概率论期末复习2015-2016

P ( A发 生 不 多 于 k次 ) p0 p1 pk P ( A发 生 不 少 于 k次 ) p k p k （ 8 ） 多 个 独 立 事 件 的 和设 ：A1 , , An 相 互 独 立 ， 则 他 们 至 少 发 生 一 个概 的率 是 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 [1 P ( A1 )][1 P ( A2 )][1 P（An )]
x2 pk

k
xn pn

(0 k n).
二项分布： P{ X k} C n p k (1 p ) n k ,
泊松分布： P{ X k}
k
k!
e , k 0,1,2, 其中 0 是常数。
(2)X为连续型随机变量，其中f (x)称为X的概率密度
2 2 y 1 2 y 1 2 2 y 1 1; 2
d y 1 1 ( y 1 ) / 4 1 1 1 故f ( y ) 2 1 2 e e ( y 1 ) / 4 dy 2 2 2( y 1) 2 ( y 1) 2
求 (1) 常 数 k; ( 2) 分 布 函 数 F ( x ); ( 3) P{0.3 X 0.7}; （ 4 ）E ( X ), D( X )
（ 5 ）Y X 2求Y 的分布密度fY ( y) 1 (1) f ( x )dx 1 kxdx 1 k 2 解：
1、事件（随机变量）间的关系
AB A B; A B AB; A A; A B AB; A A S
A B A AB A AB AB
（互斥分解）
A B S , A B , A与B对立, 即A与B构成S的一个划分
AB : A与B互 不 相 容 AB , P ( AB ) 0, P ( A B ) P ( A) P ( B ) (注 意A 与B ； Ａ 与Ｂ 等 不 一 定 也 互 不 相 容 ） P ( AB ) P ( A) P ( B ) : A, B相 互 独 立 (注 意A 与B ； Ａ 与Ｂ 等 相 互 独 立 ）
（ 1 ） 求 他 最 后 可 能 迟 到概 的率 。 （ 2 ） 结 果 他 迟 到 了 ， 求坐 是轮 船 来 的 概 率 。
(1) p P ( B ) 0.3 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 0.145 P ( A2 ) P ( B | A2 ) 0.2 0.3 0.06 ( 2) P ( A2 | B ) 0.41 P( B) 0.145 0.145
练习题
1.设 事 件 A, B互 不 相 容 P ( A) 0.6, P ( B ) 0.7, 则P ( A B )
2.设 事 件 A, B独 立, P ( A) 0.6, P ( B ) 0.7, 则 P ( AB ) , P( A B ) , P( A B) ，P ( A B ) 3.随 机 变 量 X服 从 二 项 分 布 B(100,0.2), 则P ( X 1)
x0 0 x1 x1
求 (1)k及概率密度f ( x ) (2) P{0.3 X 0.7}; （ 3 ）E ( X ), D( X )
（ 4 ）Y X 2求Y 的概率密度fY ( y)
2 x , 0 x 1 解： (1)1 lim F ( x ) limkx k , f ( x ) F ( x ) x x1 0, 其他
二、一维随机变量 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 连续型随机变量概率密度与分布函数的关系 由密度求随机变量的分布函数 几个常用的一维随机变量 求随机变量函数的分布律或概率密度 求数字特征:期望,方差
1、一维随机变量及其分布
(1)离散型随机变量X的分布律可以用表格形式给出：
X pk
x1 pk
函数 g( x )可导， 反函数有两单值枝 h1 ( y)，h2 ( y) 则
( y ) | f X [h2 ( y )] | h2 ( y) | f X [h1 ( y )] | h1 fY ( y ) 0
y
其它
例.设连续性随机变量X的概率密度为 kx 0 x 1 f ( x) 其它 0
0 x2 1
x0 0 x 1 x 1
( 3) P{0.3 X 0.7}
0.7 0.3
f ( x )dx 0.72 x dx x 2 0.7 0.4
0.3
0.3
（ 4 ）E ( X )

xf ( x )dx ；
D( X ) ( x EX ) 2 f ( x )dx E ( X 2 ) E 2 ( X )
(5) B1 Bk , A A AB1 ABk，Bi B j P ( A) P ( ABk（ ) 全概率）
k
P ( ABk ) （ 6 ）P ( Bk | A) (逆 概 率) P ( ABk )
k
k k n k （ 7 ）二项分布 pk P ( A 恰 好 发 生 k次 ) C n p q
( 2) P ( AB ) P ( A) P ( B | A) P ( B ) P ( A | B )独 立 P ( A) P ( B ) ( 3) P ( A ) 1 P ( A); P ( B | A) 1 P ( B | A（ ) 条件概率）
(4) P ( A B) P ( A) P ( AB )
有 朋 友 至 远 方 来 参 加会 聚， 他 坐 火 车 、 轮 船汽 、车 、 飞 机 来 的 概 率 分别为 0.3,0.2,0.1,0.4； 若 坐 火 车 迟 到 的 概 是 率0.25 ，若坐船迟到的概 率 是0.3， 坐 汽 车 迟 到 的 概 率 0 是 .1， 坐 飞 机 则 不 会 迟 到 。
例 已知有10件产品，其中有2件为不合格品，现从中任 取5件，问 （1）所取5件恰好有1件为不合格品的概率； （2）取出5件产品恰好有2件为不合格品的概率， （3）取出5件产品有不合格品的概率。
解：设A：恰有1件是不合格，B：恰有2件不合格，C:有不合格
4 1 3 2 C8 C2 C8 C2 P ( A) , P ( B) ; 5 5 C10 C10
(2) P{0.3 X 0.7} F (0.7) - F (0.3) 0.72 - 0.32 0.4
(3)(4)同上例
例、设 X～N（0，1） （1）求 Y=e 的概率密度 （2）求 Y=2X2+1 的概率密度。
解： (1) y e x 是 单 调 的 。 y 0, 则f ( y ) 0; d d y 0, f ( y ) F ( y) ( x ) x ( y ) dy dx x ln y 1 2
a xb 其它
x0 其它
0 xa F ( x) ba 1
xa a xb xb
x

3.正态分布f ( x )
1 2
e

( x )2 22
,
x
例
X pk 1 1/ 4 2 1/ 2 3 1/ 4
x 1 1 x 2 2 x 3 x3
1 1 [ f ( y ) f ( y )] ； y 0 [ f Y ( y ) 2 y 2 y 0 ； y0 ；y 0 0
0 2 例：设 X的 分 布 函 数 为 F(x) kx 1

2 x f ( x) 0
0 x 1
0
其它 0 x f ( t )dt ( 2) F ( x ) P{ X x } 0 1 0 f ( t )dt
x0 0 x 1
x 1
x0 0 x x ( 2) F ( x ) P { X x } f ( t )dt 2tdt,0 x 0 0 1 2tdt , x 0 0
C A B, AB , P(C ) P ( A) P ( B)
例、玻璃杯成箱出售, 每箱10只. 已知各箱中残次品个数为0,1,2 的概率分别为0.8;0.15;0.05,现有一顾客欲购一箱玻璃杯, 售货员 任意取一箱, 顾客开箱随机地检验一只, 若不是残次品, 顾客则买 下该箱玻璃杯. 试求: 1. 顾客买下该箱玻璃杯的概率; 2. 在顾客买下的一箱玻璃杯中, 确实无残次品的概率.
，
P( A B) 1 P( A) P( B)
0.42 ；（ 1 0.6 ） (1 0.7 ） ; 0.6 0.6 0.7; 0.6 0.7 0.42
P( X 0) P( X 1) 0.20 (1 0.2)100 0.2 (1 0.2)99
分布函数: F ( x )
x
f ( t )dt
概率密度： f ( x ) F ( x )
1 1.均 匀 分 布 f ( x ) b a 0
1 e 2.指数分布f ( x ) 0
P{ x1 X x2 }
x2 x1
f ( x )dx
1 (ln y ) 2 e 2
X
1 y
（ 2 ）y 2 x 2 1不 单 调 。 y [1, ), 当y 1时, f ( y ) 0; y 1时 F( y ) P (Y y ) P (2 X 2 1 y ) p y 1 X y 1
0 1 / 4 分 布 函 数F ( x ) 3 / 4 1