2021年吉林省长春市中考数学试卷(附答案详解)
吉林省长春市朝阳区2021年中考数学重点题汇总及答案(含解析)
吉林省长春市朝阳区2021年中考数学重点题汇总及答案（含解析）一、单选题1、已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．2、不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．3个球都是黑球B．3个球都是白球C．3个球中有黑球D．3个球中有白球【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；B、3个球都是白球是不可能事件；C、3个球中有黑球是必然事件；D、3个球中有白球是随机事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3、2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010 ．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．5、已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．∵△ACO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k＝﹣6，正确，是真命题；②∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；③当A、B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，真命题有3个，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大．6、式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，解得x≥1，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．7、﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．C．3 D．±3【分析】利用绝对值的定义求解即可．【解答】解：﹣3的绝对值是3．故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．8、如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．故选：A．【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．9、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r 的值．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选：A．【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．10、使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．二、填空题1、一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是8 ．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）＝1080，解得：x＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）．2、把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12 ．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．【解答】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；故答案为：12．【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．3、因式分解：3ax2﹣3ay2＝3a（x+y）（x﹣y）．【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．【解答】解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．故答案为：3a（x+y）（x﹣y）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．4、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝3x；（2）当y＝﹣2时，n的值为 1 ．【分析】（1）根据约定的方法即可求出m；（2）根据约定的方法即可求出n．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．5、分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、解答题(难度：中等)1、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ/ 8 17勾股数组Ⅱ35 / 37【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．2、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∴BG＝∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3、如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE＝∠B∴DE∥BC，∴＝＝2．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．4、已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F'【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．5、某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取200 名学生进行调查，扇形统计图中的x＝15% ；（2）请补全统计图；（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是36 度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有900 名．【分析】（1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学生数占总人数的百分比即可得到结论；（2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整；（3）依据“扬琴”的百分比，即可得到“扬琴”所占圆心角的度数；（4）依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量．【解答】解：（1）80÷40%＝200，x＝×100%＝15%，故答案为：200；15%；（2）喜欢二胡的学生数为200﹣80﹣30﹣20﹣10＝60，补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：36；（4）3000×＝900，答：该校喜爱“二胡”的学生约有有900名．故答案为：900．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．6、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．7、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．8、解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．【分析】分别解两个不等式得到x＜3和x≥﹣2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．【解答】解：解①得x＜3，解②得x≥﹣2，所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3．用数轴表示为：【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)
