第七节:二次型的正定性

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第七节 正定二次型和正定矩阵

第七节 正定二次型和正定矩阵
(2) 二次型 XT AX 若正定,经过可逆线性变换 X CY , 化为Y T (CT AC )Y ,其正定性保持不变。
这是因为 C 是可逆矩阵,只要Y 0 ,就有X 0 ,
于是 XT AX 0 ,即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性,若Y T (CT AC )Y 正定,也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的;下面用反证法证必要性:
假设某个dk 0 ,取 yk 1 ,其余 yj 0 ( j k) ,
代入二次型,得 f (0,,1,,0) dk 0 ,
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的, 即二次型 f 正定。
9
例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时,该二次型为正定二次型?
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 (2)f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习:
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块

阵C
A 0
0 B



二次型的正定性

二次型的正定性

05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具,它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ,以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性,它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一:顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法,当二次型的顺序主子式均 为正时,二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型,可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换,将其化为上三角 矩阵,然后查看其主子式是否均为正,若均为正,则该二次型为正定。
判定方法二:特征值法
应用三:二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中,数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时,如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大,那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性,可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说,如果二次型是正定的,那么该数值计 算过程就是稳定的;如果二次型是非正定的,那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型,其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的,因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型,其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度,它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言,其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系,这种关系可以通过数学公式进行描述。

线性代数教学课件:二次型的正定型

线性代数教学课件:二次型的正定型
三、正定二次型
定义10 (正定二次型与正定矩阵)
线
设f (x) f (x1, , xn ) xT Ax是一个n元二次型 ( A为n阶实对称矩阵),如果x (x1, xn )T Rn , 性
且x 0(即x1, , xn不全为零), 恒有f (x) xT Ax 0 代 则称二次型f 为正定二次型,并称实对称矩阵A为
是其矩阵 A的所有特征值都大于零(或都小于零).
证 必要性 设f xT Ax正定,则对任意x 0,
线
f (x) xT Ax 0,设为A的任一特征值,且为对
应的特征向量,则 : 0,且A ,由A正定,有

0 T A T T 2

因 2 0,得 0,由的任意性,知正定矩阵A的

于是 f n ( y12 yn2 ) n yT y

由于 xT x ( py)T ( py) yT ( pT p) y yT Iy yT y,
故当 xT x x 2 1时,有yT y 1,

故 f n
又由An nn ,1 n nTn , 得
f (n ) nT An
T n

则 X TAX = aii ≤ 0,

矛盾.
所以 aii > 0, (i = 1, …, n).
=
=
命题2(瑞利原理) 设n阶实对称矩阵A的最小特征值
与最大特征值分别为1, n , 对应的单位特征向量分别 线
为1,n ,则

min
xRn
xT
Ax
1
xT
Ax
x
1
(1)
x 1

max
xRn
xT Ax

二次型的正定性

二次型的正定性

二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A,如果对于所有的非零向量x,都有`x^T*A*x>0`,则称A为正定矩阵;如果对于所 有的非零向量x,都有`x^T*A*x>=0`,则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零;正定矩阵的特征值都是正数;正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中,应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积,可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ,可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质,包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式,每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的, 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质,包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中,二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性,如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中,二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质,如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中,二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系,如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质,反映了矩阵对基础 向量的作用效果。

北京工业大学线性代数第六章第七节 正定二次型第八节正交替换化标准形

北京工业大学线性代数第六章第七节  正定二次型第八节正交替换化标准形
18
证:方法一
( AT A)T AT A,
AT A是实对称阵,
任意X O, A可逆, AX O ,
f ( X ) X ( A A) X ( AX ) ( AX ) AX
T T T
2
0,
∴ f 是正定二次型,
AT A是正定矩阵.
19
方法二
( AT A)T AT A,
2 1
2
2( x1 x2 x3 ) 3 x 3 x 4 x2 x3
2 2 2 2 3
14
4 4 2 4 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x x2 x3 x3 ) x3 3 x3 3 9 3 2 5 2 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3
2 1 2 2 2 3
是正定二次型.
2 2 f ( x , x , x ) x 2 x ② 1 2 3 1 2
不是正定二次型.
X (0,0, 3) 0, f (0,0, 3) 0 ≯0
2 2 2 f ( x , x , x ) x 2 x x ③ 1 2 3 1 2 3
∴ 二次型f 是正定二次型.
17
1 2 0 2 2 1 , 是否正定? 例2 判断矩阵 A 0 1 3
(P205---例6.7.3)
解:
2 1 2 2 0, 2 2
∴A 不是正定矩阵. 例3 试证:实数域上任一n 阶可逆矩阵A ,
都有ATA是正定矩阵.
第七节 正定二次型
一.正定二次型 二.正定二次型的判别法 三.正定矩阵在求多元函数极值中的应用
1
我们知道一元二次函数f(x)=x2 在x=0处

