18.2 黄金分割 同步练习(含答案)
18.2 黄金分割
基础能力训练 ◆黄金分割的定义
1.已知AB=10 cm,P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,则PQ=________.
2.已知线段AB=1,点P 是线段AB 的黄金分割点,则AP=________.
3.已知线段AB=b,C 为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)：
(1)
=BA AC _______;(2)=AC BC
_______； (3)=BC
AC _______;(4)AC －BC=________.
4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢?有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.
5.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在∠A=36°的△ABC 中,AB=AC,BD 是∠ABC 的角平分线,交AC 于D,若AC=4 cm,则BC=___________.
6.若S 是线段PQ 的黄金分割点,且PS>SQ,则( ) A.SQ 2=PS·PQ B.PS 2=SQ·PQ C.PQ PS
PS •=2
2 D.2
2PQ
PS PS SQ +•
= 7.已知M 是线段AB 的黄金分割点,且AM>BM. (1)写出线段AB 、AM 、BM 之间的比例式. (2)如果AB=12 cm,求AM 、BM 的长.
8.如图19－2－4所示,线段AB长10cm,点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,设以AC为边的正方形ACDE的面积为S1,以BC为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG的面积为S2,试比较S1和S2的大小.
◆黄金分割点的作图
9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB 为已知线段,以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E,联结EB；延长DA至F,使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点.
任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗?
10.求作已知线段AB的黄金分割点.(不写作法)
综合创新训练
◆创新应用
11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?
12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用.
◆开放探索
13.若一个矩形的短边与长边的比值为
21
5 (黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.
(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD.
(2)探究：(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请说明理由;
若不是,也给予说明.
(3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).
参考答案
1答案：)25(10-cm 2答案：
215-或2
5
3- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个. 3答案：(1)
215-(2)21
5-(3)2
15+(4)b )25(- 4答案：23℃
5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 为黄金三角形,∴AC
BC
为黄金比. ∴AC BC 2
1
5-=
,∴)15(2-=BC cm.
6答案：B 7答案：(1)
AM
BM
AB AM =
(2))656(-=AM cm,)5618(-=BM cm 8答案：)53(5021-==S S cm 2 9
答案：解析：设
AB=2,那么在
Rt △BAE
中,5122222=+=+=AE AB BE .于是EF=BE=5,AH=AF=BE －
AE=15-,BH=AB －AH=53-.因此,AH
BH
AB AH =
,点H 是线段AB 的黄金分割点. 10答案：略
11答案：解析：由于点B 、C 都是线段AD 的黄金分割点,于是有：
53)15(2,152
1
52-=--=-=-=-=-⨯
==AC AD BD AD AB AC BD , ∴452)53()15(-=---=-=AB AC BC . ∴阴影部分的周长为20510-.
12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长的比约为0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等. 13答案：解析：(1)如图所示.
(2)四边形EBCF 是黄金矩形,因为EF=AE=
AB 21
5-,AB BE 2
53-=,则EF BE 2
1
5-=
,所以四边形EBCF 是黄金矩形. (3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形,另一部分仍为黄金矩形.。
18.2 黄金分割( 黄金分割)(同步课件)2024-2025学年九上数学同步精品课堂(京改版)
则AP的长为（ A ）
A．2 5 − 2 B．2 5 + 1 C．6 − 2 5 D．2 5 − 1
分析：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），
AB＝4cm，
∴ AP =
5−1
2
× 4 = (2 5 − 2)cm ；
一展身手
1.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高
度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此
较长的部分与较短的部分的比值近似值为
解得x1=
5−1
2
5−1
=
≈0.618．
2
用式子表示为：若点C是线段AB的黄金分割点，
黄金分割数的应用
巴台农神庙侧墙东西宽31米，
山墙顶部离地面19米，即东西立
19米
面高与宽之比为19:31，接近黄金
分割数，让人觉得神庙非常雄伟
和优雅.
