线性分组码的编码与译码
实验三、线性分组码的编译码
信息论与编码实验报告1、认真阅读课本中关于线性分组码的基本原理及特点等内容，并简要写出其基本原理及特点；解：基本原理：对信源编码器输出的D 进制序列进行分组，设分组长度为k ，相应的码字表示为),,,(12m m m k M ∙∙∙=→，其中每个码元()k i m i≤≤1都是D 进制的显然这样的码字共有kD 个。
特点：一个()k n ,线性分组码中非零码字的最小重量等于该码的最小距离min d 。
2、写出（7，4）线性分组码编解码基本步骤，画出程序流程图；编码流程图 译码流程图 (7,4)汉明码的编码就是将输入的4 位信息码M=[ 3456a a a a ]加上3 位监督码012b b b 从而编成7位汉明码[6a 012345,,,,,a a a a a a ]，编码输出B=[6a 5a 4a 3a 2a 1a 0a ].由式A = M ·G=[3456a a a a ]·G 可知，信息码M 与生成矩阵G 的乘积就 是编好以后的(7,4)汉明码3、实现（7，4）线性分组码编解码的Matlab源程序；构造BSC传输信道中采用（7,4）线性分组码的Simulink仿真程序。
(7,4)汉明码的编码程序：library ieee;use ieee.std_logic_1164.all;entity bm isport(a:in std_logic_vector(3 downto 0);but std_logic_vector(6 downto 0));end ;architecture one of bm isbeginb(6)<=a(3);b(5)<=a(2);b(4)<=a(1);b(3)<=a(0);b(2)<=a(3) xor a(2) xor a(1);b(1)<=a(3) xor a(2) xor a(0);b(0)<=a(3) xor a(1) xor a(0);end;(7,4)汉明码的译码程序：library ieee;use ieee.std_logic_1164.all;entity ym isport(a:in std_logic_vector(6 downto 0);sut std_logic_vector(2 downto 0);but std_logic_vector(3 downto 0);cut std_logic_vector(2 downto 0));end ;architecture one of ym isbeginprocess(a)variable ss:std_logic_vector(2 downto 0);variable bb:std_logic_vector(6 downto 0);beginss(2):=a(6) xor a(5) xor a(4) xor a(2);ss(1):=a(6) xor a(5) xor a(3) xor a(1);ss(0):=a(6) xor a(4) xor a(3) xor a(0);bb:=a;if ss> "000" thencase ss iswhen "001" =>bb(0):= not bb(0);c<="000";when "010" =>bb(1):= not bb(1);c<="001";when "100" =>bb(2):=not bb(2);c<="010";when "011" =>bb(3):=not bb(3);c<="011";when "101" =>bb(4):=not bb(4);c<="100";when "110" =>bb(5):=not bb(5);c<="101";when "111" =>bb(6):=not bb(6);c<="110";when others => null;c<="111";end case;else b<= a(6)&a(5)&a(4)&a(3);end if;s<=ss;b<=bb(6)&bb(5)&bb(4)&bb(3);end process;end;4、讨论（7，4）线性分组码的最小码距与码重及纠错能力的关系，讨论采用纠错编码和不采用纠错编码对传输系统的影响。
61线性分组码
C = (Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 )
所以码字又称为码矢。
( n, k ) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。
编码效率/编码速率/码率：R=k /n。它说明了信道的利用效率， R是衡量码性能的一个重要参数。
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2
线性分组码的编码：线性分组码的编码过程分为两步：
面 k 位为信息数字，后面 r=n－k 位为校验字，这种信息数字 在前校验数字在后的线性分组码称为线性系统分组码。
信息数字 校验数字
图6.2.1 系统码的码字结构
当生成矩阵 G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定了，只要 找到码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。
[ 参见下面有关（7，4）线性码例子 ]
设码字矢量为C = (C6 C5C4C3C2C1C0) 码的监督矩阵为
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31
6.3.4 线性分组码的编码
根据方程组可直接画出 (7,3) 码的并行编码电路和串行编码 电路，如图。
m2 m1 m0 C6 C5 C4 C3
C m
C2
C1
C0
(a)并行编码电路 （b）串行编码电路
