(完整word版)初二数学下册矩形的判定练习题

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2020—2021年华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》题1及答案.docx

（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习一、选择题1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥答案：C解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA ＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC 也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：∵该四边形的对角线互相平分，∴该四边形是平行四边形，又∵该平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形是矩形，故选B．分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等答案：D解答：对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC答案：C解答：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选C．分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B解答：如下图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF ⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．．分析：根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：对角线相等的平行四边形是矩形．分析：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2答案：C解答：A中是邻边相等，不可判定平行四边形ABCD是菱矩形；B中是对角线互相垂直，不可判定平行四边形ABCD是矩形；C中是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D中是对角线平分对角，不可判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．分析：本题主要应用的知识点为，矩形的判定：①对角线相等且相互平分的四边形为矩形；②一个角是90度的平行四边形是矩形．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BDD．AB＝AD答案：A解答：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．分析：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6 答案：B解答：如图，连接PA ，∵在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴222BC AB AC =+，∴∠BAC ＝90°，又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°，∴四边形PEAF 是矩形，AP ＝EF ，当PA 最小时，EF 也最小，即当AP ⊥CB 时，PA最小，∵12AB •AC ＝12BC •AP ，即AP ＝BC AC AB ⋅＝6810⨯＝4.8，∴线段EF 长的最小值为4.8；故选B ．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF 是矩形；连接PA ，则PA ＝EF ，所以要使EF ，即PA 最短，只需PA ⊥CB 即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA 的值．10．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对边相等B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等答案：C解答：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C 选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少答案：C解答：如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC 时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．12．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解答：①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．13．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形答案：B解答：矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A 项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；故选B．分析：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．14．对角线的平行四边形是矩形（）A．互相垂直且平分B．互相平分C．互相垂直D．相等答案：D解答：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选D．分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．15．在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的周长（）A ．1023+B ．825+C ．835+D ．1025+答案：A 解答：如下图所示，延长BC 、AD 交于O ，∵∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝∠CDO ＝90°，∠O ＝30°，∵AB ＝4，CD ＝2，∴OA ＝2AB ＝8，CO ＝2CD ＝4，由勾股定理得：228443OB =-=，224223OD =-=，∴434BC =-，823AD =-，∴AB ＋AD ＋DC ＋BC ＝482324341023+-++-=+，故选A ．分析：延长BC 、AD 交于O ，求出OA 、OD 、OC 、OB 的值，求出BC 、AD ，即可求出答案．二、填空题16．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）．答案：∠ABC ＝90°或AC ＝BD （不唯一）解答：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC ＝90°或AC ＝BD ，故答案为∠ABC ＝90°或AC ＝BD ．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．17．对角线的四边形是矩形．答案：相等且互相平分解答：根据矩形的判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故填“相等且互相平分”．分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线又相等故为矩形．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠A＝90°解答：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A＝90°．分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．19．如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD 是矩形的有（填写序号）．答案：①④解答：能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．分析：矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE为矩形．答案：60解答：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC，又因为AC＝AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°．分析：本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC 上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，AEF EDBEA EBBED AEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△BED（ASA）．（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．答案：四边形AFBD是矩形解答：证明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：BD＝CD；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD．（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．答案：四边形AFBD是矩形解答：四边形AFBD是矩形，理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AF＝BD，又∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．23．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．（1）求证：OE＝OD；答案：解答：证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED 的中点．∴OE＝OD．（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．答案：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形解答：解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．分析：（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC＝AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．答案：解答：证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∵点E是BC的中点，∴EC＝BE＝AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴AE ⊥BC，即∠AEC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形．．分析：先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC＝90°即可判断出四边形AECD是矩形．25．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；答案：解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠AEC ，又∵CE ＝CD ，∴AB ＝CE ，在△ABF 和△ECF 中，ABF ECF AFB EFCAB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）．（2）连接AC 、BE ，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形ABEC 是矩形？请说明理答案：当∠AFC ＝2∠D 时，四边形ABEC 是矩形解答：解：当∠AFC ＝2∠D 时，四边形ABEC 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥DC ，AB ＝DC ，∴∠BCE ＝∠D ，AB ∥EC ，又∵CE ＝DC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∵∠AFC ＝∠FEC ＋∠BCE ，∴当∠AFC ＝2∠D 时，则有∠FEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∴四边形ABEC 是矩形．分析：（1）由四边形ABCD 是平行四边形，CE ＝DC ，易证得∠ABF ＝∠ECF ，∠AFB ＝∠EFC ，AB ＝EC ，则可证得△ABF ≌△ECF ；（2）首先根据四边形ABCD 是平行四边形，得到四边形ABEC 是平行四边形，然后证得FC ＝FE ，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC 是矩形．。

人教版八年级数学下册--18_2_1 矩形(第2课时矩形的判定)练习】

第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：，使四边形DF AE是矩形．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一种情况即可）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习答案一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故②正确；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故④错误；能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，故选：C．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；B．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C．∵AO＝OB＝OC＝OD，∵AC＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；故选：D．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：D．10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：∠A＝90°（答案不唯一），使四边形DF AE是矩形．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝45°时，【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，AE＝DE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．。

(完整版)八年级数学《矩形》练习题

(完整版)八年级数学《矩形》练习题一、选择题1. 矩形的四个角都是：A. 直角B. 锐角C. 钝角D. 无角2. 矩形的对角线之间的关系是：A. 相等且垂直B. 相等且平行C. 相等但不垂直D. 不相等但垂直3. 若矩形的长为12cm，宽为8cm，那么它的面积是：A. 20cm²B. 48cm²C. 80cm²D. 96cm²4. 若矩形的周长为30cm，宽为4cm，那么它的长是：A. 8cmB. 9cmC. 10cmD. 11cm二、填空题1. 矩形的对边是_______。