31米
黄金分割数的应用
黄
金
分
割
2.黄金分割数；
3.黄金分割点的尺规作图方法；
京改版九年级上册
感谢聆听
主讲：
相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点F，使 =
1
2 ；同理作AN⊥AB；
②连接AF，以点F为圆心，BF长为半径作弧，交AF于点P，则FP＝FB；
③以点A为圆心，AP长为半径作弧，交AB于点Q，交AN于点D，则点Q位线段AB的黄金分割点，AD＝AQ；
④在BH上取一点C，使BC＝AD；
交点为E，分别连接EA、EB，即可画出图形；
（3）先设AB＝2，求出AE的长即可得出答案．
解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，
（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
黄金分割同步练习及答案(9)
黄金分割同步练习（典型题汇总）【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用．【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．情景导入生成问题形是( B )A．△ EFB B．△ DEFC．△ CFB D．△ EFB 和△ DEF2．如图，在边长为 1 的正方形网格中有点P，A，B， C ，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB∽△ CPA．自学互研生成能力知识模块黄金分割的有关概念先阅读教材P95－96 页的内容，然后解答下列问题：1. 黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝BC，那么称线段AB被点C黄AB AC金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.1．如图，在矩形ABCD 中， E 在AD 上，E F⊥BE，交CD 于F，连接BF，则图中与△ ABE 一定相似的三角1(1) 过 B 作 BD ⊥AB 使 BD ＝2AB ； (2) 连接 AD ，在 DA 上截取 DE ＝DB ；(3) 在 AB 上截取 AC ＝AE ，则点 C 即为线段 AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段 AC 、 BC 的长度，然后计算 A AB C 与B AC C ，它们的值相等吗？教学说明： 学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．2．计算黄金比：见教材 P 96 页例 4. 3．探究教材 P 96 页 “想一想 ”．归纳结论： 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果A AB C ＝ BC， AC，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC ＝AB. BE ＝BC .提出问题：点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察 与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由 B B E C ＝A B B C ，可以得到 A B B C ＝B B E C 即A AB E ＝A BE E .所以点 E 是 AB 的黄金分割点． 对应练习：1．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，则下列等式成立的是 ( C ) A ．AB 2＝AC ·CB B ． CB 2＝AC ·ABC ．AC 2＝ CB ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC2．如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC ，如果AC ＝BC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， AC 与AB ACAB 的比叫做黄金比，其比值是 ( AA. 52－1B.3－2 5)C. 5＋ 12D.3＋2 53．已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为( D ) A. 52－1 B.3－2 5 C. 52＋ 1D. 52－1或3－2 5交流展示 生成新知1．将阅读教材时 “生成的问题 ”和通过 “自主探究、合作探究 ”得出的 “结论 ”展示在各小组的小黑板上．并将疑 难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将 “问题和结论 ”展示在黑板上，通过交流 “生成新知 ”．知识模块 黄金分割的有关概念检测反馈 达成目标1．下列说法正确的是 ( B ) A ．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618 倍C ．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC 2＝AB ·BCD ．以上说法都不对 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为 ( A )3．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BE > CE ，AE 与 BD 相交于点 F.那么 BF ∶ FD 的值为 52－ 1．4．五角星是我们常见的图形，如图是AB ＝20cm ，求 EC ＋CD 的长．解：∵点 D 为线段 AB 的黄金分割点 (AD >BD)，∴ AD ＝ 52－1，AB ＝(10 5－10)cm.∵EC ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD ，∴ EC ＋CD ＝（10 5－10）cm.课后反思 查漏补缺1．收获： 2．存在困惑：黄金分割同步练习(典型题汇总)、选择题 :A ． 12.36cmB ．13.6cmC ． 32.36cmD ．C ，D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AC BC1.如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么下列说法错误的是 ( )AB AC4. 黄金分割比是 (AC 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,那么 AC 与AB BC二、填空题 :1. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 _____ , 那么称线段 AB 被点 C?黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的 _______ ,AC 与AB 的比叫做 _______ .2. _______________________________________________如图,若点 C 是AB 的黄金分割点 ,AB=1,则AC= ________________________________________________,BC= _____ .A C BAC5 1 AC3. _________________________________________________________ 已知点 C 是AB 的黄金分割点 ,即 AC = 5 1,那么 AC = _________________________________________________ .AB 2 CB4. 