【课件】人教新课标A版高中数学必修五 第二章 数列 等比数列的前n项和3等差、等比数列的综合应用
第二章
数列
人 教 A 版 数 学
第二章
数列
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人 教 A 版 数 学第二章 Nhomakorabea数列
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4.3.2等比数列的前n项和公式(3)课件-高二上学期人教A版数学选择性【03】
并项法求和
(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝211－－222n＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
等比数列的前n项和（3）
温故知新
1．等比数列的有关公式
a1qn－1
(1)通项公式：an＝ (2)前 n 项和公式：
.na1，q＝1， a111－－qqn，q≠1
2. {an}是等比数列 Sn Aqn A
3. Sn为等比数列的前n项和,Sn≠0, q≠－1或k不是偶数时,
则Sk, S2k－Sk, S3k－S2k(k∈N*)是等比数列.
分析：由题意可知，每年生活垃圾 的总量构成等比数列，而每年以环 保方式处理的垃圾量构成等差数列。 因此，可以利用等差数列、 等比数列的知识进行计算。
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）
构成数列{ }，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：
万吨）构成数列{ }， 年内通过填埋方式处理的垃
圾总量为 （单位：万吨），
变式
3．已知数列{an}的前
n
项和
S
n＝n
2＋n，n∈N*. 2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和．
解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－n－12＋2 n－1＝n. a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列前n项和
一、复习
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
☆：已知三个量，可以求出第四个量。 （说“三”道“四”）
问题：如何来求麦子的总量？
即求：1，2，22，··，263的和； ·· ·· 令：S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64=
g
2+22+23+······ +263+264
，
错位相减得： S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨！
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列：a1，a2，a3，···，an··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即：S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn （1-q）Sn=a1-a1qn 错位相减得：
等比数列的求和公式(q≠1)
在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二”பைடு நூலகம்
例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年 的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约几年 内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？ 解：根据题意，每年的产量比上一年增加的百 分率相同，所以从第１年起，每年的产量组成 一个等比数列｛an｝。 其中：a1=5， q=1+10%=1.1， Sn=30；
例4、设数列 为 求此数列前n项和。
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
☆：已知三个量，可以求出第四个量。 （说“三”道“四”）
问题：如何来求麦子的总量？
即求：1，2，22，··，263的和； ·· ·· 令：S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64=
g
2+22+23+······ +263+264
，
错位相减得： S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨！
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列：a1，a2，a3，···，an··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即：S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn （1-q）Sn=a1-a1qn 错位相减得：
等比数列的求和公式(q≠1)
在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二”பைடு நூலகம்
例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年 的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约几年 内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？ 解：根据题意，每年的产量比上一年增加的百 分率相同，所以从第１年起，每年的产量组成 一个等比数列｛an｝。 其中：a1=5， q=1+10%=1.1， Sn=30；
例4、设数列 为 求此数列前n项和。
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
人教a版必修五课件：等差数列的前n项和(53页)
第二章
数列
2.3 等差数列的前n项和
第1课时
课前自主预习
等差数列的前n项和
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系， 能够由其中的三个量求另外的两个量.
课 前 自 主 预 习
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 [例1] 等差数列前n项和公式的基本运算 分别按等差数列{an}的下列要求计算：
2．等差数列{an}的前n项和 na1＋an 设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝ ＝na1＋ 2
nn－1 d 2 .
思考感悟
1．推导等差数列前n项和公式时，用的推导方法叫什 么？其基本的求解思路是什么？
提示：叫倒序相加法．其求解思路来源于对等差数列 的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性 质的认识和发展．
2．“等差数列的前n项和公式是关于n的一元二次函 数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是 关于n的一元二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n
提示：(1)等差数列的求和公式中，一共涉及到a1， an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个， 而且方法就是解方程组，这也是等差数列解决问题的基本 方法．
2 009a1＋a2 009 1 ∴S2 009＝ ＝2 009a1 005＝2 009×41＝49. 2 100×100－1 (2)由S100＝100a1＋ ×2＝10 000，解得a1 2 ＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
数列
2.3 等差数列的前n项和
第1课时
课前自主预习
等差数列的前n项和
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随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系， 能够由其中的三个量求另外的两个量.