2021年吉林省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.(2021·吉林省·历年真题)化简−(−1)的结果为()A. −1B. 0C. 1D. 22.(2021·吉林省·历年真题)据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为()A. 7.006×103B. 7.006×104C. 70.06×103D. 0.7006×1043.(2021·吉林省·历年真题)不等式2x−1>3的解集是()A. x>1B. x>2C. x<1D. x<24.(2021·吉林省·历年真题)如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()A.B.C.D.5.(2021·吉林省·历年真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B=120°，则∠APC的度数可能为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 65°6.(2021·吉林省·历年真题)古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()A. 23x+17x+x=33 B. 23x+12x+17x=33C. 23x+12x+17x+x=33 D. x+23x+17x−12x=33二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.(2021·吉林省·模拟题)√9−1=______．8.(2021·吉林省·历年真题)因式分解：m2−2m=______ ．9.(2021·吉林省·历年真题)计算：2xx−1−xx−1=______ ．10.(2021·吉林省·历年真题)若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为______ ．11.(2021·吉林省·历年真题)如图，已知线段AB=2cm，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，b cm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______ 1.(填“>”，“<”或“=”)12.(2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为______ ．13.(2021·吉林省·历年真题)如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为______ m.14.(2021·吉林省·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为______ (结果保留π)．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.(2021·吉林省·历年真题)先化简，再求值：(x+2)(x−2)−x(x−1)，其中x=1．216.(2021·吉林省·历年真题)第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球.这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17.(2018·湖北省武汉市·期中考试)如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．18.(2021·吉林省·历年真题)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．19.(2021·吉林省·历年真题)图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．(1)在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；(2)在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．20.(2021·吉林省·历年真题)2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长.给出了快递业务的有关数据信息．2016−2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%×100%说明：增长速度计算办法为：增长速度=本年业务量−去年业务量去年业务量根据图中信息，解答下列问题：(1)2016−2020年快递业务量最多年份的业务量是______ 亿件．(2)2016−2020年快递业务量增长速度的中位数是______ ．(3)下列推断合理的是______ (填序号)．①因为2016−2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016−2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上.所以预估2021年快递业务量应在833.6×(1+25%)=1042亿件以上．x−2的图象与21.(2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43 y轴相交于点A，与反比例函数y=k在第一象限内的图象相交于点B(m,2)，过点Bx作BC⊥y轴于点C．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．22.(2021·吉林省·历年真题)数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：(1)在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；(2)如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km.弦BC//OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB.若∠AOB=44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；(3)参考数据：π取3，sin44°=0.69，cos44°=0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC//OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°(______ )(填推理依据)，因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400．BK=OB×______ (填“sin B”或“cos B”)．所以北纬44°的纬线长C=2π⋅BK．=2×3×6400×______ (填相应的三角形函数值)≈______ (km)(结果取整数)．23.(2021·吉林省·历年真题)疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y(万人)与各自接种时间x(天)之间的关系如图所示．(1)直接写出乙地每天接种的人数及a的值；(2)当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24.(2021·吉林省·历年真题)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．(1)若AB=a.直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；(2)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．25.(2021·吉林省·历年真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=√3cm.动点P从点A出发沿折线AB−BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以√3cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD= 60°，连接PD，BD.设点P的运动时间为x(s)，△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y(cm2).(1)当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；(2)当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长(用含x的代数式表示)；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26. (2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A(0,−74)，点B(1,14). (1)求此二次函数的解析式；(2)当−2≤x ≤2时，求二次函数y =x 2+bx +c 的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ//x 轴，点Q 的横坐标为−2m +1.