如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,AB=4,则AC 2=5. 宽与长的比等于 _______ 的矩形叫做黄金矩形6. 已知黄金矩形的长等于 6, 则这个黄金矩形的宽等于 ________ 三、计算题 : 1.已知线段 AB 长 6厘米,点P 是 AB 的黄金分割点 ,且AP>BP,求AP 和BP 的长.A. 线段 AB 被点 C 黄金分割 ; C.AB 与 AC 的比叫做黄金比 ;B. 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AD.AC 与 AB 的比叫做黄金 2. 如图的五角星中 , AC 与 BC AB 的关系是 ( )ACA. 相等;B. AC >BC ABACC.AC <BC; D.AC AB不能确定3. 一条线段的黄金分割点有 A.1 个 B.2个 C.3D.无数个A. 5 1B.2512C.51 2D.0.618ACAC的值分别是A. 5 1, 5 1A. 2 , 2B. 5 1, 5 1; C. B. , 2; C.21; D.5126.如图,若点 C 是 AB 的黄金分割点 ,AB=2, 则 AC= CBA. 5 1B. 5 122C. 5 1D.51BCB2. 仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.12 23. 请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料五、已知线段 AB=1,C 为 AB 的黄金分割点 ,且 AC>BC 求, AC-BC 的值.六、如图的五角星中 ,AD=BC,且 C 、D 两点都是 AB 的黄金分割点 ,AB=1,求 CD 的长.七、已知 C 、D 是线段 AB上的两点 , 且 CD=( 5 -2)AB,AC=BD,不难证明当 AB=1时,C 、 D 是线段 AB 的黄金分割 点,试探究当 AB 任意长时 ,C 、D 是否是线段 AB 的黄金分割点 ?为什么 ?四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比 出一个黄金三角形 .,? 那么这样的等腰三角形称为黄金三角形 . 请你设法作, 并与同伴相互交流B答案:1.C2.A3.B4.B5.B6.C、 1. AC BC ; 黄金分割点 ; 黄金比 2. AB AC3. 5 14.24-8 55. 黄金比6.3 5 -32三、 1.因为点 P 是 AB 的黄金分割点 ,且 AP>BP,AP= 52 1×AB= 52 1×6=3 5-3, BP=AB-AP=9-3 512. (1) 过点 B 作 BD ⊥AB 且 BD= AB,连接 AD2(2) 以 D 为圆心 BD 为半径作圆弧交 AD 于 E(3) 以 A 为圆心 AE 为半径作圆弧交 AB 于 C,则 C 为 AB 的黄金分割点 3. 查阅资料四、先做出线段 AB,及其黄金分割点 C(AC>BC 分) 别以 A 、B 为圆心 ,AC 为半径作圆弧 ,交点为 P,则△ PAB 就是 黄金三角形 五、根据 C 为 AB 的黄金分割点 ,AC>BC 得 AC = 5 1,AB 2 因为 AB=1,所以 AC= 5 1 BC=AB-AC=1- 5 1= 3 5 ,?2 所以 AC-BC= 5 1-3 5= 5-2.22六、根据 C 、 D 都是 AB 的黄金分割点得因为 AB=1,所以 AC= 5 1,BD= 5 所以 AD=AB-BD=1- 5 1=3 5 ,225 1; 3 52 ; 2所以AP ABPB= 5 1AP = 222 AC= 5 1, BD = 5 1AB 2 AB 2因此CD=AC-AD= 5 1- 3 5 = 5-2 22七、C、D 是线段AB的黄金分割点.122。
北京课改版九年级数学上册第18章 相似形 18.2 黄金分割 同步练习题
北京课改版九年级上册第18章相似形18. 2黄金分割同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．已知线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么AP ＝( ) A.5－12 B.5＋12 C.5＋1 D.5－12．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BC AC，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果AC 2＝AB·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点3．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，PA>PB ，若S 1表示以AP 为边的正方形的面积，S 2表示以AB 为长，PB 为宽的矩形的面积，则S 1，S 2的大小关系为( )A ．S 1>S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．不能确定4．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC)，下列结论错误的是( )A.AC AB ＝BC ACB ．BC 2＝AB·AC C.AC AB ＝5－12 D.BC AC≈0.6186．如图所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A ．216°B ．135°C ．120°D ．108°7．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为 ( )A ．12.36 cmB ．13.6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm8．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB 、AB 为边的矩形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1≥S 29. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)是 ( )A ．0．62 mB ．0．76 mC ．1．24 mD ．1．62 m10．点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．(3 5－3)cmB ．(9－3 5)cmC ．(3 5－3)cm 或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠DCB＝72°，△ABC与△BDC是黄金三角形，即D是线段AB的黄金分割点(AD>DB)，则BCAB＝_______13．根据生物学知识得到当气温与人体正常体温(37 ℃)的比值为黄金数时人体最舒适，那么这个气温约是____℃.(精确到整数)14．我们知道古希腊时期的巴台农神庙的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）15．如图的五角星中，AD＝BC，且C，D两点都是AB的黄金分割点，AB＝1，则CD的长为____________.16．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，那么AC是线段_______与_______的比例中项，若AC＝10 cm，则BC约为_______cm．17. 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm18．