黄金分割__习题精选
黄金分割__习题精选
黄金分割 习题精选一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则db c a ++=________. 二、认真选一选（1）已知yx 23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2yB.xy =6C.32=y xD.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2=（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶2（4）有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc b a= ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（ ）A.1个B.2 个C.3个D.4个5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2；C 、AB AP PB ⋅=2；D 、222AB BP AP =+4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-三、细心算一算已知实数a ,b ,c 满足c b a b a c a c b +=+=+,求a c b +的值.五、已知743c b a ==，且0≠⋅⋅c b a ，求cb ac b a 432234-+-+的值。
黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．125-C．454D．54 -B．9452．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA51-B51C．35D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．35B51C．15D．354．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A51B51-C35D．3525．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么51AC AB -=D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）． 14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，51-（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”5 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC= . 17．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）19．已知线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA ＝ ___；PB ＝______． 20510.61803398-=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ．21．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝_____． 22．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．三、解答题23．已知C 、D 是线段AB 上的点，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，则C 、D 是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 5 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP 51-AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】解：△P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）， △AP 51-AB ， △AB 的长度为8cm ， △AP 51-×8=454（cm ）， △BP =AB -AP =8-（454）=125- 故选：A ．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC 51-AB ． 2．C 【分析】利用黄金分割比的定义即可求解. 【详解】由黄金分割比的定义可知 5151251BC AB --=== △2(51)35AC AB BC =-=-= 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键. 3．A 【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解. 【详解】解: 较短的线段长=2⨯ (15-1=255 故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值5-1是解题的关键.4．A 【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP>得出51AP AB-=，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则5151251ABAP--===．故选：A．352，51-．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么51AC AB -=D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线51-叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，151BP -= 则151351AP --==23233535,,AP AP --==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202035AP -=⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割． 1251- 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 51-计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，51-51-， 51-． 51-是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC :AB =BC :AC ，△AC :AB ≈0.618，△AC =0.618×10cm ≈6.2(结果精确到0.1cm )故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．51-米 【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-叫做黄金比． 【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯51-51- 51-米.51-是解的关键． 15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解：51-5 2.236≈， 51-≈2.23612-≈0.62， 故答案为：0.62． 【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键． 1651 【解析】51251AC -==17．()252cm ．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm ．故答案为（2）cm ． 18．52 【分析】51-计算即可. 【详解】 解：△点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ） △51AP 252AB -== 故答案为：252.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)51cm (35cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段51-AB ，则PB=AB -352AB ，然后把AB=2cm 代入计算即可．【详解】解：△P 是AB 的黄金分割点， △较长线段51-AB ， △PB=AB -352AB ， 而AB=2cm ， △PA=)51cm ，PB=(35cm ． 故答案为：)51cm ；(35cm ．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分51-倍． 20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．555【分析】根据黄金分割点的定义，知BC 为较长线段；则BC 51-AB ，代入数据即可得出AC 的值．【详解】解：由于C 为线段AB ＝10的黄金分割点，且AC ＜BC ，BC 为较长线段；则BC ＝51-＝55． 故答案为：555．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 22．555【解析】△P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，51-AB ， △AB=10cm ， △AP=5110555-=. 故答案为555．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即51-AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析 【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
