高考数学坐标系与参数方程主攻必考点
＋2 2＝0，解得 ρ2＝1＋ 2.
故△OAB 的面积为12×(1＋
2)2×sin
π4＝1＋3
4
2 .
增分方略 极坐标方程与普通方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以 ρ 或同时平方技巧，将极坐 标方程构造成含有 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，然后利用公式代 入化简得到普通方程． (2)巧借两角和差公式，转化 ρsin(θ±α)或 ρ＝cos(θ±α)的结 构形式，进而利用互化公式得到普通方程． (3)将直角坐标方程中的 x 转化为 ρcos θ，将 y 换成 ρsin θ， 即可得到其极坐标方程．
圆 C 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－2(1＋ 2)ρsin θ＋3＋
2 2＝0.
(2)设 Aπ2，ρ1，Bπ4，ρ2，将 θ＝π2代入(1)中圆 C 的极坐标 方程，得 ρ2－2(1＋ 2)ρ＋3＋2 2＝0，解得 ρ1＝1＋ 2.
将 θ＝π4代入(1)中圆 C 的极坐标方程，得 ρ2－2(1＋ 2)ρ＋3
则 C 上的点到 l 的距离为
|2cos α＋2
3sin 7
α＋11|＝4cosα－7π3＋11.
当 α＝－23π时，4cosα－π3＋11 取得最小值 7， 故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.
4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数
方程为xy＝＝scions
极坐标方程和参数方程的综合问题
[典例 3] (2019·安庆二模)在平面直角坐标系中，以原点为 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中 长度单位相同．已知曲线 C：ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)，过点 P(－
x＝－1－12t，
1,2
3)的直线 l： y＝2
3＋ 23t
(t 为参数)与曲线 C 相交于 M，
增分方略 1．直线的参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲 线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的 繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形 式再考虑参数的几何意义．
2．结论要记 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对 应的参数分别为 t1，t2. (1)弦长 l＝|t1－t2|； (2)弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； (3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
值．
[解] (1)由曲线 C：x＝co1s θ， y＝tan θ
的普通方程是 x2－y2＝1.
(θ 为参数)，可得曲线 C
当
α＝π3时，直线
l
的参数方程为x＝3＋12t，
y＝
3 2t
(t 为参数)，
代入曲线 C 的普通方程，得 t2－6t－16＝0， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，可得 t1＋t2＝6， 所以线段 AB 的中点对应的 t＝t1＋2 t2＝3，
方程为x＝11－＋tt22， y＝1＋4tt2
(t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ ＋ 3ρsin θ＋11＝0.
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值．
解：(1)因为－1<11－ ＋tt22≤1， 且 x2＋2y2＝11－ ＋tt222＋1＋4t2t22＝1， 所以 C 的直角坐标方程为 x2＋y42＝1(x≠－1)， l 的直角坐标方程为 2x＋ 3y＋11＝0. (2)由(1)可设 C 的参数方程为xy＝＝2csoisnαα， (α 为参数，－ π<α<π)．
(2)设 P(ρ，θ)，在 Rt△OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ， 即 ρ＝4cos θ.
因为 P 在线段 OM 上，且 AP⊥OM， 所以 θ 的取值范围是π4，π2. 所以 P 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，θ∈π4，π2.
3．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数
考多宽 直线的距离公式、三角形面积公式、轨迹方程的求解 等，考查数形结合、转化化归的思想
极坐标方程的应用
[典例 1] (2019·安徽示范高中高三测试)在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：x＝0 和圆 C：(x－1)2＋(y－1－ 2)2＝1，以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(2)设 P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
若 0≤θ≤π4，则 2cos θ＝ 3，解得 θ＝π6；
若π4≤θ≤34π，则 2sin θ＝ 3，解得 θ＝π3或 θ＝23π；
若34π≤θ≤π，则－2cos θ＝ 3，解得 θ＝56π.
综上，P 的极坐标为
3，π6或
3，π3或
3，23π或
3，56π.
(2)l 的参数方程为yx＝＝－tcos2α＋，tsin α t 为参数，π4<α<34π.设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，
则 tP＝tA＋2 tB，且 tA，tB 满足 t2－2 2tsin α＋1＝0. 于是 tA＋tB＝2 2sin α，tP＝ 2sin α. 又点 P 的坐标(x，y)满足yx＝＝－tPcos2＋α，tPsin α，
(1)求直线 l1 和圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l2 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R )，设直线 l1，l2 与 圆 C 的公共点分别为 A，B，求△OAB 的面积．
[解] (1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴直线 l1 的极坐标方程为 ρcos θ＝0，即 θ＝π2(ρ∈R )，
故线段 AB 的中点的直角坐标为92，323.
