运动学方程的建立
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
轨迹方程和运动学方程
轨迹方程和运动学方程一、引言在物理学中，轨迹方程和运动学方程是描述物体运动的重要工具。
轨迹方程用于描述物体在空间中的运动轨迹，而运动学方程则用于描述物体在时间上的变化规律。
本文将分别介绍轨迹方程和运动学方程的概念、应用以及相关原理。
二、轨迹方程轨迹方程是描述物体在空间中运动轨迹的数学表达式。
对于一个质点在二维平面上的运动，其轨迹可以用参数方程表示。
常见的参数方程包括直角坐标系下的x=f(t)和y=g(t)，极坐标系下的r=f(θ)。
例如，一个物体在水平方向以匀速v0运动，竖直方向受重力加速度g的影响，则其轨迹方程可以表示为x=v0t，y=1/2gt^2。
对于三维空间中的运动，常用的轨迹方程是参数方程。
例如，一个物体在水平方向以速度v0运动，竖直方向受重力加速度g的影响，则其轨迹方程可以表示为x=v0t，y=0，z=1/2gt^2。
轨迹方程的应用非常广泛。
例如，在天文学中，轨迹方程可以用于描述行星、卫星等天体的运动轨迹；在工程学中，轨迹方程可以用于描述机器人、无人机等设备的运动轨迹。
三、运动学方程运动学方程是描述物体在时间上变化规律的数学表达式。
在经典力学中，常用的运动学方程包括位移-时间关系、速度-时间关系和加速度-时间关系。
位移-时间关系是描述物体位移随时间变化的规律。
对于匀速运动，位移-时间关系可以表示为s=v0t，其中s为位移，v0为速度，t为时间。
对于匀加速运动，位移-时间关系可以表示为s=v0t+1/2at^2，其中a为加速度。
速度-时间关系是描述物体速度随时间变化的规律。
对于匀速运动，速度-时间关系可以表示为v=v0，其中v为速度，v0为初速度。
对于匀加速运动，速度-时间关系可以表示为v=v0+at，其中a为加速度。
加速度-时间关系是描述物体加速度随时间变化的规律。
对于匀加速运动，加速度-时间关系可以表示为a=a0，其中a为加速度，a0为常数。
运动学方程的应用也非常广泛。
例如，在机械工程中，运动学方程可以用于分析机械臂、滑动轨道等设备的运动规律；在交通工程中，运动学方程可以用于研究车辆的行驶速度和加速度。
六自由度机器人逆向运动学解题过程
六自由度机器人逆向运动学解题过程
六自由度机器人逆向运动学主要是通过求解机器人末端执行器的位姿，从而得到关节的角度。
逆向运动学求解的过程如下：
1. 了解机器人运动学模型：首先需要了解六自由度机器人的运动学模型，包括机器人臂部的结构、关节类型和运动学参数。
常见的运动学模型有DH（Denavit-Hartenberg）模型和旋量法。
2. 建立运动学方程：根据机器人臂部的结构，建立运动学方程。
对于DH模型，运动学方程为：
θ1 * A1 + θ2 * A2 + θ3 * A3 + θ4 * A4 + θ5 * A5 + θ6 * A6 = T
其中，θ1-θ6为六个关节的角度，A1-A6为相邻两个关节之间的变换矩阵。
3. 初始化关节角度：给定一个初始的关节角度序列，作为求解逆向运动学的输入。
4. 求解位姿：利用运动学方程，将关节角度序列代入，计算出末端
执行器的位姿。
5. 评价求解结果：根据实际应用需求，评价求解结果的精度和实用性。
如果结果不满足要求，可以调整初始关节角度序列，重复步骤2-4，直至得到满意的解。
6. 应用：将求解得到的关节角度序列应用于机器人控制系统，实现机器人的运动。
在求解过程中，可以使用一些优化算法，如牛顿法、梯度下降法等，以提高求解速度和精度。
同时，为了减少计算复杂度，可以采用一些技巧，如LU分解、QR分解等。
需要注意的是，六自由度机器人逆向运动学求解过程依赖于机器人运动学模型的精确性、运动学方程的稳定性和求解算法的性能。
在实际应用中，可能需要根据具体情况调整模型和算法，以获得更优的求解结果。
两轮车运动学模型建立
两轮车运动学模型建立
两轮车的运动学模型可以分为纵向运动和横向运动两个方面。
1. 纵向运动：
- 纵向速度：根据牛顿第二定律，可以得到纵向速度的动力学方程：$F_f - F_r = m \cdot a$，其中 $F_f$ 是前轮的纵向力，$F_r$ 是后轮的纵向力，$m$ 是车辆质量，$a$ 是车辆的纵向加速度。
- 纵向位移：根据运动学关系，可以得到纵向位移的方程：$s = s_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$，其中 $s$ 是纵向位移，$s_0$ 是初始位移，$v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。
2. 横向运动：
- 横向速度：可以根据车辆的转弯半径$R$ 和车辆的纵向速度$v$，计算车辆的横向速度 $v_y$：$v_y = \frac{v^2}{R}$。
- 横向位移：可以根据车辆的横向速度$v_y$ 和时间$t$ 计算车辆的横向位移 $y$：$y = v_y \cdot t$。
需要注意的是，以上模型是理想化的模型，没有考虑到车辆的滑移、转向角度等实际因素。
在实际应用中，还需要考虑到轮胎的摩擦力、车辆的悬挂系统等因素，以得到更准确的运动学模型。
机器人 (7)
机器人动力学的研究有
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法
拉格朗日(Langrange)法
高斯(Gauss)法
凯恩(Kane)法
罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。
角度设定法