《黄金分割》随堂练习
§ 6.2黄金分割姓名班级学号【基础知识】1．一条线段的黄金分割点有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个2．黄金分割比的准确值是是（）3．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.386cm D．7.64cm3．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则（）A．AP2+BP2＝AB2 B．BP2＝AP•AB C．AP2＝AB•BP D．AB2＝AP•PB4．如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（）A．B．C．D．5．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少．．多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）【能力达标】6．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（405﹣40）cm B．（805﹣40）cmC．（120﹣405）cm D．（805﹣160）cm7．我们把宽与长的比值等于黄金比例512的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形()ABCD AB BC的边AB上取一点E，使得BE BC，连接DE，则AEAD等于()A．22B．512C．352D．5128．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定9．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，求她应该选择的高跟鞋得高度．（结果保留整数）【拓展提升】10．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．。
4.2黄金分割练习题
D EB CA1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值： （1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且ECAE BDAD =,(1)你能说明AC EC AB BD =吗?(2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若53===BCDE ACAE ABAD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
6、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DCBD ACAB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,求BD , DC 的长。
7、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？8．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，此时一古塔在地面的影长是50m ，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m ，中午12点时，1.5m 高的测杆的影长为1m ，求古塔的影长是20m 的时刻．9.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A.AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618ABA.1个B.2个C.3个D.4个10. 已知线段AB=2，C 点是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC= . 11. 把长为10cm 的线段黄金分割后，其中较短线段长为 .12. 已知线段MN ＝1，在MN 上有点A ，如果253-=AN ，求证：A 是MN 的黄金分割点．13、E 、F 为线段AB 的黄金分割点，已知AB ＝10 cm ，求EF 的长度． 14、如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）A CB M P N AC BA CB AC BAB D CAEFBACDB在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：ACCD 的值。
4.2 黄金分割(含答案)-
C BA CBAC BA4.2 黄金分割一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( ) A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.12,12 B.12,12; C.12,12; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.CBA2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.AB3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C为AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,求CD的长.AD C B七、已知C、D是线段AB上的两点,且不难证明当AB=1时,C、D是线段AB的黄金分割点,试探究当AB任意长时,C、D是否是线段AB的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB=12,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB ,BD AB因为AB=1,所以,所以AD=AB-BD=1-12=32,因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
黄金分割专项练习30题
黄金分割专项练习21定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC =BC?AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点.如图 2, △ ABC 中，AB=AC=1 , / A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D .(1) 求证：点D 是线段AC 的黄金分割点;2 .如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB > AD ).99cm 2,求 AB 的长度；101cm 2吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由;AD 与AB 之比等于黄金比 逅二丄)，求该矩形的面积.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形， 如在矩形ABCD 中，当-'_ J 时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.40cw(1) 若这个矩形的面积等于 (2) 这个矩形的面积可能等于 (3) 若这个矩形为黄金矩形((结果保留根号)(2)求出线段AD 的长.10.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD ;取AD的中点E，连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形AFGH .则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.12 .已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求「的值.AC14.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD15•人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？17.如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且 AP >BP ,设以AP 为边长的正方形面积为 S 1,以PB 为宽和以AB 为 长的矩形面积为S 2，试比较S 1与S 2的大小.20.(如图1),点P 将线段AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段詈罟k ，则k就是黄金比，并且k战618.