2. 矩形的并联边是_______。

3. 矩形的一个维数称为_______。

4. 矩形的面积公式是_______。

5. 矩形的周长公式是_______。

三、解答题1. 若矩形的面积是45cm²，且长是5cm，求宽。

解：设矩形的宽为x，则根据面积公式，有5x = 45。

对上述等式两边同时除以5，得到x = 9。

所以矩形的宽为9cm。

2. 若矩形的长为12cm，宽为6cm，求其周长和对角线之间的角的大小。

解：矩形的周长为2(长 + 宽)，代入数值得周长为2(12 + 6) = 36cm。

对角线之间的角都是直角，大小为90°。

3. 画出一个矩形，并标注其长、宽、对边和对角线。

[示意图]四、应用题1. 一个矩形的面积是30cm²，且长比宽多2cm，求矩形的长和宽。

解：设矩形的宽为x，根据面积的条件，有x(x+2) = 30。

展开得x² + 2x - 30 = 0。

左侧为二次方程，可以因式分解为(x+6)(x-5) = 0。

因为长比宽多2cm，所以宽为5cm，长为7cm。

2. 一个矩形的周长为28cm，长和宽的比值为5:3，求矩形的长和宽。

解：设矩形的长为5x，宽为3x，根据周长的条件，有2(5x+3x) = 28。

化简得8x = 28，解得x = 3.5。

(完整版)八年级下册长方形的性质专项练习(有答案)ok

矩形的性质专项练习30 题（有答案）1．已知：如图，在矩形ABCD 中， AF=DE ，求证： BE=CF ．2．以下列图，已知矩形 ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点 O，作 BE∥ AC 交 DC 的延伸于点E．（1）请判断△ DEB 的形状，并说明原因；（2）若 AD=8 ， DC=6 ，试△ DEB 的周长．3．如图，在矩形 ABCD 中， AB=12 ， AC=20 ，两条对角线订交于点O，以 OB 、OC 为邻边作平行四边形OBB 1C，求平行四边形 OBB 1C 的面积．4．如图，已知在矩形ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ，四边形 AFCE 为菱形，求菱形的面积．5．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、 BD 订交于点O，∠ AOB=60 °， AB=2cm（1）求证：△ AOB 是等边三角形；（2）求矩形 ABCD 的面积．6．如图，四边形ABCD 是矩形，△EAD 是等腰直角三角形，△ EBC是等边三角形．已知AE=DE=2 ，求 AB 的长．7．如图，已知在矩形ABCD 中，E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EF⊥EC ，且 EF=EC ，DE=3cm ，BC=7cm ．（1）求证：△ AEF ≌ △ DCE ；（2）请你求出 EF 的长．8．如图，在矩形ABCD 中，点 E 在 AD 上， CE 均分∠BED ．（1）△ BEC 能否为等腰三角形？为何？（2）若 AB=1 ，∠ DCE=22.5 °，求 BC 长．9．如图， ABCD 是矩形纸片，翻折∠ B、∠ D，使 BC、AD 恰巧落在 AC 上．设 F、H 分别是 B、D 落在 AC 上的点， E、G 分别是折痕 CE 与 AB 、 AG 与 CD 的交点．（ 1）试说明四边形AECG 是平行四边形；（ 2）若矩形的一边AB 的长为 3cm，当 BC 的长为多少时，四边形AECG 是菱形？10．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直均分线EF 与 AD 、 AC 、BC 分别交于点E、O、 F．（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若 AB=5 ， BC=12 ，EF=6 ，求菱形 AFCE 的面积．11．以下图，矩形ABCD 的对角线AC 、 BD 订交于点O， AE ⊥ BD ，垂足为 E，∠ 1=∠ 2， OB=6（1）求∠ BOC 的度数；（2）求△ DOC 的周长．12．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O， E 是边 AD 的中点．（1） OE 与 AD 垂直吗？说明原因；（2）若 AC=10 ， OE=3 ，求 AD 的长度．13．如图，在矩形ABCD 中， BM ⊥ AC ， DN ⊥AC ， M 、 N 是垂足．（1）求证： AN=CM ；（2）假如 AN=MN=2 ，求矩形 ABCD 的面积．14．如图，矩形ABCD 中，角均分线AE 交 BC 于点 E，BE=5 ， CE=3．（1）求∠ BAE 的度数；（2）求△ ADE 的面积．15．如图，已知在矩形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O，CE=AE ， F 是 AE 的中点， AB=4 ， BC=8 ．求线段 OF 的长．16．如图，矩形纸片ABCD 中， AB=8 ， AD=10 ，沿 AE 对折，点 D 恰巧落在 BC 边上的 F 点处．（1）求出线段 BF 、 CE 的长；（2）求四边形 AFCE 的面积．17．如图，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后获得△AFE ，点 F 在矩形 ABCD 内部，延伸 AF 交CD 于点 G．