山西省2019年高考理科数学模拟试题及答案(一)
山西省2019年高考理科数学模拟试题及答案（一）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,3,|540U A B x Z x x ===∈-+≥，则()U AB =ðA ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}23. 下列说法中正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C.命题“存在000,1x x ex ∈≤+R ”的否定为：“对,1xx e x ∀∈>+R ”D.直线l 不在平面α内，则“l 上有两个不同的点到α的距离相等”是“//l α”的充要条件 4．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35- B.35 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6. 已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A. 7B.5C.7-D.5-7. 设不等式组-20+200x y x y x ≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω.则A. 原点O 在Ω内B.Ω的面积是1C. Ω内的点到y 轴的距离有最大值D.若点P(x 0,y 0) ∈Ω，则x 0+y 0≠08．如右图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S MOD 10”表示自然数 S 被10除所得的余数，“S \10”表示自然数S 被10除所得的商．则 根据上述程序框图，输出的“徽数”S 为 A ．18B ．16C ．14D ．129. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为A ．3πB ．4π C.5π D ．6π10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 12．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6，则椭圆的标准方程为A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y +=D. 2214x y +=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P AB =，则点集P 所表示的轨迹长度为 。
14. 在52()x x+的二项展开式中，3x 的系数为_______________。
15．设，若函数的最小正周期为，则____ 。
16.“五一”期间小王、小刘、小董、小韩到影院看电影，她们到影院之后发现，当天正在放映甲、乙、丙、丁、戊五部影片，于是她们一起看其中的一部影片： 小王：只要不是乙就行；小刘：乙、丙、丁、戊都行,其它的不行； 小董说：我喜欢丁，但是只要不是丙就行； 小韩说：除了戊之外，其它的都可以．据此判断，她们可以共同看的影片为______________。
三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, （一）必考题：共60分。
17．（本小题共12分）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列。
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n 。
18．（本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥。
求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．19．（本小题共12分）考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率； （3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度．定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，考试评价规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理． 20. （本小题共12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆P F F y x O ),0,3(),0,3(,4:2122-=+为平面内一动点，若以 线段2PF 为直径的圆与圆O 相切.(1)证明||||21PF PF +为定值,并写出点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过1F 交C 于,A B 两点,过1F 且与l 垂直的直线与C 交于,M N 两点,求四边形AMBN 面积的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求OBOA的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()()2210f x x a x a =-++>，()2g x x =+ （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A2.C3.C4.A5.B6.C7.D8.D9.C 10.A 11.C 12.A 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.丁三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, （一）必考题：共60分。
17．（本小题共12分）（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则2(1)n a n d =+-，*N n ∈.由 11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++， ………………2分即()()23333d d +=+，得0d =（舍去）或3d =. ……………… 4分所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈. ………………6分 （Ⅱ）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥-+-+⎣⎦， ………………8分 所以 ()111111111111325358331323232232n nS n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由319n S <，即()323219n n <+，得12n <. ………………10分 所以使319n S <成立的最大的正整数11n =. ………………12分 18. （本小题共12分）证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ． 19.（本小题共12分）解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=． 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题． ……………4分 （2） 因为20人中答对第5题的人数为4人，因此这2名学生中至少有1人答对第5题的概率为p=1- 220216C C =197 …………………8分（3）222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． …………………12分20. （本小题共12分）解：(1)设2PF 的中点为G ，连接OG PF ,1，在21F PF ∆中，G O ,分别为221,PF F F 的中点，所以||21||1PF OG =, 又圆O 与动圆相切，则||212||2PF OG -=，所以||212||2121PF PF -=, ……1分 即4||||21=+PF PF 为定值， ………………………………………………2分32||4||||2121=>=+F F PF PF ,所以点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆， ……………………………3分设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则1,3,2===b c a ,所以点P 的轨迹方程为1422=+y x . ……………4分（2）(法一)①当直线l 的斜率不存在时，不妨设11(),(),M(2,0),(2,0)22A B N --，则4||,1||==MN AB ， 四边形AMBN 面积2||||21==MN AB S ; ②当直线l 的斜率为0时,同理可得四边形AMBN 面积2=S ;…………5分 ③当直线l 的斜率存在且不为0时,可设直线l的方程为(y k x =+设),(),,(2211y x B y x A ,联立22(440,y k x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得2222(14)1240k x x k +++-=， ……………6分212122124,14k x x x x k -+==+ ………………………………………7分21224(1)|||14k AB x x k+=-==+， 同理222214[()1)]4(1)|MN |,144()1k k k k-++==+-+……………………………………8分四边形AMBN 面积)14)(4()1(8||||212222+++=⋅=k k k MN AB S ，………………9分设112>=+t k ，则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=tt t t t t t t t t S ，…………10分 所以22532<≤S ；…………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,2532[.…………………12分(法二)①当x AB ⊥轴时，不妨设)21,3(),21,3(---B A ，则4||,1||==MN AB ，四边形AMBN 面积2||||21==MN AB S ，②当y AB ⊥轴时,同理可得四边形AMBN 面积2=S .………………………5分 ③当直线AB 不垂直坐标轴时,设AB 方程为)0(3≠-=m my x ，),(),,(2211y x B y x A ,联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044322y x my x 得0132)4(22=--+my y m ，………………………6分,41,432221221+-=+=+m y y m m y y ……………………………………………7分 4)1(44)(1||1||22212212212++=-++=-+=m m y y y y my y m AB ，同理14)1(44)1()]1)1[(4|MN |2222++=+-+-=m m mm ，…………………………………8分 四边形AMBN 面积)14)(4()1(8||||212222+++=⋅=m m m MN AB S ，………………9分 设112>=+t m ，则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=tt t t t t t t t t S ，……………10分 所以22532<≤S ；……………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,2532[.………………………12分21．（本小题满分12分） （1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-= 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值； （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, 又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．（二）选考题：共10分。
2019届山西省高三毕业班高考考前适应性训练测试一(一模)数学(理)试题(A卷)(解析版)
绝密★启用前山西省2019年高三毕业班高考考前第一次适应性训练测试（一模）数学(理)试题(A卷)（解析版）一、选择题：本题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（C R A）∩B＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合在中的补集，再求交集【详解】,所以【点睛】考查集合运算,解题的关键是先求出 ,属于简单题。
2.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性,需先判断定义域是否关于原点对称,再求【详解】C选项定义域,定义域关于原点不对称,故答案为C.【点睛】本题考查函数的奇偶性判断,奇函数定义域关于原点对称,偶函数定义域关于原点对称3.已知复数z满足为虚数单位）,则z＝（）A. 2＋B. 2－C. －2＋D. －2－【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则进行计算即可【详解】由题可得所以故选A。
【点睛】考查复数计算,属于简单题。
4.某人连续投篮6次,其中3次命中,3次未命中,则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数,再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数,计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率。
【详解】由题可得基本事件总数 ,第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是故选D.【点睛】本题考查计数原理及排列组合的应用,解题的关键是正确求出基本事件个数。
5.已知直线和抛物线C：,P为C上的一点,且P到直线l的距离与P 到C的焦点距离相等,那么这样的点P有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标,将点P到抛物线焦点的距离转化成到准线的距离,由P到直线l的距离与P 到C的准线距离相等列出方程求解。
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷(一)