(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，化简得 (cos2α－sin2α)t2＋6tcos α＋8＝0，
则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝cos2α－8 sin2α＝811－＋ttaann22αα，由已知 得 tan α＝2，故|PA|·|PB|＝430.
参数方程的应用 [典例 2] (2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系 xOy 中， 设倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为xy＝＝t3s＋intαcos α， (t 为参
数)，直线 l 与曲线 C：x＝co1s θ， (θ 为参数)相交于不同的两 y＝tan θ
点 A，B. (1)若 α＝π3，求线段 AB 的中点的直角坐标； (2)若直线 l 的斜率为 2，且过已知点 P(3,0)，求|PA|·|PB|的
θ， θ
(θ 为参数)，过点(0，－
2)且倾斜角为
α
的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点．
(1)求 α 的取值范围；
(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝1. 当 α＝π2时，l 与⊙O 交于两点． 当 α≠π2时，记 tan α＝k，则 l 的方程为 y＝kx－ 2. l 与⊙O 交于两点需满足 1＋2 k2<1， 解得 k<－1 或 k>1， 即 α∈π2，34π或 α∈π4，π2. 综上，α 的取值范围是π4，34π.
(t 为参数)，消去 t 得 3x＋y－ 3＝0.
所以曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2
＝2ax(a＞0)和 3x＋y－ 3＝0.
(2)将xy＝＝2－13－＋122t，3t
(t 为参数)代入 y2＝2ax(a＞0)，整理
得 3t2＋(24＋4a)t＋48＋8a＝0.由题意知 Δ＞0. 设 t1，t2 是该方程的两根， 则 t1＋t2＝－24＋3 4a，t1t2＝48＋3 8a. 不妨设|PM|＝|t1|， 则|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|. 因为|MN|2＝|PM|·|PN|，
N 两点． (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值．
[解]
(1)把xy＝＝ρρscions
θ， θ
代入 ρsin2 θ＝2acos θ(a＞0)得 y2
＝2ax(a＞0)．
x＝－1－12t， 由
y＝2 3＋ 23t
2．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点 M(ρ0， θ0)(ρ0>0)在曲线 C：ρ＝4sin θ 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂 直，垂足为 P.
(1)当 θ0＝π3时，求 ρ0 及 l 的极坐标方程； (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的 极坐标方程．
所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|. 即24＋9 4a2＝10243＋4a，解得 a＝32.
增分方略 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 (1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们 可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰． (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较 简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
所以点
P
x＝ 的轨迹的参数方程是
2 2 sin
2α，
y＝－Hale Waihona Puke 22－2 2 cos
2α
α 为参数，π4<α<34π.
[把脉考情] 1.极坐标方程及其应用
考什么 2.参数方程及其应用 3.极坐标方程和参数方程的综合问题
考多深 在解答题中考查，难度中等偏低，分值 10 分 多与圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的 位置关系交汇考查，还需结合三角函数的最值、点到
主攻 36 个必考点(三十五) 坐标系与参数方程(选修 4－4)
1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系
(完整版)坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换⎧x'=λg x 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换ϕ:⎨⎩y'=μg y (λ>0) (μ>0)的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:极坐标(ρ,θ)点M直角坐标(x,y)互化公式⎧x=ρcosθ⎨y=ρsinθ⎩ρ2=x2+y2tanθ=y(x≠0)x在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆圆心为(r,0),半径为r的圆圆心为(r,ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r cosθ(-π2≤θ<π2)π2),半ρ2r sinθ(0≤θ<π)径为r的圆过极点,倾斜角为(1)θ=α(ρ∈R )或θ=π+α(ρ∈R )(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)α的直线过点(a ,0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a (-π2<θ<π2)过点(a ,π2),与极ρsin θ=a (0<θ<π)轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,π+θ),(-ρ,-π+θ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ=θ,点M (ππ,)可以表示为44πππππ5πππ(,+2π)或(,-2π)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方44444444程ρ=θ.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎧x =f (t )①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,⎨y =g (t )⎩那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),那么⎨⎧x =f (t )就是曲线的参数方程,在参数方程与y =g (t )⎩普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高考数学核心考点 第十四章坐标系与参数方程
高考数学核心考点 第十四章坐标系与参数方程1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：（1）设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. （2）若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标与直角坐标的互化：)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xy a y x y x θθρθρρ 5.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r =ρ； 在极坐标系中，以)0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 6. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>aa A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .7．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy y的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)x yyxx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02) r圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22 r圆心为(,)2r,半径为r的圆2sin(0) r过极点,倾斜角为的直线(1)()()R R 或(2)(0)(0)和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos()22a 过点(,)2a ,与极轴平行的直线sin(0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M 可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t yg t ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t ,那么()()x f t yg t 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系与参数方程
