第二章二体问题资料
二体问题资料课件
03
二体问题的解析解法
微分方程的求解
建立二体问题微分方程
根据牛顿第二定律和万有引力定律，建立二体 问题的微分方程。
求解微分方程
通过解析方法或数值方法求解微分方程，得到 物体的运动轨迹和速度。
验证解的正确性
通过将解代入原微分方程进行验证，确保解的正确性。
椭圆轨道和双曲轨道
椭圆轨道
当两个物体之间的距离足 够远时，它们的运动轨迹 近似为椭圆。
二体问题资料课件
目录
• 二体问题简介 • 二体问题的数学模型 • 二体问题的解析解法 • 二体问题的近似解法 • 二体问题的实际应用 • 二体问题的发展前景
01
二体问题简介
二体问题的定义
二体问题是指两个质点在万有引力作用下的运动 01 规律问题。
它描述了两个物体在相互吸引的力（如地球和月 02 亮）作用下，如何运动的问题。
运动方程的建立
总结词
根据牛顿第二定律和万有引力定律建立的描述天体运动的方程
详细描述
在二体问题中，根据牛顿第二定律和万有引力定律，可以建立描述两个天体之间相对位置和相对运动的运动方程 。这些方程通常是非线性的微分方程，用于求解天体的轨道和运动规律。通过对方程进行数值积分，可以得到天 体的精确运动轨迹。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。它揭示了力、质 量和加速度之间的联系，是描述物体运动状态变化规律的定律。在二体问题中，牛顿第二定律 用于分析两个天体之间的相互作用力和运动状态变化。
万有引力定律
总结词
描述任意两个质点之间引力作用的定律
详细描述
万有引力定律指出，任意两个质点之间都存在引力作用，其大小与两质点质量的 乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，即F=G*m1*m2/r^2。在二体问 题中，万有引力定律用于计算两个天体之间的引力，是天体运动分析的基础。
2019高考物理二体问题的综合描述方法
（1）L 应满静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面中 央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布 间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现 突然以恒定的加速度 a 将桌布抽离桌面，加速度的方向水
平且垂直于 AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度
a 满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）
本题满分：20分 平均得分：3.5分 难 度：0.175
A a B
为什么本题得分率如此之低？
• （16分）如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的 拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家 熟悉的惯性演示实验。 若砝码和纸板的质量分别为 m1和 m2 ，各接触面 间的动摩擦因数均为 。 重力加速度为g。 • （1）当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力的大小； • （2）要使纸板相对砝码运动，求所需拉力的大小； =0. 2，砝码与纸板左端的距离 m1=0.5kg， m2 =0.1kg， • （3）本实验中， 2 • d=0.1m，取g=10 m s 。 若砝码移动的距离超过 l =0.002m，人眼就能感 知。 为确保实验成功，纸板所需的拉力至少多大？
• 9. 如图所示，质量为 M 的木板上放着一质量为 m 的木 块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1 ，木板与水平 地面间的动摩擦因数为μ2，加在小板上的力F为多大， 才能将木板从木块下抽出?
• 如图，质量为M=3kg的木板静止于光滑的水平面上， 现有质量为m=1kg的小物块以速度v0=8m/s从左端 滑上木板。木板长为 L ，它们之间的动摩擦因数为 v0 m μ=0.8。 M
第二章二体问题
人卫真实轨道 人卫正常轨道 轨道摄动
综述
作用在卫星上的力 地球引力(1) 地球引力(2) 日、月引力 大气阻力 光压 其它作用力 总和
卫星轨道 人卫正常轨道
轨道理论 人卫正常轨道（二体问题）
摄 动 力
轨道摄动
人卫轨道摄动理论
人卫真实轨道
人卫轨道理论
2.2 开普勒行星运动三定律
开普勒（Johannes Kepler） 国籍: 德国 生卒日期:
左边(3-6)方程解的一般形式为：
二体问题微分方程的解
卫星运动的轨道平面方程 直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标
卫星运动的轨道方程 卫星运动的轨道方程为：
由于 ，所以（3-10）式可以真 近点角V表示： 另外由二体运动的微分方程可求出常用的表 示卫星运动速度U的活力积分：
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
二体问题
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
能量积分 1 r ⋅r − µ = C. C 是常数，所以可以取任意时刻的值
2
r
不妨取近点时刻：
r = a (1− e), r = 0
r
=
rer
+ rθeθ
=
h r
eθ
C
=
1 2
a2
h2
(1− e)2
−
µ
a (1− e)
=
−
µ 2a
C 仅与 a, µ 有关
3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
(2.1.1) T 2 = ka3
k对所有的行星而言是同一常数
1
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律的应用. 两个天体 m, m′ 围绕中心天体M 运动, 那么
在椭圆运动中真近点角 f 可以用 M 或 E 代替,在采用 M 时,M 中只含有 a, t, 而 E, f 中则含有 a, e, t, 并且 M 对时间的导数在二体运动中是常数.
