现代控制理论-第5章 线性控制系统的可控性和可观测性
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现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
I
A
n
（24）
例 系统方程如下，试判断系统的能控性
x
2
0
0 5
x
1 2u
y 0 1x
解
C rankCA
0 rank0
1 5
1
不满秩，故系统不能观测。
能观测性判据
定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征值 λi互异，经过
非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是C
λ1 、λ2 、…、 λk 分别为 l1 重、l2 重、…、 lk 重。
k
且 li n ，λi λj ，(i j) 经过非奇异线性变换，得到约当阵 i 1
J1
0
x
J2
x Bu
0
J
k
y Cx
λi 1
0
Ji
λi
1
0
λi
则系统能观测的充分必要条件是矩阵 C 中与每一个约当子块第一列
控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[λi I A B] n (i 1,2,, n)
（10）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λi 互异，
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λ1
0
x
λ2
x Bu
（11）
0
能控性及其判据
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t) ，使系统从
状态空间坐标原点推向预先指定的状态 x(t1) ，则称系统是状态能
达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控
性和能达性是等价的。
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控 的。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
现代控制理论-第5章 线性控制系统的可控性和可观测性
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x1
x1 )
x2 (
g L
sin
x1 )
g L
( sin
x1
x2 )
0
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2
xn
p12 p22 p2n
x2
pn1
pn2
pnn
xn
2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P
§8.4 线性系统的可控性和可观测性
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
现代控制理论5_可控可观
⎡ r11 ⎢ ⎢
L
r1p ⎤ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x&3 x&4
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
λ1 λ4
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x3 x4
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢
M
⎥
M
⎥u ⎥
⎢ ⎢ ⎢⎣
M x&n
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣
O
⎥⎢ ⎥⎢
M
⎥ ⎥
λn ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣rn1
L
⎥ ⎥ rnp ⎥⎦
例1：
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣
C
A
n
−1
⎥ ⎦
或者
n为矩阵A的维数。
rank [V ] = rank ⎣⎡CT A T CT L ( A T )n−1 CT ⎦⎤ = n
例
⎡ ⎢ ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
A
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
Bu
y = Cx
(1)
A
=
⎡−2
⎢ ⎣
0
0⎤ −1⎥⎦ ,
B
=
⎥⎦
S是一个右下角三角阵，其对角线元素均为1， 故detS≠0，所以系统一定可控。
2.2 对角标准型的可控性判别
特征值互异
x& = Λx+Bu
⎡λ1 0 L 0 ⎤
Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L O
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢ ⎣
0
0
L
现代控制理论线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料PPT课件
u(t)
x(t0 )
x2
x0 x(t f ) 0
所有非零状态
x0 在t0 时刻能控 系统在t0 时刻完全能控
所有时刻
系统一致能控
x1
x(t1)
t0
x(t2 )
t1
线性定常 系统的能 控性与 t0 无关
t
t2
第11页/共45页
x(t0 ) 0 x(t1) 0 x(t0 ) 0 x(t1) 0
第1页/共45页
能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。
卡尔曼
能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
第2页/共45页
由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出 关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有 “能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能 控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初 态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到 的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