第一讲 坐标系与参数方程本部分内容在备考时应注意以下知识点：一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也为大家的备考指明了方向．Z 知识整合hi shi zheng he1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).2．圆的极坐标方程(1)若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； ②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； ③当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ.3．直线的极坐标方程(1)若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)几个特征位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆①以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．②当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆①椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．②椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．5．直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)①.通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t >0，则M 0M →的方向向上；若t <0，则M 0M →的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合，即当点M 在M 0上方时，有t ＝|M 0M →|；当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →|.Y 易错警示i cuo jing shi1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．1．(2018·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k ||x ＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程．(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解析] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2， 所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上可得，k ＝－43，C 1的方程为：y ＝－43|x |＋2.2．(2018·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α， (t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程．(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解析] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3．(2018·全国卷Ⅲ，22)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，过点()0，－2且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． [解析] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α，(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α.所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．4．(2018·江苏卷，21C)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解析] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.命题方向1 直角坐标与极坐标的互化与应用例1 (2018·江苏一模)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解析] (1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.『规律总结』直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可． (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．G 跟踪训练en zong xun lian(2017·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2，π3)，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解析] 设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin(α－π3)| ＝2|sin(2α－π3)－32|≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.命题方向2 参数方程与普通方程的互化及应用例2 (2018·衡水一模)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2，求实数m 的取值范围；(2)若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段P A 的中点Q 的抛迹方程．[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数)，普通方程为y ＝mx ，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，普通方程为x 2＋(y －1)2＝1， 圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋1，相交弦长＝21－1m 2＋1， 所以21－1m 2＋1≥2， 所以m ≤－1或m ≥1.(2)设P (cos α，1＋sin α)，Q (x ，y )，则 x ＝12(cos α＋2)，y ＝12(1＋sin α)， 消去α，整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2＋(y －12)2＝14.『规律总结』参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式： ①t ·1t＝1；②(t ＋1t )2－(t －1t)2＝4；③(2t 1＋t 2)2＋(1－t 21＋t 2)2＝1.G 跟踪训练en zong xun lian(2017·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解析] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，(－2125，2425)．(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.命题方向3 极坐标方程与参数方程的综合应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解析] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(32，32)． (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)， B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin (α－π3). 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.『规律总结』解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理．G 跟踪训练en zong xun lian在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝4 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标． [解析] (1)对于曲线C 1有⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y ＝sin α，则(x 3)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1， 即C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.对于曲线C 2有ρsin(θ＋π4)＝22ρ(cos θ＋sin θ)＝42⇔ρcos θ＋ρsin θ＝8⇔x ＋y －8＝0，所以C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)显然椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上点P (3cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|3cos α＋sin α－8|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin (α＋π3)－82， 当sin(α＋π3)＝1时，d 取最小值为32，此时点P 的坐标为(32，12)．A 组1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝12t .(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy 中相同)的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝2a cos θ(a >0)，l 与C 相切于点P .(1)求C 的直角坐标方程； (2)求切点P 的极坐标．[解析] (1)l 表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C 表示以C ′(a,0)为圆心，a 为半径的圆．∵l 与C 相切，∴a ＝12(3－a )，⇒a ＝1.于是曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 于是x 2＋y 2＝2x ，故所求C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. (2)∵∠POC ′＝∠OPC ′＝30°，∴OP ＝ 3. ∴切点P 的极坐标为(3，π6)．2．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径． [解析] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)．(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t ，(t 为参数)平行的直线l 的普通方程．(2)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值．[分析] (1)由直线l 与直线m 平行可得l 的斜率，将椭圆C 的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l 方程．(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．[解析] (1)由C 的参数方程可知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴右焦点F 2(4,0)，将直线m的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，所以k ＝12，于是所求直线方程为x －2y －4＝0.(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π2)，则S ＝4|xy |＝60sin φcos φ＝30sin2φ，∴当2φ＝π2时，S max ＝30，即矩形面积的最大值为30.4．(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2sin θ，ρcos(θ－π4)＝ 2.(1)求C 1和C 2交点的极坐标；(2)直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与x 轴的交点为P ，且与C 1交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.