2
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler方程的数值解法
E − esin E = M
这是一个超越方程
不动点迭代法 :
引入辅助量 F :
r = a (e cosh F −1)
代入积分，得到：
ν (t −τ ) = esinh F − F
这是双曲运动的Kepler方程.
( ) eF + e−F
cosh F =
, 双曲余弦函数
2
( ) eF − e−F
第二章_有心运动和两体问题_习题解答精品文档12页
2.1、质点在有心力()F r 的作用下运动，质点的速度的大小为/v a r =，这里a 是常数。
已知0θ=时0r r =，速度与矢径间夹角为ϕ。
求质点的轨道方程。
解：质点受到有心力的作用，在极坐标系中有：2r h θ=&，2222222()()a h v r r r r rθ==+=+&&&化简得：rr =&dr d dr h drrr dt dt d r d θθθ===分离变量：1dr r θ=，积分有：c r e+= c 为积分常数初始条件：0θ=时0r r =代入初始条件可得：0ln r c =，故0r r e =又速度与矢径间夹角为ϕr v r htg tg rr hctg v r rrθθϕϕϕ==⇒=⇒=&&&&，与rr =&所以质点的轨道方程为：0ctg r r e θϕ=2.2、木星轨道的半长轴长度是5.2天文单位(1天文单位为81.510km ⨯，是太阳与地球的平均距离)。
已知地球和木星的轨道都接近圆形。
求出 (i)木星绕太阳运动的周期 (ii)木星的平均轨道速率。
解：(i)由牛二定律知：22=m m Gm r r ω木星太阳木星木星木太木太，22m m Gm r r ω=地球太阳地球地球地太地太可解得：3/2()11.9r r ωωω==地太木星地球地球木太，式中21πω=地球年 (ii)因接近圆形 911.960.29.210v r r ωωωω====⨯木星木星木太地球木太地球地球2.3、月球的质量和半径分别是0.0123e m m =和0.273e R R =，其中,e e m R 分别是球球的质量和半径。
已知地球半径约为6370km ，试求(i)月球表面处的重力加速度(ii)若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？ 解：(i)物体(质量为'm )在月球表面处受到的重力可看是成有引力的体现：2'''m mm g G R = 同理此物体放在地球表面时有：2''ee m m m g GR =两式相除有：22221'()9.80.0123()/ 1.6/0.273e e R m g gm s m s m R ==⨯⨯≈ (ii)只考虑火箭(质量为'm )和月球之间的引力，那么火箭和月球机械能守恒(取无穷远处为0势能)。
例析二体问题的折合质量解法
规律ꎬ即是电阻的变化趋势与电压㊁电流和功率的变化趋势ꎬ满足 与变化电阻存在串联关系电路中的用电器ꎬ其电压㊁电流及功率与变化的阻值变化趋势相反 ㊁ 与变化电阻存在并联关系电路中的用电器ꎬ其电压㊁电流及功率与变化的阻值变化趋势相同 的规律ꎬ浓缩起来即是串反并同.例３已知如图３所示电路图ꎬ当滑动变阻器由方向ａ向ｂ移动时ꎬ下面说法中正确的是(㊀㊀).图３Ａ.电压表读数变大ꎬ电流表读数变小Ｂ.电压表读数变小ꎬ电流表读数变大Ｃ.两表读数均变大Ｄ.两表读数均变小解析㊀由题意可知ꎬ当滑动变阻器由方向ａ向ｂ移动时ꎬＲ３的阻值增大.根据串反并同原理ꎬ与电阻Ｒ３串联的电流表读数变小.此时ꎬ进一步将外电路等效为一个可变电阻ꎬ由于电阻Ｒ３的阻值增大ꎬ则外电阻也增大ꎬ电压表与外电阻并联ꎬ则电压表读数也变大.综上选项Ａ即是正确选项.值得注意的是ꎬ在使用串反并同法时ꎬ必须强调其适用条件ꎬ保证答案正确性.简言之ꎬ该法的适用条件分为两种:１)电源并非理想型ꎬ即存在电源内阻ꎻ２)电路中的电阻呈现单一变化规律.在实际求解过程中ꎬ紧抓串反并同的适用条件ꎬ谨记串反并同法的内核ꎬ实现高效求解.总之ꎬ动态电路问题是一类综合性问题ꎬ涉及多个电学知识及规律.本文中提出的三类动态电路求解方法必定不能有效包含全部的动态电路求解方法ꎬ还需要广大一线物理教师在实际教学过程中ꎬ继续总结ꎬ有效分类ꎬ完善此类问题的求解技巧.㊀㊀参考文献:[１]刘天赞.高中物理电路动态分析问题的应对[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１８(１):９５.