在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10 cm．则AD≈_________cm．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)20. (6分)要设计一座2 m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度．(结果精确到0.001)21. (6分)如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．22．(6分) 若一个矩形的短边与长边的比值为5－12(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．(1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；(2)探究：在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形？并请说明理由．23. (6分)如图，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．24. (8分) 定义：如图①，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝BC·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；(2)求线段AD 的长．25. (8分) 如图①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BC AC，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1(S 1>S 2)，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是不是AB 边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC 在(1)的条件下，如图③，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，对角线AC ，BD 相交于点F ，延长AB ，DC 交于点E ，连接EF 并延长分别交梯形上、下底于G ，H 两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．参考答案1-5DCBCB 6-10 BACCC 11. 2 5－412. 5－1213. 23 14. 3.715. 5－216. AB BC 6.1817. 1218. 6．1819. 解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离A 点至少7.6 m 处才最自然得体．20. 解：设维纳斯女神雕像下部设计的高度为x m ，那么雕像上部的高度为(2－x)m.依题意，得2－x x ＝x 2， 解得x 1＝－1＋5≈1.236，x 2＝－1－5(不合题意，舍去).经检验，x ＝－1＋5是原方程的根．答：维纳斯女神雕像下部设计的高度约为1.236 m21. 解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×5－12＝(40 5－40)cm ， ∴CD ＝BD －(AB －BD)＝2BD －AB ＝(80 5－160)cm.22. 解：(1)操作：如图所示(2)探究：四边形EBCF 是黄金矩形．理由：∵四边形AEFD 是正方形， ∴∠AEF ＝90°.∴∠BEF ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BEF ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴四边形EBCF 是矩形．设CD ＝a ，AD ＝b ，则b a ＝5－12， ∴CF EF ＝a －b b ＝a b －1＝25－1－1＝2（5＋1）4－1＝5－12. ∴矩形EBCF 是黄金矩形23. 解：∵C ，D 均为线段AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BC AB，∴AD ＝BC ， ∴AB －AD ＝AB －BC ，即BD ＝AC.设AC ＝BD ＝x cm ，则AD ＝(x ＋6)cm ，AB ＝(2x ＋6)cm.∵AD AB ＝5－12， ∴x ＋62x ＋6＝5－12， ∴x ＋62（x ＋3）＝5－12， 解得x ＝3 5＋3，∴AB ＝(6 5＋12)cm.24. 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∴∠BDC ＝72°，∴BC ＝BD ＝AD.∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ，∴△BCD ∽△ACB ，∴BC AC ＝CD CB，即BC 2＝AC·CD ， ∴AD 2＝AC·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点．(2)设AD ＝x ，则CD ＝1－x.由(1)得x 2＝1－x.解得x 1＝－1－52(舍去)，x 2＝－1＋52，∴AD ＝－1＋52. 25. 解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点．(2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC ＝12AD·h ，S △DBC ＝12BD·h ，S △ABC ＝12AB·h ， ∴S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ，S △DBC ∶S △ADC ＝BD ∶AD.由(1)知点D 是AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BD AD， ∴S △ADC ∶S △ABC ＝S △DBC ∶S △ADC ，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(3)直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．证明：∵BC ∥AD ，∴△EBG ∽△EAH ，△EGC ∽△EHD ，∴BG AH ＝EG EH ，① GC HD ＝EG EH.② 由①②得BG AH ＝GC HD， 即BG GC ＝AH HD.③ 同理，由△BGF ∽△DHF ，△CGF ∽△AHF ，得BG HD ＝GC AH ，即BG GC ＝HD AH.④ 由③④得AH HD ＝HD AH， ∴AH ＝HD ，∴BG ＝GC ，∴梯形ABGH 与梯形GCDH 的上、下底分别相等，高也相等，∴S 梯形ABGH ＝S 梯形GCDH ＝12S 梯形ABCD ， ∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．。
北京课改版数学九年级上册同步课时练习：18.2 黄金分割(word版含答案)