[解析] (1)C 1，C 2极坐标方程分别为ρ＝2sin θ，ρcos(θ－π4)＝2，化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －1)2＝1，x ＋y －2＝0. 得交点坐标为(0,2)，(1,1)．即C 1和C 2交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π4)．(2)把直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，代入x 2＋(y －1)2＝1，得(－3＋32t )2＋(12t －1)2＝1， 即t 2－4t ＋3＝0，t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝3， 所以|P A |＋|PB |＝4.B 组1．(2017·全国卷Ⅲ，22)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解析] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.2．在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0)．(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值；(2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．[解析] (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x .曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1.曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32.(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9.圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355.所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝ 29－(355)2＝1255.3．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解析] (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.4．(2018·邵阳三模)在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)． (1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线．(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若点P 的直角坐标为(1,0)，试求当α＝π4时，|P A |＋|PB |的值．[解析] (1)曲线C ：ρ＝22cos(θ＋π4)，可以化为ρ2＝22ρcos(θ＋π4)，ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，因此，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0. 它表示以(1，－1)为圆心，2为半径的圆．(2)当α＝π4时，直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)点P (1,0)在直线上，且在圆C 内，把⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t ，代入x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0中得t 2＋2t －1＝0.设两个实数根为t 1，t 2，则A ，B 两点所对应的参数为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－1. 所以|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 6.第二讲不等式选讲本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题．题型多为解答题，难度为中档．Z 知识整合hi shi zheng he1．绝对值不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法①|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想． ②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想． 3．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法． 4．二维形式的柯西不等式若a ，b ，c ，d ∈R ，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．,Y 易错警示i cuo jing shi1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可． 3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.1．(2018·全国卷Ⅰ，23)已知f ()x ＝||x ＋1－||ax －1. (1)当a ＝1时，求不等式f ()x >1的解集；(2)若x ∈()0，1时不等式f ()x >x 成立，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.结合函数图象可知，不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1； 若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a ，所以2a ≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·全国卷Ⅱ，23)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集．(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x <2，－2x ＋6，x ≥2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．(2018·全国卷Ⅲ，23)设函数f ()x ＝||2x ＋1＋||x －1. (1)画出y ＝f ()x 的图象；(2)当x ∈[)0，＋∞时， f ()x ≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(2018·江苏卷，21D)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． [解析] 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.5．(2017·全国卷Ⅰ，23)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为{x |－1≤x ≤－1＋172}．(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．命题方向1 绝对值不等式的解法例1 (2018·昆明一模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9.(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9， 即|x ＋5|＋|x －2|>9，故有⎩⎪⎨⎪⎧x <－5，－x －5＋2－x >9①；或⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤x ≤2，x ＋5＋2－x >9②；或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋5＋x －2>9③. 解①求得x <－6；解②求得x ∈∅，解③求得x >3. 综上可得，原不等式的解集为{x |x <－6或x >3}．(2)设关于x 的不等式f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|≤|x －4|的解集为A ， B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x |－1≤x ≤2}， 如果A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧|－1＋a |＋3≤|－1－4|，|2＋a |＋0≤|2－4|，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤3，－4≤a ≤0，求得－1≤a ≤0， 故实数a 的范围为[－1,0]． 『规律总结』1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；(2)划区间，去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值符号的不等式(组)；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值． 2．图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．G 跟踪训练en zong xun lian(2016·全国卷Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (Ⅰ)画出y ＝f (x )的图像； (Ⅱ)求不等式|f (x )|﹥1的解集．[解析] (Ⅰ)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图像如图所示．(Ⅱ)由f (x )的表达式及图像知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}； f (x )<－1的解集为{x |x <13或x >5}．所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}．命题方向2 不等式的证明例2 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． [证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0.得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 『规律总结』本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．G 跟踪训练en zong xun lian(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M .(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.[解析] (1)当x <－12时，f (x )＝12－x －x －12＝－2x <2，解得－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，f (x )＝12－x ＋x ＋12＝1<2恒成立；当x >12时，f (x )＝2x <2，解得12<x <1.