线性相关性
线性相关性
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.
3§3 线性相关性
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定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
线性相关性的判定
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例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E ( e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数x , y , 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
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定理 5 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
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证明 （1） A (a1 , , am ), B (a1 , , am , am 1 )，有 记
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量b能由向量 组A线性表示，且表示式唯一.
4-2.3(线性相关性的概念)
0 0
x1
0
x2
1
xn
0
0
0
0
1
0
x1 0
x2
0
xn
0
三、线性相关性的概念
考虑线性方程组:
x1 x2 2 x3 2,
2 x1 x2 3 x3 3,
1 2
4 x1
3Hale Waihona Puke x2x3 1.
3
观察: 2 1 2 3
解释: 方程(3)可由方程(1)(2)线性表出;
方程(3)在方程组中 “多余”, 去掉该方程不
1 0 + 01+ …+ 0m = 0.
例3. 含有重复向量的向量组线性相关.
证: 设给定向量组 1, 2 ,…,m , β, β
存在不全为0的数0, 0, …, 0, 1, －1 使得：
01+ 02+…+ 0m +1β+(－1)β= 0.
影响方程组的求解. 问题: 能否用数学概念描述方程组中存在多余的方程？
定义: 给定向量组1, 2 … , m,
若存在不全为零的数k1, k2, …, km 使得:
k11+ k22+ …+ kmm = 0, 则称1, …, m 线性相关; 否则, 称 1, …, m 线性无关.
线性相关性
线性相关性
线性相关系数r又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母r表示,用来度量两个变量间的线性关系。
相关系数是由统计学家卡尔·皮尔逊首先设计的统计指标。
这是一个研究变量之间线性相关程度的量，通常用字母r表示。
由于研究对象的不同，定义相关系数的方法很多，其中皮尔逊相关系数更为常用。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
來冄须要表明的就是，皮尔頭逊條相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常用的相关系数，以下表述都就是针对皮尔逊相关系数。
依据有关现象之间的相同特征，其统计数据指标的名称有所不同。
例如将充分反映两变量间线性相关关系的统计数据指标称作相关系数（相关系数的平方称作认定系数）；将充分反映两变量间曲线有关关系的统计数据指标称作非线性相关系数、非线性认定系数；将充分反映多元线性相关关系的统计数据指标称作为丛藓科扭口藓相关系数、为丛藓科扭口藓认定系数等。
有关关系就是一种非确定性的关系，相关系数就是研究变量之间线性相关程度的量。
由于研究对象的相同，相关系数存有如下几种定义方式。
直观相关系数：又叫做相关系数或线性相关系数，通常用字母r 则表示，用以度量两个变量间的线性关系。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性标题：线性相关性与线性无关性的原理和应用引言：在数学和统计学中，线性相关性和线性无关性是两个基本概念。
它们对于解决各种实际问题和优化模型都具有重要意义。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的原理、性质以及在实际应用中的具体应用案例。
一、线性相关性的定义与性质1.1 线性相关性的定义线性相关性指的是两个或多个变量之间存在线性关系，即它们的数值可以通过线性方程或线性组合相互表示。
如果存在非零系数，能够使得线性组合等于零，则这些变量是线性相关的。
1.2 线性相关性的性质（1）线性相关性是对称的，即若变量A与变量B线性相关，则变量B与变量A也线性相关。
（2）如果变量A与变量B线性相关，并且变量B与变量C线性相关，则变量A与变量C也线性相关。
（3）若某组变量中存在一个变量与其他变量线性无关，则该组变量是线性无关的。
二、线性无关性的定义与性质2.1 线性无关性的定义线性无关性指的是一个向量组中的各个向量之间不存在线性关系，即不能由其他向量线性表示。
2.2 线性无关性的性质（1）线性无关性并不意味着所有变量都是相互独立的，它只是表示线性关系的独立性。
（2）如果变量A与变量B线性无关，并且变量B与变量C线性无关，则变量A与变量C也线性无关。
（3）在具有n个未知数和n个方程的线性方程组中，如果其系数矩阵满秩，那么方程组的解是唯一的。
三、线性相关性与线性无关性的应用案例3.1 线性相关性在金融领域的应用在金融领域，线性相关性常用于构建投资组合和风险管理。
通过对不同资产的历史数据进行线性相关性分析，可以评估它们之间的相关性程度，有助于投资者进行有效的分散投资和风险控制。
3.2 线性无关性在图像处理中的应用在图像处理领域，线性无关性可以用于图像压缩和去噪。
通过去除图像中线性相关的冗余信息，可以有效减小图像文件大小，提高存储和传输效率。
同时，利用线性无关性的特性，可以去除图像中的噪声，还原出清晰的图像。
3.3 线性相关性
m维列向量线性无关的充要条件是，以 α 1 , α 2 , ⋯ , α n 维列向量线性无关 充要条件是 维列向量线性无关的 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数 。 对于行向量组显然也成立。 对于行向量组显然也成立。
推论1 推论 设n 个n 维向量α j = ( a1 j , a 2 j , ⋯ , a nj )( j = 1,2, ⋯ , n)， 则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n a11 a12 ⋯ a1n
例2
零向量是任何一组向量的线性组合。 零向量是任何一组向量的线性组合。 因为 0 = 0α1 + 0α2 +…+ 0αs.
