二次根式加减运算
二次根式的加减法
5、借助计算器计算下列各题：
(1) 11 2 (2) 1111 22 (3) 111111 222 (4) 11111111 2222
（5）仔细观察上面几题及其计算结果，你能发现 什么规律？并计算：
6、用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数
1 1 1 1 1, , , , , 2 3 19 20
4
1
4
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2 3 6 (2). 3 3 8 (3).( 48 27) 3
1 1 2
24 2 3
2
(2) 2 ( 3 5)
(3)( 80 40) 5
1 (4) 3 (1 15) 3 5
§21.3 二次根式的 加减（2）
2、什么是同类二次根式？
化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次 根式。
判断复习题中的二次根式 哪些是同类二次根式?
练、议：
1.下列各组二次根式哪些是同类二次根式？ ① ②
63, 28, 3
40, 20, 10 1 ③ 12, 27, 3 ④ 5 8 , 45, 16
x
2 2 3 解：
12
1 x
12
27
1 2 2 9 x x x 3 x 2 1 9x x x 3 x 2 x x x
4 3 3 3 2
4 33 33 2
18 二次根式的加减实 质是合并同类二次 根式．
(5) 27 12 3
计算
（ 1 ）（ 2 3） ( 2 5)
(2)（ 5 3） ( 5 3)
（3）（ 3 2 5）
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是高中数学中的重要概念，它们在各种数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍二次根式的定义、运算法则，以及一些常见的计算方法和运用技巧。
一、二次根式的定义在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a为一个非负实数。
它的特点是其值是满足a≥0的正实数x，使得x²=a。
二次根式是一种特殊的无理数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以进行加减运算。
即，如果√a和√b是同类项，则有：√a ± √b = √(a ± b)。
2. 二次根式的乘法运算：对于任意的实数a和b，有：√a × √b =√(ab)。
3. 二次根式的除法运算：对于任意的实数a和b（其中b≠0），有：√(a/b) = √a / √b。
需要注意的是，二次根式的运算法则不同于常规的有理数运算法则，需要根据具体情况进行变形和化简。
三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：当二次根式的被开方数具有完全平方因子时，可以进行化简。
例如，√(4x²y²) = 2xy。
2. 合并同类项：对于同类项的二次根式，可以进行合并运算。
例如，√5 + √7 - √5 = √7。
3. 运用分式化简：对于含有二次根式的分式，可以运用分式化简法则进行化简。
例如，化简√(x+1) / (√(x-1) + 1)。
四、二次根式的运用技巧1. 消去根号：在一些问题中，可以通过消去根号的方法简化计算。
例如，对于√(x+1) + √(x-1) = 2，可以通过平方等式的性质消去根号。
2. 使用代换：在一些复杂的问题中，可以使用代换的方法简化计算。
例如，对于含有二次根式的方程，可以令√a = t进行变量代换，从而降低问题的复杂性。
3. 运用二次根式性质解决问题：二次根式具有一些特殊性质，如平方等式、分式等式等，可以通过运用这些性质解决一些相关问题。
例如，根据二次根式性质解决面积、体积等几何问题。
人教版八年级下册16.3《二次根式的加减》课件(共33张PPT)
合作探究
问题2
形成知识
怎样计算
8 + 18
？
如果看不出 化，先看算式 3
3 2-
8 + 18 22
能否化简，我们不妨把问题简
能否化简．
2
2 =（ 3 - 1 ） 2 = 2
用分配 律合并
整式 加减
你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？ 将同类二次根式用分配律合并．
合作探究
算式
形成知识
8 + 1 8 与算式 3 22
合作探究 形成知识
例1
（ （ 1）
计算：
8+ 3）
8+ 48 +
6 ；
3） 18 = 4
（4 （ 2）
6 = 8
2 -3
6 +
6） 2
3 6
2 ．
解： （ 1） （
=
3+3
2；
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则； 第三步的依据是：二次根式化简．
（ 48 +
2 0 ）（ 12 -
5 ）= 4
3+2
5-2
3+
5 =2
3 +3 5
化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二 次根式
自主学习 复习引入
思考：二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
的结果是
B．
20 3
330 2 3
30 3
3 C．
二次根式的加减
计算：
(1)( 2 + 3)( 2 − 5)
= ( 2)2 + 3 2 − 5 2 −15
(2)( 5 + 3 )( 5 − 3 )
= ( 5) − ( 3)
2
2
= 2 − 2 2 −15
= 5−3 − =2
= −13− 2 2
（3）（3 + 2 5）
2
1 1 (1)2 8 + 18 − 32 2 4
加减混合运算， 从左向右依次计算。 加减混合运算，应从左向右依次计算。 依次计算
计算：
(1) ( 8 + 3 ) × 6
(2) (4 2 − 3 6 ) ÷ 2 2