综上可得，M ＝{x |－1<x <1}．(2)当a ，b ∈(－1,1)时，有(a 2－1)(b 2－1)>0， 即a 2b 2＋1>a 2＋b 2，则a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2， 则(ab ＋1)2>(a ＋b )2，即|a ＋b |<|ab ＋1|.命题方向3 绝对值不等式恒成立(存在)问题例3 (2018·汉中二模)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3.(2)如果任意x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3有|x －1|＋|x ＋1|≥3，据绝对值几何意义求解．|x －1|＋|x ＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x 的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数－32左侧的点与数32右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，所以所求不等式解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a 的距离之和大于等于2恒成立，则1与a 之间的距离必大于等于2，从而有a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．『规律总结』1．求含绝对值号函数的值的两种方法 (1)利用|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求解． (2)将函数化为分段函数，数形结合求解． 2．恒成立(存在)问题的等价转化G 跟踪训练en zong xun lian已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若存在x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的范围． (2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集． [解析] (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤2，7－2x ，2<x <5，－3，x ≥5.当2<x <5时，－3<7－2x <3， 所以－3≤f (x )≤3，所以m ≥－3. (2)不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0， 即－f (x )≥x 2－8x ＋15由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15，即x 2－10x ＋22≤0，所以5－3≤x <5， 即x 2－8x ＋12≤0，所以5≤x ≤6； 当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15，综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．A 组1．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4. 2．(2018·南宁二模)设实数x ，y 满足x ＋y4＝1.(1)若|7－y |<2x ＋3，求x 的取值范围． (2)若x >0，y >0，求证：xy ≥xy . [解析] (1)根据题意，x ＋y4＝1，则4x ＋y ＝4，即y ＝4－4x ，则由|7－y |<2x ＋3，可得|4x ＋3|<2x ＋3， 即－(2x ＋3)<4x ＋3<2x ＋3， 解得－1<x <0. (2)x >0，y >0， 1＝x ＋y 4≥2x ·y4＝xy ，即xy ≤1，xy －xy ＝xy (1－xy )， 又由0<xy ≤1，则xy －xy ＝xy (1－xy )≥0， 即xy ≥xy .3．(2018·西安二模)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a )． (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域．(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值． [解析] (1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>7； ①当x >2时，得x ＋1＋x －2>7，解得x >4； ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x >7，无解； ③当x <－1时，得－x －1－x ＋2>7，解得x <－3； 所以函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8；因为x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3； 又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8解集是R ； 所以a ＋8≤3，即a ≤－5. 所以a 的最大值为－5. 4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若关于x 的不等式f (x )≥ax ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围． [解析] (1)由于f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1<x ≤2，3x －3，x >2，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)当x ＝2时，f (2)＝3.当直线y ＝ax ＋1过点(2,3)时，a ＝1. 由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax ＋1的图象知，当且仅当－3≤a ≤1时，函数y ＝f (x )的图象没有在函数y ＝ax ＋1的图象的下方， 因此f (x )≥ax ＋1恒成立时，a 的取值范围为[－3，1]．B 组1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|. (1)解不等式f (x )>0；(2)已知关于x 的不等式a ＋3<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4， x ≥3，3x －2， －12≤x <3，－x －4， x <－12.∴不等式f (x )>0化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，－12≤x <3，或⎩⎪⎨⎪⎧－x －4>0，x <－12. ∴x <－4或x >23，即不等式的解集为(－∞，－4)∪(23，＋∞)．(2)∵f (x )min ＝－72，∴要使a ＋3<f (x )恒成立，只要a ＋3<－72，∴a <－132.2．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝0时，解关于x 的不等式f (x )>4；(2)若∃x ∈R ，使得不等式|x －3|＋|x －a |<4成立，求实数a 的取值范围． [分析] (1)按x ＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解． (2)∃x ∈R ，使不等式f (x )<4成立，即f (x )的最小值小于4. [解析] (1)由a ＝0知原不等式为|x －3|＋|x |>4当x ≥3时，2x －3>4，解得x >72.当0≤x <3时，3>4，无解． 当x <0时，－2x ＋3>4，解得x <－12.故解集为{x |x <－12或x >72}．(2)由∃x ∈R ，|x －3|＋|x －a |<4成立可得，(|x －3|＋|x －a |)min <4. 又|x －3|＋|x －a |≥|x －3－(x －a )|＝|a －3|， 即(|x －3|＋|x －a |)min ＝|a －3|<4. 解得－1<a <7.3．(2018·临川二模)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |. (1)若f (1)<3，求实数a 的取值范围． (2)若a ≥1，x ∈R ，求证：f (x )≥2. [解析] (1)因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3. ①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3， 解得a >－23，所以－23<a ≤0；②当0<a <12时，得a ＋(1－2a )<3，解得a >－2，所以0<a <12；③当a ≥12时，得a －(1－2a )<3，解得a <43，所以12≤a <43；综上所述，实数a 的取值范围是(－23，43)．(2)因为a ≥1，x ∈R ，所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|(x ＋a －1)－(x －2a )|＝|3a －1|＝3a －1≥2.4．(2018·安徽江南十校3月模拟)已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记不等式f (x )>－1的解集为M .(1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．[解析] (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12，由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2， 故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)，知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a ＝(a －1)(a 2＋1)a，当0<a <1时，(a －1)(a 2＋1)a <0，所以a 2－a ＋1<1a.当a ＝1时，(a －1)(a 2＋1)a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a.当1<a <2时，(a －1)(a 2＋1)a >0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述：当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a .当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a .当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a .。
坐标系与参数方程_知识点
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。
这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。
接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。
一、知识点概要1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