二次型正定的充分必要条件与证明

二次型正定的充分必要条件与证明

二次型正定的充分必要条件与证明二次型是线性代数中重要的概念之一,它在优化问题、矩阵理论、统计学等领域有着广泛的应用。

而对于二次型而言,其正定性是一个非常重要的性质。

本文将从充分必要条件的角度出发,对二次型正定性进行深入探讨和证明。

一、二次型的定义我们来回顾一下二次型的定义。

对于n元二次型,其定义为:Q(x) = x^T · A · x其中,x = (x1, x2, ..., xn)是n维列向量,A是一个对称矩阵。

二、正定性的定义接下来,我们来定义二次型的正定性。

对于一个n元二次型Q(x),如果对于任意的非零向量x,都有Q(x) > 0,那么我们称Q(x)是正定的。

换句话说,二次型正定意味着它的取值都大于零。

三、充分必要条件的证明1. 充分条件的证明假设二次型Q(x)正定,我们来证明它的充分条件。

我们将对称矩阵A进行特征值分解,得到A = PDP^T,其中P是正交矩阵,D是对角矩阵,对角线上的元素是A的特征值。

然后,我们令y = Px,其中y是一个n维列向量。

将x代入二次型Q(x),得到Q(x) = x^T · A · x = x^T · PDP^T · x = y^T · D · y = ∑(λi · yi^2)其中,λi是A的特征值,yi是y的第i个分量。

由于Q(x)是正定的,所以对于任意的非零向量x,都有Q(x) = ∑(λi · yi^2) > 0。

而∑(λi · yi^2) > 0的充分必要条件是所有的λi都大于零,即特征值全部大于零。

因此,我们可以得出结论:对于一个二次型Q(x)而言,如果A的所有特征值都大于零,那么Q(x)是正定的。

2. 必要条件的证明接下来,我们来证明二次型正定的必要条件。

假设二次型Q(x)是正定的,我们来证明它的必要条件。

由于A是一个对称矩阵,根据谱定理,我们可以得到A可以被对角化,即存在正交矩阵P和对角矩阵D,使得A = PDP^T。

二次型与正定性

二次型与正定性

二次型与正定性二次型是高等数学中的一个重要概念,正定性则是与二次型紧密相关的性质。

本文将介绍二次型及其性质,深入探讨正定性的定义、判别方法以及与正定矩阵的关系。

一、二次型的定义二次型是指形如\[Q(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j\]的函数,其中\(a_{ij}\)为实数或复数,称为二次型的系数。

\(x_1,x_2,\dots,x_n\)为实数或复数,称为二次型的变量。

二次型可以用矩阵的语言来表示,即\[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\]其中\(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n\end{bmatrix}\)为列向量,\(A\)为二次型的系数矩阵,其元素为\(a_{ij}\)。

二、正定性的定义对于任意非零向量 \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n \end{bmatrix}\),如果对应的二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 满足条件:1. 当 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 时, \(Q(\mathbf{x}) > 0\);2. 当且仅当 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 时, \(Q(\mathbf{x}) = 0\)。

则称二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 是正定的。

三、正定性的判别方法判断一个二次型是否正定存在多种方法,下面介绍两种常见的方法:特征值判别法和合同变换法。

1. 特征值判别法设 \(A\) 为二次型的系数矩阵,将 \(A\) 进行对角化得到对角矩阵\(D\),同时得到可逆矩阵 \(P\),使得 \(A = PDP^{-1}\)。

正定二次型

正定二次型

从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零, 式全大于零,
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的,那么二次 为正定的,
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的, 因实二次型 f = X T AX为正定的,所以对
任意的 X ≠ 0,均有 X T AX > 0, i 于是, 于是,取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ,
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理(惯性定理) 定理(惯性定理) 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .
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f = X ′AX 正定 ⇒ X ≠ 0
Y ≠0 , X ≠0 时
f = X ′AX = Y ′BY > 0
Y ′BY正定。 正定。
反之, 反之,如
正定 f = Y ′BY

