概率论(计算)习题要点
概率论复习重点难点解析
概率论复习重点（10经二）第一章随机事件及其概率§1.1随机事件1、差化积：A—B=A—AB2、运算律：分配律、自反律、对偶律P5§1.2随机事件的概率3、概率的性质：（6个）P9其中最重要的：性质4性质6P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P10.习题§1.3古典概型4、古典概型：取球模型（有、无范围抽取）P12P12.例2 P14. 1、4、8题P16. 例2§1.4条件概率5、条件概率：公式P15乘法概率公式、全概率公式、贝叶斯公式P17~P19§1.5事件的独立性6、事件的独立性：定义P21伯努利概型P23 第五节例题第二章随机变量及其分布§2.1随机变量1、随机事件的定义的理解P28§2.2离散型随机变量及其概率分布2、概率分布的定义P303、常用离散分布（1）两点分布、二项分布、泊松分布P32 （2）泊松定理P35§2.4连续型随机变量及其概率密度（很重要）4、概率密度的定义P405、常用连续型分布均匀分布、指数分布、正态分布（它们的定义、概率密度、参数范围、性质、记号（比如均匀分布的记号为X~U（a，b））6、正态分布：标准化（标准正态分布的性质、计算公式）（重要）P447、第四节例题、作业§2.5随机变量函数的分布P48 8、连续型随机变量的分布：有两种方法可求，但只需掌握一种就行，第一种较常用（1）用F（y）求（2）P49底. 定理一第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及其分布1、二维随机变量的联合分布函数定义P542、边缘分布函数定义P553、分布函数与概率密度的定义、关系P574、二维均匀分布：概率密度函数P595、二维正态分布：只需掌握其边缘概率密度P60底§3.2条件分布与随机变量的独立性6、条件分布的概念P637、X、Y相互独立的定义P648、离散型与连续型随机变量的条件分布、独立性：概念P64、P659、P206表掌握6个分布：0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布（它们的参数、分布律、数学期望、方差）10、第二节例题、作业§3.3二维随机变量函数的分布只需掌握P72定理一就行P72第四章随机变量的数学特征§4.1数学期望1、性质、条件P78§4.2方差2、性质、条件P84§4.3协方差与相关系数3、定义、概念P89例题（特别是例3、例4）、作业题§4.4大数定理与中心极限定理（很重要！考！）P97怎么运用这些公式。
概率论习题
第一章 随机事件与概率一、复习提纲。
1.了解随机现象，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。
2.了解事件频率的概念，理解概率的统计定义，了解概率的古典定义，掌握概率的基本性质，会计算简单的古典概率。
3.了解条件概率的概念，掌握概率加法加法公式和乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题。
4.理解事件的独立性概念，会应用事件的独立性进行概率的计算。
5.理解独立重复实验的概率，掌握计算有关事件概率的方法。
二、习题。
1、 若A 和B 互不相容，且10,)(<<=p p A P ,则=)(A B P ____________；2、若事件A 与B 相互独立且P(A)=p, P(B)=q ，则)(B A P ⋂= ；3、若随机事件A ，B 相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.45，则)(B A P ⋃= 。
4、已知()0.5,()0.7,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A B =5、设P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8，则,,A B C 全不发生的概率为6、一批灯泡有10只，其中3只是坏的，从中任取5只检查，其中恰有2只坏的概率为 ，至少有一只坏的概率为7、甲、乙两人独立射击，其命中率分别为0.6和0.5，则至少有一人击中目标的概率为 ； 8、事件A 与B 独立，且 P(A)=p ，P(B)=q ，则)B P(A ⋃=( )(A)q p -+1； (B)q p + ； (C) 1 ； (D)q pq -+1。
9、已知()0.5,()0.7,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A B ⋃=（）(A)0.4 (B) 1.2 (C) 0.8 (D) 0.6 10、对于任意两事件A 和B ，有P （A －B ）＝（ ）(A) P(A)－P （B ） （B ） P(A)－P （B ）＋P （AB ）（C ） P （A ）－P （AB ） （D ） P （A ）－P （B ）－P （AB ） 11、设B A ,为两随机事件，则=-)(B A P （ ）（A ）)()(B P A P - (B) )()()(AB P B P A P +- (C) )()(AB P A P - (D) )()()(B A P B P A P ++ 12、已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(B|A)=0.6，则P(B A |)=（）（Ａ）0.4 （Ｂ）0.5 （Ｃ）0.35 （Ｄ）0.25 13、设()()()1/3P A P B P C ===，且,,A B C 相互独立，则,,A B C 恰好发生一个的概率为 （Ａ）2719 （Ｂ）271 （Ｃ）94 （Ｄ）31 14、 设C B A C P B P A P ,,,31)()()(===相互独立，则C B A ,,至少有一个发生的概率为( ) (A)32 ； (B)2719； (C)2726； (D)271。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
概率论第4章习题参考解答
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =⨯⨯==733103.07.0}3{C P ξ0.0090至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为=⨯⨯-=<-=≥∑=-2010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为=⨯⨯=≤∑=-20101099.001.0}2{i i i iC P ξ0.99993. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020=⨯⨯==≥=≥=≥=≥∑=-i i i iC P P P P ξξξη4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此∑=-⨯⨯=≤=≤=≤320209.01.0}3{}15.020{}15.0{i i i iC P P P ξξη=0.8675. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{≥≥⋂≥=≥≥ξξξξξP P P因事件}3{}2{≥⊃≥ξξ, 因此2}23{≥=≥⋂≥ξξξ因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203=-=⨯⨯--⨯⨯-==-=-===-===-=====≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==∑≤--4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444x x C x x F k C k P x k kk k kk kξ或者算出具体的值如下所示： ξ 0 1 2 3 4 P0.48230.38580.11570.01540.0008⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=41439992.0329838.0218681.0104823.000)(x x x x x x x F从分布表可以看出最可能值为0, 或者np +p =(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为[5/6]=0. 7. 事件A 在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A 出现次数为ξ, 则ξ~B (19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为E ξ=np =19×0.3=5.7 方差为Dξ=np (1-p )=19×0.3×0.7=3.99标准差为997.199.3===ξσξD(2)因np +p =5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, E ξ=12, D ξ=8, 求p 和n . 解: 由E ξ=np =12 (1) 和D ξ=np (1-p )=8 (2) 由(1)得n =12/p , 代入到(2)得 12(1-p )=8, 解出p =(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得n =12/p =12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n =4的贝努里试验, 且p =15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B (4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为=+⨯⨯=>433425.075.025.0)2(C P ξ0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p , 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B (4,p ), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P {ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{q pq q P P P P P P ---===-=-=-=>>=>>ξξξξξξξ其中q =1-p 11. ξ服从参数为2,p 的二项分布, 已知P (ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因ξ~B (2,p ), 则必有9/5)1(1)0(1)1(2=--==-=≥p P P ξξ, 解得3/13/213/219/49/51)1(2=-==-=-=-p p p 则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B (4,1/3), 则802.081161321)1(1)0(1)1(44=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--==-=≥p P P ηη12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有==≤∑=-204204155}2{i i i C C C P ξ0.968 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100 ===3100029001100}1{C C C P ξ0.2435 而如果用二项分布近似计算, n =3, p =0.1, ξ~B (3,0.1)=⨯⨯≈=2139.01.0}1{C P ξ0.2430近似误差为0.0005, 是非常准确的.14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213===--i C C C i P i i ξ则按上式计算出概率分布如下表所示: ξ 0 1 2 3 4 5 P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p =0.8, n =10, 则∑=-⨯⨯=≥10810102.08.0}8{i i i iC P ξ=0.677816. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率. 解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B (800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np =800×0.001=0.89526.0!8.0}2{1438.028.0}2{28.08.02=≈≤=≈=∑=--i i e i P e P ξξ 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{408.0=-=≤-=>∑=-i i e i P P ξξ==≤==∑=-18.0!8.0}1{}10{i i e i P P ξη0.8088==≤<==∑=-428.0!8.0}41{}8{i i e i P P ξη0.1898则产品的平均价值为 Eη = 10×P {η=10}+8×P {η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为 ==≤∑=-402!2}4{i i e i P ξ0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为[]=≤100}4{ξP 0.00445419. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命E ξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P (1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0010001)(1000x x ex xϕ0667.0)12001000(2.111000120010001000=-=-=≤<----e e ee P ξ20. ξ~N (0,1), Φ0(x )是它的分布函数, φ0(x )是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P (ξ=0)各是什么值? 解: 因有 20221)(x ex -=πϕ, ⎰∞--=Φxt dt ex 20221)(π, 因此φ0(x )为偶函数, 由对称性可知Φ0(0)=0.5, 并有πϕ21)0(0=,因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P (ξ=0)=0.21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P (ξ>600|ξ>500), 因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600===>>=>>---e e eP P P ξξξξ22. 