8.流体力学-边界层理论基础和绕流运动-wyj
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流体力学第八章(20160228)
2
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0
AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x
0
x
u dy dx
0 2 x
d u0 dx
0
d u xdy dx
0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出
dp 0 dx
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0
AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x
0
x
u dy dx
0 2 x
d u0 dx
0
d u xdy dx
0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出
dp 0 dx
第8章 边界层理论基础及绕流运动
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA
流体力学边界层理论
于是
τ 0 = 0.332
μρU 2 x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与ｘ坐标的平方根成反比的规
律随着ｘ的增加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦
阻力是：
∫ ∫ Rf =
Lτ
0
0bdx
=b
L
0.332
0
μρU 3 dx = 0.664 x
μρ LU 3
总摩擦阻力系数 C f 由下式确定：
2
则：
vx
(
x,
y)
=
U
⋅
1 2
ϕ ′(η )
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，
求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s,
x=3m, y=0.005m,
代入η中得：
η = 1 × 5×10−3 × 2
6.95 0.15 ×10−4
（11-14）式应采取如下形式：
ϕ(x, y) = xϕ( y ) x
（11-16）
返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即 ：
ϕ = ν U x ϕ (η )
η=1y U 2 νx
（11-18）
通过以上分析，来求解下列形式的ψ。
⎡y⎤
ϕ=
νUL
x
⎢ ⎢
L⎢
⎢ ⎣
νL ⎥
U ⎥=
x⎥
L
⎥ ⎦
⎡ νUxϕ ⎢ y
Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。
现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。
选特征量：
Ｌ：ｘ的比例尺
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
8 第八章 边界层与绕流阻力解析
应用量级比较法
流 体 力 学 与 流 体 机 械
Fluid Mechanics and Machinery
第二节 边界层微分方程
~ L, ~ 1 ~ , dy ~ ~ , x ~ 1, u x ~ U
ux ~ 1, x u y ~ 1, u y ux 1 2 ux 2ux 1 ~ , ~ 1, ~ 2, ~1 2 2 y y x y u y ~ 1, u y x ~ , 2u y x
u x u x 1 p 2 u x 2 u x uy ( 2 2 ) u x y x x y x 2 2 u y 1 p u y u y u y uy ( 2 2 ) u x y y x y x u x u y x y 0
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
U 2 U U u dy
2 0
2
0
u U
u 1 U
u dy 0 U
u 1 U
dy
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第二节 边界层微分方程 对不可压缩、二维、恒定流绕流流动，忽略质量力， 则其N-S方程式为：
流体力学第八章 绕流运动
2 2
由此得 24 Cd Re
（8-70）
二、悬浮速度 设在上升的气流中，小球的密度为 m，大于气体的密 度 , 即 m 。小球受力情况如下。 方向向上的力有： u 0 2 1 2 2 F C A C d u 绕流阻力 d d 0 1 3 D 2 8 FB d g 浮力 6 方向向下的力有： 1 重力 G d 3 m g
