AP微积分BC公式大全
ap微积分公式
AP微积分（Pre-calculus）公式大全三角函数(trigonometric function)三角函数值图像变换(transfermation)三角函数公式(identity)反三角函数(inverse trigonometric function)正弦定理与余弦定理(law of sine and cosine)三角形面积公式Heron’s formula解析几何(analytic geometry)直线(line)斜率(slope)平行：斜率相等垂直：斜率相乘等于-1两点间的距离公式(distance)点到直线的距离公式中点公式(midpoint)定比分点公式抛物线(parabola)圆锥曲线(conics)圆(circle)椭圆(ellipse)双曲线(hyperbola)抛物线(parabola)图像旋转(rotation)空间解析几何两点距离公式(distance between two points)中点坐标公式(midpoint)平面(plane)球(sphere)向量(vector)运算(operation)投影(projection)空间向量(vector in space)极坐标(polar)常见极坐标方程(polar equation)复数(complex number)运算(operation)直角坐标形式(rectangular form)极坐标形式(polar form)矩阵(matrix)数列(sequence)概率统计(probability and statistics)排列组合(permutation and combination)概率(probability)二项式定理(Binomial theorem)。
AP微积分-AP Calculus 公式大全-217
AP Calculus BC1. Important limits()001111011sin sin lim1, lim 1lim 1lim 10, ()lim lim , x x xt x t m m m m m m n n x x x ax ax bx be t e x m n P x a x a x a x a a m n b x b →→→∞→---→∞→∞==⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭<++++===+++⎧⎪⎪⎨x x sec )'(tan = x csc (cot)'-= x x x tan sec )'(sec = x x x cot csc )'(csc -=(6) 211)'(arcsin xx -=211)'(arccos xx --=211)'(arctan x x +=211)'cot (x x ar +-= 11)'sec (2-=x x x arc 11)'csc (2--=x x x arc2. Rules（1）If f (x )，g (x ) are differential ，a. )()())()((x g x f x g x f '±'='±；b. )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，especially ，)())((x f C x Cf '='（C is a constant ）；c. )0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，especially ，21()()()()g x g x g x ''=-。
(2) Chain Rule )]([x g f y =⇒dxdudu dy dx dy ⋅= (3) Implicit Differentiation ()(()'r t f =3. Applications of Derivative Mean Value Theorem) is differentiable Tangent and normalFirst Derivative Test'f changes from - to +，local min 'f changes from + to -，local maxSecond Derivative Test ''()0f a >，local min ''()0f a <，local max(4) Absolute max/min: compare function value of critical point and endpoints.Steps: 1. find 'f ;2.solve '0f =;3. compare value at critical point and endpoints.1. Indefinite Integral:'()()Definition f x dx f x C =+⎰ Method ()()df x f x C =+⎰2. Methods for Indefinite Integral 不定积分方法 ① Formulas ：dx x C =+⎰（integrand 为1）, kdx kx C =+⎰, 11n nx x dx C n +=++⎰ln x xa a dx C a=+⎰ x xe dx e C =+⎰1sin 2 4x x C ++②()f u du3. Find the antiderivative of ()f u .