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷（一)一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|log2x⩽1}，则A∩B=（）A．{1,2}B．(1,2]C．{0,1,2}D．(0,2] 2．（2分）已知复数z满足(2+i)z=5（i为虚数单位），则z=（）A．−2−i B．1−2i C．2−i D．1+2i 3．（2分）下列命题中的真命题是（）A．若a⃗⋅b⃗<0，则向量a⃗与b⃗的夹角为钝角B．若am2⩾bm2，则a⩾bC．若命题“ p∨q是真命题”，则命题“ p∧q是真命题”D．命题“ ∃x0∈R，2x0<x2”的否定是“ ∀x∈R，2x⩾x2”4．（2分）已知tanα=2,α∈(0,π)，则sin2αcos(π2+α)=（）A．−2√55B．2√55C．−4√55D．4√555．（2分）已知函数f(x)=xlnx+a在x=e处的切线经过原点，则实数f(1)=（）A．e B．1eC．1D．06．（2分）已知等比数列{a n}满足a5+a8=2，a6·a7=−8则a2+a11=（）A．5B．-5C．7D．-77．（2分）下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．12B．15C．403D．5038．（2分）在平面区域{x+y⩽2,2x−y⩾0,y⩾0,，内任取一点P(x,y)，则存在α∈R，使得点P的坐标(x,y)满足(x−2)cosα+ysinα−√2=0的概率为（）A ．1−3π16B ．3π16C ．43−π4D ．1−π169．（2分）已知数列 {a n } 的前 n 项和 S 满足 S n −(−1)n a n =2n −6+12n (n ∈N ∗) ，则 S 100=（ ） A ．196B ．200C ．194+12100D ．198+1210210．（2分）已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b2=1 (a >0,b >0) 的左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，斜率为2直线过点 F 1 与双曲线 C 在第二象限相交于点 P ，若 |OP|=|OF 2| ，则双曲线 C 的离心率是（ ） A ．√3B ．√5C ．2D ．√7211．（2分）已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 2f ′(x)−f(x)<0 ，且 f(ln2)=2 ，则 f(lnx)−√2x >0 的解集是（ ） A ．(0,2)B ．(0,√2)C ．(0,e)D ．(0,√e)12．（2分）已知函数 f(x)=sin(ωx +φ) （ ω>0 ， |φ|<π2 ）满足 f(π4−x)=−f(π4+x) ， f(−π2−x)=f(x) ，且在 (0,π8) 上是单调函数，则 ω 的值可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）抛物线 y =x 2 的准线方程为 .14．（1分）已知 (1x+√x)n 的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为 .15．（1分）如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为4，点 Q 在棱 AA 1 上，且 AQ =3A 1Q ，EFGC 1 是面 BCC 1B 1 内的正方形，且 C 1E =1 ， P 是面 BCC 1B 1 内的动点，且 P 到平面 CDD 1C 1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 .16．（1分）已知函数 f(x)=lnx −b ， g(x)=ax +(1−a) ，其中 a,b ∈R ，若 f(x)⩽g(x)恒成立，则当 b a取最小值时， a −b = .三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA+ (c−a)sinC=bsinB，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC=2，DE=√6.2（1）（5分）求B；（2）（5分）求△ABC的面积.18．（10分）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是直角梯形，AB//CD，AD⊥CD，面CDEF是菱形，∠DCF=60°，CD=2AD=2AB，AE=√5AD.（1）（5分）证明：CE⊥AF；（2）（5分）已知点P在线段BC上，且CP=λCB，若二面角A−DF−P的大小为60°，求实数λ的值.19．（10分）为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.表1：参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑ni=1u i v i−nuv̅̅̅̅̅∑n i=1u i2−nu2,α̂=v−β̂u参考数据：e5.3=200.33，e5.5=244.69，e5.7=298.87.（1）（5分）由散点图分析后，可用y=e bx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天次x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.表2：表中z=lny，z̅=17∑7i=1z i.（2）（5分）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.表3：统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为13，享受7折支付的频率为12，享受9折支付的频率为16.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求ξ的分布列和期望.20．（10分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A,B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且ΔPF1F2的周长为6，若ΔPF1F2面积的最大值为√3.（1）（5分）求椭圆C的方程；（2）（5分）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在一条定直线上.21．（10分）已知函数f(x)=lnx−ax2+(2−a)x，a∈R.（1）（5分）讨论函数f(x)的单调性；（2）（5分）当a<−12，时，若对于任意x1,x2∈(1,+∞)(x1<x2)，都存在x0∈(x1,x2)，使得f′(x0)=f(x2)−f(x1)x2−x1，证明：x1+x22<x0.22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x=tcosαy=1+tsinα，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.（1）（5分）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）（5分）已知点A(0，1)，若曲线C1方程中的参数是t，{x=2cosα(1)y=tanα(2)，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求1|AP|+1|AQ|的最大值.23．（10分）已知函数f(x)=|2x−1|+2|x+1|.（1）（5分）求不等式f(x)⩽5的解集；（2）（5分）若存在实数x0，使得f(x0)⩽5+m−m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3=M，证明：0<a+b⩽2.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】 log 2x ⩽1 ⇒log 2x ≤1=log 22⇒0<x ≤2 ， ∴B ={x|0<x ≤2} ，A ∩B ={1,2} ， 故答案为：A.【分析】对集合 B 化简，求出 A ∩B .2．【答案】C【解析】【解答】 z =52+i =5⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=5⋅(2−i)5=2−i ， 故答案为：C.【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出 z .3．【答案】D【解析】【解答】选项A ： a ⃗ ⋅b ⃗ <0⇒cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉<0⇒〈a ⃗ ,b⃗ 〉 是钝角或平角，所以选项A 是假命题； 选项B: am 2⩾bm 2⇒m =0,a,b ∈R 或者 {m ≠0a ≥b，所以选项B 是假命题； 选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，只有当 p ，q 都是真命题时， p ∧q 才是真命题，所以选项C 是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“ ∃x 0∈R ，2x 0<x 02 ”的否定是“ ∀x ∈R ， 2x ⩾x 2 ”是真命题，故本题选D.【分析】对于选项A ：当 a ⃗ ⋅b⃗ <0 时，向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意 am 2⩾bm 2 成立时， m =0 这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，不能确定 p ∧q 是真命题；对于选项D ：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题．4．【答案】A【解析】【解答】 sin2αcos(π2+α)=2sinαcosα−sinα = −2cosα, 又 tanα=2=sinαcosα,sin 2α+cos 2α=1 ,解 cosα=±√55又 α∈(0，π) ， tanα>0 ,故 α∈(0，π2)， 故 cosα=√55所以 sin2αcos(π2+α)=−2√55故选A【分析】由诱导公式及二倍角公式化简 sin2αcos(π2+α)=−2cosα ，由 2=sinαcosα 结合 sin 2α+cos 2α=1 得 cosα ，即可求解。
2019太原一模理科数学(解析版)
1 C．194
2100
1 D．198
2102
9．答案：B
1
解析：分别取
n
101,
102
，得
S101
a101
196
2101
S102
a102
S101
198
1 2102
①
，
②
1
1 1
① ② ，得 a101
2
2102
，所以 S100
198
2102
2
2102
200 ．
x2 y2
在左视图上，以
FG
中点 O
为坐标原点建立坐标系，则点
P
在抛物线
y2
2x
上，
M
7 2
,0，
2
2
设
P(2t2 , 2t)
，则
PM
2
2t
2
7
4t 2
4t 4
10t 2
49
4
t
2
5
6≥ 6 ，
2
4 4
所以 PQ2 QM 2 PM 2 ≥16 6 22 ，所以线段 PQ 长度的最小值为 22 ．
2．已知复数 z 满足 (2 i)z 5 （ i 为虚数单位），则 z （ ）
A． 2 i
2．答案：C
B．1 2i
5
5(2 i)
解析： z
2i
2 i (2 i)(2 i)
C． 2 i
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．若 a b 0 ，则向量 a 与 b 的夹角为钝角
D．1 2i
1 1 ax
h(x) a
，
x
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷(一)
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷（一)一、单选题（共12题；共24分）1.已知集合 A ={−1,0,1,2} ， B ={x |log 2x ⩽1} ，则 A ∩B = （ ） A. {1,2} B. (1,2] C. {0,1,2} D. (0,2]2.已知复数 z 满足 (2+i)z =5 （ i 为虚数单位），则 z = （ ） A. −2−i B. 1−2i C. 2-i D. 1+2i3.下列命题中的真命题是（ ） A. 若 a ⃗⋅b ⃗⃗<0 ，则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为钝角 B. 若 am 2⩾bm 2 ，则 a ⩾bC. 若命题“ p ∨q 是真命题”，则命题“ p ∧q 是真命题”D. 命题“ ∃x 0∈R ， 2x 0<x 02 ”的否定是“ ∀x ∈R ， 2x ⩾x 2 ”4.已知 tanα=2,α∈(0,π) ，则 sin2αcos(π2+α)= （ ）A. −2√55B. 2√55C. −4√55D. 4√555.已知函数 f(x)=xlnx +a 在 x =e 处的切线经过原点，则实数 f(1)= （ ） A. e B. 1e C. 1 D. 06.已知等比数列 {a n } 满足 a 5+a 8=2 ， a 6·a 7=−8 则 a 2+a 11= （ ） A. 5 B. -5 C. 7 D. -77.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C. 403D. 5038.在平面区域 {x +y ⩽2,2x −y ⩾0,y ⩾0, ，内任取一点 P(x,y) ，则存在 α∈R ，使得点 P 的坐标 (x,y) 满足(x −2)cosα+ysinα−√2=0 的概率为（ ）A. 1−3π16 B. 3π16 C. 43−π4 D. 1−π169.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S 满足 S n −(−1)n a n =2n −6+12n (n ∈N ∗) ，则 S 100= （ ）A. 196B. 200C. 194+12100D. 198+1210210.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，斜率为2直线过点F1与双曲线C在第二象限相交于点P，若|OP|=|OF2|，则双曲线C的离心率是（）A. √3B. √5C. 2D. √7211.已知定义在R上的函数f(x)满足2f′(x)−f(x)<0，且f(ln2)=2，则f(lnx)−√2x>0的解集是（）A. (0,2)B. (0,√2)C. (0,e)D. (0,√e)12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）满足f(π4−x)=−f(π4+x)，f(−π2−x)=f(x)，且在(0,π8)上是单调函数，则ω的值可能是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共4题；共4分）13.抛物线y=x2的准线方程为________.14.已知(1x+√x)n的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为________.15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点Q在棱AA1上，且AQ=3A1Q，EFGC1是面BCC1B1内的正方形，且C1E=1，P是面BCC1B1内的动点，且P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，则线段PQ长度的最小值为________.16.已知函数f(x)=lnx−b，g(x)=ax+(1−a)，其中a,b∈R，若f(x)⩽g(x)恒成立，则当ba取最小值时，a−b=________.三、解答题（共7题；共70分）17.如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA+(c−a)sinC=bsinB，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC=2，DE=√62.（1）求B；（2）求△ABC的面积.18.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是直角梯形，AB//CD，AD⊥CD，面CDEF是菱形，∠DCF=60°，CD=2AD=2AB，AE=√5AD.（1）证明：CE⊥AF；（2）已知点P在线段BC上，且CP=λCB，若二面角A−DF−P的大小为60°，求实数λ的值.19.为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.表1：参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑ni=1u i v i−nuv̅̅̅̅∑n i=1u i2−nu2,α̂=v−β̂u参考数据：e5.3=200.33，e5.5=244.69，e5.7= 298.87.（1）由散点图分析后，可用y=e bx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天次x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.表2：表中z=ln y，z̅=17∑7i=1z i.（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.表3：统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为13，享受7折支付的频率为12，享受9折支付的频率为16.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求ξ的分布列和期望.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A,B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且ΔPF1F2的周长为6，若ΔPF1F2面积的最大值为√3.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在一条定直线上.21.已知函数f(x)=ln x−ax2+(2−a)x，a∈R.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a<−12，时，若对于任意x1,x2∈(1,+∞)(x1<x2)，都存在x0∈(x1,x2)，使得f′(x0)=f(x2)−f(x1) x2−x1，证明：x1+x22<x0.22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x=tcosαy=1+tsinα，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A(0,1)，若曲线C1方程中的参数是t，{x=2cosα(1)y=tanα(2)，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求1|AP|+1|AQ|的最大值.23.