第3章 平均数、标准差与变异系数
张勤主编的(畜牧兽医)生物统计学方面的习题作业及答案
第一章绪论一、名词解释总体个体样本样本含量随机样本参数统计量准确性精确性二、简答题1、什么是生物统计它在畜牧、水产科学研究中有何作用？2、统计分析的两个特点是什么？3、如何提高试验的准确性与精确性？4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？第二章资料的整理一、名词解释数量性状资料质量性状资料半定量（等级）资料计数资料计量资料二、简答题1、资料可以分为哪几类它们有何区别与联系？2、为什么要对资料进行整理对于计量资料，整理的基本步骤怎样？3、在对计量资料进行整理时，为什么第一组的组中值以接近或等于资料中的最小值为好？4、统计表与统计图有何用途常用统计图、统计表有哪些？第三章平均数、标准差与变异系数一、名词解释算术平均数几何平均数中位数众数调和平均数标准差方差离均差的平方和（平方和）变异系数二、简答题1、生物统计中常用的平均数有几种各在什么情况下应用2、算术平均数有哪些基本性质？3、标准差有哪些特性？4、为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？三、计算题1、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。
试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。
2、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。
试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。
组别组中值（x）次数（f）80—84 288—92 1096—100 29104—108 28112—116 20120—124 15128—132 13136—140 33、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天)。
试求潜伏期的中位数。
4、某良种羊群1995—2000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的年平均增长率。
5、某保种牛场，由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、130、140、120、110头。
生物统计学答案
第一章绪论一、名词解释1、总体：根据研究目的确定的研究对象的全体称为总体。
2、个体：总体中的一个研究单位称为个体。
3、样本：总体的一部分称为样本。
4、样本含量：样本中所包含的个体数目称为样本含量（容量）或大小。
5、随机样本：从总体中随机抽取的样本称为随机样本，而随机抽取是指总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取组成样本。
6、参数：由总体计算的特征数叫参数。
7、统计量：由样本计算的特征数叫统计量。
8、随机误差：也叫抽样误差，是由于许多无法控制的内在和外在的偶然因素所造成，带有偶然性质，影响试验的精确性。
9、系统误差：也叫片面误差，是由于一些能控制但未加控制的因素造成的，其影响试验的准确性。
10、准确性：也叫准确度，指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真值接近的程度。
11、精确性：也叫精确度，指调查或试验研究中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近的程度。
二、简答题1、什么是生物统计？它在畜牧、水产科学研究中有何作用？答：（1）生物统计是数理统计的原理和方法在生物科学研究中的应用，是一门应用数学。
（2）生物统计在畜牧、水产科学研究中的作用主要体现在两个方面：一是提供试验或调查设计的方法，二是提供整理、分析资料的方法。
2、统计分析的两个特点是什么？答：统计分析的两个特点是：①通过样本来推断总体。
②有很大的可靠性但也有一定的错误率。
3、如何提高试验的准确性与精确性？答：在调查或试验中应严格按照调查或试验计划进行，准确地进行观察记载，力求避免认为差错，特别要注意试验条件的一致性，即除所研究的各个处理外，供试畜禽的初始条件如品种、性别、年龄、健康状况、饲养条件、管理措施等尽量控制一致，并通过合理的调查或试验设计，努力提高试验的准确性和精确性。
4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？答：随机误差是由于一些无法控制的偶然因素造成的，难以消除，只能尽量控制和降低；主要是试验动物的初始条件、饲养条件、管理措施等在试验中要力求一致，尽量降低差异。
第3章 平均数、标准差与变异系数
C V S 100 % x
（3—15）
变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计 量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程 度时，最好将平均数和标准差也列出。
用 途