已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． ①求m 的取值范图；②当PQ ≤7时，直接写出线段PQ 与二次函数y =x 2+bx +c(−2≤x <13)的图象交点个数及对应的m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】去括号与添括号【解析】解：−(−1)=1，故选：C．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：70060=7.0060×104，故选：B．把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10,a不为分数形式，n为整数)．本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．3.【答案】B【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：2x−1>3，2x>3+1，2x>4，x>2．故选：B．按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质(1，不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变)是解题关键．4.【答案】A【知识点】作图-三视图【解析】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A．粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．5.【答案】D【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=120°，∴∠D=180°−∠B=60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC>∠D，只有D满足题意．故选：D．由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．6.【答案】C【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】解：由题意可得23x+12x+17x+x=33．故选：C．根据题意列方程23x+12x+17x+x=33．本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系．7.【答案】2【知识点】算术平方根、实数的运算【解析】解：原式=3−1=2．故答案为：2．直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．8.【答案】m(m−2)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：m2−2m=m(m−2)．故答案为：m(m−2)．利用提公因式法求解．本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．9.【答案】xx−1【知识点】分式的加减【解析】解：2xx−1−xx−1=2x−xx−1=xx−1．故答案为：xx−1．根据分式的加减法则运算．本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式运算的法则．10.【答案】94【知识点】根的判别式【解析】解：∵一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，∴△=32−4c=0，解得c=94．故答案为：94．由判别式△=0求解．本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．11.【答案】>【知识点】尺规作图与一般作图、线段垂直平分线的概念及其性质【解析】解：∵AB=2cm，∴半径b长度>12AB，即b>1cm．故答案为：>．作图方法为以A，B为圆心，大于12AB长度画弧交于C，D两点．本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．12.【答案】(7,4)【知识点】旋转的基本性质【解析】解：作AC⊥x轴于点C，由旋转可得∠O′=90°，O′B⊥x轴，∴四边形O′BCA′为矩形，∴BC=A′O′=OA=3，A′C=O′B=OB=4，∴点A′坐标为(7,4)．故答案为：(7,4)．作AC⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC=A′O′=OA=3，A′C=O′B=OB=4，进而求解．本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．13.【答案】2.7【知识点】相似三角形的应用【解析】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE//CF，∴ADAC =DECF，即14.5=0.6CF，解得CF=2.7，故答案为：2.7．根据DE//CF，可得ADAC =DECF，进而得出CF即可．本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14.【答案】23π−√3【知识点】扇形面积的计算、含30°角的直角三角形【解析】解：连接CE ，∵∠A =30°，∴∠B =90°−∠A =60°，∵CE =CB ，∴△CBE 为等边三角形，∴∠ECB =60°，BE =BC =2，∴S 扇形CBE=22×60π360=23π ∵S △BCE =√34BC 2=√3，∴阴影部分的面积为23π−√3．故答案为：23π−√3．连接CE ，由扇形CBE 面积−三角形CBE 面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE 为等边三角形与扇形面积的计算． 15.【答案】解：(x +2)(x −2)−x(x −1)=x 2−4−x 2+x=x −4，当x =12时，原式=12−4=−312．【知识点】整式的混合运算【解析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．本题考查了整式的化简与求值，能熟记平方差公式和单项式乘以多项式法则是解此题的关键．16.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16．答：取出的2个球都是白球的概率为16．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可． 本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． 17.【答案】证明：在△ABE 与△ACD 中，{∠A =∠A AB =AC ∠B =∠C，∴△ACD≌△ABE(ASA)，∴AD =AE(全等三角形的对应边相等)．【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】根据全等三角形的判定定理ASA 可以证得△ACD≌△ABE ，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．18.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km ．由题意列方程组得：{x +y =55y =9x −4． 解得：{x =5.9y =49.1答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．【知识点】二元一次方程组的应用【解析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由桥梁和隧道全长共55km，得x+y=55.桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得y=9x−4，然后列出方程组，解方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．19.【答案】解：(1)如图①中，△ABC即为所求(答案不唯一)．(2)如图②中，四边形ABDE即为所求．【知识点】尺规作图与一般作图、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质【解析】(1)根据等腰三角形的定义画出图形即可(答案不唯一)．(2)作应该底为1，高为3的平行四边形即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】833.628.0%②【知识点】用样本估计总体、中位数、条形统计图【解析】解：(1)由2016−2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；(2)将2016−2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；(3)①2016−2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016−2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×(1+25%)=1042亿件以上，因此②正确；故答案为：②．