⇒Y ≠ 0
时, f > 0故当 从而 即
f =
X ≠0 , Y ≠0 时
= Y ′B Y > 0
X ′A X
X ′A X 正定即 f = X ′A X
(p )
T −1
p App
T
T
= (p
−1
) Ip
T
−1
= (p
−1
) p
T
−1
令B=p-1得:A=BTB 充分性: 充分性:因A=BTB,相应二次型为: ,相应二次型为:
f (X ) = X
T
AX = X
T
B T B X = ( B X )T ( B X )
可逆, 因B可逆,故对 ∀X ≠ 0 ⇒ BX ≠ 0, 可逆
例5.7.2
λ
取何值, 取何值,
2 2 f = x12 + 4 x2 + 4 x3 + 2λ x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 是正定的? 是正定的?
1 λ −1 A=λ 4 2 −1 2 4

要使f正定即 正定则必须使 要使 正定即A正定则必须使 正定即
a11 = −5 < 0,
−5 2
2 −6
= 26 > 0, A = −80 < 0
故是负定的。 故是负定的。
2)f的矩阵为 ) 的矩阵为
2 −2 0 A = −2 1 −2 0 −2 0
a11 = 2 > 0,
2 −2
−2 1

= −2 < 0,
既非正定, 故f既非正定,非也负定。 既非正定 非也负定。
.

存在可逆矩阵p使得 存在可逆矩阵 使得 P AP = I
'
是 一个间接的方法, 一个间接的方法,一般还比较 麻 烦。下面我们介绍一个直接利 用 矩阵的顺序主子式判其正定性 的 方法。按自然顺序取A的前 的前k行 方法。按自然顺序取 的前 行k a11 a12 ⋯ a1k 列组成的k阶行列式 列组成的 阶行列式
f = k y + k2 y + ⋯ + kn y
2 1 1 2 2
2 n
正定
⇔ ki > 0
(i = 1, 2,⋯ , n)
。由此得: 由此得:
定理5.10 n个变量的实二次型 定理 个变量的实二次型 正定
⇔ f 的正惯性指数为 的正惯性指数为n
f = X ′AX
(即正项的个数)。又因为实对称矩阵A 即正项的个数)。又因为实对称矩阵 )。又因为实对称矩阵 存在正交矩阵P,使得 使得: 存在正交矩阵 使得:
a11 a12 A1 = a11 > 0, A2 = > 0, a21 a22 ⋯ , An = A > 0

该定理称霍尔威茨定理。证略。 该定理称霍尔威茨定理。证略。
与此对应有:定理 与此对应有:定理5.12 n阶实对称矩阵 负定 ⇔ 阶实对称矩阵A负定 阶实对称矩阵 奇数阶顺序主子式小于0。 奇数阶顺序主子式小于 。 偶数阶顺序主子式大于0。 偶数阶顺序主子式大于 。
判断下列二次型的正定性。 例5.7.2 判断下列二次型的正定性。
2 2 1) f = − 5 x12 − 6 x2 − 4 x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3
2 2 ) f = 2 x 12 + x 2 − 4 x 1 x 2 − 4 x 2 x 3

1)的矩阵为 )
−5 2 2 A = 2 −6 0 , 2 0 −4
正定
⇔ f = Y ′B Y
正定。同理 正定。
f = X ′A X 负定(不定) 负定(不定)
⇔ f = Y ′BY 负定(不定)。 负定(不定)。
总之, 总之,二次型经可逆线性变换后 正定性是不变的。 正定性是不变的。又因标准形的 正定性一目了然, 正定性一目了然,故可利用标准 形的正定性来判断原二次型的正 定性。显然, 定性。显然,对于标准形
λ1 −1 ' P AP = P AP = ∧ = ⋱ λn 其中 λi 为A的特征值。故有 的特征值。 的特征值
推论1 正定 推论 A正定
⇔ A的特征值全正。又因为 的特征值全正。 的特征值全正
⇒ A >0
λ1λ2 ⋯ λn = A
,故又得推论2 A正定 故又得推论 正定

推论3 正定 推论 A正定
存在可逆矩阵p ⇔ 存在可逆矩阵
,使
P AP = I
'
2 f ( x1 , x2 ) = 3 x12 + 2 x1 x2 + 3 x2 例5.7.1 判断二次型
的正定性。 的正定性。 解方法一: 利用定理5.10的推论 , 的推论1, 解方法一: 利用定理 的推论 求 A的特征值。 的特征值。 的特征值
i
f = eiT Aei = aii > 0 代入得: 代入得:

