复数域和实数域 - 西安电子科技大学个人主页系统 我的西 …
1.4复数域、实数域、有理系数多项式
一、C上多项式 对于 F x 上的多项式 f x ，它在F上未必有根，
那么它在C上是否有根？ 定理1.4.1（代数基本定理）：
每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 一个根。
定理1.4.2： 任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按 重数计算）。
解：2的因数是1, 2, 1的因数是 1,
1 故 f x 可能的有理根只能是 1, 2 1 对1, 用综合除法逐一检验知：
f x 的有理根只能是 1 2 。
2
第一章
多项式
x 2
k2
x r
kr
其中 1 , , r 是不同的复数， k1 ,
k
i 1
r
, kr 是自然数且
i
n.
多项式
第一章
二、实数域上的多项式 定理1.4.3 每个次数 1 的实系数多项式都可 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 乘积。
第一章
多项式
有理系数多项式 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
第一章
多项式
推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多 项式。 推论2：任一个n（n>0）次多项式 f x 在 C x 上都能分解成一次因式的乘积，即
f x a0 a1x
an xn 的标准分解式是：
高等代数域的例子,复数域的构造
这方程在 R 中无解. 但实际上从 16 世纪开始就有数学家引入形如
a + b√−1 的数，其中 a, b 是实数，并且认为它也适合实数所适合
的运算规则.
这样所有负数的平方根可通过
√ −1
来表达，且能对
形如 a + b√−1 的数进行加减乘除四则运算.a + b√−1 这种形式的
数称为复数. 其后，人们证明了三次和四次复系数多项式（包括实
复数域的构造
命题 令 R 为实数域，C = {(a, b)|a, b ∈ R}. 令
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc),
则 C 对于上述加法和乘法成为一个域，称为复数域.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
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复数域的性质
复数域 C 有下列性质：
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
复数域的性质
复数域 C 有下列性质：
(i) C 中子集 {(a, 0)|a ∈ R} 对于 C 的加法和乘法成为一个子域. 一个自然的对应 (a, 0) → a 建立了这个子 域与 R 之间的一个 域同构，我们干脆记它为 R，这即说明 C 包含实数域 R. R 自然是 R 上二维向量空间：任意 (c, 0) ∈ R，(c, 0) 对 (a, b) 的数量乘积就是它们在 C 中的乘积，(c, 0)(a, b) = (ca, cb). 于 是有 (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1). 干脆将 (a, 0), (b, 0) 写成 a, b， 则 (a, b) = a + b(0, 1).
第三节 实数域和复数域
第三节实数域和复数域1．实数和实数域前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．因此，R是阿基米德序域．反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是即lima n＝a即R中任意数a都是有理数基本列的极限．若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若lima n=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当lim(a n－b n)=0；2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n＞ε．由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域.(3)嵌入设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．实数集R的若干性质．1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…．这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：实数b．这时规定B与b对应．建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．3°实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第a n(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作a1·a2a3…a n…并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作a＝a1·a2a3…a n…对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．4° R不是可数集这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：a1=0．a11a12a13…a2＝0．a21a22a23………a n=0．