例3
向量组α 中的任一向量α 向量组 1,α2,…,αs中的任一向量 j (1≤j≤s) 都是此向量组的线性组合。 都是此向量组的线性组合。 因为α 因为 j = 0α1 + 0α2 +…+1αj + … + 0αs.
判断向量β 例4 判断向量 1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11) 与 是否各为向量组α 与 是否各为向量组 1=(1,2,-1,5)与 α2=(2,-1,1,1)的线性组合，若是，写出表达式。 的线性组合， 的线性组合 若是，写出表达式。 对矩阵(α 解：设k1α1+k2α2=β1，对矩阵 1T, α2T, β1 T) 施以初等行变换
2 4 1 2 4 1 1 2 − 1 3 0 − 5 − 5 0 → − 1 1 − 1 → 0 3 3 0 5 0 − 9 − 9 0 1 11 0 2 1 1 0 0 0 0
除零解x 除零解 1=x2=0外，还有非零解，如x1=2, x2=3。 外 还有非零解， 。
线性相关判断方法总结
线性相关判断方法总结线性相关是线性代数中一个非常重要的概念，它指的是向量空间中的向量之间存在一定的线性关系。
线性相关性的判断对于矩阵的求解、方程组的解法、以及向量空间的性质等方面都有着重要的意义。
在实际应用中，我们经常需要对向量的线性相关性进行判断，因此掌握线性相关判断方法是非常重要的。
一、向量的线性相关性定义。
在向量空间V中，如果存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得。
k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。
其中a1、a2、…、an为向量，则称向量a1、a2、…、an线性相关。
二、线性相关判断方法总结。
1. 行列式法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，构造矩阵M=[a1, a2, …, an]，计算M的行列式值，如果行列式值不为0，则向量组A线性无关，否则线性相关。
2. 向量组的线性表示。
判断向量组A={a1, a2, …, an}是否线性相关，可以将向量组中的向量表示为线性组合，然后判断线性组合的系数是否存在非零解。
如果存在非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
3. 矩阵的秩。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的矩阵M的秩与向量的个数进行比较，如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关，否则线性无关。
4. 线性方程组。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的线性方程组Ax=0进行求解，如果方程组有非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
5. 内积法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，计算任意两个向量的内积，如果存在内积为0的向量对，则向量组线性相关，否则线性无关。
三、线性相关判断方法的应用。
线性相关判断方法在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、物理学等领域中都能够看到相关的应用。
在数据分析中，线性相关性的判断可以帮助我们理解变量之间的关系，进而进行合理的数据处理和分析。
在机器学习领域，线性相关性的判断也是非常重要的，它可以帮助我们筛选出对模型训练有意义的特征变量，提高模型的预测准确性。
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定义
给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使
k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0
则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.
注意
1、对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.
2、若a1, a2, ···, am线性无关, 则只有当k1= k2 = ··· = km=0时, 才有 k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0成立.
3、向量组A只包含一个向量a时,若a=0则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关.
4、包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5、含有相同向量的向量组必线性相关.
6、增加向量的个数，不改变向量的相关性.(注意，原本的向量组是线性相关的)
【局部相关，整体相关】
7、减少向量的个数，不改变向量的无关性.(注意，原本的向量组是线性无关的）
【整体无关，局部无关】
8、任意n+1个n维向量必线性相关.
【个数大于维数必相关】
9、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.
【无关组的加长组仍无关】
10、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关.