坐标系的原点是两个坐标轴的交点。
在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。
坐标系具有以下性质：1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。
对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。
反之，斜截式方程可转化为隐式方程。
坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。
3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。
相似性质可以用来求解坐标变换等问题。
2.参数方程参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。
参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。
在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。
二、考查形式1.单选题高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：（1）考察基础定义如2018年全国卷II第23题，考查了$x=\frac{y+2}{y-2}$的定义域，此题需要学生掌握函数的定义，促使其灵活运用数学知识。
考点59 坐标系与参数方程-高考全攻略之备战高考数学(理)考点一遍过最新修正版
1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.一、坐标系1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM 叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 4．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b . 二、参数方程 1.直线的参数方程若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).这是直线的参数方程,其中参数t 有明显的几何意义. 2.圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.3.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π.【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧 1.参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2.普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为: 第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; 第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外,当直线经过点P (x 0,y 0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成(t 为参数),交点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t 1+t 2,t 1·t 2,得到|AB |=|t 1-t 2|=.考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换．典例1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换214x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩后，曲线C 变为曲线224116x y ''+=，求曲线C 的标准方程及参数方程.【答案】x 2＋y 2＝4，2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ 为参数）【解析】设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由214x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩且M ′(x ′，y ′)在曲线216x '＋4y ′2＝1上， 得2416x ＋2416y ＝1， ∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的标准方程为x 2＋y 2＝4，参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ 为参数）【名师点睛】本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力，属基础题.先根据变换，结合转移法确定曲线C 的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程.典例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【答案】（1）22=14y x +；（2）3=4sin 2cos ρθθ-. 【解析】（1）设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩.由x 21＋y 21＝1得22()12yx +=，故曲线C 的方程为22=14y x +.（2）由221422=0y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)， 则线段P 1P 2的中点坐标为1(,1)2， 所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为3=4sin 2cos ρθθ-.1．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14的曲线2C 为A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=考向二 极坐标和直角坐标的互化1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．典例 3 设点A 的极坐标为(2,)6π，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为__________． 【答案】cos()16ρθπ+=【点评】在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点π4M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为直线l . （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与2214y x +=的交点为P 1，P 2，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.考向三 参数方程与普通方程的互化1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．典例4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 是参数），曲线2C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），若曲线1C 与2C 相交于A ，B 两个不同点，则|AB |=_______.【解析】曲线C 1：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 是参数），转化为直角坐标方程为：x ﹣y ﹣1=0， 曲线C 2：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），转化为直角坐标方程为：2212x y +=，建立方程组：221012x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得到：3x 2﹣4x =0，解得：x =0或43. 所以A （0，﹣1），B （41,33），所以|AB．. 【名师点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组求出A 、B 的坐标，再求出|AB |的长． 典例5 已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为 (θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2x －y －2a ＝0，x 2＋y 2＝16；（2）－25≤a ≤2 5. 【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤， 解得－25≤a ≤25.3．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数），2C ：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩ (t 为参数）． （1）求曲线12,C C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求PA PB +的取值范围．考向四 极坐标方程与参数方程的综合应用参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.典例6 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()4ρθπ-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．【答案】（1）2213y x +=，60x y +-=；（2）最小值为，点P 的直角坐标为13(,)22． 【解析】（1）由cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可得221x +=，即2213y x +=，故曲线1C 的普通方程为2213yx +=，由cos()4ρθπ-=可得cos sin ρθθ+=x y +=，即60x y +-=，故曲线2C 的直角坐标方程为60x y +-=．（2）由题意，可设点P的直角坐标为(cos )αα， 因为曲线2C 是直线，所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值， 易得点P 到直线60x y +-=的距离为|sin()3|6d απ==+-，当且仅当2()3k k απ=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13(,)22．4．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (002π)ρθθ=+≤<，点π1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线:112x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于,A B 两点.（1）若(),P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求出此时点P 的极坐标； （2）求11MA MB+的值.1．若圆的方程为12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是A ．