不等式与排序不等式PPT课件

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5.4柯西不等式与排序不等式课件(人教A版选修4-5)

m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观察
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时，总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，则10人等候的总时间最少。最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
即可
三排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理）设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列，那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )

人教版选修A4-5数学课件：3-3 排序不等式(共21张PPT)

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X 新知导学 D答疑解惑
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做一做2 已知两组数1,2,3和25,30,45.若c1,c2,c3是25,30,45的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值是 . 解析：c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和 1×25+2×30+3×45=220,最小值则为反序和 1×45+2×30+3×25=180. 答案：220 180
≥
��1 ��2 ��-1 1 2 ��-1 + +…+ ≥ + +…+ . ��1 ��2 ��-1 2 3 ��
首页探究一探究二
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思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)对于给定的两组数,顺序和、反序和与乱序和都是唯一的. (× ) (2)对于任意给定的两组数,反序和不大于顺序和. ( √ ) (3)设a1,a2,a3是1,2,3的一个排序,则a1+2a2+3a3的最大值是14. ( √ ) 1 2 3 4 (4)若a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则 ��1 + ��2 + ��3 + ��4 的最大值是 4. ( × )

第3讲柯西不等式与排序不等式复习课课件人教新课标

__x_21_＋__y_21＋____x_22＋__y_22_≥____x_1_－__x_2_2＋___y_1_－__y_2_2___.
2.一般情势的柯西不等式设 a1 ， a2 ， a3 ， … ， an ， b1 ， b2 ， b3 ， … ，(ban21＋是a22实＋…数＋，a2n)则 _(b_21_＋__b_22＋ __… __＋ __b_2n_)_≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 _______________________________________. 当且仅当 bi ＝ 0(i ＝ 1,2 ， … ， n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立. 3.排序不等式设 a1≤a2≤…≤an ， b1≤b2≤…≤bn 为两组实数， c1 ， c2 ， … ， cn 是 b1 ，
证明不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC).
得aAa＋＋bbB＋＋ccC＜π2.
可得
x＝2209，y＝2390，z＝2490.
1234
解析答案
4.设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c. 证明不妨设a≥b≥c＞0，则1a≤1b≤1c，ab≥ac≥bc， ∵bac＋abc＋acb≥bcc＋aac＋abb＝a＋b＋c， ∴bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
4.数学建模是数学学习中的一种新情势，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系.

不等式的证明、柯西不等式与排序不等式经典课件(最新)

高中数学课件
4．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
高中数学课件
知识要点梳理
高中数学课件
1．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 ① 柯西不等式的代数形式：设 a1 ， a2 ， b1 ， b2 均为实数，则 (a12 ＋ a22)(b12 ＋ b22)≥________(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)．
高中数学课件
[强化训练 2.1] (2019 年海南省海南中学高三联考)(1)若 a＞0，b＞0，求证：(a＋ b)1a＋1b≥4；
(2)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，若 ab＞cd，求证： a＋ b＞ c＋ d.
证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， 1a＋1b≥2 a1b＞0， ∴(a＋b)1a＋1b≥2 ab·2
高中数学课件
【反思·升华】 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧．常见的放缩
方法有：
①
变
换
分
式
的
分
子
和
分
母
，
如
1 k2
<
1 k（k－1）
，
1 k2
>
1 k（k＋1）
，
1 k<
2 k＋
k－1
，
1 k
> k＋2 k＋1.上面不等式中 k∈N*，k>1；②利用函数的单调性；③利用结论：“若 0<a<b，
m>0，则ab<ab＋＋mm”．

排序不等式》ppt课件

(1)设c1 , c2 ,, cn 是数组b1 , b2 ,, bn的任何一个排列 , 则 S a1c1 a2c2 ancn叫做数组(a1 , a2 ,, an ) 和(b1 , b2 ,, bn )的乱序和
( 2)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相反顺序相乘所得的和
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
称为反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相同顺序相乘所得的和称为顺序和
S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
S3 1 5 2 4 3 6 31
S4 1 5 2 6 3 4 29
乱序和
乱序和反序和
S5 1 6 2 4 3 5 29
S6 1 6 2 5 3 4 28
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
知识探究已知：
理论迁移
变式：设 a1 , a2 ,, an 为正数，试证明：
2 2 2 an1 an a12 a2 a1 a2 an a2 a3 an a1
方法总结难点1：寻找公式中的两组数。途径是通过不等式两边的结构特征，分析两边和式因式的特征，从形式上去“凑”。难点2：定序问题。常用的几组序有：若 0 a b c ，则 1 1 1 1 1 2 2 2 1 ab ac bc, a b c , , c b a bc ac ab
新
理论迁移
反序和≤乱序和≤顺序和
引例：已知a,b,c为实数，求证
a b c ab bc ca