a2
1 a2 a1 a22
rankM 3 n 故系统的状态完全能控！
此形式的状态方程为能控标准型
第35页/共45页
[例] 判别如下系统的能控性
x1 1 2 2 x1 2
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0 0 2
3
4 1 0
线性定常连续系统的可控性和可观性
其中X 为n×1阶矢量,U 为r×1阶矢量,G 为n×n 阶矩阵,H 为
n×r 阶可控矩阵,那么离散系统(5-14)可控的充要条件是可控
判别阵:
的秩等于n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-5-已知某离散系统的系统矩阵G 和输入矩阵H 分别
为
试分析系统可控性。
解
我们可以从 M 阵的前3个列明显看出,Rank(M)=3=n,即
注意:Σc1 中的βi 与Σc2 中的βi 不是同一数值。
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1 的模拟结构图如图5-4所示,Σc2 的模拟结构图如图5-5
所示。
图5-4 可控Ⅰ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
图5-5-可控Ⅱ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1(Ac1,bc1,Cc1)和Σc2(Ac2,bc2,Cc2)之所以称为可控型,主要
先看式(5-33):
第5章 系统的可控性和可观性
第5章 系统的可控性和可观性
再看式(5-34),两边同时左乘Tc2 ,得新关系Tc2 bc2=b。将
式(5-30)的Tc2和式(5-26)
的bc2代入,很容易就得以证明。
再看式(5-35),有
实际上,该式只给出Cc2的计算公式,Cc2没有像Ac2,bc2那样的固
第5章 系统的可控性和可观性
定理5.7 系统完全可观的充要条件是可观判别阵
的秩为n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-6 判别系统
的可观性。
解
因为 Rank(M)=2=n,所以系统可观。
第5章 系统的可控性和可观性
5.4 离散时间系统的可观性
定义5.4 考虑如下线性定常离散系统:
可控性与可观性
现
代 控
一. 可控性判据
制 理 论
定理1：
若定义连续时间系统A, B的n*(np)可控矩阵
Sc B AB A2B
An1B
则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc n
Modern Control Theory
Page: 4
连续时间系统状态例完全题可控的条件
（3）系统可控。 （4）系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 7
定理3 在S平面上状态完全可控的条件
现
代 控
状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩
制 阵描述。
理
论ห้องสมุดไป่ตู้
状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数
或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那
么在相约的模态上，系统不可控。
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
现
代
【例】判别可观测性
控 制 理 论
（1） （2）
4 5 1
x
1
0 x 1 u
2 1 1
x 1
3
x
1
u
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5.对非线性系统，尚无一定的求V(x)的方法，可 以用变量梯度法、鲁尔法、波波夫法等。
二.线性定常系统V(x)的选取方法
1.任意选取法
例系统如下，判别其稳定性 解：
x1
x2
0 2
1 x1
3
x2
0 xe 0
x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x(t) → xe ，则xe称为渐近稳定。 5. 若平衡状态xe是渐近稳定的，且S(δ)包括整个状态空间，则xe称
为大范围稳定。
6.无论实数δ选得多小，由初态引起的系统响应随时间增加都要脱离 S(ε)球域，则称为不稳定。
7.等幅振荡，只要幅值不超过S(ε)球域，则xe在李雅普诺夫意义下 是稳定的。
8.对线性定常系统， xe唯一，故对全系统而言只有一种稳定性情况， 而对非线性系统或时变系统，有不同的平衡点就有不同的稳定性。 此时仅研究不同平衡状态下的各自的稳定性。
三.正定函数
1.正定函数V(x)： （1） V(x)对向量x中各分量可连续偏微分 （2）当x≠0时， V(x)>0 （3）仅在x=0时， V(x)=0 2.正半定函数 （2）当x≠0时， V(x)>=0 3.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<0 4.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<=0 5.不定函数： V(x)的值可正、可负。
大于零。
例系统如下，判别其稳定性
x1 x2
x2 2x1 3x2
x1 x2 0
AT P PA I
x1
x2
0 2
1 x1
3
x2
0 2 p11
1
3
p21
p12 p22
例.判断下列函数的正定性
1.V (x) x12 x22 2.V (x) (x1 x2 )2 3.V (x) x12 (3x1 x22 )2 4.V (x) x1x22 x22
四.二次型函数
1.定义：具有下列形式的函数称为二次型函数，其中 P为实对称矩阵。
(1)V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22 2x1x2
(2)V (x) 2x12 x22
V (x) 4x1 x1 2x2 x2 4x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22
第五章 线性系统的稳定性
第一节 概述
一.平衡状态
设系统的状态方程为
x f (x) Ax
，对所有的时间t，均
存在f(xe)=0，则x=xe称为系统的平衡点。
例.
