集合及其运算ppt课件
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集合的基本运算课件(共11张PPT)
解析： M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.
3：（必修1第一章复习参考题B组练习1） 学校举办运动会时，高一（1）班有28名同学参 加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比 赛,14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的 有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人 同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的 有_____人？ 解析：设同时参加田径和球 类比赛的有x人,则 9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28
二：以点集为背景的集合运算：
例1：（必修1习题1.1B组练习2）在平面直角坐标系中，
集合 C ( x, y ) y x表示直线 y
x, 从这个角度看，集合
2 x y 1 D ( x, y ) ,表示什么？集合C , D之间有什么关系? x 4 y 5
(1) A B A, A B B; A A B, B A B
A (CU A) , A (CU A) U
( 2) A B A A B;
A B B A B
(3)德摩根定律： CU ( A B ) (CU A) (CU B ) CU ( A B ) (CU A) (CU B )
【解题回顾】将两集合之间的关系转化为两曲线之 间的位置关系，然后用数形结合的思想求出 的范围 (准确作出集合对应的图形是解答本题的关键).
a
课堂总结：
1、集合的基本运算：
2、集合的运算性质：
3、注重数形结合思想的应用：
（1）韦恩(Venn)图 （2）连续的数集——数轴 （3）点集的运算——曲线位置关系
游泳 田径
高中数学 集合的概念及其基本运算PPT课件
1
(3)集合的表示法：列__举__法___、描__述__法___、图__示__法___、 _区__间__法__.
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为_有__限__集___、__无__限__集___、_空__集___. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则 AB.（或 BA. 若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A， 则_______（或______）.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
［6分］
精选PPT课件
15
则a41a212,aa812.12a0; 当a>0时，若B A，如图,
则a4a1212,aa22.0a2.
综上知，当B A时， 1 a 2
［10分］
2
（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
A∪B=A B A. 交集的性质：
A∩= ；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=A A B.
补集的性质：
.
精选PPT课件
4
基础自测
1.（2008·四川理，1）设集合U={1，2，3，4，5},
A={1，2，3}，B={2，3，4},则 U(A∩B)等于 （ B）
A.{2，3}
B.{1，4，5}
C.{4，5}
并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B=_{_x_|_x_∈_A__且__x_∈__B_}_； 补集： UA=__{_x_|_x_ __U _且 __x__ _A _} __. U为全集， UA表示A相对于全集U的补集.
集合的基本运算课件ppt.ppt
解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：
x Q x 2x2 3 0 2
（2）在实数范围内有三个解2，3， ，3 即：
x R x x2 3 0 2, 3, 3
补集例题
例．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求 A， B．
解：根据题意可知：
7．你会求解下列问题吗？ 集合A＝{x|－2≤x<1}． (1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m<－. 2 (2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m≥1 . (3)若B＝{x|x<m－5或x≥2m－1}，A∩B＝ ∅，则m的取值范围是 1≤m≤3 .
[例3] 已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x， y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与 B 的公共元素组成的集合．
Venn图表示：
AB
A∩B
B
A∩B
A
B
A∩B=
交集性质
①AA＝ ；
②A＝
；
③AB＝A A____B
(1) 设 A ＝ {1 ， 2} ， B ＝ {2 ， 3 ， 4} ， 则 A∩B ＝ {2}．
(2)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，则A∩B＝ ∅.
2: A A A
3: A
4: AB A B A
5:B A AB A
6 : A A B, B A B
7 : (A B) C A (B C)
1: A B B A
2: A A A
3: A A
4: AB A B A
5:B A AB A
x Q x 2x2 3 0 2
（2）在实数范围内有三个解2，3， ，3 即：
x R x x2 3 0 2, 3, 3
补集例题
例．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求 A， B．
解：根据题意可知：
7．你会求解下列问题吗？ 集合A＝{x|－2≤x<1}． (1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m<－. 2 (2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m≥1 . (3)若B＝{x|x<m－5或x≥2m－1}，A∩B＝ ∅，则m的取值范围是 1≤m≤3 .