相交而不过圆心B ．相交过圆心C ．相切D ．相离2．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则CP =A ．B ．4C ．2D ．3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为A ．⎛ ⎝B ．π6⎫⎪⎪⎭C ．π3⎫⎪⎪⎭，D ．2⎛⎝ 4．参数方程t 为参数)所表示曲线的图象是5．已知直线(t 为参数)与曲线交于两点，则A ．1B ．C ．2D ．6．直线(为参数)对应的普通方程是__________.7．参数方程为为参数)的曲线的焦点坐标为__________.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线的参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点，则线段BC 中点的直角坐标为________. 9．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中，曲线1:1C ρ=，直线21:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线1C 上的点到直线2C 距离的最小值；（2）若把1C 上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，得到曲线3C .设()1,1P -，直线2C 与曲线3C 交于,A B 两点，求PA PB +.10．已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为直线的直角坐标方程为.（1）求曲线和直线的极坐标方程;（2）已知直线分别与曲线、曲线交于（异于极点），若的极径分别为求的值.11．已知直线l的参数方程为142x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()π6θρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值．12．在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.（1）若,求直线交曲线所得的弦长;（2）若上的点到的距离的最小值为1,求.13．在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线1C 的极坐标方程为sin 1ρθ=-，曲线2C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）已知直线:20l x y -+=，点P 在曲线2C 上，求点P 到l 的距离的最大值.14．在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,且直线与圆相交于不同的两点. （1）求线段垂直平分线的极坐标方程; （2）若,求过点与圆相切的切线方程.15．在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为4cos ρα=．（1）求曲线2C 的参数方程；（2）已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线2C 的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．1．（2018北京理）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2．（2018天津理）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B两点，则ABC △的面积为___________.3．（2017北京理）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.4．（2017天津理）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________．5．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．6．（2017新课标II 卷理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．7．（2017新课标III 卷理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.sin ,y θ=⎩参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l ，求a .9．（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．10．（2018新课标I 卷理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4sin yθ=⎩参数方程为1cos2sinx tαy tα=+⎧⎨=+⎩，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．12．（2018新课标III卷理）在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxyθθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l与O⊙交于A B，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．1．【答案】B【名师点睛】本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标方程，是基础题．根据题意，写出曲线C 2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程． 2．【答案】（1）220x y --=；（2）34sin 2cos ρθθ=-+.【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=， ∴22cos 2sin ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为212y x =， ∴y x '=， 又π4M ⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为（2，2）， ∴2|2x k y ='==.∴曲线C 在点（2，2）处的切线方程为22(2)y x -=- ， 即直线l 的直角坐标方程为220x y --= .（2）22101402220y x x x y y x y ⎧==⎧⎧+=⎪⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪--=⎩由解得或 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，-2)，则线段P 1P 2的中点坐标1,-1,2⎛⎫⎪⎝⎭为所求直线斜率为k 1,2=-于是所求直线方程为y +111,22x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ+4ρsin θ=-3，即ρ3.4sin +2cos θθ=-【名师点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，涉及中点坐标的计算，导数的几何意义，即函数在某点处的导数值即为在该点处的切线的斜率.（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再由导数的几何意义得到切线的斜率，根据点斜式得到切线方程；（2）联立直线和椭圆得到两点坐标，再由中点坐标公式得到中点坐标1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭为，直线斜率为k 1,2=-进而得到直线方程. 学￥#3．【答案】（1）22143x y +=；1x =；（2）[]3,4.（2）将2C ：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩(t 为参数）代入1C ：22143x y +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=， 设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则()2236cos 36sin 31440θθ∆=++=>恒成立，1212226cos 9,sin 3sin 3t t t t θθθ--+==++，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+， []2sin 0,1θ∈， []3,4PA PB ∴+∈.【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化及直线参数方程参数几何意义的应用，属于基础题.（1）由22sin cos 1θθ+=，消参即可得普通方程；（2）由直线的参数方程与椭圆方程联立，利用直线参数的几何意义，可知1212PA PB t t t t +=+=-，从而得解.4．【答案】（1）ρ取得最大值，π4⎛⎫⎪⎝⎭；（2.【名师点睛】本题考查直线的参数方程、点与圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及消去参数方程中的参数的几何意义.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可. 学@#（1）曲线C 的扱坐标方程化为π4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的有界性可得当π4θ=时，ρ取得最大值P 的极坐标；（2）由2cos 2sin ρθθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，利用互化公式可得直角坐标方程.将:112x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22220x y x y +--=，并整理得：210t -=，利用根与系数的关系，根据直线参数方程的几何意义可得结果.1．【答案】A【解析】根据题意，圆的参数方程为12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为()()22134x y ++-=，其圆心坐标为()1,3-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为()131y x +=+，即320y x --=，∴圆心()1,3-不在直线320y x --=上.∵圆心()1,3-到直线320y x --=的距离为2d <，∴直线2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相交.故选A.【名师点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心()1,3-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 2．【答案】D【名师点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出． 3．