柯西不等式与排序不等式章末总结课件

专题探究一柯西不等式的应用
【例 1】设 x＋y＋z＝1，求 w＝2x2＋3y2＋z2 的最小值．【分析】将已知条件变形为： 12 ＝ (x ＋ y ＋ z)2 ＝
1 2·
2x＋
1 3·
3y＋1·z2
就可以应用柯西不等式．
【解】 ∵x＋y＋z＝1，
∴1＝(x＋y＋z)2
三用柯西不等式解决实际应用问题解决实际应用问题，主要在于数学模型的建立和目标函数的求解，只要找好这两点问题便迎刃而解．
【例 5】在半径为 R 的圆中，求周长最大的内接长方形．【分析】首先表示出内接长方形的周长，得出目标函数，再利用柯西不等式求解．
【解】如图，设内接长方形 ABCD 的长为 x，则宽为 4R2－x2.
a＋b＋c
求证：>0，则 lga≥lgb≥lgc，由排序不等式，得 alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc， alga＋blgb＋clgc≥algb＋blgc＋clga. alga＋blgb＋clgc≥algc＋blga＋clgb.
于是长方形 ABCD 的周长为 L＝2x＋ 4R2－x2 ＝21×x＋1× 4R2－x2 ≤2x2＋ 4R2－x2212·(12＋12)12 ＝2 2·2R＝4 2R. 当且仅当1x＝ 4R12－x2，即 x＝ 2R 时，取等号，此时宽为 2R. 所以，周长最大的内接长方形为正方形，其周长为 4 2R.
47<n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<
2 2.
由柯西不等式，有 n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21nn＋1＋n＋2＋…＋2n>n2，于是n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
n2 >n＋1＋n＋2＋…＋2n ＝3n2＋n 1＝3＋2 1n≥3＋2 12＝47.

2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式课件新人教A版选修4_5

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
1.已知 0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ ·
cos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且 y＝sin x 在0，π2为增函数， y＝cos x 在0，π2为减函数， ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)
[例 2] 设 a，b，c 为正数，求证： ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10. [思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出 a，b，c 三个数的大小顺序，且 a，b， c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设 a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．
[证明] ∵a≥b>0，于是1a≤1b，又 c>0，从而b1c≥c1a，同理c1a≥a1b，从而b1c≥c1a≥a1b. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥bb3c53＋cc3a5 3＋aa3b5 3 ＝bc32＋ac23＋ab23∵a2≥b2≥c2，c13≥b13≥a13 ≥cc23＋aa32＋bb23＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c. ∴原不等式成立．

人教版高中数学选修第三讲.柯西不等式与排序不等式ppt课件

x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式）设
x1,
2 1
y
2 1
1
,
x 2,
2 2
，那么 y2 R
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y
2 2
11
2. 已知a b 1, 求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二.一般形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式:
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式：
m ( a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd | m | a | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n |
2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b) ( ) 4 a b

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( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
2
2
2
2
定理3 (二维形式的三角不等 ) 式设x1 , y1 , x2 , y 2 R,
( x1 y1 ) 2 ( x 2 y2 ) 2 ( x n yn ) 2
a b 例1 已知x, y, a, b R , 且 1, 求x y的最小值 . x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
x y ( x) ( ( a 当且仅当 x b )2 b y y b )2 a x ,即 x y a 时取等号. b
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a b c d ac bd ( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 ) 设 , 是两个向量, 则 . 当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是实数, 则 (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时, 等号成立.
证明: (a b )(c d ) a c b d a d b c (ac bd) (ad bc) (ac bd )补充例题:2y)2

a x

2
b y

2
( x y )min ( a
变式引申: 2 2 若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由得 2 x 3 y 1 y

2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
25 1 2 1 2 2 5.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ a b
值是 ______ 11
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
例1 已知a, b为实数 , 证明 (a 4 b4 )(a 2 b2 ) (a 3 b3 )2
1 1 例2 设a , b R , a b 1, 求证 4 a b
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
复习:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
2 2 那么 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 2 2 2 证明 : ( x1 y1 x2 y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 y1 x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 x2 y1 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2( x1 x2 y1 y2 ) x2 y2 2 2 2 x1 2 x1 x2 x2 y1 2 y1 y2 y 2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x2 y2 z2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
一般形式的三角不等式
2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 y1 y2 yn