已知函数f(x)=|2x−1|+2|x+1|.（1）求不等式f(x)⩽5的解集；（2）若存在实数x0，使得f(x0)⩽5+m−m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3=M，证明：0<a+b⩽2.答案解析部分一、单选题 1.【答案】 A【考点】交集及其运算【解析】【解答】 log 2x ⩽1 ⇒log 2x ≤1=log 22⇒0<x ≤2 ， ∴B ={x|0<x ≤2} ， A ∩B ={1,2} ， 故答案为：A.【分析】对集合 B 化简，求出 A ∩B . 2.【答案】 C【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 z =52+i =5⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=5⋅(2−i)5=2−i ，故答案为：C.【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出 z . 3.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】选项A ： a ⃗⋅b ⃗⃗<0⇒cos〈a ⃗,b ⃗⃗〉<0⇒〈a ⃗,b ⃗⃗〉 是钝角或平角，所以选项A 是假命题； 选项B: am 2⩾bm 2⇒m =0,a,b ∈R 或者 {m ≠0a ≥b，所以选项B 是假命题； 选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，只有当 p ，q 都是真命题时， p ∧q 才是真命题，所以选项C 是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“ ∃x 0∈R ， 2x 0<x 02 ”的否定是“ ∀x ∈R ， 2x ⩾x 2 ”是真命题，故本题选D. 【分析】对于选项A ：当 a ⃗⋅b ⃗⃗<0 时，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意 am 2⩾bm 2 成立时， m =0 这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，不能确定 p ∧q 是真命题；对于选项D ：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题． 4.【答案】 A【考点】二倍角的正弦公式，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】sin 2αcos (π2+α)=2sinαcosα−sinα= −2cos α, 又 tan α=2=sinαcosα,sin 2α+cos 2α=1 ,解 cos α=±√55又 α∈(0，π) ， tan α>0 ,故 α∈(0，π2)， 故 cos α=√55所以sin 2αcos (π2+α)=−2√55故选A【分析】由诱导公式及二倍角公式化简 sin 2αcos (π2+α)=−2cos α ，由 2=sinαcosα结合 sin 2α+cos 2α=1 得cos α ，即可求解。
山西省太原市2019年高三年级模拟试题(一)理科数学试卷(PDF版)
（Ⅱ）Q t
是曲线 C1
x
:
y
t cos , 1 t sin
的参数，
C1 是过点
A(0,1)
的一条直线，………6
分
设与点
P, Q
相对应的参数分别是 t1, t2
，把
x y
t cos , 1 t sin
代入 (x
1) 2
y2
1得
t2 2(sin cos )t 1 0 ， t1 t2 2
1 x2 x1
ln
x2 x1
a(x2
x1) (2 a) ，
f
(x0 )
1 x0
2ax0
(2
a)
x2
1
x1
ln
x2 x1
a(x2
x1 )
1 x0
2ax0 ，……………7
分
Q
f ( x1 x2 ) 2
f (x0 )
x2
2
x1
a( x2
Q AD CD ， AD 面 CDEF ， AD CE ，………4 分
CE 面 ADF ，CE AF ；………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴的正方
E
向，| DA |为单位长，建立如图的空间直角坐标系 D xyz ，
z
F
由题设可得 A(1, 0, 0) ，B(1,1, 0) ，C(0, 2, 0) ，E(0, 1, 3) ，
1 1 取最大值 2 2 .………10 分 | AP | | AQ |
山西省2019届高三模拟数学考试(理)
高三年级模拟试题（一）数学理一、选择题1.已知全集{}0123456U =，，，，，，，集合{}013A =，，,集合{}2,6B =,则()()U U C A C B 为A 、{}5,6B 、{}4,5C 、{}0,3D 、{}2,6 答案：B解：()()(){}=4,5U U U C A C B C A B = 说明：()()()=U U U C A C B C AB ()()()=U U U C A C B C A B2.已知i 是虚数单位，则复数534ii+-的共轭复数是 A 、1－i B 、－1＋i C 、1＋i D 、－1－i答案：C解：()()()()222534532017317171444174i i i i i i i i i i i ++++++====+--+- ∴复数534ii+-的共轭复数是1i - 说明：⑴形如Z=a + bi （其中R b a ∈，）称为复数，a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b都是实数）z a bi =-为z 的共轭复数.00.00b z z z b a z z ⎧⇔=⇔=⎪≠⎨⎪=⇔+=⎩实数为虚数纯虚数⑵两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑶复数集是无序集，不能建立大小顺序。
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）若21z z ，则021 z z -.（√）②特别地：000a a bi b >⎧+>⇔⎨=⎩ ⑷2222zz zza b ===+3.已知双曲线-=>>22221(0,0)y x a b a b的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为A 、22126x y -= B 、22162x y -= C 、2213y x -= D 、2213x y -= 答案：C解：∵双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点坐标为（2，0）∴2c =，焦点在x轴上∵渐近线方程是y =∴ba=令(0)b m =>则a m =∴22cm === ∴1m =∴1,a b ==2213y x -=4.等比数列{}n a 中，=11a，公比q=2，前n 项和为n S ，下列结论正确的是A.000021*,2n nn n N a a a ++∃∈+= B. 12*,n n n n N a a a ++∀∈≤C. 1*,n n n N S a +∀∈<D. 00000312*,n nn n n N a a a a +++∃∈+=+答案：C解：()11122,2112nn nn n a S --===--A. 0000001112122,22n n n n nn a a a -+++++=+= ，00001111022220n n n n n -++-+=⇒=⇒∈∅∴A 错B.121112222,2n n n n n n n a a a --+++===，构造函数()2x f x =，易知()f x 在R 上单调递增当x=2时，()()211f x fx -=+∴R 上不能保证()()211f x f x -≤+恒成立∴B 错C. 1n n S a +<恒成立即212n n -<恒成立，显然C 正确5.执行如图所示的程序框图，若输出的2524S =，则判断框内填入的条件可以是A 、k ≥7B 、k >7C 、k ≤8D 、k <8答案：D解：k=0,s=0,设满足的条件为P .圈数 条件P k s1 满足2 1/22 满足 4 3/43 满足 6 11/124 满足 8 25/24可以得出：k=2，4，6时满足条件，8时不满足条件,∴k<8 6.设函数()()22,ln 3x fx e x g x x x=+-=+-，若实数a ，b 满足()()0f a g b ==，则A.()()0f b g a << B. ()()0g a f b <<C. ()()0ga fb << D. ()()0f b g a <<答案：B解：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)7.设函数()()0,0,2fx A x A πωφωϕ=+>><（）的部分图像，若1263x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，且()()12=f x f x ，则()12f x x +A ．1B ．C ．22D ．32答案：D解：由图象可得A=1，，解得ω=2，∴f （x ）=sin （2x+φ），点（3π，0）相当于y=sinx 中的0π（，）故选：D8.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数A ．135B ．172C ．189D ．162答案：C解：由题意，不考虑特殊情况，共有312C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种红色卡片，共有23C 19C 种取法，故所求的取法共有312C ﹣4﹣23C 19C =189种．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A 、2B 、83 C 、4 D 、209答案：B解：先考虑将主视图补成正方形，则三视图中两个正方形一个等腰三角形构成的几何体如下图中的三棱柱ABC-EDF,，再考虑视图内部的线，可以知道该几何体是三棱柱ABC-EDF截去三棱锥E-ADF 余下的部分。
2019年5月山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2019年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}2．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．103．已知{a n}为等比数列，a1＞0，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a4+a7+a10=（）A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．74．如图是将二进制111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）（2）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞55．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．7．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C ．q 是真命题，￢q ：∀x ∈（0，+∞），g （x ）≠0D ．q 是假命题，￢q ：∀x ∈（0，+∞），g （x ）≠08．设偶函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f （）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，V P ﹣ABC =，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |=1，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．D ．12．已知t 为常数，函数f （x ）=x 2+tln （x +1）有两个极值点a ，b （a ＜b ），则（ ）A．f（b）＞B．f（b）＜ C．f（b）＞D．f（b）＜二、填空题13．若dx=a，则（1﹣x）3（1﹣）3展开式中的常数项是______．14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞6﹣m）=______．15．已知向量=（x﹣z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为______．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（4﹣2cosB）=b（2cosA﹣5），则cosC的最小值为______．三、解答题17．已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B 成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．19．我校70校庆，各届校友纷至沓来，高73级1班共来了n位校友（n＞8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”（Ⅰ）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；（Ⅱ）当n=12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ．20．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），点B为直线x=﹣上的动点，点C是线段AB与y轴的交点，点M满足•=0，•=0．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．21．设f（x）=．（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．2019年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．2．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．10【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据z是A、B的中点，由复平面内的中点坐标公式求出z，则可求，代入可求的值．【解答】解：因为复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，且若复数z对应的点C为线段AB的中点，所以z=，所以，所以故选C．3．已知{a n}为等比数列，a1＞0，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a4+a7+a10=（）A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a4，a7是一元二次方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，解方程，得a4=﹣2，a7=4或a4=2，a7=﹣4，由a1＞0，得，由此能求出a1+a4+a7+a10的值．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1＞0，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，∴a4a7=﹣8，∴a4，a7是一元二次方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，解方程，得a4=﹣2，a7=4或a4=2，a7=﹣4，解得或，∵a1＞0，∴，∴a1+a4+a7+a10==1+2﹣8=﹣5．故选：B．4．如图是将二进制111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）（2）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1，步长为1，故循环变量的终值为5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论．化为十进制数，【解答】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111（2）结合循环体中S=1+2S，及二进制数111111共有6位，（2）可得循环体要重复执行5次，又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，即i≤5时，继续循环，i＞5时，退出循环，故选：C．5．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到tanθ=﹣2，利用1的代换进行求解即可．