第九章变化的电磁场

大学物理习题解答——电磁场部分 65 第十三章 电磁感应 电磁场 9—1铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为t100sin100.85(Wb)，求在st2100.1时，线圈中的感应电动势。 解 由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情

况下，法拉第电磁感应定律通常写成dtddtdN，其中N＝叫做磁通链数。

线圈中总的感应电动势dtdN=（2.51V）cos(100πs-1)t， 当t=0.02s时， =2.51V。 9—2 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．使这根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以频率f旋转，整个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。

解 由题意知，穿过图示闭合回路中面积为S=12 πr2的半圆形导线部分的磁通量在不断变化，在任意时刻这部分磁通量Φ(t)=BScosθ，所以必须找出θ=θ(t)的关系式． 为此，设图示位置为导线在初始时刻(即=0)的位置，顺时针方向为回路正向，此时半圆形导线平面

的法线与B之间的夹角θ=0，经历时间t后,θ=2πft．将上述关系代人dtd，求得回路在任意时刻的电动势 (t)，再用欧姆定律求得相应的感应电流I(t)，进而求得最大值Im.另外，由于本题磁场不随时间变化，只是半圆形导线在旋转，因此产生的电动势是动生电动势，所以也可以在线圈处于任何

位置时用公式=l)B(来求解。 根据分析，由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为 ftBrBScont2cos212）（

根据法拉第电磁感应定律，有 ftfBrdtd2sin22 因此回路中的感应电流为 )(tI =R =RfBr22ft2sin 感应电流的最大值为 )(mIRfBr22 9—3 有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向反的电流，且电流均以dIdt变化率增长。如果有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。 解 用法拉第电磁感应定律dtd来求解．由于回路处在非均匀磁场，磁通量需用=SSdB计算(其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度召1B与召2B之和)．

为了积分的需要，建立如图9—3所示的坐标系．由于B仅与x有关，即)(xBB,，故取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx工，所以，总磁通量可通过线积分求得(若取面元dS：dxdy，则上述积分实际上为二重积

分)．本题在工程技术中为互感现象，也可用公式dtdIMM求解． 解1 穿过面元dS的磁通量SdBSdBSdBd

21dxdxId)(20

dxxId20dx

因此穿过线圈的磁通量为 Φ=dxxIddxdxIdddddd20202)(2=43ln20Id

图13—3 图9—3 66 大学物理习题解答——电磁场部分 再由法拉第电磁感应定律，有  =dtd=(43ln20d)dtdI 解2 当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为Φ=43ln20Id，线圈与两长直导线间的互感为 43ln20dIM,当电流以dtdI变化时，线圈中的互感电动势为  =dtdIM=(43ln20d)dtdI 9—4 如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中，当导线以速率

水平向右平动时，求导线中感应电动势君的大小，哪一端电势较高?

解 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由 =dtd求解外(必须设法构造一个闭合回路)，还可直接用公式lldB)(求解．在用后一种方法求解时，应注意下列几个问题： 1．式中ldB)(为导体上任一导线元dl上的动生电动势d，积分表示对导线上所有的导线元产生的电动势求和． 2．需建立一个适当的坐标系(尽可能利用其对称性)，在导体上任意位置处取导线元ld，写出ld处的与B的表达式，并需明确两个角度，即ld处的与B的夹角，以及矢量

(×B)与ld间的夹角．在一般情况下，上述各量可能是ld所在位置的函数． 3．矢量(×B)的方向就是导线中电势升高的方向． 解1 如图9—4 (b)所示，假想半圆聪导线OP在宽为2R的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距形导轨左侧距离为x，则

BRRx2212，BRdtdxRBdtd22 由于静止的正形导轨上的电动势为零，则BR2．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说端点P的电势较高． 解2 建立如图9—4 (c)所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl，则

RdBdlBldBdcoscos90sin)(







，222cosBRdBRd

由矢量(B)的指向可知，端点P的电势较高． 解3 连接OP使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量Φ=BS=

常数．由法拉第电磁感应定律dtd可知，0，POPO ，BRPOPO2。 由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法． 9—5 长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率绕通过支点,垂直铜棒的轴转动。设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。 解 首先应分清棒两端的电势差与棒上的动生电动势不是一个概念，它们之间的关系如同电源的路端电压与电源电动势之间的关系．在开路情况中，两者大小相等，方向相反(电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向)． 可直接用积分法求解棒上的电动势，此时积分上下限应为rL和r另外，可将整个棒的电动势看

图9—4 大学物理习题解答——电磁场部分 67 作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图9—5 (b)所示．而OA和OB则可以直接利用结果解．

解1 如图13—8(a)所示，在棒上距点O为l处取导体元ld，则

AB=ABldB)(=rLrlbdl =)(21rLBL

因此棒两端的电势差为 ABABU)2(21rLBL 当L>2r时，端点A处的电势较高。 解2 将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图9—5 (b)所

示．其中221rBOA

2)(21rLBOB

)2(21rLBOBOAAB 9—6 如图所示，金属杆AB以匀速=2.01ms平行于一长直导线移动，此导线通有电流40IA。问：此杆中的感应电动势为多大?杆的哪一端电势较高? 解 本题可用两种方法求解

(1)用公式lldB)(图9—6 (a)所示的坐标系，所取导体元dldx该处的磁感强度B=xI20。 (2)用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB在内的闭合回路。 为此可设想杆AB在一个静止的U形导轨上滑动，如图9—6 (b)所示．设时刻t,杆AB距导轨

下端CD的距离为y，先用公式SSdB求得

穿过该回路的磁通量，再代入公式dΦdt ,即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势． 解1 根据分析，杆中的感应电动势为

VIdxxIldBmmABAB501.11.001084.311ln22)(







式中负号表示电动势方向由B指向A，故点A电势较高． 解2 设顺时针方向为回路ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为dx、长y的面元

dS，则穿过面元的磁通量为 SdBdydxxI20

穿过回路的磁通量为Sd11ln2201.11.00ymmIydxxI 回路的电动势为dtdyIdtd11ln20VI501084.311ln2 由于静止的U形导轨上电动势为零，所以 VAB51084.3 式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB导体来说，电动势方向应由B指向A，故点A电势较高． 9—7 如图所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向。 解 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点。

图9—5 图9—6