曲线运动的基本概念

一、曲线运动的基本概念（1）做曲线运动的条件
质点有一定的初速度v
0，且质点所受的合外力ΣF与v
不在一条直线上。

（2）曲线运动中物体的速度方向是时刻改变的
它在某一点或某一时刻的瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。

（3）曲线运动的特点
路程大于位移大小；一定是变速运动（匀变速或非匀变速、匀速率或变速率）；所受合外力（和加速度）一定不为零，且指向曲线弯曲的内侧。

二、研究曲线运动的方法——运动的合成和分解
运动的合成与分解指的是对运动的位移、速度、加速度等矢量的合成和分解，遵守平行四边形法则。

（1）合运动与其分运动的基本性质
同时性：合运动与其分运动总是同时开始、同时进行、同时结束
独立性：各分运动独立进行、互不干扰
（2）合运动性质的判定
A．两个匀速直线运动的合运动，是匀速直线运动或静止
B．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动，是初速度为零的匀加速直线运动或静止
说明：A、B中如指明v
1≠v
2
、a
1
≠a
2
或互成角度，则无静止的可能性。

C．一个匀速直线运动与一个初速度为零的匀加速直线运动的合运动，一定是匀变速（直线或曲线）运动
D．两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动，是直线运动还是曲线运动，要看合加速度与合初速度的方向关系
（3）应用：船过河问题
设船在静水中的速度为v
1，水速为v
2
，船对岸的速度为v
v 1，v
2
，v三者遵循平行四边形法则。

设河宽为d，船头与水流方向成θ角，则
船过河时间t=，其中v
1
sinθ可理解为船沿垂直河岸方向的分速度；
沿平行河岸方向的位移为s
∥=(v
2
+v
1
cosθ)t=
（i）最短时间过河
根据合运动与分运动的等时性，船过河的运动可分解为v
1、v
2
两个分运动。

对v
1
这个分
运动来说，t
min =，其中d为河的宽度，此时v
1
与岸垂直。

所以，当船头垂直岸过河时，渡河时间最短。

（ii）最短位移过河
当v
1＞v
2
、合速度v方向垂直岸时，s
min
=d。

船头斜向上游，与岸的夹角为θ=arccos。

当v
1＜v
2
时，v不可能垂直岸，那么，v与岸的夹角越大，s就越小。

由速度三角形（如
图：
v 2的大小方向一定、v
1
大小一定，确定v的方向）可知，
当v
1⊥v时，s
min
=，其中sin=。

船头斜向上游，与岸夹角为arccos。

三、平抛运动
（1）产生条件
有不为零的水平初速度v
，只受重力作用。

（2）两个分运动
水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动（3）规律
在XOY坐标系中画出位移三角形和速度三角形，
v x =v
，v
y
=gt，v=，tan
x=v
t，y=，s=，tan
推论1：平抛运动任意时刻的瞬时速度的反向延长线，一定通过水平分位移的中点。

[证明]
推论2：
[证明]
（4）轨迹：参照物选取的不同，轨迹也不同，站在地面上看，平抛运动的轨迹为一条抛物线，方程为y=。

（5）平抛运动是匀变速（变速率）的曲线运动。

四．匀速圆周运动
（1）产生条件
合外力ΣF时刻垂直于速度v
（2）描述匀速圆周运动的物理量
线速度v、角速度ω、周期T和转速n
它们之间的关系为
v=ωr==2πnr
（3）向心加速度
a
=
n
说明：匀速圆周运动是变速运动，又是变加速运动，速度方向改变的快慢程度用向心加
速度a表示，,当线速度v大小一定时，，当角速度ω一定时，，
向心加速度概念也适用于变速率圆周运动，中的v，ω用瞬时值即可。