a n1a n2a n3………令b=0．b1b2…b n…，其中显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．*2．实数的公理化定义实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来．设在集合R中定义了两种代数运算，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公理(实数公理)：Ⅰ．域公理对于任意x，y，z∈R，有Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；Ⅰ2．x＋y＝y＋x；Ⅰ3．存在元素o∈R，使0＋x＝x；Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；(至此，(R；＋)为群)Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；Ⅰ6．xy＝yx；Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；Ⅰ8．存在元素1∈R，使1·x=x；(至此，(R；＋，·)为具有单位元的可换环)Ⅰ9．若x≠0，则总存在元素x-1∈R，使x-1·x=1．(至此，(R；＋，·)为域)Ⅱ．序公理对任意x，y，z∈R，有Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一个成立；Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；(至此，(R；＜)为全序集)Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；(至此，(R；＋，·，＜)为全序域)Ⅲ．阿基米德公理对于任意R中正元0＜x，0＜y，总存在n∈N，使y＜nx．(至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德序域)Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛(至此，(R；＋，·，＜)为连续的或完备的阿基米德序域)公理Ⅳ又称连续公理，它有许多等价形式：1° (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数2° (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界．3° (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限．4° (区间套定理) R中任意闭区间套｛［a n，b n］｝确定唯→0，则存在唯一实数a∈［a n，b n］，n=1，2，3，…．6° (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列．7° (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点．3．复数域从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法．(1)定义含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域．即1°域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；3°若域(C′；＋，·)满足上述1°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．域C中元素叫做复数．如果复数域C存在，则C具有形式C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝因此，所有在此定义下的复数域C是同构的．即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的．(2)构造作集合C0=｛(a，b)|a，b∈R｝在C0中定义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)∈C0，规定(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)容易证明，(C0；＋，·)是域．与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集．(3)嵌入令C0=C1∪C2，其中C1=｛(a，0)|a∈R｝C2由C0中其余元素组成．作映射f：R→C1，使对每一a∈R，都有f(a)＝(a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．令C＝R∪C2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质1°复数域是代数闭域这由下面定理保证：代数基本定理复系数n次方程x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x+a0＝0在复数域C中有n个根．只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹．2°复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别．复数集C，可以定义序＜，使(C；＜)成为全序集．例如，对于任意a1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个全序，从而(C；＜*)是全序集．但是，对于复数域C上任意序＜，(C；＋，·，＜)都不是序域．事实上，只要考虑i与0的序关系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．