【解答】解：圆C1：x2+y2+ax=0的圆心坐标为（﹣，0），圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0的圆心坐标为（﹣a，﹣），∵两圆都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，∴圆心都在方程为2x﹣y﹣1=0的直线上，则﹣×2﹣1=0，得a=﹣1，﹣2a+﹣1=0，即2+﹣1=0则=﹣1，即tanθ=﹣2，则sinθcosθ=====﹣，6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B7．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，8．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用等腰直角三角形求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得f（）的值．【解答】解：由题意可得•=KL=1，∴ω=π，KM==，∴A=，∴f（x）=sin（πx+φ）．再结合f（x）为偶函数，以及所给的图象，可得φ=，∴f（x）=cos（πx）．则f（）=cos（）=•cos（﹣）= [cos cos+sin sin]=•[+]=，故选：B．9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是=同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P=故选B10．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，V P ﹣ABC =，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，可得PC 的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x ，则∵PA ⊥AC ，∠APC=，∴△APC 为等腰直角三角形，∴PC 边上的高为x ，∵平面PAC ⊥平面PBC ，∴A 到平面PBC 的距离为x ，∵∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PB=x ，BC=x ，∴S △PBC ==，∴V P ﹣ABC =V A ﹣PBC ==， ∴x=2，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PC 的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为=．故选：D．11．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．12．已知t为常数，函数f（x）=x2+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），则（）A．f（b）＞B．f（b）＜ C．f（b）＞D．f（b）＜【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】b是方程g（x）=0的根，将t用b表示，消去b得到关于t的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+tln（1+x），∴f′（x）=（x＞﹣1）令g（x）=2x2+2x+t，函数的对称轴为x=﹣，g（﹣1）＞0．∵函数f（x）=x2+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），∴g（0）=t＞0，﹣＜b＜0，t=﹣（2b2+2b），∴f（b）=b2+tln（1+b）=b2﹣（2b2+2b）ln（1+b）．设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）（x＞﹣），则h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），（1）当x∈（﹣，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[﹣，0）单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴x∈（﹣，0），h（x）＞h（﹣）=；故f（b）=h（b）＞．故选：A．二、填空题13．若dx=a，则（1﹣x）3（1﹣）3展开式中的常数项是20．【考点】二项式系数的性质．【分析】求定积分得到a值，代入（1﹣x）3（1﹣）3，展开两数差的立方公式后即可求得答案．【解答】解：由dx=，得a=1，∴（1﹣x）3（1﹣）3=（1﹣x）3（1﹣）3=，∴（1﹣x）3（1﹣）3展开式中的常数项是1+9+9+1=20．故答案为：20．14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞6﹣m）=0.7．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结果．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴曲线关于x=3对称，∵P（X＞m）=0.3，∴P（X＞6﹣m）=1﹣0.3=0.7，故答案为：0.7．15．已知向量=（x﹣z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为3．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】画出不等式组表示的平面区域；将目标函数变形，画出其相应的图象；结合图，得到直线平移至（1，1）时，纵截距最大，z最大，求出z的最大值．【解答】解：由得（x﹣z，1）（2，y+z）=0，即z=2x+y，画出不等式组的可行域，如右图，目标函数变为：z=2x+y，作出y=﹣2x的图象，并平移，由图可知，直线过B点时，在y轴上的截距最大，此时z的值最大：求出B点坐标（1，1）Z max=2×1+1=3，故答案为：3．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（4﹣2cosB）=b（2cosA﹣5），则cosC的最小值为﹣．【考点】余弦定理．【分析】第一步：将原式变形，利用余弦定理，将角化为边；第二步：用a，b表示c；第三步：写出cosC的表达式，并用a，b表示；第四步：利用基本不等式放缩，即可获取定值．【解答】解：a（4﹣2cosB）=b（2cosA﹣5）⇒4a+5b=2（bcosA+acosB），由余弦定理，得cosA=，cosB=，∴4a +5b=2（b •+a •）=2c ，即4a +5b=2c ，得c 2=，从而cosC==≥．故答案为：﹣．三、解答题17．已知数列{a n }的首项a 1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由a n+1=，可得，即可证明数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列{}的前n 项和S n ．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知﹣1=，即，∴．设…，①则…，②由①﹣②得…，∴．又1+2+3+…，∴数列的前n项和．18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B 成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明A1E⊥平面BEP；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为3．（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2．…而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…（2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…．…∴．…，…，．…，．…，．…因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．…19．我校70校庆，各届校友纷至沓来，高73级1班共来了n位校友（n＞8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”（Ⅰ）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；（Ⅱ）当n=12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）所选两人为“最佳组合”的概率p==，由此能求出n的最大值．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率：p==，…则．…化简得n2﹣25n+144≤0，解得9≤n≤16，∴n的最大值为16．…（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，…则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×+1×+2×=1．…20．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），点B为直线x=﹣上的动点，点C是线段AB与y轴的交点，点M满足•=0，•=0．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），由题设确定|MB|=|MA|．根据抛物线的定义可知点M的轨迹为抛物线，根据焦点和准线方程，则可得抛物线方程．（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PR的方程可得，由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，进而可知b，c为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，根据求根公式，可求得b﹣c，进而可得△PRN的面积的表达式，根据均值不等式可知当当x0=4时面积最小，进而求得点P的坐标．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则∵点C是线段AB与y轴的交点，∴C是线段AB的中点，∵•=0，∴CM⊥AB，∴|MB|=|MA|．∴动点M的轨迹E是以A为焦点，x=﹣为准线的抛物线∴其方程为y2=2x；（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，故直线PR的方程为（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0．由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，即=1．注意到x0＞2，化简上式，得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0．由上可知，b，c为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，根据求根公式，可得b﹣c==．故△PRN的面积为S=（b﹣c）x0=（x0﹣2）++4≥2+4=8，等号当且仅当x0=4时成立．此时点P的坐标为（4，2）或（4，﹣2）．综上所述，当点P的坐标为（4，2）或（4，﹣2）时，△PRN的面积取最小值8．21．设f（x）=．（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行性证明即可．（2）根据不等式恒成立，构造函数转化为最值恒成立即可．【解答】解：（1）函数定义域为（0，1）∪（1，+∞），函数的导数f′（x）==•（2lnx﹣），令g（x）=2lnx﹣，则g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴g（x）＞g（1）=0，则f′（x）=•g（x）＞0，此时f（x）为增函数，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴g（x）＞g（1）=0，则f′（x）=•g（x）＞0，此时f（x）为增函数，综上f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数（2）af（x）﹣x=a•﹣x= [﹣lnx]．设h（x）=﹣lnx，x＞0，则h′（x）=，①当a＞0且△=1﹣4a2＜0，即a≥时，此时ax2﹣x+a≥0在（0，1）和（1，+∞）恒成立，∴当a≥时，h′（x）≥0，故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，而lnx＜0，∴af（x）﹣x=•h（x）＞0，当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，而lnx＞0，∴af（x）﹣x=•h（x）＞0，综上当x＞0且x≠1时，af（x）＞x，②当0＜a＜时，令h′（x）＜0，得＜x＜，此时函数h（x）在（1，）上为减函数，当1＜x＜时，h（x）＜h（0）=0，故af（x）﹣x=•h（x）＜0，不符合题意，③当a≤0时，h′（x）≤0，故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上是减函数，同理可得af（x）﹣x=•h（x）＜0，不符合题意，综上，a≥．[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到，又GC=AG，所以，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt△AGB和Rt△DCA相似所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG所以，即BA•DC=GC•AD（2）解：因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以所以AD=15，即圆的直径2r=15又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM﹣100=0解得BM=5．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；…（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y=•2cosθ+=2sin=4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．【分析】对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域．根据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x﹣2|＞5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．对于（2）由关于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x﹣2|＞m+2．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．2019年9月18日。
【水印已去除】2019年山西省高考数学三模试卷(理科)
