高三数学考点-离散型随机变量及其分布列

10．6离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①________________________；②________________________.3．常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)随机变量X的分布列为(0<p<1)则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，则称X服从二项分布，记为____________．(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．自查自纠1．(1)随机变量(2)一一列出2．(1)概率分布列(2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n②i＝1np i＝13．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p)(3)C k M C n－kN－MC n N超几何分布某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解：X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.故选C.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A.1110 B.155C．110 D．55解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝155.故选B.已知X的分布列为X－101P1216a设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．解：由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13，所以E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.故填23.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布列为________．解：依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2. 则P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，故X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.3故填X 0 1 2 P0.10.60.3类型一 随机变量的概念与性质(1)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(Ⅰ)2X ＋1的分布列； (Ⅱ)|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X ＋1的分布列：2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(Ⅱ)|X －1|的分布列：|X －1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3(2)随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)＝____________，公差d 的取值范围是____________． 解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.故填23；⎣⎡⎦⎤－13，13. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1np i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________．解：由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .所以P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，因此n ＝10.故填10.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； (3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12A 33＝13；P (X ＝3)＝A 22A 33＝13.所以X 的分布列是X 12 3 P13 13 13(2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫23k －1×13，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234. 故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P13294278811681(3)因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235－k，其中k ＝0，1，2，3，4，5.【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 故随机变量X 的分布列为X 12 3 4 P1143737114故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望是E (X ) ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质∑i ＝1np i ＝1验证．2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25解：X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( )解：A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0；C 中∑i ＝13P (ξi )＝15＋25＋35＝65>1.故选D.3．(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23解：X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P (X ＝2)＝A 1n －m A 2mA 3n ＝（n －m ）A 2m A 3n.故选D.5．设ξξ－1 0 1 P121－2qq 2则q 的值为( ) A ．1 B ．1±22C ．1＋22 D ．1－22解法一：由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22. 解法二：由1－2q ≥0q ≤12，可排除A 、B 、C ，故选D. 6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)解：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B. 7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝____________． 解：ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310.故填310. 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元．解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．故填4 760.9．某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X 表示其中参加大赛的男生人数，求X 的分布列． 解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 5C 410(k ＝0，1，2，3，4)．所以P (X ＝0)＝C 05C 45C 410＝142，P (X ＝1)＝C 15C 35C 410＝521，P (X ＝2)＝C 25C 25C 410＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521，P (X ＝4)＝C 45C 05C 410＝142，所以X 的分布列为10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是15.(1)试确定a 、b 的值；(2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解：由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a )人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则P (A )＝4＋a 30＝15，解得a ＝2，所以b ＝30－24－a ＝4.所以a 的值为2，b 的值为4.(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为C k 15C 3－k 15，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为：P (ξ＝k )＝C k 15C 3－k15C 330，(k ＝0，1，2，3)，ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝C 015C 315C 330＝13116，P (ξ＝1)＝C 115C 215C 330＝45116，P (ξ＝2)＝C 215C 115C 330＝45116，P (ξ＝3)＝C 315C 015C 330＝13116，所以ξ的分布列为P13116 45116 45116 13116Eξ＝0×13116＋1×45116＋2×45116＋3×13116＝174116＝32.11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列； (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大． 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.由题意知ξ的可能值为0，1，2，3， 故有P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫253＝8125；P (ξ＝1)＝C 13×35×⎝⎛⎭⎫252＝36125； P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫352×25＝54125；P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫353＝27125.ξ的分布列为ξ0 1 2 3或P (ξ＝i )＝C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭⎫253－i ，i ＝0，1，2，3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ＝2)＝C 23·p 2·(1－p )＝－3p 3＋3p 2，0<p <1，由P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)知，在⎝⎛⎭⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎫23，1上P 为减函数，所以当p ＝23时，P 取得最大值．又p ＝C 1n ·C 12C 2n ＋2＝4n （n ＋1）（n ＋2）＝23，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2. 所以当n 取1或2时，P 最大．。