1第一节典型输入作用和时域性能指标

时域分析
什么是时域分析? 时域分析法——就是求解系统的时间响应，来分析系统的 稳定性、快速型和准确性。它是一种直接在时间领域内对系统 进行分析的方法。具体来说，就是以系统的微分方程或传递函 数为工具，在输入信号的作用下，求解输出的时间响应来分析 和评价系统的性能。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法， 所以时域分析具有直观和准确的优点。 在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函 数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数 的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。
典型输入作用
三、典型响应： 单位脉冲函数响应： ⒈ 单位脉冲函数响应 单位阶跃函数响应： ⒉ 单位阶跃函数响应 单位斜坡函数响应： ⒊ 单位斜坡函数响应 单位抛物线函数响应： ⒋ 单位抛物线函数响应：
C (s) = G (s) × 1
1 C (s) = G (s) s 1 C (s) = G (s) 2 s C (s) = G (s) 1 s3
y
ymax
y (∞) y (∞) 2
0.05 y (∞) 0.02 y (∞)
或
⒊ 峰值时间 t p： 输出响应超过稳态值达到第一个 峰值ymax所需要的时间。
ymax − y (∞) δ%= × 100% y (∞ )
0
t td tr tp ts
⒋ 最大超调量（简称超调量） δ %：
式中：y max --输出响应的最大值； y (∞ ) = lim y (t ) --稳态值；
脉冲函数： ⒈ 脉冲函数 理想单位脉冲函数： [定义]：
0 δ (t ) = ∞ t≠0 t=0
，且
∫
δ ( t ) dt = 1，其积分面积为1。 −∞
L [δ ( t )] = 1
∞
其拉氏变换后的像函数为：
δ (t)
δ (t −τ )
0
τ
出现在 t = τ 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下： ∞ 0, t ≠ τ A δ (t − τ ) = 且 ∫−∞ Aδ (t − τ ) dt = A ∞ , t = τ
max
在上述几种性能指标中， t p , t r , t s 表示瞬态过程进行的快慢，是快 速性指标；而 δ %, N 反映瞬态过 程的振荡程度，是振荡性指标。 其中 δ %和 t s 是两种最常用的性 能指标。
y (∞) y (∞) 2
0
0.05 y (∞) 0.02 y (∞)
或
t td tr tp ts
t
小 结
典型输入信号及其之间的关系 线性微分方程的解 瞬态响应和稳态响应 瞬态响应的性能指标(有衰减振荡和单调变化之分)
最大超调量和振荡次数反映了暂态过程振荡激烈程度； 调节时间反映了系统的快速性； 稳态误差反映了系统稳态工作时的控制精度，是衡量系 统稳态性能的指标； 一般以最大超调量、调整时间、稳态误差衡量响应系统 的平稳性快速性和稳态精度。
x (t ) 1 2 x(t) = Ct 2 t
典型输入作用
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下： d d2 d3 1 2 Aδ (t ) = [ A × 1(t )] = 2 [ At ] = 3 [ At ] dt dt dt 2 正弦函数： 为频率。 ⒌ 正弦函数 x (t ) = ASin ω t ，式中，A为振幅， ω
0
∆
t
x (t ) A阶跃幅度，A=1 称为单位阶跃函数， A 记为1（t）。
t
A 其拉氏变换后的像函数为： L [ x ( t )] = s
阶跃函数是自控系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用 形式，在研究系统暂态性能时，一般采用阶跃函数为输入。
典型输入作用
斜坡函数（速度阶跃函数）： ⒊ 斜坡函数 0, t < 0 B=1时称为单位斜 x (t ) = Bt , t ≥ 0 坡函数。
线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间 趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统 达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。 。 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分 析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间 趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行 的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这 段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。 如某系统的单位阶跃响 应曲线如图所示：
本章主要内容
典型输入信号和时域性能指标 一阶系统分析 二阶系统分析 高阶系统分析 控制系统的稳定性分析 控制系统的稳态误差分析
第一节 典型输入信号和阶跃响应 性能指标
典型初始状态
一、典型初始状态 控制系统的时间响应不仅决定于系统的数学模型，而且 与系统的输入量和初始状态有关，为了研究系统的性能与系 统结构、参数之间的关系，就必须规定系统的初始状态。
t = 0− 时 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在
& && c(0− ) = c(0− ) = c (0− ) = L = 0
上式表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的， 被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
典型输入信号
二、典型输入信号
