+√b+1+√c+13≤√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|−x2+x+6>0,x∈N}={x|−2<x<3,x∈N}={0,1，2}，B={−1,0，1，2}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：(1+i)(2−i)=2+2i−i+1=3+i。