[例3] 已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x， y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与 B 的公共元素组成的集合．
Venn图表示：
AB
A∩B
B
A∩B
A
B
A∩B=
交集性质
①AA＝ ；
②A＝
；
③AB＝A A____B
(1) 设 A ＝ {1 ， 2} ， B ＝ {2 ， 3 ， 4} ， 则 A∩B ＝ {2}．
(2)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，则A∩B＝ ∅.
2: A A A
3: A
4: AB A B A
5:B A AB A
6 : A A B, B A B
7 : (A B) C A (B C)
1: A B B A
2: A A A
3: A A
4: AB A B A
5:B A AB A
集合课件PPt
集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B，B包含C，则A包含C。
吸收性
如果A包含B，则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B，B包含A，则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算，如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来，用 大括号{}括起来。例如：{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如：{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如：{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如：自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如：{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中，不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系，对称性指如果a与b有这种关系，则b与a也有这种关系，传递性指如 果a与b有这种关系，b与c也有这种关系，则a与c也有这种关系。
证明数学定理
集合的基本运算(共18张PPT)
(2)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},C={1,3}, 求
A∪(B∩C) A∪(B∩C)={3,4,5,6,8}
(3)设集合A={x|－1<x<2},集合B={x|1<x<3},求
A∩B
A∩B={x|1<x<2}
(4)设集合A={x|－1<x≤2},集合B={x|x<0或x≥2},
Ｖenn图
Ａ
Ｂ
AB
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB AB
学习新知
Ａ
交集的性质
Ｖenn图
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB
AB
A∩A = A A∩φ = φ
AB
A∩B =B∩A
A∩B A A∩B B 若A∩B=A,则A B．反之,亦然.
应用新知
典例分析
例2.(1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B
A∩B={5,8}
B={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一同学} C={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一女 同学}
集合C是由那些既属于集合A且属于集合B的所有 元素组成
学习新知
交集
交集:由AB 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称
为集合A与B的交集记做 A B (读做A交B)
A B x x A,且x B
典例分析
例4 设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2 上点的集合为L2,试用集合的运算表示l1,l2的 位置关系
答：平面内直线l1与l2可能有三种位置关系，即相 交于一点，平行或重合。
（1）l1与l2交于一点P
L1∩L2={点P}
（2）l1与l2平行 （3）l1与l2重合
A∪(B∩C) A∪(B∩C)={3,4,5,6,8}
(3)设集合A={x|－1<x<2},集合B={x|1<x<3},求
A∩B
A∩B={x|1<x<2}
(4)设集合A={x|－1<x≤2},集合B={x|x<0或x≥2},
Ｖenn图
Ａ
Ｂ
AB
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB AB
学习新知
Ａ
交集的性质
Ｖenn图
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB
AB
A∩A = A A∩φ = φ
AB
A∩B =B∩A
A∩B A A∩B B 若A∩B=A,则A B．反之,亦然.
应用新知
典例分析
例2.(1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B
A∩B={5,8}
B={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一同学} C={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一女 同学}
集合C是由那些既属于集合A且属于集合B的所有 元素组成
学习新知
交集
交集:由AB 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称
为集合A与B的交集记做 A B (读做A交B)
A B x x A,且x B
典例分析
例4 设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2 上点的集合为L2,试用集合的运算表示l1,l2的 位置关系
答：平面内直线l1与l2可能有三种位置关系，即相 交于一点，平行或重合。
（1）l1与l2交于一点P
L1∩L2={点P}
（2）l1与l2平行 （3）l1与l2重合
数学集合的运算ppt课件
差集的定义
差集定义
差集表示属于A但不属于B的元素 组成的集合，记作A-B。
举例说明
如果A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}， 则A-B={1,3,5}。
差集的性质