18.2 黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB =BCAC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.注意:(1)一条线段有两个黄金分割点; (2)黄金比k=√5-12≈0.618. 1.[2020·泰安泰山区期末] 已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP>PB ),AB=10,那么AP 的长是 ( ) A .5√5-5 B .5-√5C .5√5-1D .√5-122.[2020·金昌] 生活中到处可见黄金分割的美.如在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若中b 为2米,则a 约为 ( )A .1.24米B .1.38米C .1.42米D .1.62米3.若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,则下列说法正确的有 ( )①AB=√5+12AC ;②AC=3-√52AB ; ③AB∶AC=AC∶BC ; ④AC ≈0.618AB. A .1个 B .2个C .3个D .4个4.如若点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC ),AB=1,则AC= ,BC= .5.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 的长为20米,主持人现在站在A 处,则他应至少再走 米才最自然得体.(结果精确到0.1米)6.如求作线段AB 的黄金分割点.(作出一个即可)7.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律.例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构,使画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.要拍摄草坪上的小狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于画面(如中的位置()A.①B.②C.③D.④8.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC等于()A.√5-1B.3-√5D.√5-1或3-√5C.√5-129.如已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP>BP,设以AP为边的正方形的面积为S1,以BP,AB 长为边的矩形的面积为S2,则S1与S2的关系是()A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.S1≥S210.五角星是我们常见的形,如五角形外围的各个边都相等.其中,点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=20 cm.求EC+CD的长.答案1.A2.A3.C解：∵ABAC =√5-1=2×(√5+1)4=√5+12,∴AB=√5+12AC,①正确;AC=√5-12AB,②错误;AB∶AC=AC∶BC,③正确;AC=√5-12AB≈0.618AB,④正确.4.√5-123-√525.7.66.略7.B8.D9.C10.解:∵EC=AC,∴EC+CD=AC+CD=AD.∵点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),∴AD=√5-12·AB=(10 √5-10)cm.即EC+CD=(10√5-10)cm.。
度九年级数学上册18.2黄金分割同步课堂检测北京课改版
19.2 黄金分割考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，已知点是线段的黄金分割点，且，若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，那么．A. B. C. D.无法确定2.如果点为线段的黄金分割点，且，则下列各式不正确的是（）A.B.D.C.3.根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为），这个气温大约为（）A. B. C. D.4.矩形的周长为，与的比为黄金比，的长度约为（）A. B.C.或D.5.已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，则的长为（）A. B.或C.或D.6.如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（）B.A.C. D.7.如图，下列式子不能说明点是线段的黄金分割点的是（）A. B.C.D.8.已知点在线段上，且点是线段的黄金分割点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.9.如图，在中，，，平分，则的长为（）A. B. C. D.10.如图，等腰中，腰，，的平分线交于，的平分线交于．设，则A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知线段的长为，点是线段上一点，且，则线段的长为________．12.顶角是的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在中，，，是的角平分线，那么________．213.已知线段长为厘米，点是的黄金分割点，则的长是________．14.黄金比的近似值为________，准确值为________．15.如果线段，点是上靠近点的黄金分割点，则的值为________．（结果保留根号）16.如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是________．17.如图，点为线段的黄金分割点，已知，则________．18.如果是的黄金分割点，，那么________（精确到）．19.如图，顶角是的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若、、都是黄金三角形，已知，则________．20.从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约，下身长约，她要穿约________的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到）．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知在边长为的正方形中，为中点，连接，以为圆心，为半径画弧交的延长线于，再以为边作正方形，判断是否为的黄金分割点，并说明理由．22.若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．操作：请你在如图所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形；探究：在中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落到线段上，折出点的新位置，因而．类似地，在上折出点″使″．这时″就是的黄金分割点．请你证明这个结论．24.在中，，，，平分，交于于．试说明点是线段的黄金分割点．25.已知线段，按照如下的方法作图：以为边作正方形，取的中点，连接，延长到，使，以线段为边，作正方形，那么点是线段的黄金分割点吗？请说明理由．26.如图，已知，．4求的度数；求证：点是的黄金分割点；求的值．答案1.B2.D3.A4.A5.C6.B7.B8.D9.B10.B11.12.13.厘米14.15.16.17.18.19.20.21.解：如图，∵，为中点，∴，在中，由勾股定理得，由于，则，∵，∴，∴为的黄金分割点．22.四边形是黄金矩形．证明：∵四边形是正方形，∴，∴，∵四边形是矩形，∴∴，∴四边形是矩形．设，，则有，∴，∴矩形是黄金矩形．23.证明：设正方形的边长为，为的中点，∴∴，又∵，∴，∴″∴点″是线段的黄金分割点．24.证明：∵，，∴，∵平分，交于于，∴，∴，6又∵，∴，∴∵，∴，∵，，∴，解得，：．∴点是线段的黄金分割点．25.解：设正方形的边长为，在中，依题意，得，，由勾股定理知，∴，；∴，，∴，所以点是线段的黄金分割点．26.解：∵，∴，∵，∴，，在中，，在中，，∴，解得；在等腰中，∵，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴；∵，∴；即点是的黄金分割点；设．由知，∴，∴．作于，∵，∴，，∴．8。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