统计学：比较不同样本资料的相对变异程度
食品科学：在空白试验时，可作为基础试验条件差
( xi x ) 0
i 1
n
或简写成
(x
x) 0
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，
即离均差平方和为最小。
(x - x )2
i
i 1
n
(xi- a)2 （常数a≠ x ） 或简写为： ( x x ) < ( x )
<
i 1
2
n
2
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限 总体的平均数为：
先将各个离均差平方，即(x x )2 ，再求 离均差平方和 ，
2 即 ( x x )，简称平方和，记为 SS； 由于离差平方和常随样 本
大小而改变 ，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本 大 小，即
( x x ) 2 / n，求出离均差平方和的平均数。
用观测值的个数除离均差平方和得到的平均平方和， 简称为均方（mean square, MS）或方差。 相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。对于有限总 体而言，σ2的计算公式为：
337.3
343.2 346.0 344.0
345.3
347.0 345.6 350.0
358.2
340.2 346.2 335.1
341.0
343.3 342.3 339.5
346.8
第3章-平均数、标准差与变异系数
50只小鸡出壳天数的频数分布表
出壳天数 频数（f） fx
19
2
38
20
3
60
21
10
210
22
24
528
23
9
207
24
2
48
合计
50
1091
x
fx f
1091 50
21.82
fmax=24, Mo=22
Md=22
表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表
组别
44.25— 45.75— 47.25— 48.75— 50.25— 51.75— 53.25— 54.75— 56.25— 57.75— 59.25— 60.75—
• 极差（全距）
•
极差 = 最大值 - 最小值
• 只利用了资料中最大值和最小值, 不
能准确表达资料中各个观察值的变异程
度。
• 平均离差
xx
d
n 1
离均差
(x x)
它不能表示整个资
(x x) 0 料中所有观察值的 总偏离程度
标准差S
x x 使用不方便, 在统 S (x x)2 /(n 1) 计学中未被采用
n
(xi x)2
s 2 i1 n 1
样本标准差 s
n
(xi x)2
i 1
n 1
• 为了方便计算，将离均差平方和转化为另 一种形式，同时略去下标，上式可表示为:
s
x2
( x)2
n
n 1
• 在计算离散型频数资料的标准差时,
s
fx 2
( fx)2
N
N 1
• 式中x为组值, f为频数, N为总频数（∑f）, k为组数。
标准差和变异系数
标准差和变异系数标准差和变异系数是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的指标。
在实际应用中，我们经常会用到这两个指标来评价数据的稳定性和可靠性。
本文将从标准差和变异系数的定义、计算方法以及应用场景等方面进行详细介绍。
首先，我们先来了解一下标准差的概念。
标准差是一组数据离均值的平均距离的平方的平均值的平方根。
它的计算公式为，标准差 = √(Σ(xi-μ)²/n)，其中xi表示每个数据点，μ表示数据的均值，n表示数据的个数。
标准差的大小可以反映数据的离散程度，标准差越大，数据的波动性越大，反之则越小。
接下来，我们再来介绍一下变异系数。
变异系数是标准差与均值的比值，通常以百分数表示。
它的计算公式为，变异系数 = (标准差/均值)×100%。
变异系数可以用来比较不同数据集的离散程度，它能够将数据标准化，使得不同数据集之间的比较更为客观。
在实际应用中，标准差和变异系数都有着广泛的应用场景。
首先，标准差和变异系数可以用来评价投资组合的风险。
在投资领域，我们通常会用标准差和变异系数来衡量不同投资组合的风险水平，从而帮助投资者进行投资决策。
其次，标准差和变异系数也可以用来评价产品质量的稳定性。
在生产过程中，我们可以通过标准差和变异系数来评估产品的质量稳定性，从而及时调整生产过程，提高产品的一致性和稳定性。
此外，标准差和变异系数还可以用来评价学生成绩的稳定性。
在教育领域，我们可以通过标准差和变异系数来评价学生成绩的离散程度，从而更好地了解学生的学习情况，为教学提供参考。
总之，标准差和变异系数是两个重要的统计学指标，它们可以帮助我们更好地了解数据的离散程度，评价数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，我们可以根据具体的场景选择合适的指标来进行评价和分析，从而更好地指导决策和实践。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解标准差和变异系数的概念和应用，为实际工作和学习提供参考。
统计学--第三章平均数与标准差
(xn xn
2 2
1
)