= 8 × 6 + 3 × 6 = 4 2 ÷ 2 2 −3 6 ÷ 2 2 3 = 8×6 + 3×6 = 2− 2 3
= 4 3 +3 2
3 2 ( 2) 72 + 18 − 2 3 2 = 6 2 +3 2 − 2 3 2 =9 2− 2
运算不完 全，能合并的 没有合并。 没有合并。
15 2 = 2
问题：要焊接一个如图所示的钢架， 问题：要焊接一个如图所示的钢架，大
约需要多少米钢材（精确到0.01米 约需要多少米钢材（精确到0.01米）? 0.01
= 3 5 + 7 ≈ 13.71(m)
3 化简 原式= 解：原式= 4 2 + 2− 2 2 3 = ( 4 + − 1) 2 2 别漏了“ 别漏了“1”. 9 = 2 2
下列解答是否正确？为什么？ 下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 − 3 27 + 3 = 2 75 − 9 3 + 3 = 10 3 − 10 3 =0
二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
人教版数学八年级下 16.3 二次根式的加减
更多同类练习见《教材帮》
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2.计算：（1）( 12 + 5 8) × 3 .（2）(5 3 + 2 5)2 .
解：（1）原式= 2 3 + 10 2 × 3
=2 3 × 3+10 2 × 3
=6+10 6.
（2）原式= (5 3)2 +2 × 5 3 × 2 5 + (2 5)2
16.3 二次根式的加减
课时1
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做
最简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
二次根式化成最简二次根式的
1.分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方
数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的
B选项 63 2 = ab 6.
C选项
2
3
=
2× 3
3× 3
=
6
.
3
C. 3
D.
2
3
将下列二次根式化成最简二次根式：
0.5 =
1
1
= =
2
2
2
2
= .
2× 2
2
当小数无法开方时，
将它转化为分数.
83 = 42 ⋅ 2= 42 · 2= 2a 2.
44 =
8dm2 和 18dm2 的正方形木板？
7.5dm
面 积 为 8dm2 和
18dm2的正方形的
5dm
边 长 分别 是 多少 ？
8dm2
18dm2
解：因为 8 = 2 2 ， 18 = 3 2 ，
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
二次根式加减运算
一化
二找
三合并
课堂练习
(4) 50 12 13 2
1 (5)2 6 5 6 2
(6) 52 3 12 13 2
7
2 6 3
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并.
如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变
A. C. 2. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. Fra bibliotek25 D. 6
27
3.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
m n
1 4
3 5 3 ___; 2 4 3 5 3 7 3 ___
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）根号内不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
1.当x_______时， 2 x 有意义． 1 2.化简 : ____; 24 _____; 3 3.计算 : (1)3 x 2 x ____;
( 2)3 y 2 y 4 y _____; 4.猜想 : (1)3 3 2 3 ___; ( 2)3 a 2 a 4 a ____.
3 3
2 6 2 9 2 ____; 4 2 3 5 2 7 3 ______
二次根式的加减
3 9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
Hale Waihona Puke 计算: 8 18 4 2
2 23 24 2
2 3 4 2
如何合并 同类二次
9 2
根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
练习 判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5;
F
22 2 2 2; F
3 8 18 4 9 2 3 5 F
2
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2）（ 3 3 3）
22 3
强调：
例1计算： （1）12 75
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？
（2） 80 45
二次根式的加减实质是
（3） 9a 25a
合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合
解：
并同类项．
1 12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
2 80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约 需要多少米钢材（精确到0.1米）?