“角度设定法”就是 采用相对参考坐标系或相对运动坐标系作三次连续转动来规
定姿态的方法，。
手部位姿可用一个6维列矢量来表示
X [ px py pz x y z ]T
φx、 φy、 φz表 示绕x、y、z轴的
转角。
4
设q为广义关节变量 q [q1 q2 ... qn ]T
x x(q1,q2,..., qn ) x(q)
τ
τ
2
M
τ n
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功原理则可得广 义关节力矩τ与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ=JTF 式中： JT为n*6阶机器人力雅可比矩阵。 机器人力雅克比是机器人速度雅可比J的转置矩阵。是机 器人静力计算的基础。
23
• 机器人静力计算的两类问题
– (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，求相应的满足 静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
–运动学方程x=x(q)可以看成是由关节空间向操作空 间的映射；
–而运动学反解则是由其映像求其关节空间的原像。
6
二.机器人的雅可比矩阵
机器人的雅可比矩阵揭示了操作空间与关节空间的映射关系。 雅可比矩阵不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系， 也表示两者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力 矩及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的 方法。
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
力学运动与运动学方程
力学运动与运动学方程力学运动是物体在受到力作用下的运动，而运动学方程则是描述物体运动的方程。
通过对力学运动和运动学方程的研究和应用，我们可以深入了解物体的运动规律，并利用这些规律解决实际问题。
一、力学运动力学运动是研究物体受到力作用下的运动规律的学科。
在力学运动中，主要考虑物体的速度、加速度以及运动的轨迹等因素。
力学运动可以分为匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等不同类型。
1. 匀速直线运动在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，而加速度为零。
这意味着物体在单位时间内所经过的路程相等。
匀速直线运动的运动学方程为：\[v = v_0\]\[s = v_0t\]其中，\(v\)表示物体的末速度，\(v_0\)表示物体的初速度，\(s\)表示物体的位移，\(t\)表示经过的时间。
2. 变速直线运动在变速直线运动中，物体的速度随时间而变化，加速度不为零。
变速直线运动的运动学方程为：\[v = v_0 + at\]\[s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\]其中，\(a\)表示物体的加速度。
3. 曲线运动曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线的运动。
在曲线运动中，物体的速度和加速度都是矢量，需要考虑其方向。
曲线运动常涉及到极坐标、曲线的参数方程等数学工具来描述。
二、运动学方程的应用运动学方程不仅是研究物体运动的基础，也是解决实际问题的重要工具。
以下是运动学方程的一些应用。
1. 路程-时间图运动学方程中的位移-时间方程可以用于绘制物体的路程-时间图。
通过分析路程-时间图，我们可以得到物体的运动方式，例如匀速运动、加速运动或者减速运动。
2. 速度-时间图在运动学方程中，速度-时间方程可以用于绘制物体的速度-时间图。
通过分析速度-时间图，我们可以了解物体的速度变化规律，例如加速度大小、正负号等。
3. 解决实际问题通过运动学方程，我们可以解决一系列与物体运动相关的实际问题。
例如，我们可以通过已知的位移和时间求解物体的平均速度、通过已知的加速度和时间求解物体的位移，或者求解加速度的大小等。
用拉格朗日法建立体系的运动方程
拉格朗日法是分析力学中的一种方法，用于描述多体系统的运动。
这种方法基于拉格朗日函数L，它由系统的动能T和势能V组成。
假设我们有一个n自由度的多体系统，其动能和势能分别为：T = 1/2 ∑ mi × vi^2
V = V(q1, q2, ..., qn)
其中，m是质量，v是速度，q是位置。
那么拉格朗日函数L可以定义为：
L = T - V
根据拉格朗日函数，我们可以得到系统的运动方程，也称为拉格朗日方程：
dL/dq = dT/dq - dV/dq
其中，dq表示对q的偏导数。
这个方程描述了系统在给定力的作用下如何运动。
在给定初始条件的情况下，我们可以通过解这个方程来找到系统的运动轨迹。
需要注意的是，拉格朗日方程是一种描述系统动力学的方程，它并不直接给出系统的运动轨迹。
要找到具体的运动轨迹，通常需要求解这个方程。
这可能涉及到数值方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
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T4
0.8 0
66
0.5 0
0 17.32 1 0
0
00
1
机器人运动学方程