2021北京课改新版18.2黄金分割课时作业同步练习含答案解析
课时2 黄金分割一．选择题（共4小题）1．如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想()A．5B．15-C．5D．15-52．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为()米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.823．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且10AB=，那么PQ的长为()A．5(3B．2)C．1)D．1)4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，则下列各式不正确的是()A．::AP BP AB AP=B．AP AB=C．BP=D．0.618AP AB≈二．填空题（共6小题）5．点P是线段AB上的一点，如果2AP BP AB=⋅，那么APAB的值是．6．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP BP>，那么:AP AB的比值为．7．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点()AP BP<，那么线段AP的长是厘米．8．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP=．9．已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是．10．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部高为xm，则可得到方程．三．解答题（共2小题）11．我们知道，含有36︒角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36︒的等腰三角形称为“黄金三角形”．在ABCB∠=︒，请用两种不同的=，且36∆中，已知：AB AC尺规作图在BC上找点D，使得ABD∆是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．12．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m与身高)l比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）课时2 黄金分割参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB 的长为10米，一名主持人现在站在A 处，则她至少走多少米才最理想( )A ．5B ．15-C ．5D ．15-5 解：设C 点为AB 的黄金分割点，当AC BC >时，105AC AB ==；当AC BC <时，105BC AB ===，则105)15AC =-=-，所以她至少走(15-米才最理想．故选：B ．2．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为( )米．A ．4.14B ．2.56C ．6.70D ．3.82解：设该车车身总长为x m ，汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x ，0.618 1.58x x ∴-=，解得 4.14x ≈，即该车车身总长约为4.14米．故选：A ．3．已知点P 、点Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且10AB =，那么PQ 的长为( )A ．5(3B ．2)C ．1)D ．1)解：如图，点P 、Q 是线段AB 的黄金分割点，10AB =，1)BP AQ AB ∴===，1)102)PQ AQ BP AB ∴=+-=-=，故选：B ．4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，则下列各式不正确的是( )A ．::AP BP AB AP = B ．AP AB =C ．BP =D ．0.618AP AB ≈ 解：点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，::AP BP AB AP ∴=，0.618AP AB AB ≈，BP AB AP AB AB AB ∴=-=， 故选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意，故选：C ．二．填空题（共6小题）5．点P 是线段AB 上的一点，如果2AP BP AB =⋅，那么AP AB 的值是 ． 解：点P 是线段AB 上的一点，2AP BP AB =⋅， ∴AP AB BP AP=， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ∴=，∴AP AB =，6．已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为． 解：点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，AD AB ∴=，∴AP AB =，7．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点()AP BP<，那么线段AP的长是(6-厘米．解：点P是线段AB的黄金分割点，AP BP<，4AB=厘米，2)BP AB∴==厘米，42)(6AP AB BP∴=-=-=-厘米，故答案为：(6-．8．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP=3解：点P是线段AB的黄金分割点，2AB=，AP BP<，1BP AB∴==，21)3AP AB BP∴=-=-=-故答案为：39．已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是6)厘米．解：点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，AD BD>，12AD AB∴==厘米，6AB∴=，6126)BD AB AD∴=-=-=厘米，故答案为：6)厘米．10．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部高为xm，则可得到方程2240x x+-=．解：根据题意得：22x xx-=，整理得：2240x x+-=，故答案为：2240+-=．x x三．解答题（共2小题）11．我们知道，含有36︒角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36︒的等腰三角形称为“黄金三角形”．在ABC∠=︒，请用两种不同的∆中，已知：AB ACB=，且36尺规作图在BC上找点D，使得ABD∆是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．