（1）猜想线段 GF 与 GC 有何数目关系？并证明你的结论；（2）若 AB=3 ， AD=4 ，求线段 GC 的长．18．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和 BD 订交于点O， AC=2AB ．求证：∠AOD=120 °．19．在矩形 ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点 O，AB=6cm ， AC=8cm ．（1）求 BC 的长；（2）画出△ AOB 沿射线 AD 方向平移所得的△DEC ；（3）连结 OE，写出 OE 与 DC 的关系？说明原因．20．如图，矩形 ABCD 被两条对角线分红四个小三角形，假如四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？21．如图，矩形 ABCD 纸片， E 是 AB 上的一点，且 BE ：EA=5 ： 3，CE=15 ，把△ BCE 沿折痕 EC 向上翻折，若点 B恰巧与 AD 边上的点 F 重合，求 AB 、 BC 的长．22．已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三个极点 E， G， H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ， CD 上，AH=2 ，连结 CF．（1）当四边形 EFGH 为正方形时，求 DG 的长；（2）当△ FCG 的面积为 1 时，求 DG 的长；（ 3）当△ FCG 的面积最小时，求DG 的长．23．设 E， F 分别在矩形ABCD 边 BC 和 CD 上，△ ABE 、△ ECF、△ FDA 的面积分别是a， b， c．求△ AEF 的面积S．24．如图，过矩形 ABCD 对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC ，分别交 AB 、DC 于 E、F，点 G 为 AE 的中点，若∠ AOG=30 °，求证： OG=DC ．25．如图，在矩形ABCD 中， AB=6 ， AD=4 ， E 是 AD 边上一点（点 E 与 A、 D 不重合）． BE 的垂直均分线交AB于M ，交 DC 于 N ．（1）设 AE=x ，试把 AM 用含 x 的代数式表示出来；（2）设 AE=x ，四边形 ADNM 的面积为 S．写出 S 对于 x 的函数关系式．26．矩形 ABCD 中， AC 、BD 订交于点O，且∠ ADB=30 °，∠ADC 的均分线交BC 于 E，连结 OE．（1）求∠ COE 的度数．（2）若 AB=4 ，求 OE 的长．27．如图，在矩形 ABCD 中， AB=b ， AD=a ，过 D 和 B 作 DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ，且 AE=EF ，试求 a 与 b 之间的关系．28．如图，设在矩形 ABCD 中，点 O 为矩形对角线的交点，∠ BAD 的均分线 AE 交 BC 于点 E，交 OB 于点 F，已知 AD=3 ，AB= ．（1）求证：△ AOB 为等边三角形；（2）求 BF 的长．29．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， G 是边 AB 上的一点，过点 G 作 GE∥ DC 交 BC 边于点 E，F 是 EC 的中点，连结 GF 并延伸交 DC 的延伸线于点 H ．求证： BG=CH ．30．已知，矩形ABCD 中，延伸 BC 至 E，使 BE=BD ， F 为 DE 的中点，连结AF、 CF．求证：（ 1）∠ ADF= ∠ BCF ；（ 2）AF ⊥ CF．矩形的性质专项练习30 题参照答案：1．连结 BF、 CE，已知矩形 ABCD ，∴ AB=CD ，∠ BAF= ∠ CDE=90 °，又AF=DE ，∴ △ AFB ≌ △ DEC ，∴ BF=CE ，∠ AFB= ∠DEC ，∵矩形 ABCD ，AD ∥ BC ，∴ ∠ CBF= ∠AFB ，∠ BCE= ∠ DEC，∴ ∠ CBF= ∠ BCE，BC=BC ，∴ △ BCF ≌ △CBE ，∴BE=CF2．（ 1）△ DEB 的形状为等腰三角形．原因：∵矩形 ABCD ，∴DC∥ AB ，AC=BD ．∵BE ∥AC ，∴四边形 ABEC 为平行四边形．∴AC=BE ．∴BE=BD ．∴△ DEB 的形状为等腰三角形．（ 2）∵ AD=8 ， DC=6 ，∴ AC==10 ．∴BD=BE=10 ．∵ BC⊥ DE ，∴CD=DE=6 ．∴△ DEB 的周长 =2（CD+BD ） =2（6+10 ）=323．在 Rt△ ABC 中，，∴，∴ x=，∴ S 菱形AFCE=EC ?AB=×2=5．∴菱形的面积为55． 1）证明：在矩形ABCD 中， AO=BO ，又∠ AOB=60 °，∴ △ AOB 是等边三角形．（ 2）解：∵ △ AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=2 （ cm），∴BD=2OB=4cm ，在Rt△ABD ，（ cm）∴ S 矩形ABCD =2×2=4（cm2），答：矩形ABCD 的面积是 4cm2．6．过点 E 作 EF⊥BC ，交 AD 于 G，垂足为 F．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EG⊥ AD ．（ 1 分）∵ △ EAC 是等腰直角三角形，EA=ED=2 ，∴ AG=GD ， AD=．