2019年山西省高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数的定义域为A，则∁R A＝（）A．{x|x≤0或x≥1}B．{x|x＜0或x＞1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，）D．（0，）3．（5分）已知复数z＝（a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣2C．D．4．（5分）函数y＝x cos x的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．12πB．16πC．D．6．（5分）已知双曲线C过点（1，3），其两条渐近线方程为y＝±2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角二角形的较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1﹣15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81929．（5分）函数f（x）为偶函数，当x≥0时f（x）＝xe x，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．2ex+y+e＝0B．2ex﹣y﹣e＝0C．2ex+y﹣3e＝0D．2ex﹣y+3e＝0 10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足a1＝，S n++2＝a n（n≥2），则下面选项为等差数列的是（）A．{S n+1}B．{S n﹣1}C．{}D．{} 11．（5分）设m＝log0.30.6，n＝log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n 12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过两点、，f（x）在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，满足||＝2||＝1，⊥（﹣），则与2+的夹角的余弦值为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．15．（5分）将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有种（用数字填写答案）16．（5分）已知线段AB⊂平面α，点O∈线段AB，满足OB＝2OA，将点A绕O折起到点P的位置，使直线PB与平面α所成的角θ最大，则tanθ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x ）＝•．（1）求函数f（x ）＝•的最小正周期；（2）在△ABC中，BC ＝，sin B＝3sin C，若f（A）＝1，求△ABC的周长．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB＝BC＝CA＝AA'．侧面ACC'A'⊥底面ABC，D是棱BB'的中点．（1）求证：平面DA'C⊥平面ACC'A'；（2）若∠A'AC＝60°，求二面角A﹣BC﹣B'的余弦值．19．（12分）某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2）其中μ≈，σ2＝s2①利用正态分布，求P（X＞μ﹣2σ）；②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值y i（i＝1，2…，20），数据如下：若20个样本中纤维均值Y＞μ﹣2σ的频率不低于①中P（X＞μ﹣2σ）即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9543，≈3.50420．（12分）已知动点P到直线l：x＝4的距离是到点F（1，0）距离的2倍，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，Q（4，0）设M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一交点分别为D，E求证：Q，D，E三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣mx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤x2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）集合M满足：当且仅当x∈M时，f（x）＝|3x﹣2|．若a，b∈M，求证：a2+b2+2a﹣2b＜5．2019年山西省高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x≥0得x≥1或x≤0，即A＝{x|x≥1或x≤0}，则∁R A＝{x|0＜x＜1}，故选：D．2．【解答】解：抛物线的方程为：y＝x2，变形可得x2＝y，其焦点在y轴正半轴上，且2p＝，则其焦点坐标为（0，），故选：D．3．【解答】解：∵z＝＝是纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：D．4．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）＝﹣x cos x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除C，故选：A．5．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去一个的几何体．故：V＝，故选：D．6．【解答】解：根据题意，双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x，设其方程为x2﹣＝λ，（λ≠0），又由双曲线C过点（1，3），则有1﹣＝λ，解可得λ＝﹣，则双曲线的标准方程为﹣＝1，其中a＝，b＝，则c＝，则双曲线的离心率e＝＝，故选：D．7．【解答】解：从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n＝，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个，∴这三个数为勾股数的概率为：p＝＝．故选：D．8．【解答】解：依题意，等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，T2＝T9＝512，所以＝1，即a3•a4•……•a9＝1，所以＝1，即a6＝＝1，又因为a1a2＝＝512，所以q9＝，即q＝，所以a1＝32，∴a9＝＝32×＝．所以T8＝＝＝4096．故选：C．9．【解答】解：函数f（x）为偶函数，当x≥0时f（x）＝xe x，可得f（﹣x）＝f（x），即有x≤0时，f（x）＝﹣xe﹣x，导数为f′（x）＝﹣（e﹣x﹣xe﹣x），可得f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为﹣2e，切点为（﹣1，e），即有曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y﹣e＝﹣2e（x+1），即为2ex+y+e＝0．故选：A．10．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n满足a1＝，S n++2＝a n（n≥2），得到：（n≥2），故：，，．所以：，，，则：，，，利用选项得到：数列{}为等差数列．故选：C．11．【解答】解：m＝log0.30.6＞log0.31＝0，n＝log20.6＜log21＝0，则mn＜0．+＝log0.60.3+log0.64＝log0.61.2＜log0.60.6＝1，∴m+n＞mn．∴m﹣n＞m+n＞mn．故选：A．12．【解答】解：由已知可得：sinφ＝，0＜φ＜π，所以φ＝或φ＝，①当φ＝时，sin（）＝0，所以ω＝﹣1+4k，k∈N+，若ω＝3时，f（x）＝sin（3x+）在（0，）有一个极大值点，不符合题意，若ω＝7时，f（x）＝sin（7x+）在（0，）极大值点为小于极小值点，符合题意，②φ＝时，sin（）＝0，所以ω＝﹣3+4k，k∈N+，若ω＝5时，f（x）＝sin（5x+）在（0，）有一个极小值点，不符合题意，若ω＝9时，f（x）＝sin（9x+）在（0，）极小值点为和极大值点，不符合题意，综合①②得：故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：由||＝2||＝1，⊥（﹣），得•（﹣）＝﹣•＝0，∴•＝＝，∴|2+|＝＝＝，∴与2+夹角的余弦值为cosθ＝＝＝＝．故答案为：．14．【解答】解：作出x，y满足约束条件，所表示的平面区域，B（2，2）作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（1，3）时，z取得最小值，Z取得最小值：5；故答案为：5．15．【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33＝60种分法，分成2、2、1时，有•A33＝90种分法，根据分类计数原理可得，共有60+90＝150种，故答案为：150．16．【解答】解：当平面POB⊥α，且OP⊥PB时，直线PB与α平面所成角θ最大，此时，θ＝，∴tanθ＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）因为＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•＝sin x cos x+cos2x ＝sin2x+cos2x+＝sin（2x+）+，所以函数f（x）＝•的最小正周期T＝＝π．（2）由题意可得：sin（2A+）＝，又0＜A＜π，所以＜2A+＜，所以2A+＝，解得A＝，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以a＝BC＝，又sin B＝3sin C，可得b＝3c，故7＝9c2+c2﹣3c2，解得c＝1，所以b＝3，可得△ABC的周长为4+．18．【解答】（1）证明：取AC，A′C′的中点F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F，则E为OF的中点，OF∥AA′∥BB′，OF＝AA′＝BB′，∴BB′FO是平行四边形，又D是棱BB′的中点，∴DE∥OB，侧面AA′C′C⊥底面ABC，且OB⊥AC，∴OB⊥平面ACC′A′，∴DE⊥平面ACC′A′．又DE⊂平面DA′C，∴平面DA′C⊥平面ACC′A′；（2）解：连接A′O，∵∠A′AC＝60°，∴△A′AC为等边三角形，设AB＝BC＝AC＝AA′＝2，故A′O⊥底面ABC，由已知A′O＝OB＝，分别以OB，OC，OA′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A′（0，0，），，，设平面BCC′B′的一个法向量为，则，取x＝1，得；又平面ABC的一个法向量为，∴cos＜＞＝．二面角A﹣BC﹣B'为钝角，故二面角A﹣BC﹣B'的余弦值为．19．【解答】解：（1）＝31，；（2）棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2），其中μ＝31，σ＝．①利用正态分布，则P（X＞μ﹣2σ）＝，②μ﹣2σ＝31﹣2×3.504≈23.992，故f（Y＞μ﹣2σ）＝f（Y＞23.992）＝1，满足条件，∴认为该批优质棉花合格．20．【解答】解：（1）动点P到直线l：x＝4的距离是到点F（1，0）距离的2倍，设点P （x，y）．则＝2，化为：+＝1．故曲线C的方程为：+＝1．（2）证明：由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（1，m）．直线MA的方程为：y＝（x+2），与椭圆方程+＝1联立化为：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0．则﹣2x D＝，可得：x D＝，y D＝．同理可得：x E＝，y E＝．∴k QD＝＝，k QE＝＝，∴k QD＝k QE．∴Q，D，E三点共线．21．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣m．（x∈（﹣1，+∞））．当m≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（﹣1，+∞）上单调递增．当m＞0时，f′（x）＝，可得函数f（x）在x∈（﹣1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）当x≥0时，f（x）≤x2⇔ln（x+1）﹣mx﹣x2≤0．令g（x）＝ln（x+1）﹣mx﹣x2，g（0）＝0．g′（x）＝﹣m﹣x＝．令h（x）＝﹣x2﹣（m+1）x+1﹣m，△＝（m+1）2+4（1﹣m）＝m2﹣2m+5＞0．∵h（﹣1）＝1＞0，∴存在x0∈（﹣1，+∞），使得h（x0）＝0，满足m＝﹣x0．可得h（x）＝g′（x），在（﹣1，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，①当x0∈（﹣1，0]时，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，满足条件，此时m＝﹣x0∈[1，+∞）．②当x0∈（0，+∞）时，g（x）在（0，x0）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，补满足条件，舍去综上可得：m∈[1，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ（Ⅱ）极坐标系OX中，不妨设A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+），其中ρ1＞0，ρ2＞0，﹣＜θ＜，由（Ⅰ）知：ρ1＝4cosθ0，ρ2＝4cos（θ0+），∴△OAB的面积S＝ρ1ρ2sin＝4cosθ0cos（θ0+），S＝4cos2θ0﹣4sinθ0cosθ0＝2cos2θ0﹣2sinθ0+2＝2cos（2θ0+）+2，当2θ0＝时，即θ0＝，cos（2θ0+）有最大值1，此时S max＝2+2，故△OAB的面积的最大值为2+2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|＝，当x＜﹣1时，﹣x+4≤6，得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1；当时，﹣3x+2≤6，得，故；当时，x﹣4≤6，得x≤10，故．综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x≤10}．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质知，f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|≤|3x﹣2|，即|（3x﹣2）+（﹣x﹣1）|≤|3x﹣2|+|x+1|，当且仅当（3x﹣2）（﹣x﹣1）≥0，即﹣1≤x≤时取等号，故M＝，∵a，b∈M，∴，（b﹣1）2≤4，∴a2+b2+2a﹣2b＝，∴a2+b2﹣2a﹣2b＜5．。
2019年山西高考《数学》模拟试题及答案
2019年山西高考《数学》模拟试题及答案1.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班;乙说：我在8日和9日都有值班;丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是()A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日答案 C解析由题意，得1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26.根据甲说：我在1日和3日都有值班;乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选C.2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根答案 A解析反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根.故选A.3.观察下列规律|x|+|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12，….则|x|+|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为()A.76B.80C.86D.92答案 B解析观察可得不同整数解的个数4,8,12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an=4n，则所求为第20项，所以a20=80，故选B.4.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cosx(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cosx(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①答案 B解析根据“三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：①y=cosx(x ∈R )是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cosx(x∈R )是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③，故选B.5.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类(n∈N*)，分别编号为1,2，…，n，买家共有m名(m∈N*，m<n)，分别编号为1,2，…，m.