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4
6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
(1) 监督方程
编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是 其中某些信息元的模2和。 举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为
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线性分组码的编码与译码
实践教学大学计算机与通信学院2014年秋季学期计算机通信课稈设计题目：线性分组码（9 , 4）码的编译码仿真设计专业班级：_______________________________姓名：_________________________________________学号：_______________________________________指导教师：______________________________________成绩：______________________________________________摘要该系统是（9, 4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。
当接收到的九位码字中有一位发生错误时，可以纠正这一位错码；当接收到的码字有两位发生错误时，只能纠正一位错误，但同时能检测出另一位错误不能纠正。
只有特定位有两位错误时，才能纠正两位错误。
这样就译出正确的信息码组，整个过程是用MATLAB语言实现的。
关键词：编码；译码;纠错摘要 目录1. 信道编码概述2.•…1.1信道模型 ............................................................... 2•…1.2抗干扰信道编码定理及逆定理 ............................................ 3…1.3检错与纠错的基本原理 .................................................. 4•…1.4限失真编码定理 ........................................................ 5•…2. 线性分组码的编码 ........................................................... 6 _2.1生成矩阵 ............................................................... 6•…2.2校验矩阵 ............................................................... 9•…2.3伴随式与译码 ......................................................... 1.0....3. 线性分组码编码的 Matlab 仿真 ............................................... 1.2..3.1程序流程图 ............................................................ 1.2....3.2程序执行结果 ......................................................... 12....3.2线性分组码译码的 Matlab 仿真 .......................................... 1.3.3.3结果分析 .............................................................. 1.5.... 参考文献 .................................................................... .1.6..... 总结 ......................................................................... 1.7.... 致谢 ......................................................................... 1.8.... 附录目录19刖言由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。
线性分组码的译码
一、实验目的1、通过实验掌握线性分组码的编码原理2、通过实验掌握线性分组码的译码3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、自行设置线性分组码或汉明码的参数，计算所设计出的线性分组码或汉明码的所有码字集合；2、利用库函数译码或利用通信工具箱设计译码模块译码；3、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。
三、实验结果1、写出产生（3，1）汉明码的生成矩阵，给出生成码的源程序，并给出运行结果。
