数学建模武广高铁

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：三峡大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011 年5 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：中国修建高铁的利弊摘要本文是一个对中国修建高铁的利弊定量评估问题，首先我们收集了与武广（武汉与广东，以下同）高铁的有关数据，如武广高铁修建以来的客流量，武广之间各种交通方式（本文只列举飞机、汽车、普速列车）从０７年开始的的客流量等，并用灰色预测对相应的数据进行了预处理，然后我们从在武广之间个人选择最佳的出行方式的角度研究，从而对比四种运输工具的利弊和从武广高铁开通以来对广东、湖南湖北的旅游生产总值的影响的角度，从而得出武广高铁给中国经济效益所带的影响进行了研究。

最后通过对武广高铁两方面的研究从而反映出中国修建高铁的利弊问题。

第一步：我们从在武广之间个人选择最佳的出行方式的角度研究武广高铁的利弊问题。

从武汉到广州，我们从票价，时间，舒适度，环保四个方面对人们选择交通工具（飞机，高铁，普铁，汽车）的影响进行层次分析法(Analytic第二步：我们从武广高铁开通以来对广东、湖南湖北的旅游生产总值的影响的角度来研究武广高铁带来的经济效益。

根据武广之间各种交通方式从０７年开始的的客流量和广东、湖南湖北的旅游生产总值数据，运用多项式差值拟合得出高铁对其他运输工具客流量的冲击；结果如下表：没修建高铁的客流量（万人）修建高铁的客流量（万人）普列飞机汽车普列飞机汽车2010年3450 1959 71.9 2200 1250 33.6 2011年4700 2409 83 2331 1357 35.38然后通过分析客流量和旅游生产总值之间的关系分析出武广高铁给中国带来的经济效益。

2010年武广高铁所产生的经济效益为：1354.6 亿元。

关键词：层次分析模型灰色预测多项式差值拟合一元线性回归分析法1.问题重述1.1问题背景中国这几年高铁发展很快，武汉至广州的高铁已经在2009年12月26日开通，武汉到广州的旅行时间将由原来的约10小时缩短到3小时。

然而一些百姓担心，武广线原有的普速列车是否停掉？汽车运输和飞机运输等是否受到影响？百姓会不会“被高速”——被迫承受高铁的高票价？宜昌至武汉的高铁预计2012年建成通车。

请你收集某一段高铁（如武汉至广州，宜昌至武汉等）的数据，建立数学模型，定量评估中国修建高铁的利弊。

1.2需要解决的问题1)武广普速会不会被停掉？2)汽车，飞机运输会不会受到影响？3)百姓会不会被高速4)中国修建高铁的利弊2.模型假设a.假设从武汉到广州各交通工具行驶路程相同。

b.百姓对于交通工具的选择主要是取决于最佳方式（综合于票价，舒适度，时间，环保）。

c.下图是上网找到的飞机，高铁，普速，汽车的一些简单数据，假设他们在一定的时间内是稳定的。

3.符号说明4. 问题分析本题的四个问题其实就是可以简化成为一个问题，就是高铁对于社会的影响（社会包括百姓及各个产业），这就要求我们定量评估中国修建高铁的利弊，于是我们决定考虑从以下两方面进行探究。

4.1对比得出从武汉到广州高铁对人们选择的交通工具的影响力现在从武汉到广州人们可选择的交通工具有飞机，高铁，普铁，汽车（部分）。

我们通过比较人们在同等条件下选择某一交通工具时对票价，时间，舒适度，环保4个方面的考虑程度得到第一选择交通工具。

4.2对比得出从武汉到广州高铁对中国产生的经济效益的影响力通过对07到09年三年内武广的飞机、汽车、普速列车客流量的分析，然后通过多项式差值拟合的方法可以得出如果未修建高铁，武广10到11年内飞机、汽车、普速列车的客流量。