若ξ服从具有n 个自由度的χ2-分布, 证明ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=---022)(21212x x e n x x x nn ϕ称此分为为具有n 个自由度的χ-分布 证: 设ξη=, 则因ξ的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--0221)(2122x x e x n x xn nξϕη的分布函数为)0()()()()()(22>=≤=≤=≤=x x F x P x P x P x F ξηξξη对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==-----x en x en x xx x x x n n x n n ξηϕϕ23. ξ~N (0,1), 求P {ξ≥0}, P {|ξ|<3}, P {0<ξ≤5}, P {ξ>3}, P {-1<ξ<3} 解: 根据ξ的对称性质及查表得: P {ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5 P {|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973 P {0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5P {ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135P {-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995 24. ξ~N (μ,σ2), 为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?解: 因为)1,0(~N σμξ- 19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0≈=-⨯=-Φ=<-=<-σμξσμξP P因此在一次试验中几乎必然出现.25. ξ~N (10,22), 求P (10<ξ<13), P (ξ>13), P (|ξ-10|<2). 解: 因为)1,0(~210N -ξ6826.018413.021)1(2}1210{}2|10{|0.0668193319.01)5.1(1}5.1210{}13{43319.05.093319.0)0()5.1(}5.12100{}1310{0000=-⨯=-Φ=<-=<-=-=Φ-=>-=>=-=Φ-Φ=<-<=<<ξξξξξξP P P P P P26. 若上题中已知P {|ξ-10|<c }=0.95, P {ξ<d }=0.0668, 分别求c 和d .解: 因为)1,0(~210N -ξ, 则有95.01)2(2}2210{}|10{|0=-Φ=<-=<-cc P c P ξξ 解得975.0295.01)2(0=+=Φc, 查表得,96.12=c得c =3.92 再由5.00668.0)210(}210210{}{0<=-Φ=-<-=<d d P d P ξξ知,0210<-d 因此0668.0)210(1)210(00=-Φ-=-Φdd 即9332.00668.01)210(0=-=-Φd, 查表得5.1210=-d, 解得7310=-=d 27. 若ξ~N (μ,σ2), 对于P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90, 或0.95, 或0.99, 分别查表找出相应的k值.解: 先求P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k 值. 因)1,0(~N σμξ-, 因此 90.01)(2}{}{0=-Φ=<-=+<<-k k P k k P σμξσμξσμ 即95.0290.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.64 同理, 由975.0295.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.96 由995.0299.01)(0=+=Φk , 查表得k =2.57 28. 某批产品长度按N (50, 0.252)分布, 求产品长度在49.5cm 和50.5cm 之间的概率, 长度小于49.2cm 的概率.解: 设ξ为产品长度, 则ξ~N (50, 0.252), 且有)1,0(~25.050N -ξ, 则9545.0197725.021)2(2}225.050{}225.0502{}5.505.49{0=-⨯=-Φ=<-=<-<-=<<ξξξP P P0006871.09993129.01)2.3(1)2.3(}25.0502.4925.050{}2.49{00=-=Φ-=-Φ=-<-=<ξξP P29. ξi ~N (0,1)(i =1,2,3), 并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立, ∑==3131i i ξξ,∑=-=312)(i i ξξη, 求),cov(,),,cov(1ηξηξξE解: 此题要用到, 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布. 因此, 因为3131,031=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=i i D D E ξξξ, 则)31,0(~N ξ313131)()cov(2131111==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ξξξξξξξE E E i i32313121)cov(2)2()(22222=+⨯-=+-=+-=-ξξξξξξξξξξE E E E i i i i i因此2323)()(312312=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i E E E ξξξξη ξξ-i 也服从正态分布, 且有03131)]([),cov(2=-=-=-=-ξξξξξξξξξE E E i i i即ξ与ξξ-i 不相关, 而因为它们服从正态分布, 因此也就是ξ与ξξ-i 相互独立,则ξ与2)(ξξ-i 也相互独立, 则ξ与η中的加和中的每一项相互独立, 当然也与η相互独立, 因此有0),cov(=ηξ, 因为相互独立的随机变量一定不相关.30. (ξ,η)有联合概率密度22)(21,2122ηξζπ+=+-y x e , 求ζ的概率密度.解: 由联合概率密度看出, ξ与η相互独立服从标准正态分布, 则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布, 即ξ2~χ2(1), η2~χ2(1), 因此ζ=ξ2+η2~χ2(2), 即它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-00212x x exζϕ即ζ服从λ=1/2的指数分布.。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