(二)分组资料：按频数表计算M 公式：
M L
W f
(
n 2
C)
L中位数所在组的下限 W中位数所在组的宽度 f中位数所在组的频数(例数) n总频数 C中位数所在组的前一组的累计频数cumulative frequency
用累计频数〔百分数〕法寻找中位数所在 的组段：累计频数刚大于n/2的组段 用内插法linear interpolation求中位数
第三章
平均数与标准差
第一节 算术均数和几何均数
数值变量资料的统计描述：集中趋势central tendency 和离散趋势tendency of dispersion 平均数average：说明一组观察值(变量值)的集中 趋势、中心位置或平均水平。(a measure of location, a measure of central tendency, a mean or an average) 平均数种类：算术均数arithmetic mean、几何均 数geometric mean、中位数median、众数mode、 调和均数harmonic mean, H
2
离均差积和：
( y y )( y y ) ( y ( x x )( y y )
离均差平方和或离均差积和sum of products计算 时，当原始数据比较大时，计算可以减一个数可 除一个数，进行简化。
三条规则： 1、原始数据减一个数或加一个数时，离均 差平方和或积和数值不变 2、原始数据除以一个数a，则简化值算出 的离均差平方和要乘上一个a2才是原有的离 均差平方和 3、离均差积和在计算时如将两变量之一(如 x)，除以一个数a时，则求得之离均差积和 要乘以一个a，才是原始数据的离均差积和； 如y也同时除以一个数字b，则求得的离均 差积和要同时乘以ab
均值和变异系数标准差的关系
均值和变异系数标准差的关系
均值和变异系数是两个不同的概念。
均值是一组数据的平均值，而变异系数是标准差与平均数的比值，用于消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
在统计学中，标准差是衡量数据分散程度的一种方法，而均值则是反映数据集中程度的一种方法。
当数据分布不均匀时，标准差较大，而均值较小；当数据分布较均匀时，标准差较小，而均值较大。
因此，标准差和均值之间存在着一定的关系。
变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
它是一种无量纲的指标，可以用来比较不同数据集之间的波动大小。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
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复习题
试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1
2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。
一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2
(
x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
第三节 变异系数
适用范围； 定义； 实例； 应用.
5
测定公、母小猪体重如下：（kg)
性别 头数 平均值 标准差 公 30 15.5 3.6 母 40 13.2 2.4 试求公、母小猪体重的平均数和标 准差。
提示
一法: 采用合并方差计算
合并方差=平方和/自由度 即: S2=(SS1+SS2)/(df1+df2)
二法: 采用直接（定义）法计算
解: Σx=500+。。。+490=5285
x ∑ 5285 528.5(kg) x n 10
计算器求统计量
计算器种类： TAKSUN TS*105 学考 XK-80等 步骤： 进入统计状态； 输入数据； 结果输出
TAKSUN TS*105型计算器求统计量方法
进入统计状态； ON----2ndf-----ON 输入数据； 数据1 ， DATA ，数据2 ，DATA ，、、、 数据N ， DATA 结果输出；
相对数
2.14
2.18
2
试求其月平均增长率。
例二
股票价格由1998年的60元上升至2002年的100 元，试问股票的年平均增长率是多少。 （14%）
第二节 标准差
一、引入标准差的原因
仅用平均数对资料的特征作统计描述是不全
面的，因为平均数作样本代表性的强弱受资料
中各观测值变异程度的影响，故还需引入表示
样号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 含量 :0.6 0.45 0.52 0.39 0.49 0.51 0.5 0.45 0.55 0.55
若变异系数≤10%判为合格，试判断该搅拌机 均匀度是否合格。
注意，变异系数的大小，同时受 平均数和标准差两个统计量的影响， 因而在利用变异系数表示资料的变异 程度时，最好将平均数和标准差也列
合并方差
多个样本时,可求其合并方差; 计算公式为: 合并方差=平方和/自由度 即: S2=(SS1+SS2)/(df1+df2)
应用:统计分析和相关与回归.