∴ EG==．（1分）∵ EB=EC=BC=AD=2，∴ BF=，（1分）∴ EF=．（1分）∴AB=GF=EF ﹣ EG=∵矩形 ABCD 对角线订交于点O，∴，∵四边形 OBB 1C 是平行四边形，∴．4．∵四边形 AFCE 为菱形，∴AF=CF=EC=AE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ B=90 °，7.（1）证明：在矩形 ABCD 中，∠ A= ∠ D=90 °，∴ ∠ ECD+ ∠ CED=90 °，∵ EF⊥ EC，∴ ∠AEF+ ∠CED=90 °，∴ ∠ ECD= ∠ AEF ，在△ AEF 与△ DCE 中，，∴ AF=DE ，又∵ FE⊥ AC ，∵ DE=3cm ， BC=7cm ，∴平行四边形 AFCE 为菱形；∴ AF=3cm ， AE=AD ﹣ DE=BC ﹣DE=7 ﹣ 3=4cm ，（ 2）在 Rt △ ABC 中，由 AB=5 ， BC=12 ，在 Rt△ AEF 中， EF===5．依据勾股定理得： AC===13，故答案为： 5又 EF=6 ，8．（ 1）△ BEC 是等腰三角形，∴菱形 AFCE 的面积 S= AC ?EF=×13×6=39原因是：∵矩形 ABCD ，∴ AD ∥ BC ，11．（ 1）∵ 四边形 ABCD 为矩形， AE ⊥ BD ，∴ ∠ DEC= ∠ECB ，∴ ∠ 1+∠ ABD= ∠ ADB+ ∠ ABD= ∠ 2+ ∠ABD=90 °，∵ CE 均分∠ BED ，∴ ∠ ACB= ∠ ADB= ∠ 2=∠ 1=30 °，∴ ∠ DEC= ∠CEB ，又 AO=BO ，∴ ∠ CEB= ∠ECB ，∴ △ AOB 为等边三角形，∴ BE=BC ，∴ ∠ BOC=120 °；∴ △ BEC 是等腰三角形．（ 2）由（ 1）知，△ DOC ≌ △ AOB ，（ 2）解：∵矩形 ABCD ，∴ △ DOC 为等边三角形，∴ ∠ A= ∠ D=90 °，∴ OD=OC=CD=OB=6 ，∵ ∠ DCE=22.5 °，∴ △ DOC 的周长 =3×6=18∴ ∠ DEB=2 ×（ 90°﹣ 22.5°） =135°，12．（ 1）解： OE⊥AD ，∴ ∠ AEB=180 °﹣∠ DEB=45 °，原因：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ABE= ∠AEB=45 °，∴ AC=BD ， AO=OC ，DO=BO ，∴ AE=AB=1 ，由勾股定理得： BE=BC==，∴ AO=DO ，又∵点 E 是 AD 的中点，答： BC 的长是∴ OE⊥ AD ．9．（ 1）由题意，得∠ GAH=∠ DAC ，∠ ECF= ∠ BCA ，（ 2）解：由（ 1）知 OE⊥ AD ， AO=5 ，在 Rt△AOE 中，由勾股定理得：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD ∥ BC ，∴∠ DAC= ∠ BCA ，∴∠ GAH= ∠ ECF，∴AG ∥ CE，又∵ AE ∥ CG∴四边形 AECG 是平行四边形；（2）∵四边形 AECG 是菱形，∴ F、 H 重合，∴ AC=2BC ，在 Rt △ ABC 中，设 BC=x ，则 AC=2x ，在Rt△ ABC 中 AC 2=AB2+BC2，222，即（ 2x） =3 +x解得 x=，即线段 BC 的长为cm．10．（ 1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥ FC，∴∠ EAO= ∠ FCO，∵ EF 垂直均分 AC ，∴AO=CO ，FE⊥AC ，又∠ AOE= ∠ COF，AE===4，∵ E 是边 AD 的中点，∴AD=2AE=8 ．答： AD 的长度是 813．（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， AD=BC ，∴∠ DAC= ∠BCA ，又∵ DN ⊥ AC ， BM ⊥ AC ，∴ ∠ DNA= ∠BMC ，∴ △ DAN ≌ △BCM ，∴AN=CM ．（2）连结 BD 交 AC 于点 O．∵ AN=NM=2 ，∴AC=BD=6 ，∴ DN=，∴ 矩形 ABCD 的面积 =，答：矩形 ABCD 的面积是 12．14．（ 1） ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ BAD=90 °， ∵ AE 均分 ∠ BAD ，∴ ∠ BAE= ∠ BAD=×90°=45°．（ 2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ， ∠BAD=∠B=90 °， ∴ ∠ DAE= ∠ AEB∵ ∠ BAE= ∠DAE=45 °， ∴ ∠ AEB=45 °， ∴ ∠ BAE= ∠AEB ，∴ AB=BE=5 ，∴ BC=3+5=8=AD ，∴ S △ADE = AD ×AB= ×8×5=2015． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ADC=90 °， AD=BC=8 ， CD=AB=4 ．（ 1 分）设 DE=x ，那么 AE=CE=8 ﹣ x ，（1 分） 2 2 2，（ 1 分）∵ 在 Rt △ DEC 中， CE =DE +CD 222∴ （ 8﹣ x ） =x +4 ，（ 1 分）∴ CE=8﹣ x=5 ．