概率论第二章习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下:5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4. 不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.010)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为12. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x e x F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:得的边缘分布如下表所示:当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P p23. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下即η的边缘分布率如下表所示24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:26. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？: , 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06η的分布.解: 因周长=2πR , 面积=πR , 因此当半径R 取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12,32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: 则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律 解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 35. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P{ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示36. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ～⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xxee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。
概率论复习知识点总结
C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0
(a b) 2
(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]
xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk
g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
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概率论计算：1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)452897108)1|2()1()21(=⨯==A A P A P A A P(2)45191102)1|2()1()2,1(=⨯==A A P A P A A P(3)45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(=⨯⨯⨯=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)519110292108)1|2()1()1|2()1()2(=⨯⨯⨯=+=A A P A P A A P A P A P2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。
（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。
（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。
（1）由全概率公式0125.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()2()1|()1()(=⨯+⨯+⨯=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()1|()1()|1(=⨯==A PB A P B P A B P3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。
解：由等可能概型有： （1）12131025==C C P ; （2）20131024==C C P4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。
解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型53361224==C C C P5．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00,3)(x x x ke x f 。
（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）解：（1）由1)(=∞-+∞⎰dx x f 有333303301==-+∞=-+∞-⎰⎰k k xd xe k dx x ke 所以（2）7408.0331.0)1.0(=-+∞=>⎰dx xe x P6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）0729.039.021.025)2(===C X P （2）9995.051.0559.041.045[1)]5()4([1)3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P（3）40951.059.001.0051)0(1)1(=-==-=≥C X P X P7．设随机变量X 的概率密度为,,0,40,8)(⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它x x x f求)31(≤<x P 解：2183)31(==≤<⎰dxx x P8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。
求一螺栓为不合格品的概率。
解：由题意，所以为0456.0)]2(1[2)]06.012.0()06.012.0([1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P9．设X~N （3，22）求：（1）)3(),2|(|),104(),52(>>≤<-≤<x P x P x P x P （2） 解：（1）5328.0)5.0()1()232()235()52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<x P 9996.0)5.3()5.3()234()2310()104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P6977.0)]232()232([1)22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P5.0)0(1)3(=Φ-=>X P（2）由P>c=P(x ≤c)，即3,02321)23()23()23(1==-=-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以求Y=X 的分布律。