若0＜i，由实数序公理Ⅱ4，有0＜i·i=-1所以0＜(－1)(－1)=1 (*)又由序公理Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与(*)矛盾若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛盾．因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺序．这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在．在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质．例如，N扩充到Z，失去了良序性等．当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了．因此，通常所说的数，都是指实数或复数．第四节代数数、超越数和作图不能问题1．代数数和超越数有理系数(或整系数)多项式p(x)＝a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0(1)的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．一个代数数α所满足的有理系数多项式的最低次数，称作α的次为它们满足一次方程qx-p=0．代数数，而是四次代数数，因a5是四次方程x4-5x2＋5＝0的根有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．超越数是无理数中的非代数数．人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关．1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermite(1822—1901)第一次证明了e是超越数．1882年，Lindemann(1852—1939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个．1929年，Gelfond(1906—1968)证明了eπ是超越数；1930年，Kuzmin(1891—1949)将本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类．例如sin1，cos3，ln2，ln5，…和都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，…，u n是不同的代数数，那么复指数eμ1，eμ2，…，eμn在代数数域上线性无关)．然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连π＋e，πe是不是超越数，至今还不知道．*2．π和e这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．圆周率π，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值．1761年，Lambert(1728—1777)证明了π是无理数，这才打破了人们的梦想．但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法．因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明．取自然数n＞q，用n！乘下列级数表达式两边：得n！e＝a n＋b n因n＞1，故0＜b n＜1．即b n不可能是整数．产生矛盾．所以e是无理数．π和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿．e不是二次代数数即证明：对于任意a0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有a0e2＋a1e＋a2≠0事实上，如果有某三个整数a0(≠0)，a1，a2使a0e2＋a1e＋a2=0即a0e＋a1＋a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！S n＝-(n-1)！R n因(n－1)！S n为整数，故也应为整数．令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则因此，(n－1)！R n=0，(n-1)！S n=0．由此可以导致矛盾(详见［39］)．证明π是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的．3．几何作图不能问题华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章①．他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途．”作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚．古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是1 三等分任意角问题；2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)．如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题．所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题．如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形．设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：1°所有正整数n(长度为n的线段)；3°上述各种数的和、差、积、商及算术平方根．