③ Partial fraction （拆分）ln ||ln ||()()cx d A Bdx dx dx A x a B x b C x a x b x a x b +=+=-+-+----⎰⎰⎰(通分求A,B)④ Integration by partsudv uv vdu =-⎰⎰，（or ''uv dx uv vu dx =-⎰⎰）， Tabular Integration ， （story about ln x , sin x , and xe ）3. Improper Integral 反常积分（两种形式，无穷积分，瑕积分） ① Integral on infinite interval()lim (),()lim (),()()()lim ()lim ().ba ab bbaa c cbcaca b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞→∞-∞→-∞∞∞-∞-∞→-∞→∞===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰② Integrand with infinite discontinuities()lim (),bca ac bbbf x dx f x dx -→=⎰⎰4.5. )'()x β⋅6. ①(,)c a b ∈. ②low upper function er function a⎣⎦L Right functio ef func on n ti )cy dy ⎤⎥⎣⎦③ V olume ：with known cross section()baA x dx ⎰, ()A x is the area of the cross section.Revolution ：2Inner 2Out rad er radiu ius s baR r dx π⎡⎤-⎣⎦⎰，Shell Method ：2baxydx π⎰（旋转轴为y-axis ） or 2baxydy π⎰（旋转轴为x-axis ）④ Length21x x ⎰or 21y y ⎰or 21t t ⎰.1. Separation Variable()()()()dy M x N y dy M x dx dx N y =⇒=⎰⎰ 2. Logistic Equation (1)(),lim ()1kt t dP P K kP P t P t K dt K e-→∞=-⇒==+ ,where is the environmental capacity. 3. Slope Field4. Euler’s Method ： 11n n n n x x x dyy y x dx ++=+∆⎧⎪⎨=+⋅∆⎪⎩n a ++，1n a∞=∑Test for ConvergenceAssume that the following limit exists: 1≥..③ Comparison TestAssume that there exists 0M >such that 0n n a b ≤≤for n M ≥. If1nn b∞=∑ converges, then If1nn a∞=∑ also converges. If1nn a∞=∑ diverges, then1nn b∞=∑ alsodiverges.Limit Comparison Test Let {}n a and {}n b be positive sequences. Assume limnn na Lb →∞=a) If 0L >,then1nn a∞=∑ converges if and only if1nn b∞=∑ converges.b) If L =∞, and1nn a∞=∑ converges, then1nn b∞=∑ converges.c) If 0L =, and1nn b∞=∑ converges, then1nn a∞=∑ converges.3. Four Series① The geometric seriesnar∞converges if ||1r <and diverges otherwise.0, lim n n a a →∞>>>>4. ()(012a a x c a x +-+-()n∞∑is either anonnegative number ( )or infinity( ).If i s finite, converges absolutely whenx c R -< and diverges when x c R ->. If R =∞, ()F x converges absolutely for all x .（ii ）Term-by-term Differentiation and IntegrationPossible convergence at the endpointsAssume that ()0()nn n F x a x c ∞==-∑ has radius of convergence 0R > . Then is differentiable on(, )c R c R -+[or for all x if R =∞]. Furthermore, we can integrate and differentiate term by term.For (, )x c R c R ∈-+,()()110'() () (A any constant)1n n n n n n a F x na x c F x dx x c A n ∞∞-+===-=-++∑∑⎰；These series have the same radius of convergence R .()(!n f a n ++()(0)!n f n ++and x ).Interval of convergence all real numbers初等函数基本知识点小结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．∈N◆2ma n◆3（112（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：注意底数的限制0>a ，且1≠a 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化幂值 真数如果a ○1 ○2 ○3 abln ln（1）1，+∞）． ○2 21、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．三角函数基本知识点小结sin1. 2. 3.sin(α±β(tan a a sin2αa 2tan =Trigonometric Function and Inverse Trigonometric Function。