解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=51， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30715161=+， P （Y=4）=P （X=-2）=51， P （Y=9）=P （X=3）=3011故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=其它,00,0,)2(2)(y x y x ex f （1）求分布函数F （x ，y ）；（2）求概率P （Y ≤X ） 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>>----=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=∞-∞-=⎰⎰⎰⎰其它其它,00,0),1)(21(,00,0)2(200),(),(y x y e x e y x dx y x ex dy ydxdy y x f yx y x F （2）31])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤⎰⎰⎰⎰dy dx y x e y dxdy y x f X Y P求X 及Y 的边缘分布律。
13．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,6),(x y x f ，边缘概率密度)(),(y y f x x f 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∞-+∞=⎰⎰其它其它,010),2(6,010,62),()(x x x x dy x x dyy x f x x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∞-+∞=⎰⎰其它其它,010),(6,010,6),()(y y y y dx y y dx y x f y y f14．设（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求P （X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(x x f 解：（1）81,18,8)6(2402),(===--=∞-+∞∞-+∞⎰⎰⎰⎰k k k dy y x k dx dxdyy x f 得由（2）83)6(812301)3,1(=--=<<⎰⎰dy y x dx Y X P（3）⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<--=∞-+∞=⎰⎰其它其它,01026,010,)6(8124),()(x x x dy y x dy y x f x x F求23(),2(),(+X E X E X E 解：2.03.023.004.02)(-=⨯+⨯+⨯-=X E8.23.0223.0204.02)2()2(=⨯+⨯+⨯-=X E 4.135)2(3)523(=+=+X E X E16．设X —b(n,p),求E(X),D(X))1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1),...,2,1(,0,1,...21:p np n X D X D X D X D npn X E X E X E X E n X X X n i i i X n X X X X -=+++==+++==⎪⎩⎪⎨⎧=+++=于是相互独立且反之次发生第其中设解17．设随机变量X 在(a,b)上服从均匀分布，求E （X ），D （X ）。
解：X 的概率密度为122)(42)(3222)]([)2()(232212)(2)2(221)()(,0,1)(a b b a b ab a x E X E X D bb ab a dx a b x dxx f x X E b a b dxa b x dx x xf X E b x a ab x f -=+-++=-=+=-=∞+∞-=-=-∞+∞-==⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰⎰⎰⎰其它18．设随机变量X 服从分布，其概率密度为22222)]([)2()(02212)2(01)(:).(),(,0,0,00,1)(θθθθθθθθθθθθ=-=-=∞+=-==∞+-=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=⎰⎰X E X E X D dx x e X X E dx xe X X E X D X E x x x e xf 解求常数是其中19．已知X —N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。
22222)]([)2()(2222)(21)(2)(212)2(2)(21)(2)(21)(:222222σμμσμσμσπσμσμπσμμσπσμσμπσ=-+=-=+=∞+∞--+==-=∞+∞--===∞+∞--+=-=∞+∞--=⎰⎰⎰⎰X E X E X D dt t e t t x dxx e xX E dt t e t t x dxx e xX E 设设为解20．在总体N （52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
8293.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263.6528.50)8.538.50(:=-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-<-<-=<<X P X P 解21．已知X —t(n)，求证X 2—F(1，n)),1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:n F x F nV U VV U x V U n x V N U nV U X n t X -===-分布定义即知由于是相互独立与且其中必有由证明22．设n X X X ,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。
∑∑∏∑∑∏====+=-==-==-===-+=+-==+-=>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=ni i X n n i i x n d L d n X X X nni x L ni c n i X nn i i x c n nd L d n X X X n c n ni i x c L x x x f c c x cx x c x f 12)ln (2ˆ,01ln 212)(ln 1)....21(211)()2(1ln ln ˆ,10ln ln )(ln )1()...21(1)1()()1(:,0,,010,1)()2(,0,0,,0,)1()()1(θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解得似然方程为似然函数为解得似然方程为似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数为已知其中23．设总体为随机变量X ，且E （X ）=a （常数，未知），试说明样本平均值X 是a 的无偏估计量。