【相关组的缩短组仍相关】
定理
1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的（至少有一个）一个为其余(n-1)个向量的线性组合。
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、空间中任意四个向量总是线性相关。
我以为同一个线性相关的向量组（n个向量）里的向量应该都能够用这个组里的其他n-1个向量表示而成，结果出乎我意料的是书上说至少有一个能由其他n-1个向量线性表示，注意是至少有一个，不是全部，结果不幸的是我成了其中的一个，所以我选择线性无关。
线性相关又如何，还不是不能由别人来表示，线性无关又何妨？大家都高兴，即使不高兴也可以装高兴，不是多好吗？纠结的线性相关，蛋疼的线性无关，你说该线性相关还是线性无关呢？选择线性无关何必还去想线性相关呢？是不？既然是线性相关，就应该成为能够用别人表示的一份子，既然不能这样，就线性无关吧，虽然书上没说不能选择，但是现实中却是可以选择线性相关或无关的，果断的...我纠结的选择线性无关，虽然偶尔会烦躁，比如现在，但是总比线性相关着并且一直烦躁好吧，好吧，我思想境界低，我是坏人，没有达到无法无念的境界，年少气盛是通病.如果让我在魔和神之间选择一个，我会选择魔，魔神或许更好，半魔半神，魔神毕竟也是神，虽然有个魔字，孰能理解魔神的无奈。
当累了变成泪了，当无奈变成无赖，你会怎样选择？线性无关？线性相关？亦或许还有其他选择？这是本坏人今天看线性代数的感慨
在一本资料书上看到如下两句话
一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关
一向量组线性无关，则在相同位置上增加相同个数的分量所得的向量组仍线性无关
个人认为是错的
好像与教材上说的：
若向量组A：a1,a2.....am线性相关，则向量组B:a1,a2......am,a(m+1)也线性相关，反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关
矛盾了
请高人说说那两句话的正确性，并给出理由。
最佳答案
资料书上和教材上的都是对的，两者并不矛盾，注意区分下列两种说法：
（1）向量组向量总数不变但都增加（或都去掉）相同个数的分量；
（2）向量组每个向量的分量个数（即维数）不变但向量组向量个数增加（或减少）；
向量组线形相关可理解为存在一组系数，
对向量组的每一维，该系数对应的线性方程都成立，
线性无关则可理解为不存在满足上述条件的系数。
一n维向量组线性相关，说明存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，
去掉相同个数的分量，维数降低，方程个数减少，
同一组系数当然还是能使每个方程成立。
一n维向量组线性无关，说明不存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，增加相同个数的分量，维数增加，方程个数变多，
满足更强条件的系数当然就更不存在了。
增加向量组向量的个数，相当于增加上述线性方程的元数，
如果较少元数都能找到满足条件的系数，取同一组系数，
对增加的元数令系数为0，易知如此扩展的一组系数也必定满足条件。
上述结论的逆否命题即为，
减少向量组向量的个数，原来无关的向量组仍应无关。
选择题：已知向量组，a1,a2,a3,a4线性无关，则向量组（）
A a1+a2, a2+a3, a3+a4，a4+a1 线性无关
B a1-a2, a2-a3, a3-a4, a4-a1 线性无关
C a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4-a1 线性无关
D a1+a2, a2+a3, a3-a4, a4-a1 线性无关
后面答案是这么写的
由于（a1+a2）-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a1)=0
(a1-a2) +(a2-a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0
(a1+a2) -(a2+a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0
所以A,B,D这三个是错的。
可是我看不懂这是什么意思，不知道哪位能给解答一下，或者用别的方法把这道题解出来也可以，感激不尽~
最佳答案
你看下线性相关和线性无关的定义就知道了
定义是这样的：设A1，A2，……，An是一个向量组，如果存在不全为零的常数K1，K2，……，Kn，使得式子（一）K1A1+K2A2+……+KnAn=0，则称A1，A2，……，An这个向量组线性相关，如果要K1，K2，……，Kn全为零式子（一）才成立的话，那他就线性无关了。
α
替换定理
设向量组（1）α
1，α
2
，…α
s
线性无关，且（1）中每个向量都可由向量组（2）
β
1，β
2
，…β
t
线性表示，则
1）s≤t;
2）必要时可对向量组（20中的向量重新编号，使向量组α
1，α
2
，…α
s
与向量组
（2）
β
1，β
2
，…β
t
等价。