（1 分）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ O 为 AC 中点．（ 1 分）又 ∵ F 是 AE 的中点， ∴．16．（ 1）设 BF=x ，CE=y ，则 CF=10 ﹣ x ，EF=DE=8 ﹣y ，在 Rt △ ABF 中依据勾股定理可得 x 2+82=10 2，在 Rt △ CEF 中依据勾股定理可得 y 2+（ 10﹣ x ） 2=（ 8﹣y ） 2，解得 x=6 ，y=3 ，即 BF=6 ， CE=3；（ 2） △ ABF 的面积为 ×8×6=24，∵ E 是 BC 的中点，∴ BE=EC ，∵ △ ABE 沿 AE 折叠后获得 △ AFE ，∴ BE=EF ，∴ EF=EC ，∵ 在 △ GFE 和 △ GCE 中，，∴ △ GFE ≌ △ GCE （ HL ），∴ GF=GC ；（ 2）设 GC=x ，则 AG=3+x ，DG=3 ﹣ x ，在Rt △ADG 中， 42+（ 3﹣ x ） 2=（3+x ） 2，解得 x=18． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ABC=90 °（矩形的四个角都是直角），∵ 在 Rt △ ABC 中， AC=2AB ， ∴ ∠ ACB=30 °，∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OB=OD= BD ， OC=OA= AC ， AC=BD ，∴ BO=CO ，∴ ∠ OBC= ∠ OCB=30 °，∵ ∠ OBC+ ∠ OCB+ ∠ BOC=180 °，∴ ∠ BOC=120 °，∴ ∠ AOD= ∠BOC=120 ° 19．（ 1） ∵ 矩形 ABCD ， ∴ ∠ CBA=90 °，AB=6cm ， AC=8cm ，由勾股定理：BC===2（ cm ），答： BC 的长是 2 cm ．（ 2）解：以下图△ ADE 的面积为 ×10×5=25，∴ 四边形 AFCE 的面积为 8×10﹣ 24﹣25=31 ，答： BF 的长为 6， CE 的长度为 3，四边形 AFCE 的面积（ 3）答： OE 与 DC 的关系是相互垂直均分．原因是： ∵ 矩形 ABCD ，∴OD=OC=DE=CE ，∴四边形 ODEC 是菱形，∴OE⊥ CD ， OG=EG ， CG=DG ，即 OE 与 DC 的关系是相互垂直均分20．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD=13cm ，∵ △ AOB 、△BOC 、△ COD 和△ AOD 四个三角形的周长和为 86cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC+OC+OD+DC+OD+OA+A D=86cm ，∴AB+BC+CD+DA=86 ﹣ 2（ AC+BD ）=86﹣ 4×13=34（ cm）．答：矩形 ABCD 的周长等于34cm．21．∵四边形 ABCD 是矩形∴ ∠ A= ∠ B= ∠ D=90 °，BC=AD ， AB=CD ，∴ ∠ AFE+ ∠AEF=90 °（ 2 分）∵F 在 AD 上，∠ EFC=90 °，∴ ∠ AFE+ ∠DFC=90 °，∴ ∠ AEF= ∠DFC ，∴ △ AEF ∽ △DFC ，（ 3 分）∴．（ 4 分）∵BE ：EA=5 ： 3设BE=5k ， AE=3k∴AB=DC=8k ，由勾股定理得： AF=4k ，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k （5 分）在△ EBC 中，依据勾股定理得BE 2+BC2=EC2∵CE=15 ， BE=5k ， BC=10k∴∴k=3（ 6 分）∴AB=8k=24 ， BC=10k=3022．（ 1）∵四边形 EFGH 为正方形，∴HG=HE ，∵ ∠ DHG+ ∠AHE=90 °，∠DHG+ ∠ DGH=90 °，∴ ∠ DGH= ∠AHE ，∴ △ AHE ≌ △DGH （AAS ）∴DG=AH=2（2）作 FM ⊥ DC ，M 为垂足，连结 GE，∵ AB ∥CD ，∴ ∠ AEG= ∠MGE∵HE ∥ GF，∴ ∠ HEG= ∠ FGE，∴ ∠ AEH= ∠ MGF ．在△ AHE 和△ MFG 中，∠ A= ∠ M=90 °，HE=FG ，∴ △ AHE ≌ △ MFG ．∴FM=HA=2 ，即不论菱形 EFGH 怎样变化，点 F 到直线CD 的距离一直为定值 2．所以 S△FCG=GC=1 ，解得 GC=1， DG=6 ．（ 3）设 DG=x ，则由第（ 2）小题得， S△FCG=7 ﹣ x，又在△ AHE 中， AE ≤AB=7 ，∴HE2≤53，∴ x2+16≤53， x≤，∴ S△FCG的最小值为，此时 DG=23．设 AB=x ，BE=x ，EC=x ，CF=x ，则 FD=x﹣ x ，123414 23AD=x +x ，由题意得x1?x2=2a， x3?x4=2b，（x1﹣ x4）×（ x2+x 3）=2c，即 x2?x3﹣x2?x4=2（ b+c﹣ a），又x1x2x3x4=4ab代入 x2 x4=x 1x3﹣ 2（ b+c﹣ a）得对于 x1x3的一元二次方程，即（x1x3）2﹣ 2（ b+c﹣a） x1x3﹣4ab=0解之得 x1x3=（ b+c﹣ a） +又S 矩形=x 1（ x2+x 3）=2a+ （ b+c﹣a）+=（ a+b+c） +∴S△AEF=S 矩形﹣ S△ABE﹣ S△CEF﹣ S△ADF=（ a+b+c）+﹣ a﹣ b﹣ c=24．