绕流物体的摩擦阻力作用，主要表现在附面层 内流速的降低，引起动量的变化。
附面层的动量方程为 d d dp 2 u x dy U u x dy 0 dx 0 dx 0 dx
、 p、 u x、 U 和 0。 附面层动量方程有五个未知数： dp 其中U可以用理想流体的势流理论求得， 可
u y
为平面无旋流动。
u x x y
平面无旋流动的速度势函数为 d u x dx u y dy 并满足拉普拉斯方程：
2 2 2 0 2 x y
义一个函数 , 令u x ,uy y x 满足上式的函数称为流函数。
由不可压缩流体平面流动的连续性方程可以定
第八章 绕流运动
第一节 无旋流动 第二节 平面无旋流动 第三节 几种简单的平面无旋运动 第四节 势流叠加 第五节 绕流运动与附面层基本概念 第六节 附面层动量方程 第七节 平板上层流附面层的近似计算 第八节 平板上紊流附面层的近似计算 第九节 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 第十节 绕流阻力和升力
因此，无旋流动的前提条件是
u z u y y z u x u z z x u y u x x y 由不可压缩流体的连续性方程 u x u y u z 0 x y z 得出拉普拉斯方程 2 2 2 2 2 0 2 x z y
由此得 24 Cd Re
（8-70）
二、悬浮速度 设在上升的气流中，小球的密度为 m，大于气体的密 度 , 即 m 。小球受力情况如下。 方向向上的力有： u 0 2 1 2 2 F C A C d u 绕流阻力 d d 0 1 3 D 2 8 FB d g 浮力 6 方向向下的力有： 1 重力 G d 3 m g
绕流物体的摩擦阻力作用，主要表现在附面层 内流速的降低，引起动量的变化。
附面层的动量方程为 d d dp 2 u x dy U u x dy 0 dx 0 dx 0 dx
、 p、 u x、 U 和 0。 附面层动量方程有五个未知数： dp 其中U可以用理想流体的势流理论求得， 可
u y
为平面无旋流动。
u x x y
平面无旋流动的速度势函数为 d u x dx u y dy 并满足拉普拉斯方程：
2 2 2 0 2 x y
义一个函数 , 令u x ,uy y x 满足上式的函数称为流函数。
由不可压缩流体平面流动的连续性方程可以定
第八章 绕流运动
第一节 无旋流动 第二节 平面无旋流动 第三节 几种简单的平面无旋运动 第四节 势流叠加 第五节 绕流运动与附面层基本概念 第六节 附面层动量方程 第七节 平板上层流附面层的近似计算 第八节 平板上紊流附面层的近似计算 第九节 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 第十节 绕流阻力和升力
因此，无旋流动的前提条件是
u z u y y z u x u z z x u y u x x y 由不可压缩流体的连续性方程 u x u y u z 0 x y z 得出拉普拉斯方程 2 2 2 2 2 0 2 x z y
《流体力学》第八章绕流运动
函数实际上就是表示流场中的不同的等势线簇。
H
11
流函数与势函数间关系为：
ux x y
uy
y
x
两者交叉相乘得： 0
y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和
ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等势
线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时，就
可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互正交
有尖锐边缘的物体（迎流方向的圆盘），附面层分离点位置固定，旋涡区大小不 变，阻力系数基本不变。
机翼绕流阻力H1、2、3、4
28
悬浮速度：
固体对流体的阻力，也就是流体对固体的 推动力，正是这个数值上等于阻力的推动 力，控制着固体或液体微粒在流体中的运 动。
悬浮速度即颗粒所受到的绕流阻力、浮力 和重力平衡时的流体速度。此时，颗粒处 于悬浮状态。
附面层的厚度如何变化？
H
18
u
u
u 紊流边界层
层流边界层
xx l
δ δ
层流底层
H
19
附面层由层流变为紊流的条件：临界雷诺数。 如速度取来流速度u0，长度取平板前端至流态转换点的距离xk，则临界雷诺数为
（3.5-5.0）*105 如长度取流态转换点的附面层厚度，则相应的临界雷诺数为3000-3500。 流场的计算：势流区和附面层。 “压力穿越边界层不变”的边界层特性。 确定附面层外边界上的流速和压强分布是附面层和外部势流区流动的主要衔接条件。
x M'
u P 0
x
S' S
M
S
➢MM断面以前：减压增速区。
➢MM断面以后：增压减速区。
➢压强沿程的变化规律，适用于附面层外边界，也
流体力学第8章
u x x y 由 u y y x
y y x x
