现代控制理论第五章答案

K = [− 40 − 13 − 1]
第五步： 第五步：反变换到原状态变量下
1 0 0 K = K Tc−1 = [− 40 − 13 − 1]0 1 0 1 0 − 1 1 = [− 40 − 12 − 1]
【习题5－3】有系统 习题 － 】
− 2 1 0 ɺ x= x + 1u 0 − 1
K = [k1 k 2
k3 ]
f (λ ) = λ3 + (a2 − k3 )λ2 + (a1 − k 2 )λ + (a0 − k1 ) = λ3 + (2 − k3 )λ2 + (−5 − k 2 )λ + (−6 − k1 )
期望的闭环特征多项式
f * (λ ) = (λ + 2) 2 (λ + 3) = λ3 + 7λ2 + 16λ + 12
【习题5－2 】设系统状态方程为 习题 －
0 0 0 1 ɺ x = 0 − 1 1 x + 0 u 0 − 1 − 10 10 试设计一状态反馈阵将其极点配置为 − 10 , − 1 ± j 3
【解】第一步：判断能控性 第一步：
M= b
（1）画出模拟结构图； ）画出模拟结构图；
y = [1 0]x
（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点； ）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点； （3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。 ）若指定极点为 ， ，求状态反馈矩阵。 【解】（1）系统模拟结构图如下 ）
u
+ −
∫
x2
+ −
∫
x1 = y
§ 5—2 极点配置问题
主要知识点: 主要知识点 1、极点配置的基本概念； 、极点配置的基本概念； 2、极点任意配置的条件； 、极点任意配置的条件； 3、极点配置的设计方法。 、极点配置的设计方法。
§5—3 系统镇定问题 主要知识点: 主要知识点
1、系统能镇定的基本概念; 、系统能镇定的基本概念 2、闭环控制系统能镇定的条件。 、闭环控制系统能镇定的条件。
1、状态观测器、全维观测器、降维观测器的基本概念; 、状态观测器、全维观测器、降维观测器的基本概念 2、观测器存在的条件； 、观测器存在的条件； 3、全维观测器的设计。 、全维观测器的设计。
§5—6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
主要知识点: 主要知识点 1、利用状态观测器实现状态反馈的系统结构； 、利用状态观测器实现状态反馈的系统结构； 2、主要特点（极点分离特性、等价性）； 、主要特点（极点分离特性、等价性） 3、利用状态观测器实现状态反馈的系统设计。 、利用状态观测器实现状态反馈的系统设计。 状态反馈矩阵设计） （观测器反馈矩阵设计+状态反馈矩阵设计） 观测器反馈矩阵设计 状态反馈矩阵设计
若有可能，试求状态反馈矩阵，并画出模拟结构图。 若有可能，试求状态反馈矩阵，并画出模拟结构图。 【解】因为系统的传递函数不存在零极点对消的情况，系统 因为系统的传递函数不存在零极点对消的情况， 能控且能观，状态反馈能实现极点的任意配置， 能控且能观，状态反馈能实现极点的任意配置，可其传递函 数变为： 数变为：
反馈矩阵为
k 2 = −3 k1 = −2
K = [k1
k 2 ] = [− 3 − 2]
【习题5－4】有系统的传递函数为 习题 － 】
( s − 1)( s + 2) ( s + 1)( s − 2)( s + 3)
试问可否利用状态反馈将其传递函数变为
( s − 1) ( s + 2)( s + 3)
[
Ab
0 10 0 10 A 2b = 0 − 110 10 − 100 990
]
Rank ( M ) = 3
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。 满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。 第二步：化为能控标准I型 第二步：化为能控标准 型
λI − A = λ3 + 11λ2 + 11λ
0 1 ( s + 1)( s + 2)
则补偿器的传递函数矩阵为： 则补偿器的传递函数矩阵为：
1 1 1 0 s +1 s + 2 (s +1)(s + 2) −1 Wd (s) = W (s)Wjo (s) = 1 1 1 0 s s(s +1) (s +1)(s + 2) 1 0 − s s+2 (s +1)(s + 2) = s + 2 s(s + 2) − 1 0 s +1 s +1 (s +1)(s + 2) s 1 − s +1 (s +1)(s + 2) = s − 1 (s +1)2 (s +1)2
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控 系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是： 子系统是渐近稳定的。 子系统是渐近稳定的。
M= b
[
Ab
2 − 4 0 A 2 b = 0 1 0 1 1 − 5
]
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Rank ( M ) = 3
系统是能控且能观的，所以系统通过状态反馈能镇定 系统是能控且能观的，所以系统通过状态反馈能镇定
( s − 1) ( s + 2)( s + 3)
且相当于闭环极点配置为： ， ， 且相当于闭环极点配置为：-2，-2，-3
s2 + s − 2 ( s − 1)( s + 2) W (s) = = 3 ( s + 1)( s − 2)( s + 3) s + 2s 2 − 5s − 6 a0 = −6 a1 = −5 a2 = 2
§5—4 系统解耦问题