向心力是效果力，它由性质力提供。

做匀速率圆周运动的质点的向心力由所受各力的合力提供，做变速率圆周运动的质点所受合力的法向分力产生向心加速度，切向分力改变质点运动速率的大小。

圆周运动是变速运动，变速运动一定有加速度。

但当物体做圆周运动时，我们关注的是速度方向的改变，改变速度方向的加速度是向心加速度，牛顿第二定律在圆周运动中同样适用，产生向心加速度的外力即是向心力。

在处理物体或质点做圆周运动的问题时，仍按如下步骤：
①确定研究对象；
②分析物体受力，画受力图；
③对物体所受外力进行正交分解，求出沿半径方向的合外力；
④列方程求解。

典型例题
1、如图所示，从A点以水平速度v
抛出小球，不计空气阻力。

小球落在倾角为
α的斜面上B点，速度方向与斜面夹角为β，则此时速度大小v B=________；小球在空中飞行的时间t=________。

分析：如图，将落到斜面上时小球的速度分解，则有：
水平方向：v x=v0
竖直方向：v
=gt
y
由图中几何关系有：
v B=v0/cos(β－α)
tan(β－α)＝v y/v x
得到t=v0tan(β-α)，v B=v0/cos(β－α)
2、正沿平直轨道匀速行驶的车厢内，前面高h的架上有一个小球，如图所示。

忽然车厢改以加速度a匀加速行驶，小球将落下，小球落到车厢底板上的点到架子的水平距离为。

分析：依题意，如图运动。

当小球离开架子时，仍具有水平速度v，向前做平抛运动。

小球落到底板上所用的时间t=
在这段时间内，车的位移s
2与小球水平射程s
1
之差，即是题目要求的距离
s x=s2－s1
其中：s2=vt＋s1=vt
得：s x＝
3、如图所示的皮带传动装置在转动后，转动盘上的三点A、B、C的线速度之比
V A ：V
B
：V
C
=______，角速度之比
A
：
B
：
C
=______，向心加速度之比a
A
:a
B
:a
C
=______。

分析：皮带轮装置的两个大小不同的轮缘处的线速度大小一定相等，同一轮上的各点的角速度一定相等。

再根据公式v=r，可得当线速度相等时，角速度与半径成反比；当角速度相等时，线速度与半径成正比，再由a=v可得出向心加速度之比。

则v
A ：v
B
：v
C
=2：2：1。

A ：
B
：
C
=2：1：1。

a A :a
B
:a
C
=4：2：1。

4、长为L的细线和细杆，一端系一个质量为m的小球，若使小球在竖直平面内恰好能做圆周运动，求：当小球通过最低点时的速度。

分析：设小球通过最高点时的速度为V
高。

若为绳，绳对小球只能产生拉力，设其拉力为T，则小球所受重力与绳拉力的合力作向心力。

即mg+T=m，其中mg为恒定不变的，随V
高
的减小，T随之减小。

当T=0时，V
高具有最小值，即mg=m，则V
高
=。

即系在细绳上的小球如能在竖直平面的做圆周运动，需具有一个最小速度V
高
=。

在通过最低点时的速度可从机械能守恒定律得出。

mV2
低=mV2
高
+mg·2L，V
低
=。

若为杆，则在通过最高点时，球的重力与杆对球的弹力T的合力作向心力，即
mg+T=m。

但杆可以对小球产生支持力，则合力可以为零，小球能够在竖直平面上做圆周运动的最小速度V
高
=0。

同样利用机械能守恒定律，可求得小球通过最低点时的速度为V
低
=。

5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°，如图所示，一条长度为l的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（可视为质点）。

物体以速率v绕圆锥体的轴线
做水平匀速圆周运动。

求：
（1）当时，绳对物体的拉力。

（2）当时，绳对物体的拉力。

分析：当物体静止时，受力如图：
建立直角坐标系xoy有
……①
……②
当物体做圆运动时有：
……③
……④
当v增大时，a增大，由③④可知：
T增大，N减小，当v增大到某值v
时，
N=0，由③④得此时：
当时，N＞0，由③得
……⑤
由④得……⑥
⑤+⑥得
当时，N=0，此时绳与竖直线的夹角α＞0，有
……⑦
……⑧
由⑦⑧得T=2mg，cosα=。