如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”．例其中a，b，A是较低层平方根数或有理数．每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程x n＋a1x n-1＋…＋a n-1x＋a n＝0，a i∈Q (4)的根．反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=α，则α是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：x4-5x2＋5＝0于是a5∈F2．为解决几何作图问题，我们先证明定理Q上三次方程x3＋a1x2＋a2x+a3=0 (5)的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根．证设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：其中a，b，A∈F k-1，k≥1．(6)代入(5)：整理得x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果a∈Q，则定理已经证明．若a∈F k-1≠Q，那么又令a=a′因此，方程(5)有根x1或x2，即由此定理得推论如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图．利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”．4．“几何作图三大难题”的解答(1)三等分角问题设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线由于4x3-3x-cosA＝0的根．特别地，当A=60°时，cos20°是方程8x3－6x－1=0 (8)的根．方程(8)没有有理根．事实上，令y=2x，(8)变成y3-3y-1＝0 (9)p3－3q2p＝q3即p(p2－3q2)=q3(10)从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．从而(9)若有有理根，则只能为y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根．由上段推论，(2)倍立方问题设已知立方体棱长为1，2倍体积的立方体校长为x，则有x3＝2 或x3－2=0 (11)同上可证，(11)也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．方程(8)和(11)都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．(3)化圆为方问题设给定圆半径为1，则其面积为π．设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程x2＝π 或x2－π=0 (12)有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．研究与思考题1．试说明在数的扩充过程中，从N→C的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？2．试证明：有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域．3．从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？4．证明：实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数．5．证明：代数数集A构成实数域R的子域．又问，超越数集T是否也构成R的子域？6．作图不能问题的含义是什么？希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？7．“复数不能规定大小”的含义是什么？8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？。
信号与系统(第四版)第四章课后答案
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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1
t
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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0
2
4
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信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
信号与系统教案第4章FT的性质
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
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信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
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a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
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可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