差集的对称性
A-B=B-A的逆否命题是成立的，即如 果A-B=C，那么B-A=D，其中D是C 的补集。
差集的传递性
如果A-B=C，B-C=D，那么A-C=E， 其中E是D的补集。
符号表示
用符号“∩”表示交集， 例如集合A和集合B的交集 记作A∩B。
举例
若集合A={1,2,3,4}，集合 B={3,4,5,6}，则 A∩B={3,4}。
交集的性质
01
02
03
04
空集是任何集合的交集：对于 任意集合A，空集与A的交集是
空集，记作∅∩A=∅。
任何集合与空集的交集是其本 身：对于任意集合A，A∩∅=A。
集合的逻辑
集合运算可以用于逻辑推理，例 如集合的包含关系和排中律。
在计算机科学中的应用
数据结构
集合运算用于实现各种数据结构，如 并查集和动态集合。
算法设计
数据库查询
集合运算用于数据库查询语言（如 SQL）中，实现数据的筛选、连接和 汇总。
集合运算在算法设计中用于处理数据 和解决问题，例如排序算法和图算法。
对于任意集合A，有A∩A=A。
03 集合的并集运算
并集的定义
并集的定义
由两个或两个以上的集合中的所有元素组成的集 合称为这几个集合的并集。
并集的符号表示
记作A∪B，读作“A并B”。
并集的元素
并集中的元素是原集合中所有不重复的元素。
并集的性质
01
1.3 集合的基本运算(第一课时) 课件(共15张PPT)
课堂小结
并集的概念： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的 集合，称为集合A与B的并集．记作：A∪B（读作：“A并B”）即： A∪B ={x|x∈A，或x∈ B}．
并集的性质：（1）A∪A=A； （2）A∪ =A； （3）若A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； （4）若A⊆B，则A∪B=B，反之也成立
交集的概念：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合， 称为集合A与B的交集．记作：A∩B（读作：“A交B”） 即： A∩B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B}．
交集的性质：（1）A∩A=A； （2）A∩ = ； （3）(A∩B)⊆B，(A∩B)⊆A； （4）若A⊆B，则A∩B=A，反之也成立．
解：A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高 比赛的同学组成的集合．所以，
A∩B={x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的 同学}．
例题精讲
【例4】设平面内直线l1上的点的集合为L1， 直示线l1，l2上l2的点位的置集关合系为．L2，试用集合的运算表
解：（1）直线l1与直线l2相交于一点P可表示为：L1∩L2={P}；
上述两个问题中，集合A、B和C之间都具有这样一种关系：集合C是 由所有属于A或属于集合B的元素组成的．
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所
组成的集合，称为集合A与B的并集。
记作：A∪B（读作：“A并B”）
即：
A∪B ={ x | x ∈ A ，或 x ∈ B}
这说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有 元素组成的集合（由集合的互异性，重复元素只看成一个元素，不能重复写出）．
思考
下列关系式成立吗？ （1）A∪A=A；（2）A∪ =A
集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
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似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
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一个集合A，这样得到许多集合，它们的总体称为集合族，
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例1
若
An
{x;0
x
1
1}, n n
称为A的余集，简记为 CA或Ac. 余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A. (4) 若A B,则AC BC .
定理6 De Morgan 公式
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
故 An (0,1). n1
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
则 A (,). R
例3
设An
{x
（5）若 A ( B ) ,任取x A ( B ),
由交的定义，x A且x B.
再由并的定义可知存在 使x B.
于是 x A B.
从而 x (A B ).
所以 A ( B ) (A B ).
再证 (A B ) A ( B ).
略
(6) A ( B ) (A B ).
特别地，若 C B ( ), 则C B .
（4） （A B） ( A ) ( B ).
(5) A ( B ) (A B ).
证明 （2）由并集的定义，若 x A ,
则存在 ,使x A. 而 A B , 所以有x B.
从而 x B ,
故 A B .
1,2,3,,
则 An {0 x 1}. n1
例2 若 是全体实数构成的集合，
A {x; x }, ,
则 A
练习：
若An
{x; n 1 n
x
n 1}, n n
1,2,,则 An n1
答案： An {1} n1
证明：设x {1},即x 1.若x 1,则有
n0
例如当f (x)是一个给定的实函数且a是一个常数时， E[x; f (x) a]就是E中那些使f (x)大于a的x所构成的集合.
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于A的元素都属于B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为A B.
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.
集合及其运算
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。
集合与元素的关系：属于或不属于.
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.
又对x (0,1),存在n0
N,使 1 n0
x
1,即
x
( 1 n0
,1)
An0
,于是
(
1
n n0 1 0
,1)
(
1
n1 n
,1)
(0,1).