ap分子微积分bc学
AP分子微积分BC学1. 什么是AP分子微积分BC学？AP分子微积分BC学是一门高级的微积分课程，旨在为学生提供更深入的微积分学习和应用的机会。
它是AP微积分AB学的进阶课程，涵盖了更多的内容和更高的难度。
2. AP分子微积分BC学的课程内容AP分子微积分BC学的课程内容主要包括以下几个方面：2.1 微分学微分学是微积分的基础，它研究函数的变化率和极限概念。
在AP分子微积分BC学中，学生将进一步学习导数的计算和应用，包括高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
此外，还将学习微分中值定理、泰勒展开等重要概念和定理。
2.2 积分学积分学是微积分的另一个重要分支，它研究函数的面积、曲线长度、体积等问题。
在AP分子微积分BC学中，学生将学习不定积分和定积分的计算和应用，包括分部积分、换元积分、定积分的应用等。
此外，还将学习积分学中的重要定理，如牛顿-莱布尼兹公式等。
2.3 微分方程微分方程是微积分的应用领域之一，它研究函数与其导数之间的关系。
在AP分子微积分BC学中，学生将学习一阶和二阶微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、常系数线性方程法等。
此外，还将学习微分方程的应用，如生物学中的人口模型、物理学中的运动模型等。
2.4 级数和序列级数和序列是微积分中的重要概念，它们用于研究无穷和。
在AP分子微积分BC学中，学生将学习级数和序列的收敛性和发散性，以及级数和序列的计算和应用。
此外，还将学习级数和序列的重要定理，如比较判别法、积分判别法等。
2.5 三维空间几何三维空间几何是微积分的应用领域之一，它研究三维空间中的点、直线、平面等几何概念。
在AP分子微积分BC学中，学生将学习三维空间几何的基本概念和计算方法，包括点到直线的距离、平面方程等。
此外，还将学习三维空间几何在微积分中的应用，如曲线长度、曲面面积等。
3. AP分子微积分BC学的考试要求AP分子微积分BC学的考试要求包括两个部分：选择题和解答题。
选择题部分主要考察学生对微积分概念和定理的理解和运用能力，要求学生能够正确计算导数、积分、微分方程等，并能够分析和解释函数的性质和图像。
AP微积分BC 5分指南】AP Calculus BC
AP微积分BC 5分指南】APCalculus BCAP Calculus BCAP 微积分BC学科介绍微积分BC考试比微积分AB考试大约多出30%的考点，一般而言，如果是国内优质高中或者重点高中背景的考生，比较建议一步到位考微积分BC。
如果是国际高中或者美国高中，比较建议顺着学校的安排，一般而言，此类学校是建议考生先考微积分AB再考微积分BC，注意AP考试一年一次。
学科目的帮助学生掌握微积分的知识，培养学生专业的数学学科思维方式，熟悉并养成学科研究范式，在学习过程中体味数学的乐趣，掌握数学思维，顺利的通过AP微积分ab考试.学科内容Limit and Continuity 极限和连续极限的定义和左右极限极限的运算法则和有理函数求极限两个重要的极限极限的应用-求渐近线连续的定义三类不连续点(移点、跳点和无穷点)最值定理、介值定理和零值定理Part2：Derivative 导数导数的定义、几何意义和单侧导数极限、连续和可导的关系导数的求导法则(共21个)复合函数求导高阶导数隐函数求导数和高阶导数反函数求导数参数函数求导数和极坐标求导数Part3. Application of Derivative 导数的应用微分中值定理(D-MVT)几何应用-切线和法线和相对变化率物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性洛比达法则求极限微分和线性估计，四种估计求近似值欧拉法则求近似值Part4. Indefinite Integral 不定积分不定积分和导数的关系不定积分的公式(18个)换元法求不定积分部积分法求不定积分待定系数法求不定积分Definite Integral 定积分Riemann Sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质Accumulation function求导数反常函数求积分Part6：Application of Integral 定积分的应用积分中值定理(I-MVT)定积分求面积、极坐标求面定积分求体积，横截面体积求弧长定积分的物理应用Differential Equation微分方程可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程斜率场Part7: Infinite Series 无穷级数无穷级数的定义和数列的级三个审敛法-比值、积分、比较审敛法四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差Mock exam 模拟考试Past paper review 历年试卷回顾考核形式考试有45到多选题和6到简答题两个部分，每个部分又根据能否使用计算器而分两个Part，不允许跨区答题。
微积分公式
p np
kq p
pq npq
kq p2
q+pet (q+ pet)n
pk (1 − qe t ) k
npi
1 p k n N
npi(1-pi)
q p2 N −n k n N −1 N
=
∫
∞
0
x m −1 dx (1 + x ) m+ n
希腊字母 (Greek Alphabets) 大写 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ 小写
α β γ δ ε ζ η θ
读音 alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta
大写 Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π