[２]王丽媛.简析高中物理电路动态分析问题的策略[Ｊ].新智慧ꎬ２０１８(２６):６０.[３]王开荣.电路动态分析问题的命题变化[Ｊ].物理教师ꎬ１９９７:２１－２２.[责任编辑:李㊀璟]例析二体问题的折合质量解法谢汝成(吉林省辽源市第五中学㊀１３６２００)摘㊀要:处理孤立二体系统时引入折合质量的概念ꎬ可以有效地降低问题的思维难度ꎬ有利于学生的理解.关键词:二体问题ꎻ参考系ꎻ折合质量中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１６－００７４－０２收稿日期:２０２０－０３－０５作者简介:谢汝成(１９８６.１－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.基金项目:吉林省教育科学 十三五 规划课题«乡村振兴背景下的乡村教师专业发展研究»子课题«提高物理课堂教学效果策略的研究»ꎬ课题批准号ＧＨＫＴ－２０１９００３４.㊀㊀孤立的二体系统问题在高考试题和自主招生试题中比较常见ꎬ在解决该类问题时ꎬ通过引入折合质量的概念ꎬ可将复杂的二体问题变为单体问题.本文利用三道题目的分析求解ꎬ凸显出该种方法在解决此类问题的巧妙之处.㊀㊀一㊁折合质量推导如图１所示ꎬ宇宙中两颗相距较近的天体均为 双星 ꎬ它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动ꎬ而不至因为万有引力的作用而吸引到一起.设两者的质量分别为ｍ１和ｍ２ꎬ两者相距Ｌ.图１双星ｍ１和ｍ２ω１＝ω２＝ω①ｍ１ω２１ｒ１＝ｍ２ω２２ｒ２②ｒ１＋ｒ２＝Ｌ③由①②③可得ｒ１＝ｍ２ｍ１＋ｍ２Ｌ分析ｍ１的匀速圆周运动Ｇｍ１ｍ２Ｌ２＝ｍ１ω２ｒ１＝ｍ１ω２ｍ２ｍ１＋ｍ２Ｌ＝ｍ１ｍ２ｍ１＋ｍ２ω２Ｌ㊀④令μ＝ｍ１ｍ２ｍ１＋ｍ２ꎬ④式变为Ｇｍ１ｍ２Ｌ２＝μω２Ｌꎬ由此可以看出ꎬ在ｍ２这一非惯性系中ꎬ将ｍ１的质量换成折合质量后ꎬ４７ｍ１受到ｍ２的万有引力充当它绕ｍ２做匀速圆周运动的向心力ꎬ物体仍遵循相应的动力学方程.此时将两体问题转化为单体问题ꎬ有效的简化分析过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁应用例１㊀如图２所示ꎬ一质量为ｍＢ长方形木板Ｂ放在光滑的水平地面上ꎬ在其右端放一质量为ｍＡ的小木块Ａꎬ图２现以地面为参照系ꎬ给Ａ和Ｂ以方向相反的初速度Ｖ１和Ｖ２ꎬ使Ａ开始向左运动ꎬＢ开始向右运动ꎬ但最后Ａ刚好没有滑离Ｂ板.若已知Ａ㊁Ｂ之间的动摩擦因数为μ.求满足条件的木板至少为多长?解析㊀以Ｂ为参考系ꎬ则滑块Ａ的折合质量为μ＝ｍＡｍＢｍＡ＋ｍＢ①Ａ相对Ｂ的初速度ＶＡＢ＝Ｖ１＋Ｖ２ꎬ当Ａ相对Ｂ静止时在Ｂ上相对滑动位移最大.－μｍＡｇＬ＝０－１２μＶ２ＡＢ②由①和②可以求得:Ｌ＝ｍＢＶ１＋Ｖ２()μｍＡ＋ｍＢ()注:本题的常规解法为相对运动或等效完全非弹性碰撞模型ꎬ但计算过程较上面的解法略复杂.图３例２㊀如图３所示ꎬ一人手持质量为ｍ的小球ꎬ乘坐在热气球下的吊篮里ꎬ气球㊁吊篮和人的总质量为Ｍꎬ气球以速度ｖ０匀速上升ꎬ经过时间ｔ０后接到小球.若人手在抛接小球时相对吊篮的位置不变ꎬ求抛球过程中人做的功.解析㊀以Ｍ为参考系ｍ的折合质量为μ＝ＭｍＭ＋ｍ①ｍ相对Ｍ以速度ｖᶄ竖直上抛ｍｇ＝ＭｍＭ＋ｍａ㊀㊀②㊀㊀ｖᶄ＝１２ａｔ③由①②③可得ｖᶄ＝Ｍ＋ｍ()２Ｍｇｔ④以地面为参考系ꎬ设抛出重物后Ｍ的速度变为ｖ２ꎬｍ对地的抛出速度为(ｖᶄ＋ｖ０)浮力和重力平衡ꎬ系统动量守恒:ｍ(ｖᶄ＋ｖ０)＋Ｍｖ２＝Ｍ＋ｍ()ｖ０人做的功等于系统动能增量:Ｗ＝１２ｍ(ｖᶄ＋ｖ０)２＋１２Ｍｖ２２－１２Ｍ＋ｍ()ｖ２０＝ｍ８ＭＭ＋ｍ()ｇ２ｔ２例３㊀(２０１５中科大自主招生)两个带点小球所带电量相等ꎬ符号相反.质量分别为ｍ和２ｍꎬ初始时刻ꎬ它们间距离为ｄꎬ小球２ｍ静止.小球ｍ沿着与两者连线垂直的方向以速度ｖ运动.随后ꎬ它们多次处于相距３ｄ的位置上ꎬ求小球所带的电荷量.知识准备:取无穷远为电势能零点ꎬ则在ｑ２的电场中ꎬｑ１在距ｑ２为ｒ１位置所具有的电势能Ｅｐ１＝ｋｑ１ｑ２ｒ１ꎬｑ１在距ｑ２为ｒ２位置所具有的电势能Ｅｐ２＝ｋｑ１ｑ２ｒ２(其中ｑ１和ｑ２带有正负号).解析㊀(１)以２ｍ为参考系ꎬｍ绕２ｍ转动ꎬ轨迹为椭圆ꎬ２ｍ处于椭圆的焦点.