连结 OB ，∵EF⊥ AC ，矩形的性质专项练习--第11页共13页∴ △ AOE 是直角三角形∴ OG=AG=GE ，∴ ∠ BAC= ∠ AOG=30 °， ∠ AEO=60 °， ∠ GOE= ∠ AOE﹣ ∠ AOG=60 °， ∴ △ OEG 是正三角形，∴ OG=OE=GE ，∴ ∠ ABO= ∠ BAC=30 °，∴ ∠ AOB=180 °﹣ 30°﹣ 30°=120°，∴ ∠ BOE= ∠AOB ﹣ 90°=30 °，∴ △ OEB 是等腰三角形，∴ OE=EB ，∴ OG=AG=GE=EB=OE ，∴ OG= AB= DC ．25．（ 1）连结 ME ．∵ MN 是 BE 的垂直均分线，∴ BM=ME=6 ﹣ AM ，在 △ AME 中， ∠A=90 °，由勾股定理得： AM 2+AE 2=ME 2，AM 2+x 2=（6﹣ AM ） 2，AM=3 ﹣x ．（ 2）连结 ME ，NE ，NB ，设 AM=a ，DN=b ，NC=6 ﹣b ，因 MN 垂直均分 BE ，则 ME=MB=6 ﹣ a ，NE=NB ，所以由勾股定理得AM 2+AE 2=ME 2， DN 2+DE 2=NE 2=BN 2=BC 2+CN 2即 a 2+x 2=（ 6﹣a ） 2， b 2+（4﹣ x ） 2=42+（ 6﹣ b ）2，解得 a=3﹣x 2， b=x 2+x+3 ，所以四边形 ADNM 的面积为 S= ×（ a+b ） ×4=2x+12 ，即 S 对于 x 的函数关系为 S=2x+12 （ 0＜ x ＜ 2），答： S 对于 x 的函数关系式是 S=2x+1226．（ 1） ∵四边形 ABCD 是矩形， DE 均分 ∠ADC ， ∴ ∠ CDE= ∠CED=45 °；∴ EC=DC ，又 ∵ ∠ ADB=30 °，∴ ∠ CDO=60 °；又 ∵ 由于矩形的对角线相互均分，∴ OD=OC ；∴ △ OCD 是等边三角形；∴ ∠ DCO=60 °， ∠OCB=90 °﹣∠DCO=30 °； ∵ DE 均分 ∠ ADC ， ∠ ECD=90 °，∠ CDE= ∠ CED=45 °，∴ CD=CE=CO ，∴ ∠ COE= ∠ CEO ；∴ ∠ COE= （ 180°﹣ 30°）÷2=75°；（ 2）过 O 作 OF ⊥ BC 于 F ， ∵ AO=CO ，∴ BF=CF ，∴ OF= AB=2 ，∵ ∠ ADB=30 °， AB=4 ，∴ AC=8 ， ∴ BC==4， ∴ BF=CF=2，∵ CD=CE=4 ，∴ EF=CE ﹣ CF=4 ﹣ 2 ，在 Rt △OFE 中，OE==4 ．27．：a 与 b 的关系是 b= a ，原因是：∵ 矩形 ABCD ，∴ AD=BC ， AD ∥ BC ，∴ ∠ DAC= ∠BCA ， ∵ DE ⊥ AC ，BF ⊥ AC ，∴ ∠ AED= ∠ CFB=90 °，在 △ ADE 和 △CBF 中，∴ △ ADE ≌ △CBF ，∴ AE=CF ，∵ AE=EF ，∴ AE=EF=CF ，∵ 矩形 ABCD ，∴ ∠ ABC=90 °=∠ BFC ，∴ ∠ BCF+ ∠ CBF=90 °，∠ ABF+ ∠CBF=90 °，∴ ∠ ABF= ∠ BCF ，∵ ∠ AFB= ∠ CFB=90 °， ∴ △ ABF ∽ △ BCF ，∴= = ，矩形的性质专项练习 -- 第 12 页共 13 页设 AE=EF=CF=c ，则 BF 2 =AF ?CF=2c 2， ∴ BF= c ，∵ AB=b ， BC=a ，∴ = = ， ∴ b=a ，即 a 与 b 之间的关系是 b= a28．（ 1）证明：在 Rt △ ABD 中， BD===2 ，∵ 矩形 ABCD ，∴ OA=OB= BD=，∴ △ AOB 为等边三角形；（ 2）解： ∵ AE 是 ∠ BAD 的均分线，∴ ∠ BAE=45 °，∴ △ ABE 是等腰直角三角形， △ BEO 是等腰三角形，又 ∠ EBO=90 °﹣60°=30 °，∴ ∠ BOE= （180°﹣ 30°） ÷2=75°，在 △ BOC 中 ∠ COE=180 °﹣ 30°×2﹣ 75°=45°，所以，在 △BEF 和 △ COE 中，∴ △ BEF ≌ △ COE （ ASA ），∴ BF=CE ，又 CE=BC ﹣ BE=3 ﹣ ，∴ BF=3 ﹣．29．在 △ GEF 和 △ HCF 中， ∵ GE ∥ DC ， ∴ ∠ GEF= ∠HCF ， ∵ F 是 EC 的中点， ∴ FE=FC ，而 ∠ GFE= ∠ CFH （对顶角相等），∴ △ GEF ≌ △HCF ，∴GE=HC ，四边形 ABCD 为等腰梯形，∴ ∠ B= ∠ DCB ，∵ GE ∥ DC ，∴ ∠ GEB= ∠ DCB ，（ 2 分）∴ ∠ GEB= ∠ B ，∴ GB=GE=HC ，∴ BG=CH30．（ 1）在矩形 ABCD 中，∵ AD=BC ， ∠ ADC= ∠ BCD=90 °， ∴ ∠ DCE=90 °，在 Rt △DCE 中，∵ F 为 DE 中点，∴ DF=CF ，∴ ∠ FDC= ∠ DCF ，∴ ∠ ADC+ ∠CDF= ∠ BCD+ ∠ DCF ，即 ∠ ADF= ∠ BCF ；（ 2）连结 BF ，∵ BE=BD ， F 为 DE 的中点，∴ BF ⊥ DE ，∴ ∠ BFD=90 °，即 ∠ BFA+ ∠ AFD=90 °，在 △ AFD 和 △BFC 中，∴ △ ADF ≌ △ BCF ，∴ ∠ AFD= ∠ BFC ，∵ ∠ AFD+ ∠ BFA=90 °， ∴ ∠ BFC+ ∠ BFA=90 °，即 ∠ AFC=90 °，∴ AF ⊥ FC ．矩形的性质专项练习 -- 第 13 页共 13 页。