(1) 以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰△ APB (如图2),等腰△ APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为: 满足 寺石一耳亍0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：(2) 如图1,设AB=1，请你说明为什么 (3) 由线段的黄金分割点联想到图形的3),点P 是线段AB 的黄金分割点，那么直线 CP 是厶ABC 的黄金分割线吗？请说明理由;18.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边AD 延长线上的一点，且r -] D 为AE 的黄金分割点，即 仙——AE ，k 约为 0.618;黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I 将一个面积为S 的图形分成面积为 S 1和面积为S 2的两部分(设 I 为该图形的黄金分割线. (如图BP ,如果那么称点P 为线段AB 的黄金分割点，设S 1V S 2),如果 那么称直线(4)图3中的△ ABC的黄金分割线有几条？21 •在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感•张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E,再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA 上，折出点B的新位置B',因而EB'=EB .类似地，在AB上折出点B〃使AB 〃=AB 这时B〃就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.25.如图，在△ ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC，已知 / ACE=108 ° BC=2 .（1）求/ B的度数；（2）我们把有一个内角等于36 °勺等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比—L2①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使△ PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.28 •折纸与证明——用纸折出黄金分割点：第一步：如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF • 第二步：如图(2),将AB 边折到BF上，得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG > GD )P A D29.三角形中，顶角等于36 °勺等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC中，已知：AB=AC，且/ A=36 °(1)在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)；(2)△ BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)设，试求k的值；AC(4)如图2,在厶A1B1C1中，已知A1B1=A1C1, / A仁108°且A1B仁AB，请直接写出"巴的值.黄金分割线”类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I 将一个面积为S 的图形S i , S 2,如果—-_2,那么称直线I 为该图形的黄金分割线.S 3](1) 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图 2),则直线CD 是厶ABC 的黄金分割 线.你认为对吗？为什么？(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3)研究小组在进一步探究中发现： 过点C 任作一条直线交 AB 于点E ,再过点D 作直线DF// CE ，交AC 于点F , 连接EF (如图3),则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线.请你说明理由.(4) 如图4,点E 是平行四边形 ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 E 作EF / AD ，交DC 于点F ，显然直线EFABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD课题学习时，由黄金分割点联想到 分成两部分，这两部分的面积分别为是平行四边形ABCD 的黄金分割线•请你画一条平行四边形 各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案:1.(1)证明：•/ AB=AC=1 ,••• / ABC= / C== (180°- / A )=丄(180 °- 36 ° =72 °2 3••• BD平分/ ABC交AC于点D,•/ ABD= / CBD=2/ ABC=36 °2•/ BDC=180 ° - 36°- 72°72 °•DA=DB , BD=BC,•AD=BD=BC ,易得△ BDC ABC ,2•BC : AC=CD : BC，即BC2=CD?AC ,2•AD =CD ?AC,•点D是线段AC的黄金分割点；(2)设AD=x，贝U CD=AC - AD=1 - x,2•/ AD 2=CD ?AC ,•x2=1 - x，解得x1= --- , x2= _ ',即AD的长为―一-22.解：(1)设AB=xcm，贝U AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =99 ,整理得x2- 20x+99=0 ,解得X1=9, x2=11,当x=9 时，20 - x=11 ;当x=11 时，20- 1仁9,而AB > AD,所以x=11，即AB的长为11cm;(2)不能.理由如下：设AB=xcm，贝V AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =101 ,整理得x2- 20x+101=0 ,因为△ =202 - 4X101=- 4V 0,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设AB=xcm，则AD= (20 - x) cm,丫斥"1根据题意得20 - x= ——x,2解得x=10 ( . 口- 1),贝U 20 - x=10 ( 3-肛),所以矩形的面积=10 ( - 1) ?10 (3-「,)= (400 !.- 800) cm2.3.解：(1) •/ / A=36 ° AB=AC ,•/ ABC= / ACB=72 °•/ BD 平分 / ABC ,•/ CBD= / ABD=36 ° / BDC=72 °•AD=BD , BC=BD,•△ ABC BDC ,•上丄:一 I"即—AB = BC ，AC rAD ，2• AD =AC?CD .•••点D 是线段AC 的黄金分割点. (2) •••点D 是线段AC 的黄金分割点， • AD=——AC ,2•/ AC=2 , • AD= . ■- 14. 解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2) 作法：①画线段AB 作为三角形底边；② 取AB 的一半作 AB 的垂线 AC ,连接BC ,在BC 上取CD=CA . ③ 分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为 E ; ④ 分别连接EA 、EB ,则厶ABE 即是所求的三角形.(3) 证明：设 AB=2，贝U AC=1 , BC= 口，AE=BE=BD=BC - CD=「- 1, AE 出-1|■:.6 .解：(1)设 AC=x ，贝U BC=AB - AC=12•/ AC 2=BC ?AB ,2• x =1 X ( 1 - x), 整理得x 2+x -仁0,解得 X 1=U^, X 2=: 一(舍去)， 所以线段AC 的长度为「一5 .解：(1)由于P 为线段AB=2的黄金分割点, 「=>1 ,则 AP=2 2或 AP=2 -(「- 1) =3 -(2)设线段AD的长度为x, AC=I ,2••• AD =CD ?AC ,2••• X =| X ( I - x),••• X1=—^, X2= l「(舍去)，2 2•线段AD的长度——AC ;|2(3)同理得到线段AE的长度：l - \D ;2上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC (AC > BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC),则C点为AB的黄金分割点7.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：•••在△ ABC 中，AB=AC , / A=36 °•••/ ABC= / ACB= _ 厂=72 °2•/ / 1 = / 2,•/ 1 = / 2=丄/ ABC=36 °2•在厶BDC 中，/ BDC=180。
黄金分割练习题
黄金分割练习题1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP ,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、 已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。
