高一数学(1.3空间几何体的表面积与体积(2课时))
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高中数学一空间几何体空间几何体的表面积与体积球的体积和表面积PPT课件
答案：D
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相 切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上， 则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径． 设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 的半径为 R.
由于∠AOB＝90°， 所以 VO ABC＝VC AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6， 故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球 的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3， 所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3， 故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时， 要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球 的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角 线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据 求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作 出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相 切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上， 则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径． 设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 的半径为 R.
由于∠AOB＝90°， 所以 VO ABC＝VC AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6， 故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球 的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3， 所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3， 故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时， 要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球 的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角 线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据 求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作 出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．
空间几何体的表面积和体积
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
A
B
h
D
S
1 [Sh (S S' )x]
3
S'
x2
S (h x)2
S' x x
S h x
B S'h
S S'
V1h[Sh(SS') 3
S' ]
S S'
1 [S
3
SS ' S ' ]h
C C
整理课件
23
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2 S下底 r 2
S侧 (r r)l
S 表 (r2 r 2 rl rl )
整理课件
16
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S r 2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
r O
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
整理课件
10
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
V球
4
3
R3
S球面 4 R2
整理课件
30
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图 所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
高中数学1.3空间几何体表面积和体积优秀课件
h
D
3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1S' 3
x
A
S
C
1[Sh(SS')x] 3
B
S' S
x2 (h x)2
S' x
S'h
x
S hx
S S'
V1h[S(SS') S' ] 1[S SS' S']h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
VSh S' S V1(S' S'SS)h S ' 0 V 1 S h
由祖暅原理得： V柱体= sh
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1 ，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 S h（其中S为底面面积，h为高）
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 ．1
3
设有底面积都等于S，高都等于h的两 个锥体，使它们的底面在同一平面内.
4
2
2956(mm3)2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5 .8 1 0 0 0 ( 7 .8 2 .9 5 6 ) 2 5 2 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
柱体、锥体、台体的外表积 展开图
圆柱 S2r(rl)
rr
圆台 S(r2r2rlr)l
r 0
圆锥 Sr(rl)
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
由祖暅原理得： V棱锥=V圆锥
设三菱柱ABC-A’B’C’的底面积为S,高为h，那 么它的体Sh积. 沿为平面A’BC和平面A’B’C，将这个三菱柱分
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
高一数学课件—第一章 空间几何体的表面积与体积
解析 ∵圆锥 SO 的高为 4，体积为 4π， ∴4π＝43πr2，∴r＝ 3.
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
高中数学_1.3空间几何体的表面积和体积课件(免费)
作业
P28 练习1，2，3 P29-30 习题 B组 1,2,3
1 3 S侧 4 a a 3a 2 2 2 所以这个四棱锥的 表面积为
S a 2 3a 2 (1 3)a 2
旋转体的表面积
一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其 底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终 得到这些几何体的表面积. 圆柱 底面是圆形 圆柱的侧面展 开图是一个矩 形
小结
常见平面图形的面积 多面体的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 旋转体的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
作业
P27 练习1，2 P28-29 习题1.3 A组 1，2，3，4，5，6
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积 球面距离
球的体积和表面积
C
r
S r2
1 n 1 S l r r 2 r 2 360 2 2
B
b A a
S a ha b hb
ab sin A
l
r
圆心角为n0
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
1 3 s aa 2 2
a
正方形的面积
正六边形的面积
sa
2
a
a
1 3 3 3 2 S 6 aa a 2 2 2
S下底 r
2
S侧 (r r )l
2 2 S表 (r r r l rl )
旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为 20cm，盆底直 径为 15cm ，底部渗水圆孔直径为 1.5cm ，盆壁长 15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多 少 油 漆 （ 精 确 到 1 毫 升 ） ？