初二数学矩形的判定作业练习题(含答案)

初二数学矩形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是( )A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线相等D ．两条对角线互相垂直2．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )A ．AB CD = B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AC BD ⊥3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( )A ．一般平行四边形B ．一般四边形C ．对角线垂直的四边形D ．矩形4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量其中三个角是否都为直角B ．测量对角线是否相等C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量对角线是否相互平分5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为 7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是．8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是（填写一个即可）．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是．10．对角线的四边形是矩形．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD中，6AD=．求证：平行四边形ABCD是矩形．AC=，8AB=，1012．如图，AC是ABCD=，连接DEY的对角线，延长BA至点E，使AE AB（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）连接EC交AD于点O，若2∠=∠，求证：四边形ACDE是矩形．EOD B13．如图，AD是ABC=．AE BC，BE交AD于点F，且AF DF∆的中线，//（1）求证：AFE DFB∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB、AC之间满足条件_______________时，四边形ADCE是矩形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是()A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．2．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是() A．AB CD⊥=D．AC BD=B．AC BD=C．AB BC【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AC BD=；理由如下：Q四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是()A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．【解答】解：如图；Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠+∠=︒；DAB ADC180Q、DH平分DABAH∠、ADC∠，EHG∠=︒；∴∠+∠=︒，即90HAD HDA90同理可证得：90∠=∠=∠=︒；HEF EFG FGH故四边形EFGH是矩形．故选：D．4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B 、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C 、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D 、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A ．5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．【解答】解：A ．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；B ．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；C ．不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D ．平行四边形ABCD 中，//AB CD ，180BAD ADC ∴∠+∠=︒，又BAD ADC ∠=∠Q ，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意．故选：C ．二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为对角线相等或有一个直角；【分析】根据矩形的判断方法即可解决问题；【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为对角线相等或有一个直角；7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是对角线相等的平行四边形是矩形．【分析】根据矩形和平行四边形的判定方法填空即可．【解答】解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．8．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是 AC BD =或有个内角等于90度（填写一个即可）．【分析】因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：Q 对角线AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC BD =或有个内角等于90度．故答案为：AC BD =或有个内角等于90度．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是矩形．【分析】首先利用外角性质得出B ACB FAE EAC ∠=∠=∠=∠，进而得到//AE CD ，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE 是平行四边形，即可求出四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：AB AC =Q ，B ACB ∴∠=∠，Q 点D 为BC 的中点，90ADC ∴∠=︒，AE Q 是BAC ∠的外角平分线，FAE EAC ∴∠=∠，B ACB FAE EAC ∠+∠=∠+∠Q ，B ACB FAE EAC ∴∠=∠=∠=∠，//AE CD ∴，又//DE AB Q ，∴四边形AEDB 是平行四边形，AE ∴平行且等于BD ，又BD DC =Q ，AE ∴平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒Q ，∴平行四边形ADCE 是矩形．即四边形ADCE 是矩形．故答案为矩形．10．对角线互相平分且相等四边形是矩形．【分析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形为矩形．【解答】解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，故填：互相平分且相等．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD 中，6AB =，10AC =，8AD =．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】根据勾股定理的逆定理得到90ABC ∠=︒，从而判定矩形．【解答】解：10AC =Q ，10BD AC ∴==，6AB =Q ，8AD =，222AC AB BC ∴=+，90ABD ∴∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形．12．如图，AC 是ABCD Y 的对角线，延长BA 至点E ，使AE AB =，连接DE（1）求证：四边形ACDE 是平行四边形；（2）连接EC 交AD 于点O ，若2EOD B ∠=∠，求证：四边形ACDE 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ACDE 是平行四边形；（2）由三角形的外角可证ADC OCD ∠=∠，可得OC OD =，即可得AD EC =，可证四边形ACDE 是矩形．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，AE AB =Q ，AE CD ∴=，且//AB CD ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，B ADC ∴∠=∠，2EOD B ∠=∠Q2EOD ADC ∴∠=∠，且EOD ADC OCD ∠=∠+∠， ADC OCD ∴∠=∠，OC OD ∴=，Q 四边形ACDE 是平行四边形；AO DO ∴=，EO CO =，且OC OD =， AD CE ∴=，∴四边形ACDE 是矩形．13．如图，AD 是ABC ∆的中线，//AE BC ，BE 交AD 于点F ，且AF DF =．（1）求证：AFE DFB ∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB 、AC 之间满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形．【分析】（1）由“AAS ”可证AFE DFB ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE CD =，且//AE BC ，可证四边形ADCE 是平行四边形；（3）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，即可得四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：（1）//AE BC Q ，AEF DBF ∴∠=∠，且AFE DFB ∠=∠，AF DF = ()AFE DFB AAS ∴∆≅∆（2）AFE DFB ∆≅∆Q ，AE BD ∴=，AD Q 是ABC ∆的中线，BD CD ∴=AE CD ∴=//AE BC Q∴四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形； AB AC =Q ，AD 是ABC ∆的中线，AD BC ∴⊥，90ADC ∴∠=︒Q 四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形∴当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形．。