由此可以得出高铁对其它运输工具的冲击影响。

然后我们在通过分析武广间运输工具的客流量与广东、湖南和湖北的旅游生产总值之间的关系，分析出武广高铁对广东、湖南和湖北所带来的经济效益。

5.数据收集与分析5.1数据收集（1）从武汉到广州四种交通工具参考时间，票价（表1如上从武汉到广州四种交通工具参考时间，票价）（表2 07到09年武汉到广州三年飞机、汽车、普速列车的客流量）（表3如上 07到10年内广东、湖南、湖北的旅游生产总值）1--3 4--6 7--9 10--12 1--3 飞机288 312 316 324 330 普速518 533 547 554 566 汽车7.964 8.032 8.124 8.246 8.3504 （表4如上 2010年到2011年3月内三种运输工具的客流量）2010年1-3月2010年4-6月2010年7-9月2010年10-122011年1-3月武广高铁客流量（万）494 601 702 990 1320 （表 5 武广高铁2011年3月以前的客流量）5.2数据处理5.2.1灰色预测模型的建立⑴ 原始数据，原始数据为2010年1月至2011年3月每三个月为一次数据点的高铁客流量数据（即）表示为0))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x = ⑵ 计算生成序列(1)X，用GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据(0)X 作一次累加得到(1)X 序列(1)(0)1()()(1,2...)im x i x m i n == =∑可以得到相应的j K 的递增系列()()()()(1)(1)(1)(1)1,2,,X x x x n =⑶ 得到模型的白化方程，首先对(1)X 计算紧邻均值生成(1)j Z ：()(1)(1)(1)1()(1)......(2,,)2j z m x m x m m n ⎡⎤=+-=⎣⎦接着我们根据GM(1,1)建模，写出灰色函数：()()()()01x k az k b +=根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方程模型，得到GM(1,1)的白化方程即：()()()()11dx t ax t b dt+=⑷ 白化方程的求解，得到预测值(0)^X 表达式，其白色方程的解为时间响应函数()()()()()111a t b b x k x ea a--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭通过改变k 的值我们可以得出原始数据序列(0)X 的预测值为：()()()()()()011ˆˆˆ11(1,2...1)xk x k x k k n +=+-=-5.2.2灰色模型的预测在已知武广高铁2010年1月至2011年3月的客流量前提下，应用灰色预测对剩余9个月的客流量进行预测预测值单位：万人））武广高铁2010-2011年间的客流量用图形表示如下：5.2.3模型的精度检验从表中可知，考虑其他人为因素的影响，故出现了一点误差，但是这都是在允许的误差范围内。

6．模型一的建立与求解由横向影响力出发，从武汉到广州，我们从票价，时间，舒适度，环保四个方面对人们选择交通工具（飞机，高铁，普铁，汽车）的影响进行层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)求解。

6.1模型一的准备6.1.1我们将决策问题分解为3个层次最上层为目标层，即从武汉到广州选择交通工具，最下层为方案层，有飞机，高铁，普铁，汽车4个供选择的交通工具，中间层为准则层，有票价，时间，舒适度，环保4个准则，再比较下层中两个具有不同性质的因素对上层因素的影响，从而建立层次结构模型。

由于在定性的成对比较下层具有不同性质的因素对上层因素的影响时，相对尺度难以把握（人的主观选择占优），所以我们采用1—9尺度来定性的成对比较 。

6.1.2成对比较法简介AHP 层次分析法的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断。

在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级即相对尺度a 。

假设要比较某一层n 个因素1C ,2C ，...，n C 对上层一个因素O 的影响。

每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵（也称正互反矩阵）()ij n n a ⨯，0ij a >，1ij ija a =表示（1ii a =）。

用1—9尺度可以方便地表示。

6.2建立层次结构模型6.3. 构造判断矩阵 6.3.1 交通工具决策问题中比较第2层中1C ,，3C ，4个准则在选择交通工具（O ）这个目标中的重要性，其成对比较 阵为1 2 3 411 2 32111 332111 1433A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（122a =表示票价1C 与 时间对选择交通工具这个目标O 的重要性之比为2:1）。

6.3..2交通工具决策问题中目标层：准则层：方案层：比较第3层中P ，2P ，3P ，4P 4个方案对第2层的每一个准则的成对比较阵1 12 4 311 2 22111 142111 132B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，211 1 1 66111 1666 6 1 1 6 6 1 1B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，311 1 2 57111 1 25815 5 1 37 8 3 1B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，4 1 3 3 11111 32411 2 1331 4 3 1B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

6.4 一致性检验为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标C I，定义=1n CI n λ--（λ为n 阶判断矩阵最大特征根）。

为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性， 需要将C I 与平均随机一致性指标R I 进行比较即为一致性比率C IC RR I=，当0.1C R <时认为该判断矩阵的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。

6.5层次单排序计算判断矩阵的最大特征根和特征向量以求得下层所有因素对上层的权值（表7如上 交通方式决策问题第2,3层的计算结果） 说明：求A 关于m a x λ的特征向量时，我们要求其元素都是非负数，实际上T(2)[-0.8072, -0.4785, -0.3110, -0.1506]w =。

由上表可得所有0.1C R <，故可用特征向量作为权向量。