空间几何体的表面积和体积教学ppt课件
2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体 积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积， 从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是
正视图
侧视图
俯视图
解析： 此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 解析： 正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆 内 的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何
高中数学课件-1.3空间几何体的表面积和体积
米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆
（取 3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？
解：花盆外壁的表面积：
S [ ( 1 5 ) 2 1 5 1 5 2 0 1 5 ] ( 1 .5 ) 2
22 2
2
1 0 0 0 (c m 2 ) 0 .1 (m 2 )
涂100个花盆需油漆： 0 . 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 (毫升)
P
截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台) 的体积公式(过程略)．
A
D
S
C
B
h
D
V VP ABCD VP ABCD A
S C
1 (S SS S)h
B
3
台体（棱台、圆台）的体积公式:
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
例4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的
1.3 柱、锥、台体的表面积
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积有什么关系？
几何体表面积
展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多 个平面图形围成的几何体，它们 的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
棱柱,棱锥,棱台的表面积
棱柱
棱锥
的花盆需要多少油漆（取 3.14,结果精确到
1毫升，可用计算器）？ 20cm
15cm
15cm
分析 花盆外壁的面积=花盆的侧
面积+底面积-底面圆孔面积
（取 3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？
解：花盆外壁的表面积：
S [ ( 1 5 ) 2 1 5 1 5 2 0 1 5 ] ( 1 .5 ) 2
22 2
2
1 0 0 0 (c m 2 ) 0 .1 (m 2 )
涂100个花盆需油漆： 0 . 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 (毫升)
P
截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台) 的体积公式(过程略)．
A
D
S
C
B
h
D
V VP ABCD VP ABCD A
S C
1 (S SS S)h
B
3
台体（棱台、圆台）的体积公式:
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
例4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的
1.3 柱、锥、台体的表面积
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积有什么关系？
几何体表面积
展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多 个平面图形围成的几何体，它们 的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
棱柱,棱锥,棱台的表面积
棱柱
棱锥
的花盆需要多少油漆（取 3.14,结果精确到
1毫升，可用计算器）？ 20cm
15cm
15cm
分析 花盆外壁的面积=花盆的侧
面积+底面积-底面圆孔面积
第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积46页PPT文档
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°， E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使 A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
解：如图，把正四面体放在正方体中．显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为1，
∴正方体棱长为
∴外接球直径2R=
第二节 空间几何体的表面积和体积
柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥
面积 S侧＝ 2πrh S侧＝ πrl
圆台
S侧＝ π(r1＋r2)l
体积
面积
直棱柱 S侧＝
正棱锥 S侧＝
正棱台 S侧＝
球
S球面＝
体积
对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割 补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决.
结合图形，确定球心与径，代入表面积公式.
【解析】 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠BAC＝120°，∠ABC＝ (180°－120°)＝30°，AM＝
＝2.因此，R2＝22＋
＝5，此球的表面积等于
4πR2＝20π.
【答案】 20π
解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z， 则
∴体积V＝xyz＝24. 答案：24
5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么 这个圆柱的侧面积是________．
解析：底面半径是
所以正方形的边长是2π ＝2
2 S 故圆柱的侧面积是(2 )2＝4πS.
答案：4πS
1．多面体的表面积是各个面的面积之和． 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这 个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和．
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知识探究（ 知识探究（一）:球的体积 球的体积
思考1:从球的结构特征分析， 思考1:从球的结构特征分析，球的大小 1:从球的结构特征分析 由哪个量所确定？ 由哪个量所确定？ 思考2:底面半径和高都为R 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 2:底面半径和高都为 的体积分别是什么？ 的体积分别是什么？
O A M B C
36 R= ,S =5 π,V =2 6 4 7 π 2
作业: 作业: 练习: P28练习:1，2，3.
a4
S =π r 圆
2
a3 an a1 a2
思考2:把球面任意分割成n 思考2:把球面任意分割成n个“小球面 2:把球面任意分割成 它们的面积之和等于什么？ 片”，它们的面积之和等于什么？
o
思考3:以这些“小球面片”为底， 思考3:以这些“小球面片”为底，球心 3:以这些 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么？ 于什么？它们的体积之和近似地等于什 么？
思考5:由上述猜想可知，半径为R 思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的 5:由上述猜想可知 4 3 体积 V = πR 这是一个正确的结论，你 ，这是一个正确的结论， 3 能提出一些证明思路吗？ 能提出一些证明思路吗？
知识探究（ 知识探究（二）:球的表面积 球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？ 思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它 1:半径为 是怎样得出来的？ 是怎样得出来的？
′ S =π(r′ +r +rl +rl)
2 2
思考7:在圆台的表面积公式中， 思考7:在圆台的表面积公式中，若 7:在圆台的表面积公式中 r′=r，r′=0，则公式分别变形为什么？ r′=r，r′=0，则公式分别变形为什么？
′ S =π(r′ +r +rl +rl)
2 2
r′=r
r′=0
S =2 r(r +l) π
S′=0
1 V= S h 3
V =S h
理论迁移
求各棱长都为a的四面体的表面积. 例1 求各棱长都为a的四面体的表面积.