解：①在线段BC上截取BD BA=，连接AD，如图1所示：则ABD∆即为所求，理由如下：=，36BD BA∠=︒，B∴∆为黄金三角形；ABD②在BAC∠=∠，交BC于点D，如图2所示：∠的内部作CAD C则ABD∆即为所求，理由如下：=，AB AC∴∠=∠=︒，C B36BAC∴∠=∠=︒，1803636108∠=︒-︒-︒=︒，CAD C36BAD BAC CAD∴∠=∠+∠=︒，72∠=∠-∠=︒，ADB C CAD72∴∠=∠，ADB BAD∴=，BA BD又36∠=︒，BABD ∴∆是黄金三角形．12．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m 与身高)l 比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm ，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）解：根据已知条件可知：下半身长是1650.699⨯=（厘米），设需要穿的高跟鞋为y 厘米，则根据黄金分割定义，得990.618165y y+=+， 解得：7.88y ≈≈，经检验7.8y ≈是原方程的根，答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．。
北京版-数学-九年级上册-18.2 黄金分割 课后零失误训练
黄金分割基础能力训练★回归教材注重基础◆黄金分割的定义1.已知AB=10 cm，P、Q是线段AB的两个黄金分割点，则PQ=________.2.已知线段AB=1，点P是线段AB的黄金分割点，则AP=________.3.已知线段AB=b，C为其黄金分割点，求下列各式的值(AC>BC)：(1)=BAAC_______;(2)=ACBC_______；(3)=BCAC_______;(4)AC－BC=________.4.正常人的体温一般是37℃左右，室温太高、太低，人都会感觉不舒服，多少摄氏度比较合适呢？有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点，则这个温度约为________.5.(2009·南京模拟)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4 cm，则BC=___________.6.若S是线段PQ的黄金分割点，且PS>SQ，则( )A.SQ2=PS·PQB.PS2=SQ·PQC.PQPSPS•=22D.22PQPSPSSQ+•=7.已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM.(1)写出线段AB.AM、BM之间的比例式.(2)如果AB=12 cm，求AM、BM的长.8.如图19－2－4所示，线段AB长10cm，点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，设以AC为边的正方形ACDE的面积为S1，以BC为一边，AB长为另一边的矩形BCFG的面积为S2，试比较S1和S2的大小.◆黄金分割点的作图9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示，设AB为已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，联结EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是AB的黄金分割点.任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说出这种作法的道理吗？10.求作已知线段AB的黄金分割点.(不写作法)综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用11.如图19－2－6所示，正五角星中，线段AD=2，试问图中阴影部分图形的周长是多少？12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用.◆开放探索13.若一个矩形的短边与长边的比值为215(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形.(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD.(2)探究：(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请说明理由;若不是，也给予说明.(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).参考答案 1答案：)25(10-cm2答案：215-或253- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.3答案：(1)215-(2)215-(3)215+(4)b )25(-4答案：23℃ 5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 为黄金三角形，∴AC BC为黄金比. ∴AC BC 215-=，∴)15(2-=BC cm.6答案：B7答案：(1)AM BM AB AM = (2))656(-=AM cm ，)5618(-=BM cm 8答案：)53(5021-==S S cm29答案：解析：设AB=2，那么在Rt △BAE 中，5122222=+=+=AE AB BE .于是EF=BE=5，AH=AF=BE －AE=15-，BH=AB －AH=53-.因此，AH BH ABAH =，点H 是线段AB 的黄金分割点.10答案：略11答案：解析：由于点B.C 都是线段AD 的黄金分割点，于是有：53)15(2,152152-=--=-=-=-=-⨯==AC AD BD AD AB AC BD ， ∴452)53()15(-=---=-=AB AC BC .∴阴影部分的周长为20510-.12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处，显得最和谐；当矩形的宽与长的比约为0.618时显得美观；拍照时，常把主要景物放在画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时，奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等.13答案：解析：(1)如图所示.(2)四边形EBCF 是黄金矩形，因为EF=AE=AB 215-，ABBE 253-=，则EFBE 215-=，所以四边形EBCF 是黄金矩形.(3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形，另一部分仍为黄金矩形.。
黄金分割同步练习及答案 (6)