1 0 (1) x 1 2x 可见：
(2)
x1 x1
x2 x1 x2 x23
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P
5 1
4 1
4 4
第三节 非线性系统的稳定性
例：
x1 (x1 x2 ) x22
1.对线性定常系统，只要A阵非奇异，xe唯一 2.对非线性系统，xe可以存在多个 3.通过坐标变换，可以讲平衡状态点，转移到原点
二.稳定性的定义
若对任一实数ε >0都存在另一实数δ (ε ,t0)>0，使 得下列不等式成立：
||x0-xe||≤δ ， ||x-xe||≤ ε
设S(δ )是包含满足方程||x0-xe||≤δ 的点的一个 球域，S(ε )是包含满足方程||x0-xe||≤ε 的点的 一个球域。
(4)判稳： 负半定，且除x=0外不恒为零，系统渐近稳 定。也V是(x) 大范围渐近稳定。
例：试判断单摆运动的稳定性
解 (1)建立系统的数学模型
根据动量矩定理：质点的动量 对任意固定点的矩对时间的导 数等于作用于该质点的力对同 一点的力矩
(2)求xe
(3)设V(x)
(4)求
V (x)
(5)判稳
V (x)
定理说明
1. V(x)是由系统状态变量所构成的二次型函数,代 表系统的能量。
2.若系统的平衡点不在原点，可用坐标变换使平衡 点处于原点。
3.判据仅是充分条件，即找到了满足上述条件的 V(x)，则系统稳定，若找不到V(x)，不能说明系 统不稳定。
4.对线性定常系统而言，只要是渐近稳定就一定是 大范围渐近稳定
x1
x1 )
x2 (
g L
sin
x1 )
g L
( sin
x1
x2 )
0
d (mvL) mgLsin dt
v L
g
sin
L
x1 , x2
x1 x2
x2
g L
sin
x1
x2 0
g L
sin
x1
0
x1 x2 0
V
(x)
1 2
x22
g L
(1
cos x1)
V
(x)
x2
x2
g L
(
sin
2.若 是负半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系 统在V原(x) 点处的平衡状态是渐近稳定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定 的。
3.若 是负半定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅 普诺V夫 (x)意义下的稳定。
4.若 是正定的，或者若 是正半定的，且除x=0外， 不恒V为(x) 零，则系统在原点处的V (平x) 衡状态是不稳定的。
则对应于每一个S(ε )，都存在一个S(δ )，使得当 t无限增加时，从S(δ )出发的状态，其轨迹均不超 出S(ε )，则系统的平衡状态称为李雅普诺夫意义 下是稳定的。
说明：
1.x是t>t0时的状态变量，xe是平衡状态，x0是t=t0时的初态 2.欧几里德范数 x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen)2 3.若δ 和ε 均与初始时间t0无关，则xe为一致稳定 4.若平衡状态xe是稳定的，且当t→∞时，由初态引起的系统响应
V (x) x1(10x1 x2 2x3 ) x2 (x1 4x2 x3 ) x3 (2x1 x2 x3 )
10 1 2 x1
x1 x2 x3 1
4
1
x2
2 1 1 x3
10 1 2
P
1
4 1Hale Waihona Puke 2 1 1 10 1
p11 10 0, 1
39 0, P 17 0 4
第二节 李雅普诺夫判稳法
一.定理：设系统
x
Ax
，且x0=0是系统的平衡状态。构
造一个正定的标量函数V(x)，且V(x)连续一阶可微，则
1.若 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳 定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2
xn
p12
p22
p2n
x2
pn1
pn2
pnn
xn
2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
2.计算法求V(x)
设系统
x Ax
设 V (x) xT Px
则
V
(x)
xT
Px
xT
P
x
xT AT Px xT PAx
xT ( AT P PA)x
令
AT P PA I
可见：此时设 为负定，只要证明V(x)为正定即可。
根据赛尔维斯特V准(x)则，可以反求P阵为主子行列式的值均
二.线性定常系统V(x)的选取方法
1.任意选取法
例系统如下，判别其稳定性 解：
x1
x2
0 2
1 x1
3
x2
0 xe 0
x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x(t) → xe ，则xe称为渐近稳定。 5. 若平衡状态xe是渐近稳定的，且S(δ)包括整个状态空间，则xe称
为大范围稳定。
6.无论实数δ选得多小，由初态引起的系统响应随时间增加都要脱离 S(ε)球域，则称为不稳定。
7.等幅振荡，只要幅值不超过S(ε)球域，则xe在李雅普诺夫意义下 是稳定的。
8.对线性定常系统， xe唯一，故对全系统而言只有一种稳定性情况， 而对非线性系统或时变系统，有不同的平衡点就有不同的稳定性。 此时仅研究不同平衡状态下的各自的稳定性。
三.正定函数
1.正定函数V(x)： （1） V(x)对向量x中各分量可连续偏微分 （2）当x≠0时， V(x)>0 （3）仅在x=0时， V(x)=0 2.正半定函数 （2）当x≠0时， V(x)>=0 3.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<0 4.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<=0 5.不定函数： V(x)的值可正、可负。
大于零。
例系统如下，判别其稳定性
x1 x2
x2 2x1 3x2
x1 x2 0
AT P PA I
x1
x2
0 2
1 x1
3
x2
0 2 p11
1
3
p21
p12 p22
例.判断下列函数的正定性
1.V (x) x12 x22 2.V (x) (x1 x2 )2 3.V (x) x12 (3x1 x22 )2 4.V (x) x1x22 x22
四.二次型函数
1.定义：具有下列形式的函数称为二次型函数，其中 P为实对称矩阵。
(1)V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22 2x1x2
(2)V (x) 2x12 x22
V (x) 4x1 x1 2x2 x2 4x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22
第五章 线性系统的稳定性
第一节 概述
一.平衡状态
设系统的状态方程为
x f (x) Ax
，对所有的时间t，均
存在f(xe)=0，则x=xe称为系统的平衡点。
例.