小写
ι κ λ μ ν ξ ο π
读音 iota kappa lambda mu nu xi omicron pi
大写 Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
小写
ρ σ, ς sigma tau τ upsilon υ phi φ khi χ psi ψ omega ω
读音 rho
倒数关系: sinθcscθ=1; tanθcotθ=1; cosθsecθ=1 商数关系: tanθ=
机率函数 f(x)
1 n 1 b−a
期望值 E(x)
1 (n+1) 2 1 (a+b) 2
变异数 V(x)
1 2 (n +1) 12 1 (b-a)2 12
动差母函数 m(t)
1 e t (1 − e nt ) n 1 − et
AP微积分考试最全介绍
AP微积分考试最全介绍AP微积分考试最全介绍三立为大家整理了关于AP微积分考试史上最全的介绍，供大家参考，希望对大家有所帮助!一.考试介绍AP微积分是为了致力读美国本科的高中生所设立的考试，在AP 微积分中取得好成绩的学生可以获得大学期间微积分课程的免修课程，而绝大多数理工科以及经济学专业在大学期间都需要修微积分的课，所以AP微积分对绝大多数专业都是非常必要的。
AP微积分分为AB和BC，其中BC的难度要高于AB，现在绝大多数美国的学校更愿意接受AP微积分BC的成绩。
AP微积分分为选择题和简答题，两部分都进一步分为A部分和B 部分。
选择题中，A 部分28题，时间为55分钟，在这部分中，学生不允许使用计算器;B部分17题，时间为50分钟，学生可以使用计算器。
简答题中，A部分两道题，时间为30分钟，学生可以使用计算器;B部分四道题，时间为60分钟，学生不可以使用计算器。
AP微积分总分为108分，但这只是“未经加工的分数(raw score)”，也就是卷面分数，而真正重要的是最后的实际分数。
实际分数分为1-5五个档次，只有5分和4分才有可能被美国高校所接受。
在AP微积分考试中，只要获得65分左右的“未经加工的分数”，就可以获得最高档次的5分，所以说AP微积分考试是一个“性价比”比较高的考试。
二.考试内容1. AP微积分BC考试内容a. 极限和连续b. 导数及其应用(包括参数方程和极坐标)c. 不定积分d. 定积分及其应用(包括极坐标)e. 微分方程解法及应用f. 级数及其应用2. AP微积分AB考试内容在AP微积分BC的内容中，去掉有关分部积分法、级数、Logistic增长、参数方程和极坐标以及物理向量方面的内容，其他内容基本保持一致。
三.备考策略1. 必备教材和材料Barron AP微积分，世界图书出版社。
AP微积分简答题历年真题(College Board官网下载)。
2. 时间规划(1)AP微积分AB建议从3月开始备考，直到5月考试结束。
ap微积分bc课程知识点
ap微积分bc课程知识点AP微积分BC课程知识点AP微积分BC课程是高中数学的一门重要课程，它主要涉及微积分和计算机科学方面的知识，是一门比较难度较大的课程。
本文将从以下几个方面详细介绍AP微积分BC课程的知识点。
一、微积分基础1.导数导数是微积分中最基础的概念之一，它表示函数在某个点上的变化率。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握导数的定义、求导法则、高阶导数等内容。
2.极限极限是微积分中另一个重要概念，它表示函数在某个点上趋近于某个值的过程。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握极限的定义、性质、计算方法等内容。
3.泰勒级数泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，在AP微积分BC课程中也有所涉及。
我们需要掌握泰勒级数的定义、求法、误差估计等内容。
二、微积分应用1.曲线拟合曲线拟合是指用一个函数来逼近离散数据点的过程，在AP微积分BC 课程中也有所涉及。
我们需要掌握曲线拟合的原理、方法、误差估计等内容。
2.微积分基本定理微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一，它将导数和积分联系起来。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握微积分基本定理的两个部分以及它们的应用。
3.微积分应用微积分在各个领域都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握微积分在不同领域中的应用，如求面积、体积、速度、加速度等。
三、计算机科学1.算法设计与复杂度算法设计与复杂度是计算机科学中最重要的概念之一，它涉及到算法正确性和效率问题。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握算法设计与复杂度的基本概念以及常见算法的时间复杂度。
2.数据结构数据结构是计算机科学中另一个重要概念，它涉及到数据在计算机内部存储和处理的方式。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握常见数据结构的定义、实现和应用。
3.离散数学离散数学是计算机科学中的一门基础课程，它涉及到集合论、图论、逻辑等内容。
在AP微积分BC课程中，我们需要掌握离散数学的基本概念以及应用。
ap微积分公式大全
ap微积分公式大全AP微积分是高中阶段最常见的一门数学课程之一，涉及到许多基本的微积分概念和公式。
掌握这些公式对于理解微积分的原理和应用非常重要。
下面是一份AP微积分公式的大全，旨在帮助学生们更好地应对这门课程。