同理可证如A负定 同理可证如 负定 ⇒ aii < 0
实二次型A正定的充分必要条件为 例5.7.4实二次型 正定的充分必要条件为 实二次型 存在可逆矩阵B使得 使得: :存在可逆矩阵 使得:A=BTB 证明:必要性: 正定, 证明:必要性:因A正定,故存在可逆 使 正定 故存在可逆p使 上式左乘( 右乘p 得:pTAp=I上式左乘(pT)-1 ,右乘 -1得: 上式左乘 右乘
Ak = a21 a22 ⋯ a2 k , ⋯ ⋯ k = 1, 2,⋯ , n ak 1 ak 2 ⋯ akk
阶顺序主子式。 称A的k阶顺序主子式。 的 阶顺序主子式
定理5.11n阶实对称矩阵 正定 阶实对称矩阵A正定 定理 阶实对称矩阵

A的各级顺序主子式全大于 。即 的各级顺序主子式全大于0。 的各级顺序主子式全大于
BX = ( a1 , a2 ,⋯ , an )T ≠ 0 设n维向量 维向量

则:
f ( X ) = ( B X )T ( B X ) = a
2 1
+ a
2 2
+ ⋯
+ a
2 n
> 0
,故f正定,即A正定。同理可证:A负定 正定, 正定。 正定 正定 同理可证: 负定
⇒ A = − BT B 注:(1)请同学们将上述关于矩阵
1 λ
λ
4
= 4 − λ2 > 0

A = −4(λ + 2)(λ − 1) > 0
联立解上面两不等式得: 联立解上面两不等式得:− 2 < λ < 1
证明A正定 例5.7.3证明 正定 ⇒ aii > 0 证明 证:A正定 ⇒ ∀X ≠ 0, 二次型 正定
f = X
T
AX > 0
,令
X = ei = (0, 0,⋯ ,1, 0,⋯ , 0)T
二次型的正定性ຫໍສະໝຸດ §5.7 二次型的正定性 一、正负定的定义 二次型的另一个重要问题是分类问题。 二次型的另一个重要问题是分类问题。 对于标准形式的有心二次曲线椭圆
x2 y2 + 2 = 1及双曲线 2 a b
x2 y 2 − 2 =1 2 a b
,前者二次型 对于任意一组x,y不 对于任意一组 不 全为零或对任意的
定义5.8 设n元二次型 f = X ′AX 定义 元二次型 若对任意的x≠0,恒有 若对任意的 ,恒有f>0(或f≥0) 或 则称f为正定 半正定)二次型。 为正定( 则称 为正定(半正定)二次型。这时 为正定矩阵( 称A为正定矩阵(或半正定矩阵)记 为正定矩阵 或半正定矩阵) A>0(或A≥0) 或 若对任意的x≠0,恒有 若对任意的 ,恒有f<0(或f≤0) 或 则称f为负定 半负定)二次型。 为负定( 则称 为负定(半负定)二次型。这时 为负定矩阵( 称A为负定矩阵(或半负定矩阵)记 为负定矩阵 或半负定矩阵) A<0(或A≤0) 或
2 1 2 2 2 1
,其正惯性指数为p=2,故正定 其正惯性指数为 故正定
与被判别正定性类似, 与被判别正定性类似,关于负定性 判别有如下结论: 判别有如下结论: 1)n个变量的实二次型 f = X ′AX 负定 ) 个变量的实二次型
⇔ f
的负惯性指数为n 的负惯性指数为
2)n个变量的实二次型 f = X ′AX 负定 ) 个变量的实二次型 ⇔ f n个特征值皆小于 ; 个特征值皆小于0; 个特征值皆小于 3)n个变量的实二次型 f = X ′AX 负定 ) 个变量的实二次型
A
二。二次型正定性的判别
设二次型
f = X ′A X 经可逆线性变换
X = PY 变成实二次型
Y ′BY 即 ,
f = X ′A X X = PY Y ′( P ′A P )Y = Y ′B Y

故 X = PY ⇔ Y = P −1 X
X ≠ 0⇔Y ≠ 0
由此可得,如果 由此可得, 时, f > 0 故当 从而 ,即
x2 y 2 + 2 2 a b
x X = ≠0 y
,其值恒大于0,我们称其为恒正二次型 其值恒大于 , 或正定二次型。 或正定二次型。而后者对于不全为零的 ,其值既可取正值也可取负值,我们 其值既可取正值也可取负值, 称其为不定二次型。 称其为不定二次型。我们将上述概念 推广到一般情况。 推广到一般情况。
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