ｍ的初始位置距离２ｍ最近为ｄꎬ距２ｍ最远点ｒ满足:ｒȡ３ｄ㊀①ｍ的折合质量为μ＝２３ｍ㊀②设ｍ运动到椭圆轨道最远点的速度为ｖᶄ由角动量守恒有:ｍｖｄ＝ｍｖᶄｒ㊀③对椭圆长轴两端点列能量守恒:１２μｖ２＋－ｋｑ２ｄæèçöø÷＝１２μｖᶄ２＋－ｋｑ２ｒæèçöø÷㊀④由①②③④可解:ｑɤ４ｍｄｖ２９ｋ(２)两球多次处于相距３ｄꎬ故ｍ不能到达无穷远.１２μν２＋－ｋｑ２ｄæèçöø÷<０㊀⑤由②和⑤可得ｑ>ｍｄｖ２３ｋ折合质量的引入ꎬ为两体碰撞㊁类碰撞ꎬ双星系统ꎬ特殊简谐运动等问题的分析求解提供了一个明显便捷的计算方法ꎬ适用范围广ꎬ但在应用的过程中应重点关注的是:折合质量的概念仅适用于孤立的两体系统ꎬ即不受外力的系统.若系统受外力ꎬ本解法将不再使用.㊀㊀参考文献:[１]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程 力学篇[Ｍ].安徽:中国科学技术大学出版社ꎬ２０１４.[２]陆天明.荣誉物理 力学篇[Ｍ].南京:东南大学出版社ꎬ２０１６.[３]郑金.折合质量的妙用[Ｊ].物理教学ꎬ２０１６ꎬ３８(０５):６６－６８＋６５.[责任编辑:李㊀璟]５７。
第2章二体问题
• 其余各种力则仅仅使卫星略微偏离正常轨道。我们将这种 偏离值称为轨道摄动，把这些小作用力称为摄动力。
道上的位置的一整套方法及其有关理论称为人造卫星正常 轨道理论。 • 显然人卫正常轨道只是真实轨道的一种近似。研究人卫正 常轨道的意义在于： • 1.人卫真实轨道＝人卫正常轨道＋轨道摄动。因而它是研 究人卫真实轨道的基础。 • 2常.由轨于道地是球真引实力轨（道1）的对很卫好星的的近运似动。起当决精定度性要作求用不，高因时而可正用 来替代真实轨道，以进行定性讨论和卫星预报等工作。
式中n1为整个系统中作用力的个数，n2为系统中的天体个数。
但遗憾的是到目前为止除了最简单的二体问题以外其它微分方程
组皆无法从数学上严格求解。因而我们也不得不沿用天体力学中
所惯用的方法将人造卫星的轨道运动人为地分成两个部分分别进
行处理。
3
（一）作用在卫星上的外力
从表2-1可以看出，作用在卫星上的力很复杂，除了地球的万有引力
科，是卫星大地测量的重要理论基础。人造卫星 入轨进入自动飞行阶段后，也和自然天体一样在 万有引力（及其它力）的作用下遵循牛顿运动定 律在轨道上运动。因而同样可以用研究天体运动 的一般理论—天体力学来研究其运动规律。但是 和自然天体相比，人造卫星的运动又有其特殊性， 主要表现为：
1
• 1.人造卫星离地球较近，因而不能像研究行星运动时那样 把地球当作一个质点，而必须考虑复杂的地球引力（通常 用高阶次的球谐函数来表示）对卫星运动的影响。
• 2.人造卫星所受到的作用力远较自然天体复杂。除了受到 其它天体的万有引力外还会受到大气阻力，太阳光压力等 多种力的作用。这些力中不但有保守力还有耗散力。
《天体力学基础》课程教学大纲
《天体力学基础》课程中英文简介课程编码：TF课程中文名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 学分：2.5课程简介：《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，本课程主要讲授天体的运动和形状方面的知识，主要包括二体问题，受摄二体问题，N体问题等内容。
通过教学使学生掌握二体问题、受摄二体问题、三体问题的基本概念、原理及其特性，掌握天体运动的方程建立的方法，认识三体问题与二体问题及其解法的区别。
初步掌握N体问题的基本运动方程、圆形限制性三体问题定性理论和摄动理论及其摄动方程的推导方法，使学生能利用常数变易法解摄动问题。
Course Description：《The Fundamentals of Celestial Mechanics》is a basic course for the discipline of Space Science & Technology. This course mainly introduces Celestial Mechanics that deals with the mechanical motion and shape of celestial objects, including the 2-body problem , 2-body problem with perturbation and N-body problem. The student will be taught to master the essential concept, principal