B
2m
A
4m
解： 根据勾股定理得：
D C
1m
AB AD2 BD2 42 22 20 2 5
BC BD2CD2 22 12 5 所需钢材的长度为： AB BC AC BD 2 5 5 5 2
8 18
2 2 3 2 （化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律）
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15.3二次根式的加减运算
[学习目标]
1、了解二次根式（根号下仅限于数）的加减运算法则。
2、会进行二次根式的加减运算。
3、类比整式运算合并同类项，学习二次根式的加减，发展类比的数学思想，养成善于思考的好习惯。
[教学重点]
熟练进行二次根式加减运算
[使用方法与学法指导]
1、自学课本P98页试着做做，类比整式加减运算中合并同类项的法则，找到二次根式加减运算的方法。
2、根据自己的理解完成书上例1，体会二次根式加减运算的步骤。
3、独立完成P99页做一做和例2，加深对运算法则的理解和运用。
[学习过程]
（一）复习回顾
1、同类项：在多项式中，我们把哪些所含相同，并且也相同的项叫做同类项。
2、合并同类项的法则是：相加，与不变。
3、计算：（1）2x-3x+5x （2）222
235
+-
a b a b a b
（二）预习导学
阅读课本例1前的内容，回答下列问题
1、观察
2、我们知道5倍，2倍，所以＝
类似地＝＝，你能说出其中的道理吗？
归纳总结：被开方数相同的二次根式可以进行，合并的实质就是
3
）最简二次根式，将它们化简之后分别是，因此
归纳总结：进行二次根式的加减法运算时，应先将二次根式化为，然后将被开方数相同的的二次根式进行
3、 应用辨析：下列计算是否正确？为什么？
（1（23）6
（4（56）（三）合作交流
要求：先独立完成，再小组交流，再进行订正，看谁做的又对又快！限时6分钟
（四）跟踪训练
(1) （2
(3) （4）3 （五）知识应用
教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正形壁画送给老师，其中一张面积为800cm 2,另一张面积为450cm 2,他想，如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现
有1.2m 1.414≈）
[自助餐]
1
2、设3x A ＝3x y B +=，如果A 、B 都是二次根式，求A+B 的值
[我的疑惑]咱们自学完导学案，请对老师谈谈你的收获与困惑
（六）课堂小结
1、二次根式的加减运算步骤：
当被开方数相同时，逆用乘法分配律，直接合并；当被开方数不相同时，先将每个二次根式化简为最简形式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2、二次根式的计算结果必须保证分母有理化。
（六）达标测试：
1、选择题（1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2、计算： （1） （2
3、已知四边形ABCD
，
[板书设计]
[教学反思]
本节课是冀教版初中八年级数学上册第十四章第三节内容，重点是合并同类二次根式，其基础是学好最简二次根式与合并同类项的知识基础知识。
总的来说，本节课教学环节设计比较合理，重点知识的探究放给了学生，通过小组间交流、合作，信息反馈，教师点拨，学生对运算法则掌握得比较好，学生的计算能力进一步增强。
为达到教学目标，我首先设置了复习回顾环节，通过复习同类项的定义，合并同类项的法则，最简二次根式的定义，为这节课的学习作好了铺垫。
为培养学生自主学习能力，我将同类二次根式这一知识点的学习通过与合并同类项类比，学生很快理解了概念，这样不仅加深了对旧知识的印象，又便于对新知识的掌握。
同样，合并同类二次根式也是通过合并同类项的法则来类比得到。
通过对二次根式被开方数相同时的合并与被开方数不同时的合并进行独立探究，互作交流，重视了知识的形成过程，学生对二次根式加减运算的方法记忆更加深刻，同时
也体会到了数学中的类比思想与分类讨论思想，逐步学会了分析问题和解决问题。
当学生学会合并同类二次根式后，为更好地对概念理解和掌握，解题时运用自如，学完合并之后马上让学生对根式的乘法、除法、加法、减法进行辨析，让学生清楚地掌握合并同类二次根式应用条件。
理解了这些，马上让学生看书上例1，体会二次根式加减的具体过程，然后学生独立完成做一做，及时巩固，效果良好。
对于做一做的处理,让小组中的中等选手到黑板上展示并讲解，学生向记者那样提出疑问，经过彼此之间的争辩，使学生对知识的运用掌握更加牢固。
数学来源于生活，又指导着生活。
二次根式的加减究竟有何用处，我补充了一个课本上没有的面积问题“教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正形壁画送给老师，其中一张面积为800cm2,另一张面积为450cm2,他想，如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现有1.2m长的金彩带，请你帮助算一
）”，通过面积让学生通过算术平方根求边长，
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进而求出两个正方形的周长，判断金彩带是否够用，这样枯燥的数学问题便走进了生活，知识得到了升华。
教育要面向全体学生，每个学生在课堂上都能得到发展，这是非常必要的。
为此，最后设置一个学生自助餐，计算难度大，知识覆盖面广，对学习程度好的学生可以选做，不仅能发展其智力，还能培养其能力，这样的分层教学真正做到了因材施教，每个学生都学有所获。
但本节遗憾的是复习部分占用的时间有点多，易错部分多问了几个为什么，导致前松后紧，没有在规定时间完成教学任务。
总的来说，还是教师放不开，顾虑太多，复习部分组内后进生能回答出来的可以不必深究，流失时间。