【答案】B【解析】由πcos 13ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得：1cos sin 12ρθρθ+=，∴曲线C 的直角坐标方程为112x y =，即20x +-=，故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为()200⎛ ⎝，，，∴点P 坐标为1⎛ ⎝，则极坐标为π6P ⎫⎪⎪⎭，. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了平面直角坐标与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础.先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标. 4．【答案】D 【解析】因为，所以,当时，y=0，排除C ；由,所以,当时，;当时，,,故排除A 、B.故答案为D ． 5．【答案】C6．【答案】学￥%【解析】削去参数,可得;即直线对应的普通方程是.7．【答案】【解析】由题意，消去参数t 可得,则抛物线的焦点坐标为(1,0).8．【答案】4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】直线的参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程为：11433y x =-， 圆5ρ=转化为普通方程为：2225x y +=，将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040x x --=，设交点为()()1122,,,x y x y ，中点坐标为()00,x y ，则1208844252225x x x +===， ()1212012114114112333333223325x x y y y x x -+-+===-+=， 则线段BC 中点的直角坐标为4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用.参数方程转化为直角坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以ρ，再代入公式.本题将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程转化为普通方程，再求解. 9．【答案】（11-；（2.所以223:143x y C +'='，将21:1x C y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和223:143x y C +'='联立，得27100t +-=.所以1212107t t t t ==-+ 因为120t t <，所以1212PA PB t t t t +=+=-==【思路点拨】（1）由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果，然后再根据直线和圆的位置关系，即可求出结果；（2）由题意得伸缩变换为2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩，得到3C ，联立2C 的参数方程和3C 的直角坐标方程得27100t +-=.因为120t t <，所以1212PA PB t t t t +=+=-，利用根与系数的关系即可求出结果.10．【答案】（1）为参数),；（2）3. 学@#【解析】（1）曲线的参数方程为为参数),∴.11．【答案】（1）2220x y x +-=cos sin θρθ-=（2）. 【解析】（1）∵2cos ρθ=， ∴22cos ρρθ=，∴AB=．【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．（1）先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）将π6θ=分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．12．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时,直线的普通方程为.设圆心到直线的距离为,则.从而直线交曲线所得的弦长为.（2）直线的普通方程为.则圆心到直线的距离.所以由题意知,所以.13．【答案】（1）1C 与2C 交点的极坐标为11π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭与72,π6⎛⎫⎪⎝⎭；（2）点P 到l 的距离的最大值为2.【思路点拨】（1）将曲线1C ，2C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程，用解方程组得到两曲线的交点，再化为极坐标方程． 学￥%（2）先求出圆心到直线的距离，再根据几何图形求解． 14．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）消去参数,得直线的普通方程为,斜率为1,所以直线的斜率为.因为圆的极坐标方程可化为,所以将代入上述方程,15．【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩；（2）M . 【解析】（1）由4cos ρα=得24cos ρρα=，将222cos x y xρρα⎧=+⎨=⎩代入，整理得曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=， 设曲线1C 上的点为()','x y ，变换后的点为(),x y ，由题可知坐标变换为='21'2x x y y -⎧⎪⎨=⎪⎩，即'=2'2x x y y +⎧⎨=⎩， 代入曲线1C 的普通方程，整理得曲线2C 的普通方程为2214x y +=，【名师点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想. #￥网（1）先将曲线1C 化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线2C 的普通方程和参数方程； （2）根据题意，设点()π2cos ,sin 02M θθθ<<（），则8cos 4sin l θθ=+，利用辅助角公式化简周长l 的解析式，即可求出最大值及其对应的点M 的坐标.1．【答案】1+【解析】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由=2cos ρθ，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即()2211x y -+=，1101a a a ∴=±>∴=，，【名师点睛】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线的距离等于半径解出a .(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.2．【答案】12【名师点睛】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．3．【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+=，整理为()()22121x y -+-=，圆心为()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211PC r -=-=.【名师点睛】（1）熟练运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．4．【答案】2【解析】直线为210y ++=，圆为22(1)1x y +-=，因为圆心（1,1）到直线210y ++=的距离314d =<，所以有两个交点．【名师点睛】先利用公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+把极坐标方程化为直角坐标方程，再联立方程组根据判别式判断出交点的个数，或利用几何法进行判断．坐标系与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换． 学￥%5【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．6．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）2+． 【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=． 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>．因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠． （2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =1sin 4cos |sin()|2|sin(2)2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=-≤当12απ=-时，S 取得最大值2+，所以OAB △面积的最大值为2+．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．7．【答案】（1）()2240x y y -=≠；（2【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.8．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
超实用高考数学重难点专题复习：专题九 坐标系与参数方程
极坐标是 ( , ) ，则
x cos
y sin
2 x2 y 2
y
tan
( x 0)
x
2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－
函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统
计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解
答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为
载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮
复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《
卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩
固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻
开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟
比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高
我们的自信心。
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就是要求我们在
每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失误！对于
第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们很多同学求
的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我想在考试时一
定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号来提示你充分而
准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可以试试！对于第三
研究；