如为果机A器1矩人阵的表每示一第个一连连杆杆建坐立标一系个相坐对标于系固，定并坐用标齐系次的变齐 次换变来换描，述则这第些一坐连标杆系坐间标的系相相对对关于系固，定也坐叫标相系对的位位姿姿。T1为
通常把描述一个连T1杆坐A标1T系o 与A 下1一个连杆坐标系间相
1.求连杆间的齐次变换矩阵
c1 s1 0 0
01T
s1
0
c1 0
0 0 1 0
0
0 0 1
c2 s2 0 a1
21T
s2
0
c2
0
0
0
1 0
0
0
0
1
c3 s3 0 a2
23T
s3
0
c3
0
0
0
1 0
0
0
0
1
1 0 0 a3
34T
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
1.求手腕中心的运动方程
(全书cos可用c表示，sin可用s表示)
T4是A1、A2 、A3 、A4连乘的结果，表示手部坐标系{4}(即 手部)的位置和姿态。
T4
❖ 当转角变量分别为θ1=30°, θ2=-60°, θ3=30°时，则可根据平面关节型机器人运动学方程求解 出运动学正解,即手部的位姿矩阵表达式：
0.5 0.866 0 183.2
θ3
L3
y0
θ2 L2
L1
θ1
O
x0
基座标系{0}与基座固连，固定不动。原则上可以任意规定，但是为了简单方便， 总是规定，当第一个关节变量为零时，{0}与{1}重合。 坐标系{1}位于第一个关节处，z轴与关节轴线重合，x轴与关节1与关节2公垂线 的共线，方向由关节1指向关节2.坐标系{2}、{3}设定方法相同。坐标系{4}是末 端连杆坐标系，其规定与基座标系{0}相似。
机器人学基础
—— 运动学方程的建立
1.平面三自由度机器人运动学分析
正向运动学主要解决机器人运动学方程的建立及手部位姿的求 解，即已知各个关节的变量，求手部的位姿。 如图所示，SCARA装配机器人的三个关节轴线是相互平行的。求 该机器人手部中心点P的运动学方程。
D-H法运动学方程建立步骤： (1)确定机器人各连杆的连杆参数； (2)建立连杆坐标系； (3)计算各连杆的A矩阵； (4)将得到的A矩阵连乘，得到机器人的运动方程式。
04T01T21T23T34T
连杆变换通式 根据各个坐标 系的位姿关系
三自由度平面机械手 的运动方程式
T4
式中：c123＝cos(θ1+θ2+ θ3)；s123=sin(θ1+θ2+ θ3)；
c12=cos(θ1+θ2+ θ3)； s12=sin(θ1+θ2+ θ3)；
c1＝cosθ1
s1=sinθ1。
0 1
0 0
1
d
4
0 0
0 0 0
1
由连杆变换即可推导运动方程和各中间变换。
0 1 0 a3
24T23T34T
0 1
0
0 0 0
1
d4
0 0
d3 1
41T21T23T34T
nx ox ax px
04T01T21T23T34TF
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0
d5 1
空间3R机械手运动学方程
如图所示的空间3R机械手，3个旋转关节中关节1轴线与关节2、 3垂直，列出各连杆参数和运动学方程。
αi-1
ai-1
90°
对关系的齐次变换矩阵叫做A变换矩阵或A矩阵。
1 0 0 0
To
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
如果A2矩阵表示第二连杆坐标系相对于第一连杆系的齐 次变换，则第二连杆坐标系在固定坐标系的位姿T2可用A2 和A1 的乘积来表示，并且A2应该右乘。
T2 A1A2
同理，若A3矩阵表示第三连杆坐标系相对于第二连杆坐 标系的齐次变换，则有：
T3 A1A2A3
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
T6A 1A2A3A4A5A6
T6A 1A2A3A4A5A6
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
坐标系之间的变换矩阵的连乘，左边T6表示这些变换矩阵 的乘积，也就是手部坐标系相对于固定参考系的位姿。
手部的姿态
手部的位置
XHK 5140换刀机械手运动学方程
该机械手有4个自由度。关节1和2是转动关节，用于大臂和小臂 旋转；关节3和4是移动关节，实现插拔刀和伸缩运动。
表3 换刀机械手连杆参数
注意： (1)θ1=0°时，基座标系{0}和{1}重合。 (2)坐标系{2}与连杆2固接； (3)坐标系{4}与手爪坐标系平行； (4)连杆坐标系的规定不是唯一的，对于不同坐标系，对应的参数也不同。
为了描述换刀机械手和机床的联系，另设一个参考坐标系 {R}，而与末端连杆4固接的手爪用工具坐标系{T}表示。则 手爪相对参考系{R}的位姿 RTT为
R TTR 0T0 4TT 4T
1
2
R0T
0
1 6
2
1 3
1
l
2 l
6 3 2
1
2
1 6
1 3
l
2
0
0
0 1
1 0 0 0
T4T
根据连杆参数，可得到各个连杆的变换矩阵
c1 s1 0 0
01T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1
0
c1 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0 0 0
23T
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0
d3 1
c2
21T
1 3
s
2
2 3
s2
0
s2
0 a1
1 3
c
2
2 3
0
2 3
c
2
1
0
3
0
0 1
0 1 0 a3
34T