课 前 自 主 预 习
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 [例1] 等差数列前n项和公式的基本运算 分别按等差数列{an}的下列要求计算：
2．等差数列{an}的前n项和 na1＋an 设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝ ＝na1＋ 2
nn－1 d 2 .
思考感悟
1．推导等差数列前n项和公式时，用的推导方法叫什 么？其基本的求解思路是什么？
提示：叫倒序相加法．其求解思路来源于对等差数列 的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性 质的认识和发展．
2．“等差数列的前n项和公式是关于n的一元二次函 数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是 关于n的一元二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n
提示：(1)等差数列的求和公式中，一共涉及到a1， an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个， 而且方法就是解方程组，这也是等差数列解决问题的基本 方法．
2 009a1＋a2 009 1 ∴S2 009＝ ＝2 009a1 005＝2 009×41＝49. 2 100×100－1 (2)由S100＝100a1＋ ×2＝10 000，解得a1 2 ＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
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KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
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当堂(dānɡ
tánɡ)检测
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
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当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
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导航
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
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当堂(dānɡ
tánɡ)检测
【精编】人教A版高中数学必修五课件数列求和课件-精心整理
Sn 2n1 n 2
二、分组求和法
• 数列{ an }非等差、等比等可以直接求和的数 列但可以拆分成一些特殊数列的和（差） 的形式,则可以分组求和再相加（减）
如：an (n 1)2
bn
2n
3
( 1 )n1 2
例 3、求数列的前 n 项和：
11
1
1 1, a 4, a2 7, , an1 3n 2 ，…
3n2 n
S
n
2
3n2 2
n
a
a
a
1
1
n
(a 1) (a 1)
三、倒序相加求和法
• 若数列{ an}中首末两项相加和为定值，或者 与首末两项等距的项之和相等，则可用倒 序相加法求和.
例 4.cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°= 0
数列求和
一、直接套用公式
等差数列求和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
等比数列求和公式：
Sn
na1 a1 (1
q
n) 源自1qa1 anq 1q
(q 1) (q 1)
常用求和公式补充：
12 22 32 ... n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
例5.
四、错位相减法
若数列{ an}由一个等差数列和一个等比数列 之积构成，则可用错位相减法求和
如：an
n( 1 )n 2
二、分组求和法
• 数列{ an }非等差、等比等可以直接求和的数 列但可以拆分成一些特殊数列的和（差） 的形式,则可以分组求和再相加（减）
如：an (n 1)2
bn
2n
3
( 1 )n1 2
例 3、求数列的前 n 项和：
11
1
1 1, a 4, a2 7, , an1 3n 2 ，…
3n2 n
S
n
2
3n2 2
n
a
a
a
1
1
n
(a 1) (a 1)
三、倒序相加求和法
• 若数列{ an}中首末两项相加和为定值，或者 与首末两项等距的项之和相等，则可用倒 序相加法求和.
例 4.cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°= 0
数列求和
一、直接套用公式
等差数列求和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
等比数列求和公式：
Sn
na1 a1 (1
q
n) 源自1qa1 anq 1q
(q 1) (q 1)
常用求和公式补充：
12 22 32 ... n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
例5.
四、错位相减法
若数列{ an}由一个等差数列和一个等比数列 之积构成，则可用错位相减法求和
如：an
n( 1 )n 2
高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和 第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》
②如果顶点横坐标－2qp不是正整数，Sn 在最接近顶点横坐标的正 整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．
【练习 2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质． 由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知， 可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0， 得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
【练习 2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质． 由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知， 可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0， 得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－