(1)、源程序function f=hanmingencod(a) %对信息元a进行编码G=[1 1 1]; %（3,1）的生成矩阵t=input('输入0或1:'); %t=0时产生（3,1），汉明编码所有码字t=1时对输入序列进行编码if t==1;a=input('输入信息元序列:'); %当t=0时，则用户手动输入信息元序列c=mod(a*G,2); %对应码字disp('编码后序列为:');disp(c); %显示编码后的结果elsedisp('（3,1）汉明系统为:');%当t=0时，对for循环得到的信息元序列进行编码for i=0:1%进行for循环，得到信息元序列a=dec2bin(i,1); %生成信息源序列c=mod(a*G,2); %对信息元a进行编码disp(a); %显示信息元disp('对应码字为:');disp(c); %显示编码结果endend（2）运行结果:输入0或者1:0（3，1）汉明系统码为:对应码字为:0 0 01对应码字为: 1 1 1输入0或者1:1输入信息元序列:0编码后序列为: 0 0 0输入0或者1:1输入信息元序列:1编码后序列为: 1 1 1（3）、计算生成矩阵：由（3,1）汉明码可知：n=3,k=1;即信源符号1位一组：{}(),0,1,0,1,2,3;i i u u u i =∈=码符号3位一组：{}210(,,),0,1,0,1,2,3,4,5,6;j c c c c c j =∈=则可得其生成矩阵：[]1,1,1G = 或者校验矩阵H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡110110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100111 所以生成矩阵[]1,1,1G =2、用encode函数对随机产生的序列进行汉明编码，给出编码结果。
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
8.2 线性分组码 线性分组码编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：
信息论基础——线性分组码
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念
汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念
线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；
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关键词：编码; 译码; 纠错
前言
由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。
在定理中，信道容量C是平均互信息量的最大值
其单位是“bit/符号”。
定理 有噪信道编码逆定理(定理的逆定理)
设离散无记忆信道[X,P(y|x),Y]，其信道容量为C。当信息传输率R>C时，则无论码长n多长，均找不到一种编码2nR，使译码错误概率任意小。
定理和定理统称为申农第二定理，它是一个关于有效编码的存在性定理，它具有根本性的重要意义，它说明错误概率趋于零的好码是存在的。它有助于指导各种通信系统的设计，有助于评价各种通信系统及编码的效率。申农1948年发表申农第二定理后，科学家就致力于研究信道中的各种易于实现的实际编码方法，赋予码以各种形式的代数结构，出现了各种形式的代数编码、卷积码、循环码等。
定理（离散无记忆信源的限失真编码定理）
设R(D)是某离散无记忆信源的信息率失真函数，只要满足信息率R>R(D)，对于任意小的 ，允许失真值 ，以及任意足够长的码字长度 ，则一定存在一种编码方法，使其平均译码失真 ；反之，若R<R(D)，则无论采用什么样的编码方法，都不可能使译码的失真小于或等于 。
离散无记忆信源的限失真编码定理也称为申农第三编码定理，它表明：在允许失真值 给定后，总存在一种编码方法，使编码后的信源输出信息率 大于R(D)，但可任意地接近于R(D)，而平均失真 小于或无限接近于允许失真值 ；反之，若R>R(D)，则编码后的平均失真 将大于 。
信息传输的目标是高效率、高质量地传输信息，而高效率和高质量又常常相矛盾。本章分析的几个编码定理表明：通过适当的编码可以把高效率（传输信息的速率无限接近于信道容量）和高质量（传输信息的差错无限接近于零或者失真低于规定的允许值）完美地结合起来。
2.线性分组码的编码
生成矩阵
线性分组码（n，k）中许用码字（组）为2k个。定义线性分组码的加法为模二加法，乘法为二进制乘法。即1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0。且码字 与码字 的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。
(2) （ ）。
(3) 根据贝叶斯定律，可得后验概率与先验概率之间的关系
（ ）
＝ （ ）
抗干扰信道编码定理及逆定理
定理有噪信道编码定理
设离散无记忆信道[X,P(y|x),Y],P(y|x)为信道传递概率，其信道容量为C。当信息传输率R<C时，只要码长n足够长，总可以在输入的符号集中找到2nR个码字组成的一组码和相应的译码规则，使译码的错误概率任意小(PE )。
由于信道的干扰使输入符号x在传输中发生错误，所以可以用传递概率P(bj|ai)
来描述干扰影响的大小。因此，一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空间[ ]加以描述。另外，也可以用图来描述，如图所示。
图单符号离散信道
定义 已知发送符号为ai，通过信道传输接收到的符号为bj的概率P(bj|ai)称为前向概率。已知信道输出端接收到的符号为bj，而发送符号为ai的概率P(ai|bj)，称为后向概率。
通常将要处理的信息称为原信息，将原信息转化为数字信息后再进行存储、传输等处理过程称为传送。工程上最容易实现的是二元数字信息（或二元码信息）的传送。所谓二元数字信息就是由二元数域F2={0,1}中的数字0与1组成的数组或向量。