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T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便，因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 欧拉公式：cosx=(ejx + e–jx)/2
有限维线性空间上子空间并的性质的一个注记
有限维线性空间上子空间并的性质的一个注记孙丽雪;李永彬;林晨【摘要】对于特征为零的域上的有限维线性空间的子空间的并,我们知道下述性质:有限个互不包含的非平凡子空间的并不是原来的线性空间.一方面,本文通过介绍有限维线性空间中任一子空间与齐次线性方程组解子空间的关系,及商空间的维数公式,给出了上述性质的一个改进证明.另一方面,本文把仿射簇的概念和子空间联系起来,并根据仿射簇的一个简单性质,给出了上述性质的另一个更为简洁的证法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)004【总页数】4页(P29-32)【关键词】子空间;商空间;维数公式;子空间的并;特征;仿射簇【作者】孙丽雪;李永彬;林晨【作者单位】电子科技大学数学科学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科学学院,四川成都611731【正文语种】中文【中图分类】O1431 引言高等代数中介绍了线性子空间的交与和，对于线性子空间的并，多数教材中并未详细讨论.本文主要讨论了特征为零的域上的有限维线性空间中有限个非平凡子空间的并这个问题，并试图用更本质的方法证明：特征为零的域上的有限维线性空间中互不包含的非平凡子空间的并不能构成线性子空间.文献[1]中给出了一个相当巧妙的证明，本文一方面结合商空间的维数公式给出一个改进证法，另一方面结合代数几何中仿射代数簇的一个简单性质给出了另一个更为简洁的证法.首先，对于线性空间的子空间，在各版教材(文献[1],[2],[3])习题中有下述结论，设Fn是数域F上的全体n维向量构成的线性空间，则Fn的任一子空间V1必至少是一个n元齐次线性方程组的解子空间.而商空间是我们不太熟悉的一个概念，在文献[2]中详细介绍了这个概念及商空间的维数公式.从上述线性空间中任一子空间与齐次线性方程组解子空间的关系，及商空间的维数公式，文中讨论了特征为零的域上的有限维空间上有限个子空间的并集是否是子空间这一问题，并且给出否定回答，从而这个并集不是原来的线性空间.其次，由线性子空间与仿射簇概念的相似性，引出仿射簇的定义.从而考虑仿射簇的并，不同的是仿射簇虽与子空间定义类似，但仿射簇的定义方程不要求是线性的，从而仿射簇的并与子空间的并的性质也不相同，由此可以更好地理解子空间与仿射簇的区别.最后，由每个线性子空间可以找到一个包含它的仿射簇，从仿射簇的角度，同样得出，该并集不是原来的线性空间.2 特征为零的域上的有限维线性空间V上子空间的并集在线性空间这一章中，有下述结论：定理1 设W1,W2,…,Ws(s>1)是特征为零的域F上的n维线性空间V的s个互不包含的非平凡子空间，那么这s个非平凡子空间的并不等于整个空间V，即V≠为证明上述定理，通常证明V中至少有一个向量不属于W1,W2,…,Ws中任何一个，并用数学归纳法来证.即先证明s=2时定理成立，然后设s=k时成立，证明s=k+1时定理也成立即可，详见[2].注意上述定理要求n维线性空间V所在域的特征为零，这个条件是不可缺少的.因为对于特征不为零的域上的线性空间，如中，上述定理的结论是不成立的，即不等式要改为等式，详见[4].文献[1]给出了定理1的一个相当巧妙的证明，在原证法的基础上，我们将给出一种改进的证法.下面首先介绍域的特征的概念.定义1 设F为域，如果存在最小的正整数n，使得对所有的a∈F，有na=0，则称n为域F的特征.如果这样的正整数不存在，则称域F的特征为零.通常熟悉的复数域、实数域、有理数域都是特征为零的域.而上文提到的Z2就是特征不为零的域，Z2的特征是2，是域Z2上的3维线性空间.又如Z2上所有3阶方阵的全体M3(Z2)是域Z2上的9维线性空间；系数在Z2上的所有多项式的全体Z2[x]是域Z2上的无穷维向量空间.注意，特征为零的域一定是无限域.因为有限域可以看作关于加法运算构成了一个群，所以这个群的阶数就是有限的，从而一定存在最小的正整数n，使得对于域中所有的元素a，都有na=0.再来介绍商空间的一些知识.设V是域F上的线性空间，W是V的子空间，可以把V中的向量这样分类：α和β属于同一类当且仅当α-β∈W.显然，与α同类的向量全体为α+W=α+w w∈W，这称为模W的一个同余类，α称为此类的代表元.此类中的任一元素β都可以作为代表元，即若有β∈α+W，则β.于是V中的向量被划分为许多个同余类.同余类的全体记为V/对于α1,α2∈V,c∈F，在V/W中定义加法和数乘如下：，或(α1+W)+(α2+W)=(α1+α2)+W；或c(α+W)=cα+W.定义2[2] 设W是域F上线性空间V的子空间，V/W是V对模W的同余类全体，则V/W是域F上的线性空间，称为商空间.引理1[2] 商空间的维数公式：dimV/W=dimV-dimW以下在[1]中证法的基础上，借助引理1，我们给出定理1的一个替代的证明.证法一用反证法.假设W=W1∪W2∪…∪Ws构成子空间，且不妨设W⊂Fn.由于任一线性空间的子空间都是一个齐次线性方程组的解子空间，对每个i(i=1,2,…,s)，不妨设Wi均为n-1维子空间(不然将Wi扩大即可)，设以Wi为解子空间的线性方程分别为ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0，i=1,2,…,s.由这些方程导出关于未定元T的多项式fi(T)=ai1+ai2T+ai3T2+…+ainTn-1，i=1,2,…,s.对每一个i，fi(T)最多有n-1个根，故这些多项式最多有s(n-1)个根.