可以看出平面势流的流函数和势函数互为共轭函数。 在数学上表明：流函数和势函数是相互垂直的。 也就是说等势线与流线垂直。
即 0 y y x x
性质(3)的证明 dn为等势线间的网格长；dm为流线间的网格长。 证明dn/dm＝定值
dx dn cos dy dn sin u x u cos u y u sin
d ux dx uy dy udn(sin2 cos 2 ) udn
同理：dm的投影得：
3
(1) 流线与等势线正交 (2) 相邻两流线流函数数值之差是此两流线间的 单宽流量.(单位宽度的体积流量) (3) 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。
ux x y
2
1
13
§8－2 平面无旋流动
性质(2)的证明 取ab为流线 ψ1 与 ψ1+Δψ 之间的 过流断面，将ab分解为dx,dy，单 位宽度，则 ab 断面的流量分解为 dx,dy两个面上的流量和（由a到b， 末态减初态，dx为负）。
y (
无旋流动在数学上有个重要的特性，就是存在势函数，无旋→有势。
根据全微分的理论：如果上面这三个式子成立 ,那么在空间某位置上存在位置函数 φ（x,y,z）（标量函数）。即上面三式是存在位置函数的充分必要条件。
这个位置函数φ的全微分形式可写成：
d ( x, y, z ) ux dx u y dy uz dz
函数φ称为速度势函数。存在速度势函数的流动称为有势流动（或势流）， 所以无旋流动就是有势流动。
无旋必有势；有势必无旋。
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流体力学
• 第八章 边界层理论基础和绕流运动
武汉工程大学资源与土木工程学院 王亚军
第八章 边界层理论基础和绕流运动
• §8-1边界层的基本概念 • §8-2边界层微分方程——普朗特边界层方程 • §8-3边界层的动量积分方程 • §8-4平板上的层流边界层 • §8-5平板上的湍流边界层 • §8-6边界层的分离现象和卡门涡街 • §8-7绕流运动
9
y 过渡段忽略
Uo
湍流
层流
δc
x
xc
2020/6/17
10
2、管流的边界层 ——边界层的概念对管流同样有效。
（1）管流的发展：边界层厚度等于半径 r0 后，
形成充分发展的管流。
（2）入口段长度Le： 经试验分析，对光滑圆管，
层流： Le=0.058Red 湍流： Le=（25～50）d
2020/6/17
此处边界层 可作为流场中 两个区间（边界层 与势流区）的
分界。 6
y
Uo
Uo
U0
边界层外边界
粘性底层
x
层流边界层 过渡段
xc
湍流边界层
（2）边界层厚度随流程增加，其函数表达式为：
δ＝δ（x）
2020/6/17
7
（3）边界层内两种流动型态
1>层流——位于边界层前部的一部分，此部分厚度小、 速度梯度大，主要由粘滞力控制流动。
8-1 ～ 8-16
16
That’s all ! Good Luck!
1、绕流阻力 （1）概念： ——流体绕经物体时，物体受到绕物体的流体所给 予的阻力，称为绕流阻力。 （2）分类：
绕流阻力可分为摩擦阻力和形状阻力两大部分。
即： 绕流阻力＝摩擦阻力＋形状阻力
2020ห้องสมุดไป่ตู้6/17
3
1>摩擦阻力： ——由流体的粘性引起的，在物 体表面上产生的切向力。
摩擦阻力主要发生在紧靠物体表面的一个 速度梯度很大的流体薄层内，此薄层即边界层。
<
0
13
2、压差阻力 由物体迎、背面所产生的压强差，造成
的作用在物体上的压差阻力。
湍流时，摩擦阻力比压差阻力小得多，故 减小压差阻力，即可减小绕流阻力。
2020/6/17
14
3、卡门涡街
可由漩涡仪观测之。
4、绕流阻力计算：
D
CD
U
2 0
2
A
图8—10 8—11。
2020/6/17
会用 15
作业 P317～318习题
2>形状阻力： ——边界层发生分离，形成旋涡产 生的阻力，又称压差阻力。
2020/6/17
4
形状阻力主要是指流体绕物体运动时，边界层 发生分离，从而产生漩涡所造成的阻力，因此种阻 力与物体形状有关，故称形状阻力。
2、解决实际流体流动（特别是绕流运动），
可将流动分为两个区间，
边界层理论 1>紧靠固体边壁，粘性起主要作用的区间。
即：
2>不受固体边壁影响，粘性不起作用势的流区理间论。
2020/6/17
5
一、边界层概念 1904年，普朗特提出把受粘滞性影响的液层称为边界层。
1、平板边界层 平板边界层厚度一般只有平板长度的几百分之一。
（1）边界层厚度δ 定义
由壁面沿法线方向到速度
u=0.99u0 处的距离，
即边界层厚度。 2020/6/17
图示见 图8—2 11
二、曲面边界层分离及绕流阻力计算
概念：
边界层与固体壁面分离称为边界层分离 （或脱离）现象。
产生原因： 减速增压与物面阻滞作用的综合结果。
2020/6/17
12
1、曲面边界层分离
以绕圆柱 流动为例 进行简单 的分析。
p 0 x
¶u ¶x
>
0
2020/6/17
¶p ¶x
>
0
¶u ¶x