and characteristic of 2-body problem , 2-body problem with perturbation and 3-body problem, as well as the method to derive the motion equation of celestial objects. Furthermore, the difference between 2-body problem and 3-body problem will be realized by the student during the education. The motion equation of n-body problem, the theory of circle restricted 3-bdoy problem and the derivation method of perturb equation could be mastered by the students priliminarily. In this way, the student can use the method of constant variation to solve perturbation problem.《天体力学基础》课程教学大纲课程编码： TF课程名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 讲课学时：40学分：2.5开课单位：航天工程系授课对象：空间科学与技术专业本科生开课学期：3春先修课程：理论力学基础天文学主要教材及参考书：《天体力学基础讲义》自编；《天体力学基础讲义》南京大学周济林编著《天体力学基础讲义》武汉大学汪海洪编著《天体力学基础讲义》南京大学周礼勇编著《The Foundations of Celestial Mechanics》 George W. Collins, 2004 by the Pachart Foundation dba Pachart Publishing House and reprinted by permission 《轨道力学》（美）Howard D.Curtis 著周建华等译科学出版社 2009《天体力学方法》刘林南京大学出版社 1998一、课程教学目的《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，是作为将来从事空间应用领域工作的学生应该掌握的一门专业知识。
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由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道
二体问题
研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力
人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
主要内容
a
3
GM
假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2/T，可得
GM n 3 a
1/ 2
当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角 速度也随之确定，且保持不变。
2.３二体问题的运动方程
在图3-1中所示的二体问题中，依据万有引力定律可知， 地球O作用于卫星S上的引力F为：
式中：G——万有引力常数， G=(6672±4.1)×10-14 N· m2/ kg2 ； Ｍ，m——地球和卫星的质量； r——卫星的在轨位置矢量。
地球引力 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心 力
地球引力(2) － 地球的非球形引力或称地球形 Mm G r 状摄动力
2
日、月及其它天体的引力
大气阻力
太阳光压 其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）
在各种作用力对卫星运行轨道的影响 中，地球引力场的影响为主，其它作用力 的影响相对要小的多。若假设地球引力场 的影响为1，其它引力场的影响均小于105。
需要采用不同于研究自然天体的新理论、新 方法（天体力学中的原有公式由于收敛性和精度 的原因而不适用于人卫轨道的研究）