（只画出一个即可）A CBA B7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC AE BD AD =, (1)你能说明ACEC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
7、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
5、（2007山东青岛）某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？B D C。
比例线段黄金分割习题
⽐例线段黄⾦分割习题例1．下列各组中的四条线段成⽐例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满⾜ab =cd ，把它改写成⽐例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四⽐例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式⼀定成⽴的是( )A.dc b a =B.ccb d d a +=+ C.c d b a =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式⼦中正确的是（） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
例7.在⽐例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______ 例8.在⼀张地图上，甲、⼄两地的图上距离是3 cm,⽽两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的⽐例尺为________.例9．（1）已知ba ab b a x +=+=+=222，求x 的值（2）已知524232xz z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值例10.已知点M 将线段AB 黄⾦分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄⾦分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ?=2，A CDB求：ACCD的值【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列⽐例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b =2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-yx x D 、5=-x y y3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:8 4．若3:2:1::=c b a ，则cb a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-35．已知875cb a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11 B 、12 C 、314D 、96．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（）A 、5B 、-5C 、20D 、-20 7．若43xx =，则x 等于（） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32± 8．已知AB=1，)15(2 1-=AC ，且BC AB AC ?=2，则BC 的长为（） A 、215- B 、215+ C 、)53(21- D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄⾦分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（）A 、2B 、15+C 、2或15+D 、以上都不对 10．已知572zy x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的⼤⼩顺序为（） A 、A>B>C B 、AA>B D 、A35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba14．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填⼀个数，可写成⼀个⽐例式，这个数是 16．把长为5的线段进⾏黄⾦分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c . 19. 若54,23,43===d c c b b a ，则22db ac+等于多少？20. 已知xbc a x a c b x c b a =+=+=+,,，求x 的值1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的⽐例中项x=___________。
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黄金分割练习题
一、请你填一填
（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.
（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则 d =_____________cm.
（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.
（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________.
二、认真选一选
（1）已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ）
A.3x =2y
B.xy =6
C.32=y x
D.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2=
（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）
A.3∶1
B.2∶3
C.2∶1
D.3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d
c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项
③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =
5－1
其中正确的判断有（ ）
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个 5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）
A 、P
B AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2；
C 、AB AP PB ⋅=2；
D 、222AB BP AP =+
4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）
A 、)15(5-
B 、)15(5+
C 、)25(10-
D 、)53(5-
三、细心算一算
已知实数a ,b ,c 满足c b a b a c a c b +=+=+,求a c b +的值.
四、好好想一想
以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2.
（1）求AM 、DM 的长.
（2）求证：AM 2=AD ·DM .
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
图4—2—2
五、已知
743c b a ==，且0≠⋅⋅c b a ，求c
b a
c b a 432234-+-+的值。
六、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。
参考答案
一、（1）
AP PB AB AP = PB AB （2）0.618 （3）10 （4）2
2∶1∶2即1∶2∶2 （5）3
二、（1）D （2）B （3）C （4）C 三、解：设c b a b a c a c b +=+=+=k 则b +c =ak ,c +a =bk ,a +b =ck
∴2（a +b +c ）=k （a +b +c ）
当a +b +c ≠0时，∴k =2,∴a
c b +=2 当a +b +c =0时,b =－（b +c ）,
a c
b +=－1 四、解：如图（见原题图）
（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 中点 ∴AB =AD =2，AP =1
在Rt △A PD 中，PD =522=+AD AP ∵PF =PD ,
∴AF =PF －AP =5－1
∵AMEF 是正方形，
∴AM =AF =5－1
DM =AD －AM =2－（5－1）=3－5
（2）由（1）得AM 2=（5－1）2
=6－25 AD ·DM =2（3－
5）=6－25
∴AM 2=AD ·DM （3）图中点M 是线段AD 的黄金分割点.。