1. 极限：- 无穷限极限：lim(x → ∞) f(x) = L- 无穷小限极限：lim(x → 0) f(x) = L- x → 0 时，lim(x → 0) f(x) = L2. 导数：- 基本导数法则：(d/dx)(c) = 0，(d/dx)(x^n) = n*x^(n-1)，(d/dx)(e^x) = e^x，(d/dx)(sin(x)) = cos(x)，(d/dx)(cos(x)) = -sin(x)- 乘法法则：(d/dx)(f(x)*g(x)) = f"(x)*g(x) + f(x)*g"(x) - 链式法则：(d/dx)(f(g(x))) = f"(g(x))*g"(x)3. 积分：- 基本积分法则：∫(c) dx = cx，∫(x^n) dx =(x^(n+1))/(n+1) + C，∫(e^x) dx = e^x + C，∫(sin(x)) dx = -cos(x) + C，∫(cos(x)) dx = sin(x) + C- 定积分：∫[a, b] f(x) dx4. 微分方程：- 一阶常微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)- 分离变量法：dy/y = P(x)dx5. 泰勒级数：- 泰勒级数展开：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) +(1/2!)f""(a)(x-a)^2 + (1/3!)f"""(a)(x-a)^3 + ...6. 极值和最值：- 极值：f"(x) = 0，f""(x) > 0 (极小值) 或 f""(x) < 0 (极大值)- 最值：在定义域内找到函数的最大值和最小值以上列举的只是AP微积分中的一部分基本公式，对于每个公式的具体应用和推导过程，还需要进一步深入学习和理解。
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Derivatives
Basic Properties/Formulas/Rules d ( cf ( x ) ) = cf ¢ ( x ) , c is any constant. ( f ( x ) ± g ( x ) )¢ = f ¢ ( x ) ± g ¢ ( x ) dx d n d x ) = nx n-1 , n is any number. ( c ) = 0 , c is any constant. ( dx dx æ f ö¢ f ¢ g - f g ¢ – (Quotient Rule) ( f g )¢ = f ¢ g + f g ¢ – (Product Rule) ç ÷ = g2 ègø d f ( g ( x ) ) = f ¢ ( g ( x ) ) g ¢ ( x ) (Chain Rule) dx g¢ ( x) d d g ( x) g x ln g ( x ) ) = e = g¢( x) e ( ) ( dx g ( x) dx
c b c
f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx
a b
ò a c dx = c ( b - a )
f ( x ) dx ³ ò g ( x ) dx
a b
b
If f ( x ) ³ 0 on a £ x £ b then
ò a f ( x ) dx ³ 0 òa
d ( tan x ) = sec2 x dx d ( cot x ) = - csc2 x dx d 1 tan -1 x ) = ( dx 1 + x2 d 1 cot -1 x ) = ( dx 1 + x2
Exponential/Logarithm Functions d x d x a ) = a x ln ( a ) e ) = ex ( ( dx dx d 1 d 1 ln ( x ) ) = , x > 0 ln x ) = , x ¹ 0 ( ( dx x dx x Hyperbolic Trig Functions d ( sinh x ) = cosh x dx d ( sech x ) = - sech x tanh x dx d ( cosh x ) = sinh x dx d ( csch x ) = - csch x coth x dx
d 1 log a ( x ) ) = , x>0 ( dx x ln a d ( tanh x ) = sech 2 x dx d ( coth x ) = - csch 2 x dx
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2 2 3
ò csc u du = lponential/Logarithm Functions
ò csc
u
3
u du =
1 ( - csc u cot u + ln csc u - cot u ) + c 2
òe
u
du = e + c
u
au ò a du = ln a + c
(
)
( )
Common Derivatives Polynomials d d (c) = 0 ( x) = 1 dx dx Trig Functions d ( sin x ) = cos x dx d ( sec x ) = sec x tan x dx Inverse Trig Functions d 1 sin -1 x ) = ( dx 1 - x2 d 1 sec -1 x ) = ( dx x x2 - 1
ò sin
-1
u du = u sin -1 u + 1 - u 2 + c 1 u du = u tan -1 u - ln (1 + u 2 ) + c 2 u du = u cos -1 u - 1 - u 2 + c
ò tan
-1
ò cos
-1
ò sech tanh u du = - sech u + c ò tanh u du = ln ( cosh u ) + c
© 2005 Paul Dawkins
Common Derivatives and Integrals
Integrals
Basic Properties/Formulas/Rules ò cf ( x ) dx = c ò f ( x ) dx , c is a constant.