(1)根据2016−2020年快递业务量统计图可得答案；(2)根据中位数的意义，将2016−2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；(3)利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21.【答案】解：(1)∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，m−2=2，∴43∴m=3，∴B(3,2)，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=6；x(2)∵BC⊥y轴，∴C(0,2)，BC//x轴，∴BC=3，x−2=−2，令x=0，则y=43∴A(0,−2)，∴AC=4，∴S△ABC=1AC⋅BC=6，2∴△ABC的面积为6．【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】(1)因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；(2)因为BC⊥y轴，所以C(0,2)，利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标(0,−2)，由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC//x轴，所以S△ABC=1AC⋅BC，即可求解．2本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22.【答案】两直线平行，内错角相等cos B0.7227648【知识点】解直角三角形的应用、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：因为BC//OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°(两直线平行，内错角相等)(填推理依据)，因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400．BK=OB×cosB(填“sin B”或“cos B”)．所以北纬44°的纬线长C=2π⋅BK．=2×3×6400×0.72(填相应的三角形函数值)≈27648(km)(结果取整数)．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．23.【答案】解：(1)乙地接种速度为40÷80=0.5(万人/天)，0.5a=25−5，解得a=40．(2)设y=kx+b，将(40,25)，(100,40)代入解析式得：{25=40k+b40=100k+b，解得{k=14b=15，∴y=14x+15(40≤x≤100)．(3)把x=80代入y=14x+15得y=14×80+15=35，40−35=5(万人)．【知识点】一次函数的应用【解析】(1)由接种速度=接种人数÷接种天数求解．(2)利用待定系数法求解．(3)将x=80代入(2)问中解析式得出y=34，然后由40−34=6．本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．24.【答案】解：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∵CD是斜边AB 上的中线，AB= a，∴CD=12AB=12a.(2)四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB=∠ACB=90°，∴DF//AC；由折叠得，DF=DB，∵DB=12AB，∴DF=12AB；∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=90°−60°=30°，∴AC=12AB，∴DF=AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD=12AB，∴AD=DF，∴四边形ADFC是菱形．(3)如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°；由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE=∠FDE=12∠BDF=12×90°=45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠BDE+∠FDE=360°−90°=270°，由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE+∠BDE=270°，∴∠BDE=135°．综上所述，∠BDE=45°或∠BDE=135°．【知识点】四边形综合【解析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=12AB=12a；(2)由题意可得DF//AC，DF=12AB，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得AC=12AB，得DF=AC，则四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得DF= BD=AD，于是判断四边形ADFC是菱形；(3)题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此DF⊥AB又分两种情况，即点F与点D 在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第(3)题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．25.【答案】解：(1)如图，在Rt△PDQ中，AD=√3，∠PQD=60°，∴tan60°=ADDQ=√3，∴DQ=√33AD=1．(2)点P在AB上运动时间为3÷1=3(s)，∴点P在BC上时PB=√3(x−3)．(3)当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同(1)可得MQ=√33AD=1．∴DQ=DM+MQ=AP+MQ=x+1，当x+1=3时x=2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC=BCCD =√33，∴∠DBC=30°，∵∠PQD=60°，∴∠DEQ=90°．∵sin30°=EQDQ =12，∴EQ=12DQ=x+12，∵sin60°=ENEQ =√32，∴EN=√32EQ=√34(x+1)，∴y=12DQ⋅EN=12(x+1)×√34(x+1)=√38(x+1)2=√38x2+√34x+√38(0≤x≤2)．当2<x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ =DQ −DC =x +1−3=x −2，tan60°=CFCQ ， ∴CF =CQ ⋅tan60°=√3(x −2)，∴S △CQF =12CQ ⋅CF =12(x −2)×√3(x −2)=√32x 2−2√3x +2√3，∴y =S △DEQ −S △CQF =√38x 2+√34x +√38−(√32x 2−2√3x +2√3)=−3√38x 2+9√34x −15√38(2<x ≤3)．当3<x ≤4时，点P 在BC 上，如图，∵CP =CB −BP =√3−√3(x −3)=4√3−√3x ， ∴y =12DC ⋅CP =12×3(4√3−√3x)=6√3−3√32x(3<x ≤4)．综上所述，y ={ √38x 2+√34x +√38(0≤x ≤2)−3√38x 2+9√34x −15√38(2<x ≤3)6√3−3√32x(3<x ≤4)【知识点】四边形综合【解析】(1)由tan60°=ADDQ =√3求解．(2)点P 在AB 上运动时间为3÷1=3(s)，则点P 在BC 上时PB =√3(x −3)． (3)分类讨论①点P 在AB 上，点Q 在CD 上．②点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上．③点P 在BC 上．本题考查四边形综合应用，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形方法，通过数形结合求解．26.【答案】解：(1)将A(0,−74)，点B(1,14)代入y =x 2+bx +c 得：{−74=c14=1+b +c ， 解得{b =1c =−74，∴y=x2+x−74．