1 0 (1) x 1 2x 可见：
(2)
x1 x1
x2 x1 x2 x23
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P
5 1
4 1
4 4
第三节 非线性系统的稳定性
例：
x1 (x1 x2 ) x22
1.对线性定常系统，只要A阵非奇异，xe唯一 2.对非线性系统，xe可以存在多个 3.通过坐标变换，可以讲平衡状态点，转移到原点
二.稳定性的定义
若对任一实数ε >0都存在另一实数δ (ε ,t0)>0，使 得下列不等式成立：
||x0-xe||≤δ ， ||x-xe||≤ ε
设S(δ )是包含满足方程||x0-xe||≤δ 的点的一个 球域，S(ε )是包含满足方程||x0-xe||≤ε 的点的 一个球域。
(4)判稳： 负半定，且除x=0外不恒为零，系统渐近稳 定。也V是(x) 大范围渐近稳定。
例：试判断单摆运动的稳定性
解 (1)建立系统的数学模型
根据动量矩定理：质点的动量 对任意固定点的矩对时间的导 数等于作用于该质点的力对同 一点的力矩
(2)求xe
(3)设V(x)
(4)求
V (x)
(5)判稳
V (x)
定理说明
1. V(x)是由系统状态变量所构成的二次型函数,代 表系统的能量。
2.若系统的平衡点不在原点，可用坐标变换使平衡 点处于原点。
3.判据仅是充分条件，即找到了满足上述条件的 V(x)，则系统稳定，若找不到V(x)，不能说明系 统不稳定。
4.对线性定常系统而言，只要是渐近稳定就一定是 大范围渐近稳定
x1
x1 )
x2 (
g L
sin
x1 )
g L
( sin
x1
x2 )
0
d (mvL) mgLsin dt
v L
g
sin
L
x1 , x2
x1 x2
x2
g L
sin
x1
x2 0
g L
sin
x1
0
x1 x2 0
V
(x)
1 2
x22
g L
(1
cos x1)
V
(x)
x2
x2
g L
(
sin
2.若 是负半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系 统在V原(x) 点处的平衡状态是渐近稳定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定 的。
3.若 是负半定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅 普诺V夫 (x)意义下的稳定。
4.若 是正定的，或者若 是正半定的，且除x=0外， 不恒V为(x) 零，则系统在原点处的V (平x) 衡状态是不稳定的。
则对应于每一个S(ε )，都存在一个S(δ )，使得当 t无限增加时，从S(δ )出发的状态，其轨迹均不超 出S(ε )，则系统的平衡状态称为李雅普诺夫意义 下是稳定的。
说明：
1.x是t>t0时的状态变量，xe是平衡状态，x0是t=t0时的初态 2.欧几里德范数 x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen)2 3.若δ 和ε 均与初始时间t0无关，则xe为一致稳定 4.若平衡状态xe是稳定的，且当t→∞时，由初态引起的系统响应
V (x) x1(10x1 x2 2x3 ) x2 (x1 4x2 x3 ) x3 (2x1 x2 x3 )
10 1 2 x1
x1 x2 x3 1
4
1
x2
2 1 1 x3
10 1 2
P
1
4 1Hale Waihona Puke 2 1 1 10 1
p11 10 0, 1
39 0, P 17 0 4
第二节 李雅普诺夫判稳法
一.定理：设系统
x
Ax
，且x0=0是系统的平衡状态。构
造一个正定的标量函数V(x)，且V(x)连续一阶可微，则
1.若 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳 定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2
xn
p12
p22
p2n
x2
pn1
pn2
pnn
xn
2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
2.计算法求V(x)
设系统
x Ax
设 V (x) xT Px
则
V
(x)
xT
Px
xT
P
x
xT AT Px xT PAx
xT ( AT P PA)x
令
AT P PA I
可见：此时设 为负定，只要证明V(x)为正定即可。
根据赛尔维斯特V准(x)则，可以反求P阵为主子行列式的值均