若aij=1≤i≤m,1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是()< p="" style="background-image: url("about:blank"); background-attachment: fixed;">A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB.a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2C.a11a12+a21a22+…+am1am2D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m答案 C解析∵aij=1≤i≤m,1≤j≤n，∴ai1ai2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+am1am2，故选C.6.对于任意正整数n，定义“n!!”如下：当n是偶数时，n!!=n·(n-2)·(n-4)·…·6·4·2，当n是奇数时，n!!=n·(n-2)·(n-4)·…·5·3·1，且有n!=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.现有四个命题：①2016!!·2015!!=2016!;②2016!!=21008×1008!;③2015!!的个位数字是5;④2014!!的个位数字是0.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 D解析根据题意，依次分析四个命题可得：对于①，2016!!·2015!!=(2·4·6·8·…·2008·2010·2012·2014·2016)·(1·3·5·7·…·2009·2011·2013·2015)=1·2·3·4·5·…·2012·2013·2014·2015·2016=2016!，故①正确;对于②，2016!!=2·4·6·8·10·…·2008·2010·2012·2014·2016=210 08(1·2·3·4·…·1008)=21008·1008!，故②正确;对于③，2015!!=2015×2013×2011×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故③正确;对于④，2014!!=2·4·6·8·…·2008·2010·2012·2014，其中含有10，故个位数字为0，故④正确.故选D.7.已知数列{an}是正项等差数列，若cn=，则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得()A.若{dn}满足dn=，则{dn}也是等比数列B.若{dn}满足dn=，则{dn}也是等比数列C.若{dn}满足dn=[b1·(2b2)·(3b3)·…·(nbn)]，则{dn}也是等比数列D.若{dn}满足dn=[b1·b·b·…·b]，则{dn}也是等比数列答案 D解析等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得：若{dn}满足dn=[b1·b·b·…·b]，则{dn}也是等比数列.8.如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC;类似地有命题：在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为点M，延长DM交BC于点E，则有S△ABC=S△BCM·S△BCD.上述命题是()A.真命题B.增加条件“AB⊥AC”才是真命题C.增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D.增加条件“三棱锥A-BCD是正三棱锥”才是真命题答案 A解析连接AE.因为AD⊥平面ABC，AE平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2=ME·DE，又A点在平面BCD 内的射影为点M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，又AM∩AD=A，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，BC⊥AE，S=(·BC·AE)2=BC·EM·BC·DE=S△BCM·S△BCD，可得S=S△BCM·S △BCD，故选A.9.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析由S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理.10.用数学归纳法证明不等式+++…+>(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边()A.增加了一项B.增加了一项+C.增加了+，又减少了D.增加了，又减少了答案 C解析当n=k时，左边=++…+，当n=k+1时，左边=++…+=(++…+)-++，故选C.11.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是()①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①②B.①④C.②③D.②④答案 D解析大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故②正确;卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多.故④正确，故选D.12.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙.在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()A.3个B.4个C.99个D.100个答案 D解析先推出两个小伙子的情形，如果甲的身高数>乙的身高数，且乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人.再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数>乙的身高数>丙的身高数，且丙的体重数>乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人.由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai(i=1,2，…，100)，其身高数为xi，体重数为yi，当y100>y99>…>yi>yi-1>…>y1，x1>x2>…>xi>xi+1>…>x100时，由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100;由体重看，Ai不亚于Ai-1，Ai-2，…，A1，所以，Ai不亚于其他99人(i=1,2，…，100)，所以，Ai为棒小伙子(i=1,2，…，100).因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个.故选D.13.在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，点P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：++=1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________.答案+++=1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高，点P 为三棱锥A-BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：+++=1.14.设S=+++…+，则不大于S的最大整数[S]=________.答案2014解析∵===1+(-)，∴S=1+(-)+1+(-)+…+1+(-)=2015-，故[S]=2014.15.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________.答案S+S+S=S解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S+S+S=S.16.若函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是x的函数，就把y′=f′(x)的导数y″=f″(x)叫做函数y=f(x)二阶导数，记做y(2)=f(2)(x).同样函数y′=f′(x)的n-1阶导数叫做y=f(x)的n阶导数，记作y(n)=f(n)(x).在求y=ln(x+1)的n阶导数时，已求得y′=，y(2)=-，y(3)=，y(4)=-，…，根据以上推理，函数y=ln(x+1)的n阶导数为____________________.答案y(n)=(-1)n-1解析由题意知：当n为奇数时，函数的n阶导数为正，n为偶数时，函数的n阶导数为负.故答案为y(n)=(-1)n-1.1.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A=“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是()A.1个白球2个红球B.2个白球1个红球C.3个都是红球D.至少有一个红球答案 C解析事件A=“所取的3个球中至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，和事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，“至少有一个红球”都能同时发生，既不互斥，也不对立.故选C.2.依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为() A.B.C. D.答案 B解析如图，原正六边形为ABCDEF，最小的正六边形为A1B1C1D1E1F1.设AB=a，由已知得，∠AOB=60°，则OA=a，∠AOM=30°，则OM=OAcos∠AOM=a·cos30°=，即中间的正六边形的边长为;以此类推，最小的正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为OB1=OM=·=，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P===，故选B.3.一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”.若a，b，c∈{4,5,6,7,8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凹数”的概率是() A.B.C. D.答案 D解析根据题意，当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”，在{4,5,6,7,8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A=60种，在{4,5,6,7,8}中取3个不同的数，将4放在十位上，再将2个数排在百位、个位上，有A=12(种);将5放在十位上，再将2个数排在百位、个位上，有A=6(种);将6放在十位上，再将2个数排在百、个位上，有A=2(种).根据分类加法计数原理，可得共有12+6+2=20(种)，所以构成“凹数”的概率为=，故选D.4.设a∈[1,4]，b∈[1,4]，现随机地抽出一对有序实数对(a，b)，则使得函数f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图象有交点的概率为()A.B.C. D.答案 A解析因为a∈[1,4]，b∈[1,4]，所以(a，b)所在区域面积为9.函数f(x)=4x2+a2与g(x)=-4x的图象有交点，等价于4x2+4x+a2=0有解，即是b≥a2，此时(a，b)所在区域如图阴影部分，其面积为3-(a2-1)da=3-(a3-a)|=，由几何概型概率公式得，函数f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图象有交点的概率为=，故选A.5.连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是()A.B.C.D.答案 A解析∵(m，n)·(-1,1)=-m+n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6=36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1+2+3+4+5=15(个). ∴P==，故选A.6.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为.构造数列{an}，使an=记Sn=a1+a2+…+an，则S2≠0且S8=2时的概率为()A.B.C. D.答案 C解析由题意知，当S8=2时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为S2≠0，所以有两种情况：①前2次正面都向上，后6次中有3次正面向上，3次反面向上;②前2次反面都向上，后6次中有5次正面向上，1次反面向上，所以S2≠0且S8=2时的概率为P=()2C·()3()3+()2C()5()1=，故选C.7.同时抛掷三颗骰子一次，设A=“三个点数都不相同”，B=“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A.B.C. D.答案 A解析A=“三个点数都不相同”包含基本事件共有CCC=120(种)，其中不含6点的基本事件共有CCC=60(种)，所以A中“至少有一个6点”的基本事件共有120-60=60(种)，因此P(B|A)==，故选A.8.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.B.C. D.答案 B解析设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮事件D=ABC ∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)=P(ABC)∪P(AB)∪P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)·P()P(C)=××+××(1-)+×(1-)×=，故选B.9.已知随机变量X～N(2,4)，随机变量Y=3X+1，则()A.Y～N(6,12)B.Y～N(6,37)C.Y～N(7,36)D.Y～N(7,12)答案 C解析=2=7，σ2(X)=4σ2(Y)=9×4=36，因此Y～N(7,36).故选C. 10.拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次点数均为奇数}，B={两次点数之和为6}，则P(B|A)等于()A.B.C. D.答案 B解析n(A)=3×3=9，n(AB)=3，所以P(B|A)===.故选B.11.甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次;当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止;否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏;规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏.已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是，则下列结论中正确的是()①第一局甲就出局的概率是;②第一局有人出局的概率是;③第三局才有人出局的概率是;④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是;⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于.A.①②B.②④⑤C.③D.④答案 C解析三人各掷硬币一次，每一次扔硬币都有2种结果，所有的结果共有23=8(种).由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止.①当甲掷得的结果与其他二人不同时，有正反反，反正正，共有2种结果，故第一局甲就出局的概率是，①错误;②第一局有人出局时，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有6种结果，故第一局有人出局的概率是，②错误;③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，故第三局才有人出局的概率是××=，③正确;④由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是()8××=，④错误;⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为1--×-()2×-()3×-()4×=.12.运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个x的值，则输出f(x)的值不小于常数e的概率是()A.B.1-C.1+D.