而F中有无限多个元素，因此存在t∈F，使得fi(t)≠0，即ai1+ai2t+ai3t2+…+aintn-1≠0，i=1,2,…,s.设βj=(1,tj,,…,T，j=0,1,2,…,n-1，其中tj(j=0,1,2,…,n-1)满足 0于是，由…≠0可知βj(j=0,1,2,…,n-1)不是以W1为解子空间的齐次线性方程组的解，即βj∉W1.同理，由…≠0(其中i=2,…,s)得βj∉W2,…,βj∉Wn.因此βj∉W1∪W2∪…∪Ws，j=0,1,2,…,n-1.以βj(j=0,1,2,…,n-1)为列向量构成行列式，于是得到范德蒙行列式.由于tj互不相同，故D≠0，从而(1,tj,,…,T,j=0,1,2,…,n-1线性无关.于是(1,tj,,…,T+W,j=0,1,2,…,n-1也是线性无关的.由此得到商空间V/W的一组基(1,tj,,…,T+W，j=0,1,2,…,n-1，且商空间V/W的维数是n.由商空间的维数公式dimV/W=dimV-dimW，有n=n-dimW，从而dimW=0，即W为零空间.由已知条件W1,W2,…,Ws都是非平凡子空间，且W=W1∪W2∪…∪Ws，这与W是零空间矛盾.所以，假设不成立，即W1∪W2∪…∪Ws不能构成子空间.注该以上证法与[1]中给出的证法没有太大的差异，但能较好的理解定理1的结论.下节给出一种更为简洁和本质的证法.3 另一种证法由线性子空间与仿射簇二者概念的相似性，引入下面仿射簇的概念，详见文献[5]. 定义3[5] 设F是一个域，f1,f2,…,fs是Fx1,x2,…,xn中的多项式.令集合V(f1,f2,…,fs)=(a1,a2,…,an)∈Fn对所有的1≤i≤s都有fi(a1,a2,…,an)=0，则称V(f1,f2,…,fs)是由f1,f2,…,fs定义的仿射簇.由定义可知，V(f1,f2,…,fs)是使得所有f1,f2,…,fs等于零的点的集合.线性空间的任一子空间对应一个n元齐次线性方程组的解子空间，而在仿射簇的定义中没有要求它的定义方程是线性的，因而子空间可以看作是特殊的仿射簇，仿射簇是子空间的推广.那么对应子空间的并，仿射簇的并还是仿射簇吗？下面定理2讲述了这个问题.定理2 如果V,W⊂Fn是仿射簇，证明V∪W也是仿射簇.证假设V=V(f1,f2,…,fk)，W=V(g1,g2,…,gl)，其中k和l为正整数.则有V∪W=V(fpgq:1≤p≤k,1≤q≤l).一方面，如果(a1,a2,…,an)∈V，那么所有的fp在这一点为0，也就蕴含着所有的fpgq在(a1,a2,…,an)点也等于0.因此V⊂V(fpgq).类似地，有W⊂V(fpgq).这就证明了V∪W⊂V(fpgq).另一方面，取(a1,a2,…,an)∈V(fpgq)，如果该点在V中，那么就完成了证明.如果该点不在V中，那么对某个p0，有fp0(a1,a2,…,an)≠0.又因为fp0gq对所有的q，在(a1,a2,…,an)点都等于0，那么gq一定在这个点为0，这就证明了(a1,a2,…,an)∈W.于是得到V(fpgq)⊂V∪W.综上有V∪W=V(fpgq).因此V∪W也是仿射簇.从定理2的证明过程可见下述推论1显然成立.推论1 设f,g∈Fx1,x2,…,xn，则有V(f)∪V(g)=V(fg).定理2蕴含着有限个仿射簇的并集还是仿射簇，只需将这有限个仿射簇的定义方程写出来即可证明.从定理2可以看到子空间的并不同于仿射簇的并，二者既有联系又有区别.以下从仿射簇的角度证明定理1.定理1证法二与第一种证法类似，对每个i，不妨设Wi均为n-1维子空间(不然将Wi扩大即可)，设以Wi为解子空间的线性方程分别为ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0，i=1,2,…,s.对于每个i，ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0表示一个超平面.令fi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn，则fi=0(即该超平面的定义方程)在几何上表示由多项式fi定义的仿射簇Vi.由于对于每个子空间，存在一个包含它的超平面，从而对于每个子空间Wi，存在一个包含它的仿射簇Vi，其中i取值均为1,2,…,s.因此，由推论1易知⊂V(g),其中显然g为s次齐次多项式，现设h=g(1,t,…,tn-1)∈F[t]，则有h(t)在F上最多有有限个根. 而F中有无限多个元素，因此存在tj∈F(j=0,1,2,…,n-1)，使得h(tj)≠0.设βj=(1,tj,,…,T，j=0,1,2,…,n-1，则βj∉V(g)(j=0,1,2,…,n-1)，因而βj∉V1∪V2∪…∪Vs，从而βj∉W1∪W2∪…∪Ws，j=0,1,2,…,n-1.以下证明过程同证法一，假设W=W1∪W2∪…∪Ws构成子空间，采用反证法可得到相同的结论.[参考文献]【相关文献】[1] 张贤科,许甫华.高等代数学 [M]. 2版.北京:清华大学出版社，2004.[2] 丘维声.高等代数学习指导书(上、下册)[M].北京:清华大学出版社，2009.[3] 黄廷祝,何军华,李永彬.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2012.[4] 韩士安,林磊.近世代数 [M]. 2版.北京:科学出版社，2009.[5] David Cox,John Little,Donal o’shea.Ideal Vari eties,and Algorithms [M]. 2nd. Ed. New York: Springer，2006.。
实数域与复数域在几何中的应用
在几何学中，实数域和复数域是两个重要的数学概念。
实数是指包括有理数和无理数的数集，而复数是指由实数和虚数相加而成的数集。
实数和复数在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和描述几何形状和变换。
首先，实数域在几何中的应用可以帮助我们确定一条直线或曲线的方程。