主要知识点: 主要知识点 1、什么是解耦问题； 、什么是解耦问题； 2、解耦的结构形式； 、解耦的结构形式； 3、状态反馈解耦结构； 、状态反馈解耦结构； 4、状态反馈能解耦的条件； 、状态反馈能解耦的条件； 5、状态反馈解耦设计。 、状态反馈解耦设计。
§5—5 状态观测器 主要知识点: 主要知识点
a0 = 0 a1 = 11 a2 = 11
能控标准I型为： 能控标准 型为： 型为
1 0 Tc1 = A2b Ab b a2 1 a1 a2 10 0 0 = 0 10 0 0 10 10 0 1 A = Tc−1 ATc1 = 0 0 1 0 − 11
− 2 1 0 A + bk = + 1[k1 0 − 1
闭环系统特征多项式： 闭环系统特征多项式：
1 − 2 k2 ] = k1 − 1 + k 2
f (λ ) = λI − ( A + bK ) = λ2 + (3 − k 2 )λ + 2 − k1 − 2k 2
(2)
0 0 0 − 2 1 0 −2 1 0 0 A= 0 0 −2 0 0 0 0 −5 1 0 0 0 0 0 − 5
4 5 b = 0 7 0
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控 系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是： 子系统是渐近稳定的。 子系统是渐近稳定的。 该状态空间表达式是约旦标准型， 该状态空间表达式是约旦标准型，利用约旦标准型能控 性判据可知下列状态是不能控的： 性判据可知下列状态是不能控的：
1
2
（2）判断状态反馈可否任意配置极点； ）判断状态反馈可否任意配置极点；
M = [b
0 1 Ab] = 1 − 1
Rank ( M ) = 2
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。 满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。 （3）若指定极点为 ，-3，求状态反馈矩阵。 ）若指定极点为-3， ，求状态反馈矩阵。 K = [k1 k 2 ] 设状态反馈矩阵为 加入状态反馈矩阵后的系统矩阵为
0 0 1 0 = Tc−1b = 0 1 1
第三步： 第三步：求出加入状态反馈矩阵后的闭环特征多项式
K = [k1 k 2
0 1 0 A + b K = Tc−1 ATc1 = 0 0 1 1 − (a0 − k1 ) − (a1 − k 2 ) − (a2 − k3 ) 1 0 0 0 = 0 1 − (−k1 ) − (11 − k 2 ) − (11 − k3 )
f (λ ) = λ3 + (11 − k3 )λ2 + (11 − k 2 )λ − k1
f (λ ) = λ + 12λ + 24λ + 40
* 3 2
11 − k3 = 12 11 − k 2 = 24 − k1 = 40
k3 = −1 k 2 = −13 k1 = −40
ɺ x3 = −2x3
ɺ x5 = −5x5
因其特征值均为负值，所以是渐近稳定的。 因其特征值均为负值，所以是渐近稳定的。故系统通过 状态反馈能否镇定
【习题5－7】设计一个前馈补偿器，使系统 习题 － 】设计一个前馈补偿器，
1 s +1 W ( s) = 1 s ( s + 1)
[
]
0 10 0 0 1 0 0 0 = − 110 10 0 11 1 0 1 990 − 100 10 11 11 1 1 0 Tc−1 = 0 1 1 0 − 1 0 1 b − 11
k3 ]
比较 f (λ ) 和 f * (λ ) 求出反馈矩阵
2 − k 3 = 7 − 5 − k 2 = 16 − 6 − k = 12 1
所求的状态反馈矩阵为
k3 = −5 k 2 = −21 k = −18 1
K = [k1 k 2
k3 ] = [− 18 − 21 − 5]
b0 = −2 b1 = 1 b2 = 1 0 b = 0 1 b3 = 0
系统的能控标准I型为： 系统的能控标准 型为： 型为
0 1 0 A = 0 0 1 6 5 − 2
c = [− 2 1 1]
加入状态反馈矩阵后的闭环特征多项式
f (λ ) = λ3 + (11 − k3 )λ2 + (11 − k 2 )λ − k1
第四步： 第四步：求出期望的闭环特征多项式
f * (λ ) = (λ + 10)(λ + 1 − j 3 )(λ + 1 + j 3 ) = λ + 12λ + 24λ + 40
3 2
第四步： 第四步：比较 f (λ ) 和 f * (λ ) 求出反馈矩阵
1 s + 2 1 s
解耦， 解耦，且解耦后系统的极点为 -1，-1，-2，-2 ， ， ， 【解】系统的传递函数阵是非奇异的，可以用前馈补偿器 系统的传递函数阵是非奇异的， 实现解耦， 实现解耦，设解耦后系统的传递函数为
1 ( s + 1)( s + 2) W jo ( s ) = 0
闭环系统的模拟结构图如下： 闭环系统的模拟结构图如下：
输出矩阵C 输出矩阵
反馈矩阵K 反馈矩阵
【习题5－5】试判断下列系统通过状态反馈能否镇定 习题 － 】
(1)
− 1 − 2 − 2 A = 0 −1 1 1 0 − 1
2 b = 0 1
期望的闭环特征多项式
f * (λ ) = (λ + 3)(λ + 3) = λ2 + 6λ + 9
比较 f (λ ) 和 f * (λ ) 求出反馈矩阵
f (λ ) = λ2 + (3 − k 2 )λ + 2 − k1 − 2k 2
f * (λ ) = λ2 + 6λ + 9
3 − k 2 = 6 2 − k1 − 2k 2 = 9
第五章主要内容： 第五章主要内容： §5—1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 主要知识点: 主要知识点
1、状态反馈、输出反馈的基本概念； 、状态反馈、输出反馈的基本概念； 2、三种反馈控制系统的基本结构和特点； 、三种反馈控制系统的基本结构和特点； 3、闭环系统的能控性和能观性。 、闭环系统的能控性和能观性。