答案 B解析由题意得f(x)=如图所示，当1≤x≤e时，f(x)≥e，故f(x)的值不小于常数e的概率是=1-，故选B.13.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y已知ξ的均值E(ξ)=8.9，则y的值为________.答案0.4解析根据均值的公式得E(ξ)=7×x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9，又根据分布列的性质可得x+0.1+0.3+y=1，即x+y=0.6，联立方程组，可解得x=0.2，y=0.4.14.公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机率不高于0.0228来设计的.设男子身高X服从正态分布N(170,72)(单位：cm)，参考以下概率P(μ-σ1.将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有() A.36种B.30种C.24种D.20种答案 C解析根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人，分两种情况：①其中有一个人与甲在同一个学校，有A=6(种)情况;②没有人与甲在同一个学校，则有C·A=6(种)情况.所以若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有2×(6+6)=24(种)，故选C.2.若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a等于()A.2B.C.1D.答案 C解析二项式(2x+)7的通项公式为Tk+1=C(2x)7-k()k=C27-kakx7-2k，令7-2k=-3，得k=5.故展开式中的系数是C22a5=84，解得a=1.3.已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a等于()A.B.-C.6D.-6答案 D解析5的展开式通项Tk+1=Cx(-1)kak·x=(-1)kakCx，令-k=，则k=1，∴T2=-aCx，∴-aC=30，∴a=-6，故选D.4.淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为()A.150B.180C.200D.280答案 A解析A+CA=150.5.已知实数a，m满足a=cosxdx，(x+a+m)7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a7(x+1)7且(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=37，则m等于() A.-1或3B.1或-3C.1D.3答案 B解析∵a=cosxdx，∴a=sinx|=2.令x=0，得(2+m)7=a0+a1+a2+…+a7，令x=-2，得m7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7.又(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)=[(2+m)m]7=3 7，得(2+m)m=3，解得m的值为1或-3.6.某公司安排6位员工在“五一劳动节(5月1日至5月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中甲不在1日值班，乙不在3日值班，则不同的安排方法种数为()A.30B.36C.42D.48答案 C解析由于甲乙有特殊条件，所以对甲乙进行分类讨论.若甲值班第二天的情况下：若乙值班第一天，则安排剩下四人的方法有CC=12(种);若乙值班第二天，则安排剩下四人在第一天和第三天，共有方法C=6(种)，故甲值班第二天共有方法12+6=18(种);若甲值班第三天的情况下：若乙值班第一天，则安排剩下四人的方法有CC=12(种);若乙值班第二天，共有方法CC=12(种)，故甲值班第三天共有方法12+12=24(种).综上，共有方法24+18=42(种)，故选C.7.(x+1)2(x-2)4的展开式中含x3项的系数为()A.16B.40C.-40D.8答案 D解析∵(x+1)2(x-2)4=x2(x-2)4+2x(x-2)4+(x-2)4，∴x3项的系数由(x-2)4中x、x2与x3的系数决定，即C(-2)3+2C(-2)2+C(-2)=8，故选D.8.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B解析由题意，得首位数字只能是4,5中的一个，若万位是5，则有3×A=72(个);若万位是4，则有2×A=48(个)，故比40000大的偶数共有72+48=120(个).选B.9.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为()A.18B.108C.216D.432答案 D解析根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5分成两组，共CA种方法;第二步，将2、4、6排成一排，共A种方法;第三步，将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共A种方法.综上，共有CAAA=3×2×6×12=432(种)方法，故选D.10.在二项式(x-)n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中x2项的系数是()A.-56B.-35C.35D.56答案 A解析因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n=8，所以二项展开式的通项公式为Tk+1=Cx8-k(-x-1)k=(-1)kCx8-2k，令8-2k=2，得k=3，所以展开式中x2项的系数是(-1)3C=-56，故选A.11.若二项式(3-x)n (n∈N*)中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为()A.2B.C. D.答案 D解析二项式中所有项的系数和为x=1时二项式的值，而所有项的系数的绝对值之和则为x=-1时二项式的值，故a=2n，b=4n=22n，则+=2n+2-n，n∈N*，令y=2x+2-x，y′=(2x-2-x)ln2，由导函数知函数y 在(0，+∞)上为增函数，则2n+2-n在n=1时取得最小值，故选D. 12.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为()+CC+CC+CC+CC+CC答案 C解析可作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的：(1)含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，方法数有CC种;(2)不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者OA上取两点，OB上取一点，方法数有CC+CC种.故选C.13.方程C=C的解为________.答案x=2,3,4解析∵∴x≥2.由题意得x2-2x=3x-6或x2-2x=14-(3x-6)，解得x=2,3,4.14.在二项式(+2x)n的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中x4的系数为________.答案解析因为二项式(+2x)n的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，所以C+C+C=79，n2+n-156=0，n=12(负值舍去)，x4的系数为C()824=.15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种(用数字作答).答案96解析先排程序A有2种方法，再将B和C捆在一起后排，有AA种方法，因此共有2AA=96(种)方法.16.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市的东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数为________.答案66解析从城市的西南角A到城市的东北角B，最近的走法种数共有C=126(种)走法.从城市的西南角A经过十字道路维修处C，最近的走法有C=10(种)，从C到城市的东北角B，最近的走法种数为C=6(种)，所以从城市西南角A到城市的东北角B，经过十字道路维修处C最近的走法有10×6=60(种).所以从城市的西南角A到城市的东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数为126-60=66.。
2019年高考数学模拟考试山西省长治市高考数学一模理科数学试卷(Word版含解析)
2019年高考模拟试卷高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．若z＝，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}3．已知点A（﹣1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．﹣1 C．D．4．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序图，若a＝32，b＝12，则输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大三角形的面积为（）A．B．C．D．7．若在不等式组表示的区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2＝4内的概率为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，A＝60°，b＝2，其面积为，则等于（）A．4 B．C．D．9．将函数g（x）＝的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f（x），则函数f（x）在区间上的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为4，M是△ABC所在平面内的动点，且|OM|＝1，则|++3|的最大值为（）A．13 B．10 C．8 D．311．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，点Q是圆x2+y2＝a2上的动点．若＝2，|BQ|的最大值为9，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题）13．已知（ax+1）n的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a＝．14．若直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则a+b的最小值为．15．如图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图，Q是DF的中点．则在原三棱锥中BQ与EF所成角的余弦值为．16．设函数f（x）＝，已知对任意的a∈[1，3]，若（k∈R且k＞0），恒有f（x1）≥f（x2），则k的最小值是．三、解答题17．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，且关于x的不等式dx2﹣a1x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}前n项和S n．18．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE＝AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP．（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．19．电子商务兴起，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，P是椭圆上不同于M，N的一点，直线PM，PN 交x轴于D（x D，0）E（x E，0），证明：x D•x E为定值．21．已知函数f（x）＝x2﹣2a cos kπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若k＝2018，关于x的方程f（x）＝2ax有唯一解，求a的值；（3）当k＝2019时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修44：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的方程为y＝kx，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，求k的值．[选修45：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥4．（2）若f（x）+f（y）≤6，求x+y的取值范围．参考答案一、选择题1．若z＝，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算，求出的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．2．已知集合，，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣2＜x≤4}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣2≤x≤2}；∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．3．已知点A（﹣1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．﹣1 C．D．【分析】由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，利用直线的斜率公式即可求得直线AF 的斜率．解：由点A（﹣1，2）在抛物线C：y2＝2px的准线上，即﹣1＝﹣，则p＝2，故抛物线的焦点坐标为：（1，0），则直线AF的斜率k＝＝﹣1，故选：B．4．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序图，若a＝32，b＝12，则输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】直接利用程序框图的循环结构求出结果．解：执行循环前，a＝32，b＝12，n＝1，利用赋值法，a＝48，b＝24，n＝2，由于a＞b执行下一次循环，a＝72，b＝48，n＝3，由于a＞b执行下一次循环，a＝108，b＝96，n＝4，由于a＞b执行下一次循环，a＝162，b＝192，由于a＜b，所以输出n＝4，故选：B．5．设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c【分析】a＝log54∈（0，1），b＝＞1，c＝＝＜log53＜log54，即可得出．解：∵a＝log54∈（0，1），b＝＞1，c＝＝＜log53＜log54，∴b＞a＞c．故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大三角形的面积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用余弦定理和勾股定理的应用求出各棱长，最后求出三角形面积的最大值．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以CD＝，BD＝4，设BC＝x，利用余弦定理，解得x ＝4．所以△BCD为等腰三角形，故BE＝2．在直角三角形ABE中，，所以最大的三角形面积为．故选：B．7．若在不等式组表示的区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2＝4内的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，分别求出三角形OAB的面积与阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．解：作出约束条件表示的区域及圆x2+y2＝4如图，，图中阴影部分的面积为．∴点P落在圆x2+y2＝4内的概率为P＝．故选：C．8．在△ABC中，A＝60°，b＝2，其面积为，则等于（）A．4 B．C．D．【分析】由已知结合三角形的面积公式可求c，然后由余弦定理可求a，再由正弦定理可得△ABC为直角三角形，代入即可求解．解：∵A＝60°，b＝2，∴面积s＝＝，∴c＝4，由余弦定理可得，cos60°＝，∴a＝2，由正弦定理可得，＝4，∴sin B＝，sin C＝1，∴C＝90°，B＝30°则＝＝故选：C．9．