(2)∵y=x2+x−74=(x+12)2−2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12．∴当x=−12时，y取最小值为−2，∵2−(−12)>−12−(−2)，∴当x=2时，y取最大值22+2−74=174．(3)①PQ=|−2m+1−m|=|−3m+1|，当−3m+1>0时，PQ=−3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当−3m+1<0时，PQ=3m−1，PQ的长度随m增大而增大，∴−3m+1>0满足题意，解得m<13．②∵0<PQ≤7，∴0<−3m+1≤7，解得−2≤m<13，如图，当x=−12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，−12<m<13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x =13关于抛物线对称轴直线x =−12对称后直线为x =−43， ∴−43<m <−12时，PQ 与图象有2个交点，当−2≤m ≤−43时，PQ 与图象有1个交点，综上所述，−2≤m ≤−43或−12≤m <13时，PQ 与图象交点个数为1，−43<m <−12时，PQ与图象有2个交点．【知识点】二次函数综合【解析】(1)利用待定系数法求解．(2)将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．(3)①由0<PQ≤7求出m取值范围，②通过数形结合求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)
2021年吉林省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.(2021·吉林省·历年真题)化简−(−1)的结果为()A. −1B. 0C. 1D. 22.(2021·吉林省·历年真题)据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为()A. 7.006×103B. 7.006×104C. 70.06×103D. 0.7006×1043.(2021·吉林省·历年真题)不等式2x−1>3的解集是()A. x>1B. x>2C. x<1D. x<24.(2021·吉林省·历年真题)如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()A.B.C.D.5.(2021·吉林省·历年真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B=120°，则∠APC的度数可能为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 65°6.(2021·吉林省·历年真题)古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()A. 23x+17x+x=33 B. 23x+12x+17x=33C. 23x+12x+17x+x=33 D. x+23x+17x−12x=33二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.(2021·吉林省·模拟题)√9−1=______．8.(2021·吉林省·历年真题)因式分解：m2−2m=______ ．9.(2021·吉林省·历年真题)计算：2xx−1−xx−1=______ ．10.(2021·吉林省·历年真题)若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为______ ．11.(2021·吉林省·历年真题)如图，已知线段AB=2cm，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，b cm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______ 1.(填“>”，“<”或“=”)12.(2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为______ ．13.(2021·吉林省·历年真题)如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为______ m.14.(2021·吉林省·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为______ (结果保留π)．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.(2021·吉林省·历年真题)先化简，再求值：(x+2)(x−2)−x(x−1)，其中x=1．216.(2021·吉林省·历年真题)第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球.这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17.(2018·湖北省武汉市·期中考试)如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．18.(2021·吉林省·历年真题)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．19.(2021·吉林省·历年真题)图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．(1)在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；(2)在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．20.(2021·吉林省·历年真题)2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长.给出了快递业务的有关数据信息．2016−2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%×100%说明：增长速度计算办法为：增长速度=本年业务量−去年业务量去年业务量根据图中信息，解答下列问题：(1)2016−2020年快递业务量最多年份的业务量是______ 亿件．(2)2016−2020年快递业务量增长速度的中位数是______ ．(3)下列推断合理的是______ (填序号)．①因为2016−2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016−2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上.所以预估2021年快递业务量应在833.6×(1+25%)=1042亿件以上．x−2的图象与21.(2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43 y轴相交于点A，与反比例函数y=k在第一象限内的图象相交于点B(m,2)，过点Bx作BC⊥y轴于点C．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．22.(2021·吉林省·历年真题)数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：(1)在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；(2)如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km.弦BC//OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB.若∠AOB=44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；(3)参考数据：π取3，sin44°=0.69，cos44°=0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC//OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°(______ )(填推理依据)，因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400．BK=OB×______ (填“sin B”或“cos B”)．所以北纬44°的纬线长C=2π⋅BK．=2×3×6400×______ (填相应的三角形函数值)≈______ (km)(结果取整数)．23.(2021·吉林省·历年真题)疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y(万人)与各自接种时间x(天)之间的关系如图所示．