以直线为例，如果我们知道直线上的两个点的坐标，那么我们可以通过求斜率和选择其中一个点作为起点来确定直线的方程。
方程的形式可以是一般式、点斜式或截距式，而实数域可以帮助我们解决这些方程并得出直线的准确位置。
其次，复数域在几何中的应用主要体现在平面几何中的复平面上。
复平面是由实部和虚部组成的平面，可以将复数表示为一个有序对(x, y)，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。
复数域的应用使得我们能够更方便地描述和分析二维空间中的点和形状。
例如，利用极坐标系可以将复平面的点表示为极坐标(r, θ)，其中r是极径，θ是极角。
这种坐标系可以让我们更容易地理解和展示复数的模和幅角。
复数的模表示复数到原点的距离，而幅角表示复数与复平面的实轴之间的夹角。
通过极坐标系，我们可以更好地理解和运用复数在几何学中的运算和变换。
此外，复数域也可以用于表示和分析几何中的旋转和变换。
以平面上的旋转为例，我们可以将旋转的中心点表示为一个复数，并以旋转的角度表示。
利用复数的旋转公式，我们可以很容易地计算出一个点经过旋转后的新位置。
这种方法在计算机图形学和工程应用中有着广泛的应用。
最后，实数和复数域还在几何学的几何体积计算中发挥着重要的作用。
例如，在计算三角形、矩形、圆形等几何形状的面积时，我们需要用到实数域的数值计算方法。
而在计算复杂的几何体积，如球体、圆柱体等，我们需要借助复数的数学性质和计算方法。
实数和复数域为我们提供了一种更准确和有效的方式来处理几何学中的数据和问题。
综上所述，实数域与复数域在几何学中扮演着重要的角色。
实数域可以帮助我们确定直线或曲线的方程，而复数域可以在复平面上描述和分析二维空间中的点和形状。
有理数域实数域
全体有理数：对加法构成群；对乘法构成群（除0元素）
模m的全体剩余类
：对模m加法构成
群；对模m乘法，除0,01外, ，,根m据1m值不同有不同的结论。
如m=4时，剩余类 中的元素的逆元不存在。如对模
m=3乘法，除0外，剩余2类全体构成群。
11
群实例
设G={1, -1, i, -i}, ×为数的乘法，则(G, ×)是一 个交换群。
1）任给a∈P, a≤ a（反身性）；
2）任给a, b∈P, a≤b并且b≤a则a=b （反对称性）；
3）任给a, b, c∈P, a≤b并且b≤c则a ≤ c （传递性）。
则称≤是P的一个偏序关系，具有偏序关系≤的集合P，
称为偏序集，记为（P, ≤ ）。
例：设P={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}, 如果偏序关系≤为整 除关系，那么(P, ≤)的偏序集合如下图
3
同余和剩余类
同余
若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称
a、b关于模m同余，记为 a b(mod m)
若 a1 b1(mod m), a2 b2 (mod m), 则
a1 a2 b1 b2 (mod m), a1 a2 b1 b2 (mod m)
9
群的定义
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运 算 “ 。”，若满足： 1) 封闭性。对任意 a, b G，恒有 a bG
2) 结合律。对任意a, b, c G，恒有a b c a b c
3) G中存在一恒等元e,对任意 aG，使 a e e a a 4) 对任意 aG，存在a的逆元 a 1 G，使
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复数域和实数域
在学习复变函数之前，我们接触到的数域最大到实数域，碰到的变量、函数、极限、积分、导数等概念和运算都在实数域范围内。
域是数学上的一个概念，简单地说就是有一个数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为0）四则运算封闭，即集合中的任意两个元素做四则运算，结果得到的元素仍然在这个集合里。
根据这一规则可知，全体自然数、全体整数不构成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域。
在学习了复变函数论以后知道，全体复数也构成复数域。
那么，实数域和复数域是什么关系呢？
也许可以认为，复数域是比实数域更大的数域，复数域包含了实数域。
这样一种观点不能算是正确的。
的确，在复平面内，横轴表示复数的实部，这条轴看起来就表示了全体实数。
但是当复数z 在这上面取值的时候，是不是表示z 就是一个实数呢？
不是的。
不管z 在复平面内哪里取值，它都是一个复数，即z x iy =+是由实部和虚部的二元结构表示的数。
只是当z 在实轴上取值时，其虚部0y ≡，因此对复数z 进行运算时相当于只对其实部x 做运算，而其虚部将不会对运算结果起任何作用，这就使得此时对复数的运算完全相同于对实数的运算。
虽然如此，请记住：此时只是复数z 的虚部等于0，并不等于说此时复数z 变成了实数x ，更不能说复数z 没有虚部。
而这一结论能够成立的一个前提条件是：实数对四则运算是封闭的，不会在运算过程中产生复数。
这种关系还可以这样理解：实数轴上的全部复数可以和实数域中的全体实数之间建立一个一一映射关系，0x i x +→，
此时对复数的四则运算，包括求积分、求导数等运算，完全相同于对实数的运算。
在整个复平面内，只有实轴对四则运算是封闭的，虚轴对乘法和除法不封闭，不能构成一个数域。
而其它任意一条过原点的直线上的点对应的复数也对四则运算不封闭，不能形成一个数域，因此它们看起来都是一条直线，但是却不能和实轴一样，跟全体实数之间建立一个一一映射关系，让复数运算等同于实数运算。
留数定理在实变函数积分中的应用中，就是利用了这种关系。
在实轴上的积分，等价于在实轴上取值的复数的积分，从而把运算转化到复数域中。
假如实数域对积分（实际上就是乘法和加法）不封闭，那么就无法实现这种转化了。