黄金分割同步练习（典型题汇总）知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是( )A．如果ACAB＝BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )图4－4－28A.ACAB＝BCAC B．BC2＝AB·ACC.ACAB＝5)－12D.BCAC≈0.6183．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )A.5－1 B．3－5 C.5)－12 D．0.6184．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)图4－4－3210．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( )A．(3 5－3)cmB．(9－3 5)cmC．(3 5－3)cm或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm11．宽与长之比为5)－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图4－4－3312．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．图4－4－3413．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长．图4－4－3514．如图4－4－36①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1(S1>S2)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D 是不是AB边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC在(1)的条件下，如图③，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点F，延长AB，DC交于点E，连接EF并延长分别交梯形上、下底于G，H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．图4－4－361．C 2.B3．A [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝5)－12AB，而AB＝2，∴AC＝5－1.4．2 5－4 [解析] ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝5)－12AB＝5－1，则BP＝2－AP＝3－5，∴AP－BP＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.5．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝80×5)－12＝(40 5－40)cm，∴CD＝BD－(AB－BD)＝2BD－AB＝(80 5－160)cm.6．B 7.D8．23 ℃[解析] 37×5)－12≈23(℃)．9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体．10．C [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，∴BC＝5)－12AB＝(3 5－3)cm，或BC＝5)2AB＝(9－3 5)cm.11．解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF.又∵ABAD＝5)－12，∴AFAD＝5)－12，即点F是线段AD的黄金分割点，∴FDAF＝AFAD＝5)－12，∴FDDC＝5)－12，∴矩形CDFE是黄金矩形．12．[解析] 因为C，D均为线段AB的黄金分割点，所以ADAB与BCAB相等，都等于黄金比．因此AD＝BC，所以AC＝BD.解：∵C，D均为线段AB的黄金分割点，∴ADAB＝BCAB，∴AD＝BC，∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.设AC＝BD＝x cm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm. ∵ADAB＝5)－12，∴x＋62x＋6＝5)－12，∴x＋62（x＋3）＝5)－12，解得x＝3 5＋3，∴AB＝(6 5＋12)cm.13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∴∠BDC＝72°，∴BC＝BD＝AD.∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC＝CDCB，即BC2＝AC·CD，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点．(2)设AD＝x，则CD＝1－x.由(1)得x2＝1－x.解得x1＝5)2(舍去)，x2＝5)2，∴AD＝5)2.14．解：(1)点D是AB边上的黄金分割点．(2)直线CD是△ABC的黄金分割线．证明：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝12AD·h，S△DBC＝12BD·h，S△ABC＝12AB·h，∴S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB，S△DBC∶S△ADC＝BD∶AD.由(1)知点D是AB的黄金分割点，∴ADAB＝BDAD，∴S△ADC∶S△ABC＝S△DBC∶S△ADC，∴直线CD是△ABC的黄金分割线．(3)直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．证明：∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，∴BGAH＝EGEH，①GCHD＝EGEH.②由①②得BGAH＝GCHD，即BGGC＝AHHD.③同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF，得BGHD＝GCAH，即BGGC＝HDAH.④由③④得AHHD＝HDAH，∴AH＝HD，∴BG＝GC，∴梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等，高也相等，∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝12S梯形ABCD，CBAC BA ∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点 C.AB 与AC 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比 2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC AC; D.不能确定 3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:CBAC BAC BA1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB那么AC CB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D C BA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1. AC BC AB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3. 12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,××2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB =12,因为AB=1,所以AC= 12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得AC AB ,BD AB因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以AD=AB-BD=1-12=32-,因此七、C、D是线段AB的黄金分割点.。