b a b
ò f ( x ) ± g ( x ) dx = ò f ( x ) dx ± ò g ( x ) dx b b ò a f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) - F ( a ) where F ( x ) = ò f ( x ) dx
b
If f ( x ) ³ g ( x ) on a £ x £ b then Common Integrals Polynomials
ò dx = x + c
ó 1 dx = ln x + c ô õx
ò k dx = k x + c òx
-1
ò x dx = n + 1 x
n
1
n +1
+ c, n ¹ -1
Common Derivatives and Integrals
Inverse Trig Functions 1 ó æuö du = sin -1 ç ÷ + c ô èaø õ a2 - u2 1 ó 1 æuö du = tan -1 ç ÷ + c ô 2 2 a õ a +u èaø 1 1 ó æuö du = sec -1 ç ÷ + c ô 2 2 a èaø õ u u -a Hyperbolic Trig Functions ò sinh u du = cosh u + c
Miscellaneous ó 1 du = 1 ln u + a + c ô 2 õ a - u2 2a u - a
ò cosh u du = sinh u + c ò sech ò csch coth u du = - csch u + c ò csch ò sech u du = tan sinh u + c
-1
2 2
u du = tanh u + c u du = - coth u + c
ó 1 du = 1 ln u - a + c ô 2 õ u - a2 2a u + a
ò ò ò ò
u 2 a2 2 a + u du = a + u + ln u + a 2 + u 2 + c 2 2 u 2 a2 u 2 - a 2 du = u - a 2 - ln u + u 2 - a 2 + c 2 2 u 2 a2 æuö a 2 - u 2 du = a - u 2 + sin -1 ç ÷ + c 2 2 èaø
Given
b
Integration by Parts The standard formulas for integration by parts are,
ò udv = uv - ò vdu
òa
b
udv = uv a - ò vdu
a
b
b
Choose u and dv and then compute du by differentiating u and compute v by using the fact that v = ò dv .
ò a f ( g ( x ) ) g ¢ ( x ) dx then the substitution u = g ( x ) will convert this into the b g (b) integral, ò f ( g ( x ) ) g ¢ ( x ) dx = ò f ( u ) du . a g (a)
+c
ò sin u du = - cos u + c ò sec u du = tan u + c ò sec u tan u du = sec u + c ò csc u cot udu = - csc u + c ò csc u du = - cot u + c ò tan u du = ln sec u + c ò cot u du = ln sin u + c 1 ò sec u du = ln sec u + tan u + c ò sec u du = 2 ( sec u tan u + ln sec u + tan u ) + c
2 2
2au - u 2 du =
u-a a2 æ a -u ö 2au - u 2 + cos -1 ç ÷+c 2 2 è a ø
Standard Integration Techniques Note that all but the first one of these tend to be taught in a Calculus II class. u Substitution
© 2005 Paul Dawkins
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Common Derivatives and Integrals
Trig Substitutions If the integral contains the following root use the given substitution and formula. a a2 - b2 x2 x = sin q Þ and cos 2 q = 1 - sin 2 q b a b2 x2 - a2 Þ x = sec q and tan 2 q = sec2 q - 1 b a a2 + b2 x2 Þ x = tan q and sec 2 q = 1 + tan 2 q b Partial Fractions ó P ( x) dx where the degree (largest exponent) of P ( x ) is smaller than the If integrating ô õ Q ( x)