最新人教版高中数学必修3第三章古典概型

3．2．1古典概型
1．学习古典概型的意义．
古典概型是一种特殊的数学模型．由于它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型．古典概型在概率论中占有相当重要的地位，是学习概率的必不可少的内容，其意义在于：
(1)有利于理解概率的概念．当研究这种概型时，频率的稳定性容易得到验证，频率的稳定值与理论上算出的概率值的一致性容易得到验证，从而概率值的存在性易于被学生理解．
(2)有利于计算事件的概率．在古典概型范围内研究问题，避免了进行大量重复试验，通过分析基本事件的个数就可以计算随机事件的概率，而且得到的概率是精确值．
(3)能解释生活中的一些问题，可以激发学生的学习兴趣．比如中奖概率的问题，游戏的公平性问题，储蓄卡密码的设计问题，质检中检测出次品的概率问题，掷骰子的问题，等等．
2．古典概型的两个特征．
教学中应让学生理解古典概型的两个特征：
(1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
一个模型只有满足这两个特征时，才能用下面计算随机事件的概率公式 总的基本事件
包含的基本事件个数A A P )(． 这里，条件特征(1)保证了公式中的分母是有限数，特征(2)保证了能够由统计事件A 包含的基本事件个数占总的基本事件个数的比例，计算事件A 的概率．教学中，可以引导学生推导古典概型计算概率的公式，从中体会(2)的必要性．实际上，当(2)不满足时，利用古典概型计算概率的公式，会导致错误的结果，如本节的例3．
在推导公式时，教科书采用了从特殊到一般的思路，先利用掷硬币和掷骰子的试验推导出上面的公式(这里使用了概率的加法公式和每个基本事件出现的可能性相等这一性质)，然后再推广到一般的古典概型．
由于排列组合的内容已放在选修2—3中，所以在古典概型的例题和习题中，仅限于能用列举法列出全部基本事件的问题．
3．例题的教学建议．
(1)例1的说明．
本例的目的是训练学生用列举法表示一个随机试验的全部基本事件．列举基本事件时要做到既不重复，也不遗漏．为此，应当按照一定的规律列出全部的基本事件．另外，在列举的过程中，可以与二元子集作比较．
(2)例2的说明．
①讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型，这是本题的关键．如果考生掌握了考察的内容，选择了唯一正确的答案，那么这种情况不属于古典概型，不满足古典概型的第2个条件——等可能性；如果考生掌握了部分考察的内容，用排除法选择了一个答案，这也不满足古典概型的第2个条件；只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型．
②边空中的问题：“假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定的知识的可能性大”，可以运用极大似然法的思想解决．假设他每道题都是随机选择答案的。

可以用模拟的方法估计他答对17道题以上的概率，可以发现这个概率是很小的；如果掌握了一定的知识，绝大多数题他是会做的，那么他答对17道题以上的概率会比较大，所以他应该掌握了一定的知识．
③讨论单选题与多选题的区别．在多选题中，基本事件为15个：
(A)(B)(C)(D)(A ，B)(A ，C)(A ，D)(B ，C)(B ，D)(C ，D)(A ，B ，C)(A ，B ，D)(A ，C ，D)(B ，C ，D)(A ，B ，C ，D)．假定考生不会做，在他随机地选择任何答案是等可能的情况下，他答对的概率为
15
1≈0．066 7，比单选题答对的概率0．25小得多．所以多选题更难猜对．
教学中可以先让学生思考，分析出全部的基本事件，然后，讨论是否可以用古典概型求概率的公式．
(3)例3的说明．
①通过此题的教学要使学生体会到，不要一看到试验包含的基本事件是有限个就用古典概型的公式求概率，特别要验证“每个基本事件出现是等可能的”这
个条件，否则计算出的概率将是错误的．
②教学方式可以采用先提出问题让学生做，学生给出的答案可能会有两种，然后再引导学生分析原因，发现解答中存在的问题．为了加深理解，教师可以引导学生验证该试验是否满足古典概型的两个条件，发现问题出在每个基本事件不是等可能的．同时可以让学生再回顾一下古典概型的概率公式的推导过程．
③可以通过模拟和分析两种方式验证每个基本事件的等可能性，但模拟的方式可能要花比较多的时间，所以应事先编好程序．下面是用Excel软件模拟的结果，试验次数为1 000次．
其中：
A，B两列是模拟掷骰子出现的点数；
C列是两次掷骰子的点数和；
D列表示如果两次均出现点数1，则D为1，否则D为0；
E列表示如果两次出现点数之和为5，则E为1，否则E为0；
F列表示如果两次出现点数为(1，4)或(4，1)，则F为l，否则F为0；
G列表示如果两次出现点数为(2，3)或(3，2)，则G为1，否则G为0；
H1统计在1 000次同时掷两个骰子的试验中出现(1，1)的个数；
H2统计出现点数之和为5的个数；
H3统计出现(1，4)或(4，1)的个数；
H4统计出现(2，3)或(3，2)的个数．
多做几次试验可以发现，出现(1，4)或(4，1)的个数大约是出现(1，1)的个数的两倍．
使用分析方法，可以列出下表，这样学生就比较容易理解每个基本事件是否具有等可能性．
(4)例4的说明．
选此题的目的是让学生理解什么情况下可以把问题看成古典概型，什么情况下不可以，了解概率在实际中的应用．本例所涉及的具体计算是非常简单的．
①利用概率解释实际问题：让学生体会密码的位数不能太少．位数越少，选择就越少，也就越不安全．
②让学生理解为什么自动取款机不能无限制地让用户试密码，一般取款机仅允许试三次．无限制地试下去，一定能取到钱，这样就太不安全了，由此体会生活中处处有科学．
③记住自己的密码，又不能让别人猜出自己的密码是很重要的．我们经常看到人们在银行忘记密码的情形．如果自己的密码没有一定的规律，忘记密码后去试密码，试对的概率是比较小的．
(5)例5的说明．
①使学生理解检测出不合格产品的概率与每箱饮料中不合格的听数有关．
②探究栏目的答案：
检测出不合格产品的概率与检验的听数有关．随着检测听数的增加，检测出不合格产品的概率增大．下列表格可以使学生一目了然．
“为什么质检人员一般都采用抽查的方法而不采用逐个检查的方法”，这里可以与统计中抽样的必要性相联系．。