定理3 （1）交换律 A B B A; A B B A （2）结合律 A (B C) (A B) C;
A (B C) (A B) C;
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
（4）幂等律 A A A, A A A
定理4
（1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ),则 A B .
特别地，若 A C( ), 则 A C.
（3） 若 A B , ( ),则 A B .
定理1 A B 的充要条件是 A B 且 B A.
定理2 若 A B ，B C ,则 A C .
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.
集合族：设是一集合，对于每一 ，都相应地给定了
( A )c Ac
( A )c Ac
证明 （1） 若 ( A )c ,
设 x ( A )c ,
则x S且x A .
因而对 ，都有x A ,
所以x S A Ac.
由于对 都成立，故x Ac.
因此( A )c Ac.
反之， 当 Ac 且x Ac时，Fra bibliotek5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 (A B) B未必等于 A.
6. 余集
若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A
的余集，记为 CAB.
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集
N , 使x
1
1 n0
, 故x
( n0
1 ,
n0
n0 1),即x n0
(
n1
n0 1 n0
,
n0 n0
1 ).
又对任意n N, 恒有 n 1 1 n 1,即1 ( n 1, n 1),
n
n
nn
故
(
n
1
,
n
1)
{1}.综上可知命题成立.
n1 n
n
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例1
若
An
{x;0
x
1
1}, n n
称为A的余集，简记为 CA或Ac. 余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A. (4) 若A B,则AC BC .
定理6 De Morgan 公式
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
故 An (0,1). n1
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
则 A (,). R
例3
设An
{x
（5）若 A ( B ) ,任取x A ( B ),
由交的定义，x A且x B.
再由并的定义可知存在 使x B.
于是 x A B.
从而 x (A B ).
所以 A ( B ) (A B ).
再证 (A B ) A ( B ).
略
(6) A ( B ) (A B ).
特别地，若 C B ( ), 则C B .
（4） （A B） ( A ) ( B ).
(5) A ( B ) (A B ).
证明 （2）由并集的定义，若 x A ,
则存在 ,使x A. 而 A B , 所以有x B.
从而 x B ,
故 A B .
1,2,3,,
则 An {0 x 1}. n1
例2 若 是全体实数构成的集合，
A {x; x }, ,
则 A
练习：
若An
{x; n 1 n
x
n 1}, n n
1,2,,则 An n1
答案： An {1} n1
证明：设x {1},即x 1.若x 1,则有
n0
例如当f (x)是一个给定的实函数且a是一个常数时， E[x; f (x) a]就是E中那些使f (x)大于a的x所构成的集合.
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于A的元素都属于B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为A B.
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.
集合及其运算
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。
集合与元素的关系：属于或不属于.
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.
又对x (0,1),存在n0
N,使 1 n0
x
1,即
x
( 1 n0
,1)
An0
,于是
(
1
n n0 1 0
,1)
(
1
n1 n
,1)
(0,1).
定理3 （1）交换律 A B B A; A B B A （2）结合律 A (B C) (A B) C;
A (B C) (A B) C;
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
（4）幂等律 A A A, A A A
定理4
（1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ),则 A B .
特别地，若 A C( ), 则 A C.
（3） 若 A B , ( ),则 A B .
定理1 A B 的充要条件是 A B 且 B A.
定理2 若 A B ，B C ,则 A C .
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.
集合族：设是一集合，对于每一 ，都相应地给定了
( A )c Ac
( A )c Ac
证明 （1） 若 ( A )c ,
设 x ( A )c ,
则x S且x A .
因而对 ，都有x A ,
所以x S A Ac.
由于对 都成立，故x Ac.
因此( A )c Ac.
反之， 当 Ac 且x Ac时，Fra bibliotek5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 (A B) B未必等于 A.
6. 余集
若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A
的余集，记为 CAB.
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集
N , 使x
1
1 n0
, 故x
( n0
1 ,
n0
n0 1),即x n0
(
n1
n0 1 n0
,
n0 n0
1 ).
又对任意n N, 恒有 n 1 1 n 1,即1 ( n 1, n 1),
n
n
nn
故
(
n
1
,
n
1)
{1}.综上可知命题成立.
n1 n
n
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}