S= 3 a
2
一个圆台形花盆盆口直径为20cm 20cm， 例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm， 盆底直径为15cm 15cm， 盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为 1.5cm，盆壁长15cm 15cm， 1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外 需要涂油漆. 已知每平方米用100 100毫 观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫 升油漆， 100个这样的花盆需要多少油 升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油 精确到1毫升）？ 漆（精确到1毫升）？
上底面 积S′
1 ′ 高h V = (S′+ SS +S)h 3
下底面 积S
思考6:在台体的体积公式中， S′=S， 思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， 6:在台体的体积公式中 S′=0，则公式分别变形为什么？ S′=0，则公式分别变形为什么？
1 ′ V = (S′+ SS +S)h 3
S′=S
V =πR 柱
3
1 3 V = πR 锥 3
思考3:如图，对一个半径为R的半球， 思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 3:如图 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？ 关系？
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积， 思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你 4:根据上述圆柱 猜想半球的体积是什么？ 猜想半球的体积是什么？ 2 3 V = πR 球 3
知识探究（ 知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积 柱体、锥体、
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 思考1:面积是相对于平面图形而言的， 1:面积是相对于平面图形而言的 体积是相对于空间几何体而言的. 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？ 面积和体积的含义吗？ 面积:平面图形所占平面的大小 面积 平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 体积 几何体所占空间的大小
思考2:所谓表面积， 思考2:所谓表面积，是指几何体表面的 2:所谓表面积 面积.怎样理解棱柱、棱锥、 面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面 积？
各个侧面和底面的面积之和 或展开图的面积. 或展开图的面积
思考3:圆柱、圆锥、 思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 3:圆柱 侧面都是曲面， 面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面 面积？ 面积？ 思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 4: 特征？如果圆柱的底面半径为r 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？ ，那么圆柱的表面积公式是什么？
o
思考4:你能由此推导出半径为R 思考4:你能由此推导出半径为R的球的 4:你能由此推导出半径为 表面积公式吗？ 表面积公式吗？
S =4 R π
2
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 5:经过球心的截面圆面积是什么 它与球的表面积有什么关系？ 它与球的表面积有什么关系？ 球的表面积等于球的大圆面积的4 球的表面积等于球的大圆面积的4倍
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥， 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？ 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？ 关系？
3 2 1 1 3 2
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥， 思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜 4:推广到一般的棱锥和圆锥 想锥体的体积公式是什么？ 想锥体的体积公式是什么？
1.3
空间几何体的表面积与体积
1.3.1
柱体、锥体、台体的表 柱体、锥体、 面积与体积
问题提出
1 5730 p= 2
t
1.对于空间几何体， 1.对于空间几何体，我们分别从结 对于空间几何体 构特征和视图两个方面进行了研究， 构特征和视图两个方面进行了研究，为 了度量一个几何体的大小， 了度量一个几何体的大小，我们还须进 一步学习几何体的表面积和体积. 一步学习几何体的表面积和体积. 2.柱 2.柱、锥、台、球是最基本、最简 球是最基本、 单的几何体， 单的几何体，研究空间几何体的表面积 和体积，应以柱、 和体积，应以柱、锥、台、球的表面积 和体积为基础.那么如何求柱、 和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、 球的表面积和体积呢？ 球的表面积和体积呢？
V =S h
高h
底面积S 底面积S
思考3:关于体积有如下几个原理： 思考3:关于体积有如下几个原理： 3:关于体积有如下几个原理 相同的几何体的体积相等； （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和； 体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等； 体积相等； 等积体. （4）体积相等的两个几何体叫做等积体. 体积相等的两个几何体叫做等积体
S =2 r(r +l) π
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 5: 特征？如果圆锥的底面半径为r 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？ ，那么圆锥的表面积公式是什么？
S =πr(r +l)
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 6: 特征？如果圆台的上、 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 r′、 母线长为l， 为r′、r，母线长为 ，那么圆台的表面 积公式：
习题1.3 A组 P28习题1.3 A组： 1，2，3，4，5.
1.3
空间几何体的表面积与体积
1.3.2
球的表面积和体积
问题提出
1.柱体、锥体、 1.柱体、锥体、台体的体积公式分 柱体 别是什么？圆柱、圆锥、 别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式分别是什么？ 公式分别是什么？ 2.球是一个旋转体，它也有表面积 2.球是一个旋转体， 球是一个旋转体 和体积， 和体积，怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容. 也就成为我们学习的内容.
20
S ≈1 0 c =0 m 0 0m .1
2
15
2
15
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg 铁的密度是7.8g/cm ），已 5.8kg（ 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm 12mm， 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm， 10mm，，高为10mm 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？ 螺帽大约有多少个？ V≈2956（ V≈2956（mm3） =2.956（ =2.956（cm3） 5.8×100÷7.8× 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252（ ≈252（个）
S =πr(r +l)
知识探究（ 柱体、锥体、 知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积
思考1:你还记得正方体、 思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱 1:你还记得正方体 的体积公式吗？ 的体积公式吗？它们可以统一为一个什 么公式？ 么公式？ 思考2:推广到一般的棱柱和圆柱， 2:推广到一般的棱柱和圆柱 思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜 想柱体的体积公式是什么？ 想柱体的体积公式是什么？
理论迁移
如图， 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： 于球的直径，求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； 球的表面积等于圆柱的侧面积. （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
已知正方体的八个顶点都在球O 例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上，且正方体的表面积为a 的球面上，且正方体的表面积为a2，求 的表面积和体积. 球O的表面积和体积. C′ o
A
有一种空心钢球，质量为142g 例3 有一种空心钢球，质量为142g 钢的密度为7.9g/cm ），测得其外径 （钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径 5cm，求它的内径（精确到0.1cm 0.1cm） 为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.