八年级数学《矩形的判定》练习题

D A C F OEB 18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH 是矩形．D A C FP E B8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（）13．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，•再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图214．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再过点D 折叠，使AD 落在折痕BD 上，得另一折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG 的长度．参考答案1．C 2．B 3．D 4．8cm 5．矩；1：2 6．8cm ；4cm7．解：∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH 是矩形． 8．解：四边形AECF 是矩形．∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°，点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．9．解法一：能．如图1所示，过P 点作PH⊥DC，垂足为H ．四边形PHDE 是矩形．所以PE=DH ，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．图1 又因为AB=AC ，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP ，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC所以DH+HC=PE+PF ，即DC=PE+PF ．图2．解法二：能．延长EP ，过C 点作CH⊥EP，垂足为H ，如图2所示，四边形HEDC 是矩形．所以EH=•PE+PH=DC ，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．△PHC≌△PFC，所以PH=PF ，所以PE+PF=DC ．10．解：是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE 是平行四边形，•所以AE=BD ，所以AE=DC ．又因为A E∥DC，所以四边形ADCE 是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE 是矩形．11．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．12．D13．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）14．解：如图所示，过点G 作GE⊥BD 于点E ，则AG=EG ，AD=ED ．在Rt△ABD 中，由勾股定理，得所以-1，BG=•AB-AG=2-AG ，设AG=EG=x ，则BG=2-x ．在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=）2+x2，解得，即。

18.2.2 矩形的判定人教版数学八年级下册分层作业(含答案)

人教版初中数学八年级下册18.2.2 矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（　）A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A、四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，故选项A符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，，，，，选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；C、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．【答案】C【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC，∵矩形ABCD，，，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，∵，∴∠AOE=∠COE=90°，∵OE=OE，∴△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，在Rt△DEC中，，∴，∴x=5，∴AE=5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，平行四边形是矩形，，，，，设，则，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF BD，且EF=BD=3．同理求得EH AC GF，且EH=GF=AC=4，又∵AC⊥BD，∴EF GH，FG HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，∴，且，且，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，∴，即，∵，，∴，故选：A．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（）A．2B．2.4C．2.5D．2.6【答案】B【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM，∵ME AC，MF BC，∴MEC=MFC=90°,∵C=90°，∴四边形ECFM是矩形，∴EF=CM，当CM AB时，CM最短，如下图：当CM AB，，∴，∵在Rt ABC中，=，∴，∴CM=2.4，∴CM的最小值是2.4，∴EF=CM=2.4，∴EF的最小值是2.4．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．【答案】【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．【详解】解：如图，连接，分别为的中点，，，四边形为平行四边形，要使平行四边形为矩形，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．【答案】矩形【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ＝180°，∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，∵AB∥CD，∴∠APQ＝∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN＝∠PQD，∴∠MPQ＝∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23° ，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44° ．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中，∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．(1)求证：四边形是矩形．(2)若是的平分线．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，是的平分线，，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形中，AD BC，．对角线交于点平分交于点，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，=，求△的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．（1）证明：，，∵，，∴四边形是矩形．（2）解：在中，，，由（1）已证：四边形是矩形，，平分，，，，，则的面积为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)10°【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵于点E，于点F，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：，于点，于点，四边形是矩形，，，与互相平分，点是的中点，，当时，最小∵，，，故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（）A．28B．26C．22D．18【答案】A【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．【详解】解：，，是的中点，，在和中，，，，，，，四边形的周长，当最小时，即时四边形的周长有最小值，，，，四边形为矩形，，四边形的周长最小值为，故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，又∵AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误；∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴，故⑤正确；【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题：4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.【答案】【分析】过点M作MH BC交CP于H，根据平行线的性质可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．【详解】解：如图，过点M作MH BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在和中，，∴（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH＋FH＝CP，∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，∴BP＝BC＝10，在Rt中，AP＝，∴PD＝AD−AP＝10−6＝4，∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，∴在Rt中，CP＝，∴EF＝CP＝，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．【答案】2.4s或4s或7.2s【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q 由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q 再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q由在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，若，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），在点Q由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），在点Q再由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当时，求t的值．【答案】(1)2.4(2)t为时，四边形PBCF为平行四边形(3)【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；（3）根据已知条件判定，即可得出，进而得到四边形为平行四边形，依据，即可得到四边形为矩形．再根据勾股定理即可得到的长，进而得出．（1）解：在中，，，．如图，过作于，则由，得．，与之间的距离为2.4．（2），当时，四边形是平行四边形．为的中点，为的中点．．（3），，．为的中点，，．，四边形为平行四边形．，．．四边形为矩形．．在中，，，．．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。

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20.2 矩形的判定同步练习
目标与方法
1．会证明矩形的判定定理．
2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．
3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．基础与巩固
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（）．
A ．A
B ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90°
C ．AB=BC ，AD=C
D ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°
2．已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6个条件：①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，• ④BC=AD ，⑤AC=BD ，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3 个，能使四边形ABCD 是矩形．
3．已知：如图，在Y
ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．
求证：Y ABCD 是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．
5．已知：如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．
拓展与延伸 B A C D O B A C D N M B A C E F
6．已知：如图，在Y
ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为
直角．•
求证：•四边形ABCD 是矩形．
后花园
智力操如图，以△ABC 的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角形，•即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？
参考答案:
1．C B A C E D O A C E D F
2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②
④⑥．
3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．
又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A=•∠B=90°，∴Y ABCD是矩形．
4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．5．∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．• 又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴Y EBCF是矩形．
6．证明：连接OE．在Y ABCD中，OA=OC，OB=OD．以AC为斜边的Rt△ACE中，OE•为斜边AC上的中线，∴OE=1
2
AC，即AC=2OE．
以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，
∴OE=1
2
BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
智力操（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：△ABD、△BCE•是等边三角形，•∠ABD=∠EBC=60°．∠ABD-∠EBA=∠EBC-∠ABE，即∠DBE=∠ABC．
又∵DB=AB，EB=CB，•∴△EDB≌△CAB．∴DE=AC=AF．
同理△CEF≌△CBA，∴EF=AB=DA，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．。