定义 设X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)，xiF2，yiF2，i=1,…,n，称X和Y对应分量不相等的分量个数为X和Y的汉明（Hamming）距离，记为d(X,Y)。
···················
实践教学
···················
大学
计算机与通信学院
2014年秋季学期
计算机通信课程设计
题目：线性分组码(9，4)码的编译码仿真设计
专业班级：
姓名：
学号：
指导教师：
成绩：
摘要
该系统是（9，4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。
图离散信道模型
根据信道的统计特性即条件概率P(y|x) 的不同，离散信道可以分为三种情况：
（1）无干扰信道。信道中没有随机干扰或干扰很小，输出信号 与输入信号 之间有确定的一一对应的关系。
（2）有干扰无记忆信道。实际信道中常有干扰，即输出符号与输入符号之间没有确定的对应关系。若信道任一时刻的输出符号只统计依赖于对应时刻的输入符号，而与非对应时刻的输入符号及其他任何时刻的输出符号无关，则这种信道称为无记忆信道。
而平均译码失真则是
如果要求平均译码失真小于某个给定值 ，即
也就是对P(Y|X)施加一定的限制。把满足上式的那些P(Y|X)记为PD，在集合PD中寻找一个P(Y|X)使I(Y|X)极小，把这个极小值称为在 的条件下所必须传送的信息速率，并记为R(D)，即R(D)=min(X;Y)
RD
称R(D)为信息率失真函数。它表示信息率与失真量之间的关系。上式表明，在集合PD中，任意一个I(Y|X)值所对应的平均失真都小于或等于 。也就是说，在集合PD内，只要I(Y|X)R(D)，就可以达到 ；但是如果I(Y|X)<R(D)，就意味着P(Y|X)不在集合PD内，因而不能满足 。
检错与纠错的基本原理
在申农第二定理发表后，很长一段时间内人们都在探寻能够简单、有效地编码和译码的好码。由此形成了一整套纠错码理论。在此只简单地介绍检错和纠错的一些基本概念及基本原理。
在信息处理过程中，为了保持数据的正确性应对信息进行编码使其具有检错纠错能力，这种编码称为语法信息编码。它的基本思想是引入剩余度，在传输的信息码元后增加一些多余的码元，以使信息损失或错误后仍能在接收端恢复。
如果用二进制码符号来进行编码的话，那么在允许失真为 的情况下，平均每个信源符号所需二进制码符号数的下限值在数量上等于R(D)。在不允许失真的情况下，平均每个信源符号所需二进制码符号数的下限值在数量上等于H(S)。一般情况下，有R(D)<H(S)，因此，在满足保真度准则 的条件下，信源所需输出数据就可以达到压缩。
记
则
d(X,Y)=d(x1,y1)+d(x2,y2)+…+d(xn,yn)
容易证明以下定理。
定理设X和Y是长为n的二元码字，则
（1） （非负且有界性）
（2）d(X,Y)=0当且仅当X=Y（自反性）
（3）d(X,Y)=d(Y,X)（对称性）
（4） （三角不等式）
限失真编码定理
申农第一定理和申农第二定理指明：无论是无噪声信道还是有噪声信道，只要信道的信息传输率 小于信道容量 ，总能找到一种编码，在信道上以任意小的错误概率和任意接近信道容量的信息传输率传输信息。反之，若信道信息传输率 大于信道容量 ，一定不能使传输错误概率任意小，传输必然失真。
实际上，人们并不需要完全无失真地恢复信息，只是要求在一定保真度下，近似恢复信源输出的信息。比如，人类主要是通过视觉和听觉获取信息，人的视觉大多数情况下对于25帧以上的图像就认为是连续的，通常人们只需传送每秒25帧的图像就能满足通过视觉感知信息的要求，而不必占用更大的信息传输率。而大多数人只能听到几千赫兹到十几千赫兹，即便是训练有素的音乐家，一般也不过能听到20千赫兹的声音。所以，在实际生活中，通常只是要求在保证一定质量的前提下在信宿近似地再现信源输出的信息，或者说在保真度准则下，允许信源输出的信息到达信宿时有一定的失真。
有时，也把P(ai)称为输入符号的先验概率（即在接收到一个输出符号以前输入符号的概率），而对应地把P(ai|bj)称为输入符号的后验概率（在接收到一个输出符号以后输入符号的概率）。
为了讨论方便，下面列出本章讨论中常用的一些关于联合概率和条件概率的关系：
(1) 设输入和输出符号的联合概率为P(x=ai,y=bj)=P(aibj)，则有
目前，绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码。而线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点，采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制编码技术。
对线性分组码的讨论都在有限域GF(2)上进行，域中元素为{0,1},域中元素计算为模二加法和模二乘法。分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
P(y|x)=P(y=bj|x=ai)=P(bj|ai) (i=1,2,…,r；j=1,2,…,s)
这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率。
因为信道中有干扰（噪声）存在，信道输入为x=ai时，输出是哪一个符号y，事先无法确定。但信道输出一定是b1,b2, …,bs中的一个，即有
(i=1,2,…,r) (1-1)
信道的种类很多，这里只研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。
1．离散信道的数学模型
离散信道的数学模型一般如图所示。图中输入和输出信号用随机矢量表示，输入信号为