将输入信号规定为统一的典型形式，称之为典型输入信号， 将输入信号规定为统一的典型形式，称之为典型输入信号，这些 信号是数学上加以理想化的一些基本的输入函数， 信号是数学上加以理想化的一些基本的输入函数，易于理论分析与计 主要有：阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、 算。主要有：阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数和正弦函 数。
t →∞
瞬态过程的性能指标
⒌ 调节时间或过渡过程时间 ts： 当 y (t )和 y (∞ )之间的误差达到规定的范围之内[比如 5 % × y ( ∞ ) ts 或 2 % × y ( ∞ )]，且以后不再超出此范围的最小时间。即当 t ≥ ，
| y ( t ) − y ( ∞ ) |≤ ∆ % × y ( ∞ ), ∆ = 2 或 5 有： ⒍ 振荡次数N： 在调节时间内，y(t)偏离 y (∞ ) 的振荡次数。 7. 稳态误差ess： y 当时间t趋于无穷大时，系统单位阶 y ess＝1-y(∞) 跃响应的稳态值与输入量1(t)之差。
典型输入作用
实际单位脉冲函数：
0, t < 0 和 t > ∆ δ ∆ (t ) = 1 , , 0<t<∆ ∆
1 ∫−∞ δ ∆ (t ) dt = ∆ × ∆ = 1,
∞
1 ∆
δ ∆ (t )
δ 当∆ → 0时， ∆ (t ) = δ (t )
阶跃函数： ⒉ 阶跃函数
0, t < 0 x (t ) = A, t ≥ 0
y
瞬态过程
稳态过程
0
t
瞬态过程的性能指标（衰减振荡） 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
五、阶跃响应性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程 的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应 函数有衰减振荡和单调变化两种。 （一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：
[提示]：上述几种典型响应有如下关系： 单位脉冲 函数响应
积分
微分
单位阶跃 函数响应
积分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
微分
单位抛物线 函数响应
线性微分方程的解
四、线性微分方程的解 时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性 能指标。设微分方程如下： an y ( n) (t ) + an−1 y ( n−1) (t ) + ... + a0 y(t ) = bm x( m) (t ) + bm−1 x( m−1) (t ) + ... + b0 x(t ) 式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。 我们知道，微分方程的解可表示为： y (t ) = y h (t ) + y p (t ) ，其 y 中， h (t) 为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身的 特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时间趋 于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根可以分 析系统的稳定性。 yp (t)为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间趋 于无穷大时特解趋于一个稳态的函数。
y
ymax
⒈ 延迟时间 td： 输出响应第一次达到稳态 值的50%所需的时间。
y (∞) y (∞) 2
0
0.05 y (∞) 0.02 y (∞)
或
t td tr tp ts
瞬态过程的性能指标（衰减振荡） 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
⒉ 上升时间 tr ： 输出响应第一次达到稳态值y(∞)所 需的时间。
第三章
控制系统时域分析法
前面我们已经学习了控制系统数学模型建立的方法。 前面我们已经学习了控制系统数学模型建立的方法。 建立了系统的数学模型后就可以对控制系统进行分析和计 在经典控制理论中所用的分析方法有：时域分析法、 算；在经典控制理论中所用的分析方法有：时域分析法、 根轨迹法、 根轨迹法、频域分析法 本章主要讨论时域分析法
B s2
Fra Baidu bibliotek
x (t ) x(t) = Bt
t
其拉氏变换后的像函数为： L [ x ( t )] =
⒋ 抛物线函数 抛物线函数（加速度阶跃函数）： 0, t < 0 C=1时称为单位抛 x (t ) = 1 2 物线函数。 2 Ct , t ≥ 0 其拉氏变换后的像函数为：
L [ x ( t )] = C s3
稳态过程的性能指标
（二）单调变化 单调变化响应曲线如图所示： 这种系统只用调节时间 t s来表示 快速性。 1. 上升时间 t： r
y
0.05 y (∞)
y (∞ )
或 0.02 y (∞ )
y (∞) 2
tr
td ts 指由稳态值的10%上升到稳态值的 指由稳态值的10%上升到稳态值的 10% 90%所需的时间 所需的时间。 90%所需的时间。 2. 延迟时间 td ： 输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间 所需的时间。 输出响应第一次达到稳态值的 所需的时间 3. 调节时间或过渡过程时间 t： s 当 y (t )和 y (∞ )之间的误差达到规定的范围之内[比如 5 % × y ( ∞ ) 或 2 % × y ( ∞ )]，且以后不再超出此范围的最小时间。
Aω 其拉氏变换后的像函数为：L [ A sin ω t ] = 2 2 s +ω
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。 当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入 信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典 型输入信号；在对系统进行频率分析时，就采用正弦函数作为系 统地输入信号。