将函数g（x）＝的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f（x），则函数f（x）在区间上的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间上的取值范围．解：将函数g（x）＝＝cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos（2x﹣+）＝cos（2x﹣）的图象；再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f（x）＝2cos（2x﹣）的图象；，在区间上，2x﹣∈[，]，故当2x﹣＝π时，函数f（x）取得最小值﹣2，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值，的故f（x）取值范围是[﹣2，]，故选：B．10．已知⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为4，M是△ABC所在平面内的动点，且|OM|＝1，则|++3|的最大值为（）A．13 B．10 C．8 D．3【分析】由平面向量的坐标运算得：＝（﹣5cosθ，8﹣5sinθ），由向量的模的运算及三角函数的值域可得：|++3|＝，又sinθ∈[﹣1，1]，所以当sinθ＝﹣1时，|++3|取最大值13，得解．解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣2，﹣2），B（2，﹣2），C（0，4），又|OM|＝1，设M（cosθ，sinθ），则＝（﹣5cosθ，8﹣5sinθ），则|++3|＝，又sinθ∈[﹣1，1]，所以当sinθ＝﹣1时，|++3|取最大值13，故选：A．11．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，点Q是圆x2+y2＝a2上的动点．若＝2，|BQ|的最大值为9，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】设F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，运用点到直线的距离公式可得|AF|＝b，由向量共线定理可得A为FB的中点，△BOF为等腰三角形，且|OB|＝|OF|＝c，∠AOF＝∠BOA＝60°，由解直角三角形和圆外一点与圆上的点的最大值为圆外一点与圆心的距离加上半径，解方程可得a，b，可得双曲线方程．解：设F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，可得|AF|＝＝＝b，若＝2，可得A为FB的中点，△BOF为等腰三角形，且|OB|＝|OF|＝c，∠AOF＝∠BOA＝60°，则sin60°＝，即b＝c，a＝c，点Q是圆x2+y2＝a2上的动点，|BQ|的最大值为9，则|BQ|的最大值为|OB|+a＝c+a＝9，解得a＝3，c＝6，b＝3，可得双曲线的方程为﹣＝1．故选：C．12．若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（）A．B．C．D．【分析】构造新函数建立两根之间的关系，从而求解．解：令，则，则．令t＝，则方程x﹣2lnx+a＝0就等价于f（t）＝﹣a，则f（t）＝﹣a的两根便是．不妨设，令g（t）＝f（）﹣f（）（）则＞0，∴g（t）在（0，）上单调递增∴g（t）＞g（0）＝0，即，又＝f（1﹣t1），又f（t）在（）上单调递增且，∴t2＞1﹣t1，∴t1+t2＞1，∴．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分把答案填在答题卡指定位置上．）13．已知（ax+1）n的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a＝ 2 ．【分析】先根据二项式系数的和为2n，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．解：由二项式系数和为2n＝32，得n＝5，又令x＝1，得各项系数和为（a+1）5＝243，∴a+1＝3，∴a＝2．故答案为：2．14．若直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则a+b的最小值为3+2．【分析】根据条件即可得出+＝1，从而得出a+b＝（a+b）（+）＝1+2++这样根据基本不等式即可得出a+b的最小值．解：直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+＝1，则a+b＝（a+b）（+）＝1+2++≥3+2＝3+2，当且仅当＝时，即a＝+1，b＝+2时取等号，故a+b的最小值为3+2，故答案为：3+2．15．如图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图，Q是DF的中点．则在原三棱锥中BQ与EF所成角的余弦值为．【分析】先作出原正四面体，再作出异面直线SQ与EF所成角，再在等腰三角形SQH中求其值即可得解．解：由各棱长均相等的某三棱锥表面展开图可得，三棱锥S﹣DEF为正四面体，取DE的中点为H，连接QH，则QH∥FE，即∠SQH为三棱锥中SQ与EF所成角，设DF＝2，则SQ＝SH＝，QH＝1，在等腰三角形SQH中有，cos∠SQH＝＝，故在原三棱锥中BQ与EF所成角的余弦值为，故答案为：．16．设函数f（x）＝，已知对任意的a∈[1，3]，若（k∈R且k＞0），恒有f（x1）≥f（x2），则k的最小值是24 ．【分析】根据奇偶性的定义可判断f（x）为偶函数，画出f（x）的图象，可得f（x）在[0，+∞）递增，由f（x）＝f（|x|），可得|x1|≥|x2|，结合条件可得所求最小值．解：当x＞0，可得﹣x＜0，f（﹣x）＝2x+x2＝f（x），同样可得x＜0时，f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝1，可得f（x）为偶函数，画出f（x）的图象，可得f（x）在[0，+∞）递增，由f（x1）≥f（x2），可得f（|x1|）≥f（|x2|），即有|x1|≥|x2|，即x12﹣x22≥0，即（x1﹣x2）（x1+x2）≥0，由（k∈R且k＞0，a＞0），可得x1＜x2，即x1﹣x2＜0，可得x1+x2≤0恒成立，可得a﹣+a﹣≤0，即有k≥，由任意的a∈[1，3]，可得k≥＝24，则k的最小值为24．故答案为：24．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，且关于x的不等式dx2﹣a1x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}前n项和S n．【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解集，转换为一元二次方程根和系数关系式的应用，求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，且关于x的不等式dx2﹣a1x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．则：﹣1和3是方程dx2﹣a1x﹣3＝0的两根，故，解得，所以a n＝2+（n﹣1）＝n+1．（2）由（1）得：＝2n+1+2n+2＝2•2n+2n+2．所以＝．18．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE＝AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP．（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【分析】（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，由已知可证PB⊥平面ABCD，再由三角形中位线可得MN∥PB，进一步得到MN⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，可得平面PEA的法向量，再设平面DPE的法向量，利用向量数量积为0列式求出法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，可得二面角D﹣PE﹣A的余弦值．解：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN⊥平面ABCD．证明：∵M为PD中点，N为BD中点，∴MN为△PDB的中位线，则MN∥PB．又平面ABCD⊥平面ABPE，平面ABCD∩平面ABPE＝AB，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABPE，则BC⊥PB，又PB⊥AB，AB∩BC＝B，∴PB⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，∵AD⊥平面PEA，∴平面PEA的法向量，又D（0，0，1），E（1，0，0），P（2，2，0），∴，，设平面DPE的法向量为，则，取z＝1，得x＝1，y＝，∴，则cos＝，又D﹣PE﹣A为锐二面角，∴二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．19．电子商务兴起，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）由题意可得2×2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意，随机变量X～B（3，），写出X的分布列，计算数学期望和方差．解：（1）依题意，由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评140 40 180对商品不满意10 10 20合计150 50 200由表中数据计算：＝≈7.407＜7.879，所以不可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，其中P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，p（x＝3）＝＝．所以X的分布列为：X0 1 2 3P②则X的数学期望为EX＝3×＝2.1，方差为3××＝0.6320．椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，P是椭圆上不同于M，N的一点，直线PM，PN 交x轴于D（x D，0）E（x E，0），证明：x D•x E为定值．【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据题意，求得直线PM和PN的方程，令y＝0，分别求得x D，x E，利用椭圆的方程，即可求得x D•x E为定值．解：（1）由题意e＝＝＝，b＝＝1，所以a＝，因此求椭圆的方程；（2）证明：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），P（x P，y P），则直线PM：y﹣y0＝（x ﹣x0），令y＝0，得x D＝+x0，同理直线PN：y+y0＝（x﹣x0），得x E＝+x0，所以x D•x E＝（+x0）•（+x0）＝，①又，，则x02＝2（1﹣y02），x P2＝2（1﹣y P2），代入①整理得x D•x E＝2所以x D•x E为定值2．21．已知函数f（x）＝x2﹣2a cos kπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若k＝2018，关于x的方程f（x）＝2ax有唯一解，求a的值；（3）当k＝2019时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【分析】（1）对k分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性；（2）构造g（x）＝f（x）﹣2ax，方程f（x）＝2ax有唯一解，即g（x）＝0有唯一解，求导数，确定函数的单调性，即可求得结论；（3）当k＝2019时，问题等价于证明xlnx＞﹣，x＞0由导数可求φ（x）＝xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，再构造函数m（x）＝﹣，利用导数求出函数的最大值，由此可得结论．【解答】（1）解：由已知得x＞0且f′（x）＝2x﹣cos kπ＝2x﹣（﹣1）k•．当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；当k是偶数时，则f′（x）＝2x﹣＝．所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．故当k是偶数时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（2）解：若k＝2018，则f（x）＝x2﹣2alnx．记g（x）＝f（x）﹣2ax＝x2﹣2alnx﹣2ax，∴g′（x）＝（x2﹣ax﹣a），若方程f（x）＝2ax有唯一解，即g（x）＝0有唯一解；令g′（x）＝0，得x2﹣ax﹣a＝0．因为a＞0，x＞0，所以x1＝＜0（舍去），x2＝．当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．当x＝x2时，g′（x2）＝0，g（x）min＝g（x2）．因为g（x）＝0有唯一解，所以g（x2）＝0．则，两式相减得2alnx2+ax2﹣a＝0，又∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1＝0（*）；设函数h（x）＝2lnx+x﹣1，因为在x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）＝0至多有一解．因为h（1）＝0，所以方程（*）的解为x2＝1，从而解得a＝．（3）证明：当k＝2019时，问题等价于证明xlnx＞﹣，x＞0，由导数可求φ（x）＝xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x＝时取到，设m（x）＝﹣，则m′（x）＝，当0＜x＜1时，m′（x）＞0，函数m（x）单调递增，当x＞1时，m′（x）＜0，函数m（x）单调递减，∴m（x）max＝m（1）＝﹣从而对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞﹣，成立．故命题成立．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修44：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的方程为y＝kx，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，求k的值．【分析】（1）先消去α得C的普通方程，再化成极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程为θ＝θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入C的极坐标方程，利用根与系数的关系列式求k的值．解：（1）由（α为参数），得（x﹣2）2+y2＝3，∴x2+y2﹣4x+1＝0．∵x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1＝0；（2）设直线l的极坐标方程为θ＝θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2﹣4ρcosθ1+1＝0，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2．ρ1+ρ2＝4cosθ1，ρ1ρ2＝1＞0，△＝16cosθ12﹣4＞0．∴|OA|+|OB|＝|ρ1|+|ρ2|＝|ρ1+ρ2|＝2，∴cosθ1＝±满足△＞0，∴θ1＝或．∴l的倾斜角为或，则k＝tanθ1＝或﹣．[选修45：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥4．（2）若f（x）+f（y）≤6，求x+y的取值范围．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后由f（x）≥4，分别解不等式即可；（2）由条件可得f（x）+f（y）≥|x+y﹣4|+|x+y+2|≥6，再根据f（x）+f（y）≤6，可得|x+y﹣4|+|x+y+2|＝6，从而得到x+y的范围．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≥4，∴或，∴或，∴不等式的解集为；（2）f（x）+f（y）＝|x﹣2|+|x+1|+|y﹣2|+|y+1|≥|x+y﹣4|+|x+y+2|≥|（x+y﹣4）﹣（x+y+2）|＝6，当且仅当（x+y﹣4）（x+y+2）≤0，即﹣2≤x+y≤4时取等号，∵f（x）+f（y）≤6，∴|x+y﹣4|+|x+y+2|≤6，∴|x+y﹣4|+|x+y+2|＝6，∴﹣2≤x+y≤4，∴x+y的取值范围为[﹣2，4]．。