2>湍流——当边界层厚度增加，速度梯度逐渐减小时， 粘滞力对流动的影响逐渐减弱，层流流动 转变为湍流流动。
2020/6/17
8
（4）两种流态的判别
临界雷诺数
Rexcr
U (
0
x
)cr 3 105
~ 3 106
Re
U0c
2700 ~ 8500
2020/6/17
xc——层流区长度。 δc——层流区厚度。
• 第八章 边界层理论基础和绕流运动
武汉工程大学资源与土木工程学院 王亚军
第八章 边界层理论基础和绕流运动
• §8-1边界层的基本概念 • §8-2边界层微分方程——普朗特边界层方程 • §8-3边界层的动量积分方程 • §8-4平板上的层流边界层 • §8-5平板上的湍流边界层 • §8-6边界层的分离现象和卡门涡街 • §8-7绕流运动
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y 过渡段忽略
Uo
湍流
层流
δc
x
xc
2020/6/17
10
2、管流的边界层 ——边界层的概念对管流同样有效。
（1）管流的发展：边界层厚度等于半径 r0 后，
形成充分发展的管流。
（2）入口段长度Le： 经试验分析，对光滑圆管，
层流： Le=0.058Red 湍流： Le=（25～50）d
2020/6/17
此处边界层 可作为流场中 两个区间（边界层 与势流区）的
分界。 6
y
Uo
Uo
U0
边界层外边界
粘性底层
x
层流边界层 过渡段
xc
湍流边界层
（2）边界层厚度随流程增加，其函数表达式为：
δ＝δ（x）
2020/6/17
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（3）边界层内两种流动型态
1>层流——位于边界层前部的一部分，此部分厚度小、 速度梯度大，主要由粘滞力控制流动。
8-1 ～ 8-16
16
That’s all ! Good Luck!
1、绕流阻力 （1）概念： ——流体绕经物体时，物体受到绕物体的流体所给 予的阻力，称为绕流阻力。 （2）分类：
绕流阻力可分为摩擦阻力和形状阻力两大部分。
即： 绕流阻力＝摩擦阻力＋形状阻力
2020ห้องสมุดไป่ตู้6/17
3
1>摩擦阻力： ——由流体的粘性引起的，在物 体表面上产生的切向力。
摩擦阻力主要发生在紧靠物体表面的一个 速度梯度很大的流体薄层内，此薄层即边界层。
<
0
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2、压差阻力 由物体迎、背面所产生的压强差，造成
的作用在物体上的压差阻力。
湍流时，摩擦阻力比压差阻力小得多，故 减小压差阻力，即可减小绕流阻力。
2020/6/17
14
3、卡门涡街
可由漩涡仪观测之。
4、绕流阻力计算：
D
CD
U
2 0
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A
图8—10 8—11。
2020/6/17
会用 15
作业 P317～318习题
2>形状阻力： ——边界层发生分离，形成旋涡产 生的阻力，又称压差阻力。
2020/6/17
4
形状阻力主要是指流体绕物体运动时，边界层 发生分离，从而产生漩涡所造成的阻力，因此种阻 力与物体形状有关，故称形状阻力。
2、解决实际流体流动（特别是绕流运动），
可将流动分为两个区间，
边界层理论 1>紧靠固体边壁，粘性起主要作用的区间。
即：
2>不受固体边壁影响，粘性不起作用势的流区理间论。
2020/6/17
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一、边界层概念 1904年，普朗特提出把受粘滞性影响的液层称为边界层。
1、平板边界层 平板边界层厚度一般只有平板长度的几百分之一。
（1）边界层厚度δ 定义
由壁面沿法线方向到速度
u=0.99u0 处的距离，
即边界层厚度。 2020/6/17
图示见 图8—2 11
二、曲面边界层分离及绕流阻力计算
概念：
边界层与固体壁面分离称为边界层分离 （或脱离）现象。
产生原因： 减速增压与物面阻滞作用的综合结果。
2020/6/17
12
1、曲面边界层分离
以绕圆柱 流动为例 进行简单 的分析。
p 0 x
¶u ¶x
>
0
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¶p ¶x
>
0
¶u ¶x
2>湍流——当边界层厚度增加，速度梯度逐渐减小时， 粘滞力对流动的影响逐渐减弱，层流流动 转变为湍流流动。
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（4）两种流态的判别
临界雷诺数
Rexcr
U (
0
x
)cr 3 105
~ 3 106
Re
U0c
2700 ~ 8500
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xc——层流区长度。 δc——层流区厚度。