由于
(x x)
2
( x 2 xx x )
2 2
2 2
x 2 x x nx
x 2
2
( x ) n
则样本平均数可通过下式计算：
x
x1 x2 xn n
x
i 1
n
i
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值x1 累加到第n个观测值xn，可简写为Σx，上式可改写 为：
x x ∑ = n
【例3.1】
某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为 500、520、535、560、585、600、480、510、 505、490（kg），求其样本平均数。
方法: Excel----fx(公具栏)----统计 统计量英语: Average----样本平均数 Geomean-----几何平均数 Stdev-----标准差 Var------方差 Devsq-----平方和
复习题 1
平均数 (定义、公式、符号、 作用） 自由度 样本方差、总体方差 样本标准差、总体标准差 几何平均数使用条件 样本平均数与标准差关系
C V 10 .5 190 100 % 5.53 %
大约克成年母猪体重的变异系数：
C V 8.5 196 100 % 4.34 %
所以，长白成年母猪体重的变异程度大于 大约克成年母猪。
例
欲检验饲料搅拌机均匀度，往搅拌机内加0.5% 盐混合后抽取10个样，测下: (kg)
4.5 5.5
4.5 5.5
5.0 6.0
5.0 6.0
5.5 6.5
试求其平均数、方差、标准差。 (5.4 ；0.43 ； 0.66 ）
3、已知某样本各观察值分别为： 70，64，67，72，58，61，74，75，66，63 试求其样本平均数、标准差、方差、平方和。 解：平均值=67 S=5.68 S2=32.22 （=MS） SS=290 df=n-1=9
X 、S
、 S2
、SS
等
学考型计算器求统计量方法
进入统计状态： ON---MODE -----2 清除内存数据：SHIFT----ON-----= 输入数据： 数据1 ，M+ ，数据2， M+、、、数据N， M+ 结果输出： 如：SHIFT x =、 ----= 、 (S) S -- X2 =S2
（3—9）
方差与标准差区别
方差 单位与原度量单位不相同， 而标准差单位与原度量单位相同。
S2相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。
S相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。
常用样本标准差S估计总体标准差σ。
二、标准差的计算方法
直接法、加权法、计算器法等。
【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量：450， 450，500，500，500，550，550，550，600， 600，650（g）的标准差。 解：n=10，Σx=5400，Σx2=2955000，代入 公式得： (g)
表3—3 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率
求年平均增长率
G=
lg
1
[
1 n
(lg x1 lg x 2 lg x n )]
=lg-1[（-0.368-0.398–0.602）]
=lg-1（-0.456）=0.3501
即年平均增长率为0.3501或35.01%。
例：
罗非鱼正常饲养条件下，月体重如： 月龄 1 2 3 4 体重 58 124 320 640
变异系数的计算公式为：
C V S x （3—15） 100%
【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平
均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成 年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试 问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度 大。
由于，长白成年母猪体重的变异系数：
作业:
P33 第五题、 第八题
S------S -------SS
平方 2
*df
S2=SS/df ； S=方差开根号
x ∑ x = n
G
n
x1 x2 x3 xn ( x1 x2 x3 xn )
1 n
为计算方便，可将各观测值取对数后相加除 以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值， 即
G lg [ (lg x1 lg x2 lg xn )] n
1
1
【例3.7】 某波尔山羊群1997—2000年各年度 的存栏数见表3—3，试求其年平均增长率。
出。
描述样本的数量特征需要统计量
样本容量 (n) 样本平均数(算术平均数) Mean 样本标准差 (SD) 或标准误(SEM)
x ± S
一
; n
练习题
简述标准差与样本平均数关系。
简述表示样本的变异性的统计
量有哪些，相应的表示总体变 异性的参数又有哪些。
统计量与参数有何区别。如表示变异性统计量符 号有—、——；相应参数的符号是——、——。 什么是方差、标准差 方差有何作用 样本方差与标准差有何区别和联系。
2
2
x )2 n(
n
x
2
( x ) n
所以（3-11）式可改写为：
S
x （3-12） n
2 (
x)
2
n 1
统计量Σ
( x x ) / n 1称
2
为 均 方 （ mean
square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即
S2= ( x x )
2
/( n 1)
资料中观测值变异程度统计量。
方差和标准差定义
平方和除以自由度，称样本方差，记作S2。 样本方差开根号，称样本标准差，记作S。 作用：反映样本各观察值变异程度的大小。