现代控制理论-第5章 线性控制系统的可控性和可观测性

p11 p21
p12 0
p22


2
1 3

1

0
0 1
2 p12

p11

3
p12
p12
2
p22 3 p22



2 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
p12 p22
p11 p12

3 p12 3 p22


1

0
0 1

V (x)
定理说明
1. V(x)是由系统状态变量所构成的二次型函数,代 表系统的能量。
2.若系统的平衡点不在原点，可用坐标变换使平衡 点处于原点。
3.判据仅是充分条件，即找到了满足上述条件的 V(x)，则系统稳定，若找不到V(x)，不能说明系 统不稳定。
4.对线性定常系统而言，只要是渐近稳定就一定是 大范围渐近稳定
例.判断下列函数的正定性
1.V (x) x12 x22 2.V (x) (x1 x2 )2 3.V (x) x12 (3x1 x22 )2 4.V (x) x1x22 x22
四.二次型函数
1.定义：具有下列形式的函数称为二次型函数，其中 P为实对称矩阵。
则对应于每一个S(ε )，都存在一个S(δ )，使得当 t无限增加时，从S(δ )出发的状态，其轨迹均不超 出S(ε )，则系统的平衡状态称为李雅普诺夫意义 下是稳定的。
说明：
1.x是t>t0时的状态变量，xe是平衡状态，x0是t=t0时的初态 2.欧几里德范数 x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen)2 3.若δ 和ε 均与初始时间t0无关，则xe为一致稳定 4.若平衡状态xe是稳定的，且当t→∞时，由初态引起的系统响应
第五章 线性系统的稳定性
第一节 概述
一.平衡状态
设系统的状态方程为

x f (x) Ax
，对所有的时间t，均
存在f(xe)=0，则x=xe称为系统的平衡点。
例.
1 0 (1) x 1 2x 可见：
(2)

x1 x1
x2 x1 x2 x23
(4)判稳： 负半定，且除x=0外不恒为零，系统渐近稳 定。也V是(x) 大范围渐近稳定。
例：试判断单摆运动的稳定性
解 (1)建立系统的数学模型
根据动量矩定理：质点的动量 对任意固定点的矩对时间的导 数等于作用于该质点的力对同 一点的力矩
(2)求xe
(3)设V(x)
(4)求

V (x)
(5)判稳
V (x) x1(10x1 x2 2x3 ) x2 (x1 4x2 x3 ) x3 (2x1 x2 x3 )
10 1 2 x1
x1 x2 x3 1
4

1

x2

2 1 1 x3
10 1 2
P
2.若 是负半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系 统在V原(x) 点处的平衡状态是渐近稳定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定 的。
3.若 是负半定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅 普诺V夫 (x)意义下的稳定。
4.若 是正定的，或者若 是正半定的，且除x=0外， 不恒V为(x) 零，则系统在原点处的V (平x) 衡状态是不稳定的。

x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22



V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
8.对线性定常系统， xe唯一，故对全系统而言只有一种稳定性情况， 而对非线性系统或时变系统，有不同的平衡点就有不同的稳定性。 此时仅研究不同平衡状态下的各自的稳定性。
三.正定函数
1.正定函数V(x)： （1） V(x)对向量x中各分量可连续偏微分 （2）当x≠0时， V(x)>0 （3）仅在x=0时， V(x)=0 2.正半定函数 （2）当x≠0时， V(x)>=0 3.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<0 4.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<=0 5.不定函数： V(x)的值可正、可负。
(1)V (x) x12 x22




V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22 2x1x2
(2)V (x) 2x12 x22



V (x) 4x1 x1 2x2 x2 4x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2

xn


p12

p22

p2n


x2



pn1
pn2

pnn


xn

2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
x(t) → xe ，则xe称为渐近稳定。 5. 若平衡状态xe是渐近稳定的，且S(δ)包括整个状态空间，则xe称
为大范围稳定。
6.无论实数δ选得多小，由初态引起的系统响应随时间增加都要脱离 S(ε)球域，则称为不稳定。
7.等幅振荡，只要幅值不超过S(ε)球域，则xe在李雅普诺夫意义下 是稳定的。
d (mvL) mgLsin dt

v L




g
sin

L

x1 , x2

x1 x2

x2


g L
sin
x1
x2 0


g L
sin
x1

0
x1 x2 0
V
(x)

1 2
x22

g L
(1
cos x1)

V
(x)

x2

x2

g L
(
sin
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
2.计算法求V(x)

设系统

x Ax

设 V (x) xT Px

则

V
(x)


xT
Px
xT
P

x
xT AT Px xT PAx
xT ( AT P PA)x

令
AT P PA I
可见：此时设 为负定，只要证明V(x)为正定即可。
根据赛尔维斯特V准(x)则，可以反求P阵为主子行列式的值均
5.对非线性系统，尚无一定的求V(x)的方法，可 以用变量梯度法、鲁尔法、波波夫法等。
二.线性定常系统V(x)的选取方法
1.任意选取法
例系统如下，判别其稳定性 解：


x1


x2


0 2
1 x1

3

x2


0 xe 0
x1


x1 )

x2 (
g L
sin
x1 )

g L
( sin
x1

x2 )

0


1
4 1
2 1 1
10 1
p11 10 0, 1
39 0, P 17 0 4
第二节 李雅普诺夫判稳法

一.定理：设系统

x

Ax
，且x0=0是系统的平衡状态。构
造一个正定的标量函数V(x)，且V(x)连续一阶可微，则
1.若 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳 定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
1.对线性定常系统，只要A阵非奇异，xe唯一 2.对非线性系统，xe可以存在多个 3.通过坐标变换，可以讲平衡状态点，转移到原点
二.稳定性的定义
若对任一实数ε >0都存在另一实数δ (ε ,t0)>0，使 得下列不等式成立：
||x0-xe||≤δ ， ||x-xe||≤ ε
设S(δ )是包含满足方程||x0-xe||≤δ 的点的一个 球域，S(ε )是包含满足方程||x0-xe||≤ε 的点的 一个球域。
大于零。
例系统如下，判别其稳定性

x1 x2

x2 2x1 3x2
x1 x2 0
AT P PA I


x1


x2


0 2
1 x1

3

x2

0 2 p11
1

3

p21
p12 p22

4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P


5 1
4 1

4 4
第三节 非线性系统的稳定性
例：

x1 (x1 x2 ) x22