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力 场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体 的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮 汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂， 难以用简单而精确的数学模型加以描述。 研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星 回收等问题
2.1 引言 2.2 开普勒行星运动三定律
2.3 二体问题的运动方程 2.4 轨道根数
2.5 人卫轨道摄动因素简介
2.１
引言
一、人卫轨道理论概述
内容：研究人造地球卫星的运动规律
卫星在空间运行的轨迹称为轨道，描述卫星轨道位 置和状态的参数称为轨道参数。
特点: 需要考虑地球引力的高阶项的影响 （即不能把地球当作质点，也不能把地 球当作均质圆球）需要同时考虑保守力 和非保守力（耗 散力）的作用
四、轨道摄动
人卫真实轨道 除了地球引力(1)外，卫星还受到地球引 力(2) 以及其它摄动力的作用。卫星在所有这些 力 的作用下的轨道，称为人卫真实轨道。 轨道摄动 卫星的真实轨道与正常轨道之间的差异， 称五来自轨道理论的分类
人卫正常轨道理论 确定人造卫星正常轨道的形状、大小与空间定 向以及卫星在轨道上的位置的一整套方法及相 关理论，称为人卫正常轨道理论。 人卫摄动轨道理论 解决人造卫星轨道摄动问题的一整套方法和相 应的理论，称为人卫摄动轨道理论。 人卫正常轨道与人卫真实轨道之间的关系
a(1 e ) r 1 e cos f
2
远地点
a
b
M
f
近地点
（2）开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位 时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆 轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点 处速度最大，在远地点处速度最小。
远地点
近地点 地心
（3）开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨 道椭圆长半径的立方之比为一常量，等于GM的 倒数。 T 2 4 2
左边(3-6)方程解的一般形式为：
二体问题微分方程的解
卫星运动的轨道平面方程 直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标
二、作用在卫星上的外力
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于 卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是 假设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中 心），称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和 特征，由此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是 分析卫星实际轨道的基础。另一类是摄动力或非中 心力，包括地球非球形对称的作用力、日月引力、 大气阻力、光辐射压力以及地球潮汐力等。摄动力 使卫星的运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨 道，同时偏离量的大小也随时间而改变。 在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动， 相应的卫星轨道称为受摄轨道。
人卫真实轨道 人卫正常轨道 轨道摄动
综述
作用在卫星上的力 地球引力(1) 地球引力(2) 日、月引力 大气阻力 光压 其它作用力 总和
卫星轨道 人卫正常轨道
轨道理论 人卫正常轨道（二体问题）
摄 动 力
轨道摄动
人卫轨道摄动理论
人卫真实轨道
人卫轨道理论
2.2 开普勒行星运动三定律
开普勒（Johannes Kepler） 国籍: 德国 生卒日期: