高三数学解答题专题训练 (21)-0726(解析版)

高三数学解答题专题训练 (21)1.已知函数f(x)=x2+lnx+ax，其中a∈R(1)当a=−3时.①求函数y=f(x)的单调减区间；②若函数f(x)在x=x1和x=x2的导数．．相等，其中x1≠x2，求f(x1)+f(x2)的最小值．(2)函数g(x)=f(x)+x33−2x2−lnx在x=x3和x=x4取得极值，若过点(x3,g(x3))和(x4,g(x4))的直线l与x轴的交点在曲线y=g(x)上，求a的值．2.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过F的直线与C相交于点A，B，过A，B两点分别作C的切线，两条切线相交于点M．(Ⅰ)求证：点M在一条定直线上；(Ⅱ)弦AB的中点D与点M的连线交C于点N，记△AMB与△AMN的面积分别为S1，S2，求S1S2的值．3.已知函数f(x)=−(2x+1)lnx−(a+2)，其中a为实数．(1)求g(x)=f(x)2x+1的单调区间;(2)若a>0，则当x∈[1,e2]时，|f(x)+2a+2xlnx+2|≤32−ax恒成立，求a的取值范围．4. 已知数列{a n }的各项均为正数，a 1=2，其前n 项和为S n ，且当n ≥2时，S n ，14a n2，S n−1构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =(−1)n lnS n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <n ．5. 设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N ∗都有a 13+a 23+a 33+⋯+a n 3=S n 2+2S n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }为等差数列； (3)b n =S n +3S n，c n =2 a n 2 a n −1+a n，试找出所有即在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．6. 已知函数ℎ(x)=1+alnx(a >0)的图象在点(1,1)处的切线在坐标轴上的截距之和的取值范围为(−43,−12)．(Ⅰ)求a 的取值集合M ；(Ⅱ)设f(x)=e x ·ℎ(x)，其导函数fˈ(x)的极小值点为x 1，求证：∀a ∈(2,3)，0<f′(x 1)<6√e ．7.已知函数f(x)=lnx+12x2−2ax，其中a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2(其中x2>x1)，且f(x2)−f(x1)的取值范围为(2ln2−15 8,ln2−34)，求a的取值范围．8.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面A1ECD所截得到如图所示的五面体，CD⊥CE，CD⊥AD．(1)求证：BC//平面A1AD；(2)若BC=CD=BE=13AD=1，求二面角B−A1E−C的余弦值．9.已知函数f(x)=x(lnx+1)，其中．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率小于1，求x0的取值范围；(Ⅱ)设整数k使得f(x)≥k(x−12)对x∈(0,+∞)恒成立，求整数k的最大值．10. 为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．(1)若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重度污染区AQI 平均值；(2)如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[140,150)内． ①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI 值不小于200的天数的分布列和数学期望．11. 已知点(√2,√22)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，F 1和F 2分别为椭圆C 的左右焦点，点D 为椭圆C 的上顶点，且DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2b 2．(1)椭圆C 的方程；(2)若点A 、B 、P 为椭圆C 上三个不同的动点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，直线AB 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由．12.已知函数f(x)=lnx+√x 2，g(x)=xln(ax)+2e−e−a(a∈R,a≠0,e为自对数的底数)(1)证明：对于任意的x>0，f(x)≥0；(2)若函数g(x)在(0,+∞)有两个不同的零点，求a的取值范围．13.已知函数f(x)=e x−2ax−a,g(x)=lnx．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)用max{m,n}表示m，n中的最大值，设函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x>0),讨论ℎ(x)零点的个数．14.设函数f(x)=|1ax−2|(a∈R且a≠0)．(1)证明：f(a2)+f(a+a2)≥1；(2)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为A，且A⊆[−2,10]，求实数a的取值范围．15.如图，在三棱锥P−ABC中，底面是正三角形，AB=2PA=4，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB(不含端点)上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为√154？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．16.已知函数f(x)=ax2−x+(1+b)ln x(a、b∈R)．(1)当a=1，b=−4时，求y=f(x)的单调区间；(2)当b=−2，x≥1时，求g(x)=|f(x)|的最小值．17.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线l与C交于P，Q两点．(1)设△APF和△BQF的面积分别为S1，S2，若S1=3S2，求直线l的方程；(2)当直线l 绕F 点旋转时，求证：四边形APBQ 的对边AP 与BQ 所在直线的斜率的比值恒为常数．18. 设m 为实数，已知函数f(x)=x+m e x的导函数为f’(x)，且f’(0)=0．(1)求m 的值；(2)设a 为实数，若对于任意x ∈R ，不等式x 2+a ≥f(x)恒成立，且存在唯一的实数x 0使得x 02+a =f(x 0)成立，求a 的值；(3)是否存在负数k ，使得y =kx +3e 是曲线y =f(x)的切线．若存在，求出k 的所有值；若不存在，请说明理由．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y =±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±4√3，长轴长为8． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点(点E ，F 与点A 不重合)，且满足AE ⊥AF ，若点P 满足2OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AP 的斜率的取值范围．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且椭圆C 过点(0,−1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)己知直线l:y =x +m(m >0)与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ？若存在，求的面积；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)当a =−3时，f(x)=x 2+ln x −3x ，所以f ′(x)=2x +1x −3=2x 2−3x+1x(x >0)，①令f′(x)<0，得12<x <1，所以f(x)的减区间为(12,1)；②因为函数f(x)在x =x 1和x =x 2的导数相等， 所以2x 1+1x 1−3=2x 2+1x 2−3，整理得2(x 1−x 2)=x 1−x 2x 1x 2，因为x 1≠x 2，所以x 1x 2=12，又f(x 1)+f(x 2)=x 12+ln x 1−3x 1+x 22+ln x 2−3x 2=(x 1+x 2)2−3(x 1+x 2)−2x 1x 2+ln x 1x 2=(x 1+x 2)2−3(x 1+x 2)−1+ln 12，因为x 1>0,x 2>0令t =x 1+x 2⩾2√x 1x 2=√2， 因为x 1≠x 2，所以t >√2，所以f(x 1)+f(x 2)=ℎ(t)=t 2−3t −1−ln 2=(t −32)2−134−ln 2，t >√2，所以当t =32时ℎ(t)min =−134−ln 2即f(x 1)+f(x 2)的最小值为−134−ln 2．(2)因为g(x)=f(x)+x 33−2x 2−ln x =x 33−x 2+ax(x >0)，所以g ′(x)=x 2−2x +a(x >0)，由g(x)在x =x 3和x =x 4取得极值，所以g′(x)有两个不同的正数零点， 有4−4a >0,g′(0)>0，22>0解得0<a <1，不妨设x 3=1−√1−a ，x 4=1+√1−a ，列表 x x 3 (x 3,x 4) x 4 (x 4,+∞)g′(x)+−0 +g(x) 增极大值 减极小值 增可知此时x 3和x 4为函数g(x)的极值点，且有即x i 2=2x i −a所以g(x 3)=x 333−x 32+ax 3=x 33(2x 3−a)−x 32+ax 3 =−x 323+2ax 33=−13(2x 3−a)+2ax 33=2a−23x 3+a3，同理g(x 4)=2a−23x 4+a3，所以点(x 3,g(x 3))和(x 4,g(x 4))的都在直线y =2a−23x +a3上，所以直线l 的方程为y =2a−23x +a3，令2a−23x +a3=0得x =a2(1−a)，因为直线l 与x 轴的交点在曲线y =g(x)上，所以g(a2(1−a))=0， 从而13[a 2(1−a)]3−[a 2(1−a)]2+a[a2(1−a)]=a 224(1−a)3[a −6(1−a)+12(1−a)2] =a 224(1−a)3(12a 2−17a +6)=0， 解得a =0或a =23或a =34， 由0<a <1，所以a =23或a =34．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，涉及二次函数的最值，考查运算化简的能力，属于综合题．(1)①当a =−3时，f(x)=x 2+ln x −3x ，求出导数f′(x)，令f ′(x)<0，解答即可；②由题意，2x 1+1x 1−3=2x 2+1x 2−3，整理得x 1x 2=12，再由f(x 1)+f(x 2)=x 12+ln x 1−3x 1+x 22+ln x 2−3x 2=(x 1+x 2)2−3(x 1+x 2)−1+ln 12， 因为x 1>0,x 2>0令t =x 1+x 2⩾2√x 1x 2=√2，因为x 1≠x 2，所以t >√2，利用二次函数可得结论； (2)由g(x)=f(x)+x 33−2x 2−ln x =x 33−x 2+ax(x >0)，g ′(x)=x 2−2x +a(x >0)，求出x 3，x 4，求出直线l 的方程，求出直线l 与x 轴的交点代入g(x)解得即可． 2.答案：解：(Ⅰ)证明：由题意，F(0,1)，直线AB 与x 轴不垂直， 设AB 的方程为y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{y =kx +1x 2=4y 得x 2−4kx −4=0， ∵Δ=16k 2+16>0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4， 由x 2=4y 得y =14x 2，∴y′=12x ，则直线MA 的方程为y −y 1=12x 1(x −x 1)，且y 1=14x 12， ∴MA ：y =12x 1x −14x 12，同理，直线MB 的方程为y =12x 2x −14x 22，由{y =12x 1x −14x 12y =12x 2x −14x 22，消y 得(x 1−x 2)x =12(x 12−x 22)，又x 1≠x 2，。