(1)直接写出乙地每天接种的人数及a的值；(2)当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24.(2021·吉林省·历年真题)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．(1)若AB=a.直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；(2)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．25.(2021·吉林省·历年真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=√3cm.动点P从点A出发沿折线AB−BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以√3cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD= 60°，连接PD，BD.设点P的运动时间为x(s)，△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y(cm2).(1)当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；(2)当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长(用含x的代数式表示)；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26. (2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A(0,−74)，点B(1,14). (1)求此二次函数的解析式；(2)当−2≤x ≤2时，求二次函数y =x 2+bx +c 的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ//x 轴，点Q 的横坐标为−2m +1.已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． ①求m 的取值范图；②当PQ ≤7时，直接写出线段PQ 与二次函数y =x 2+bx +c(−2≤x <13)的图象交点个数及对应的m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】去括号与添括号【解析】解：−(−1)=1，故选：C．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：70060=7.0060×104，故选：B．把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10,a不为分数形式，n为整数)．本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．3.【答案】B【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：2x−1>3，2x>3+1，2x>4，x>2．故选：B．按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质(1，不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变)是解题关键．4.【答案】A【知识点】作图-三视图【解析】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A．粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．5.【答案】D【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=120°，∴∠D=180°−∠B=60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC>∠D，只有D满足题意．故选：D．由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．6.【答案】C【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】解：由题意可得23x+12x+17x+x=33．故选：C．根据题意列方程23x+12x+17x+x=33．本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系．7.【答案】2【知识点】算术平方根、实数的运算【解析】解：原式=3−1=2．故答案为：2．直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．8.【答案】m(m−2)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：m2−2m=m(m−2)．故答案为：m(m−2)．利用提公因式法求解．本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．9.【答案】xx−1【知识点】分式的加减【解析】解：2xx−1−xx−1=2x−xx−1=xx−1．故答案为：xx−1．根据分式的加减法则运算．本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式运算的法则．10.【答案】94【知识点】根的判别式【解析】解：∵一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，∴△=32−4c=0，解得c=94．故答案为：94．由判别式△=0求解．本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．11.【答案】>【知识点】尺规作图与一般作图、线段垂直平分线的概念及其性质【解析】解：∵AB=2cm，∴半径b长度>12AB，即b>1cm．故答案为：>．作图方法为以A，B为圆心，大于12AB长度画弧交于C，D两点．本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．12.【答案】(7,4)【知识点】旋转的基本性质【解析】解：作AC⊥x轴于点C，由旋转可得∠O′=90°，O′B⊥x轴，∴四边形O′BCA′为矩形，∴BC=A′O′=OA=3，A′C=O′B=OB=4，∴点A′坐标为(7,4)．故答案为：(7,4)．作AC⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC=A′O′=OA=3，A′C=O′B=OB=4，进而求解．本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．13.【答案】2.7【知识点】相似三角形的应用【解析】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE//CF，∴ADAC =DECF，即14.5=0.6CF，解得CF=2.7，故答案为：2.7．根据DE//CF，可得ADAC =DECF，进而得出CF即可．本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14.【答案】23π−√3【知识点】扇形面积的计算、含30°角的直角三角形【解析】解：连接CE ，∵∠A =30°，∴∠B =90°−∠A =60°，∵CE =CB ，∴△CBE 为等边三角形，∴∠ECB =60°，BE =BC =2，∴S 扇形CBE=22×60π360=23π ∵S △BCE =√34BC 2=√3，∴阴影部分的面积为23π−√3．故答案为：23π−√3．连接CE ，由扇形CBE 面积−三角形CBE 面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE 为等边三角形与扇形面积的计算． 15.【答案】解：(x +2)(x −2)−x(x −1)=x 2−4−x 2+x=x −4，当x =12时，原式=12−4=−312．【知识点】整式的混合运算【解析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．本题考查了整式的化简与求值，能熟记平方差公式和单项式乘以多项式法则是解此题的关键．16.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16．答：取出的2个球都是白球的概率为16．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可． 本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． 17.【答案】证明：在△ABE 与△ACD 中，{∠A =∠A AB =AC ∠B =∠C，∴△ACD≌△ABE(ASA)，∴AD =AE(全等三角形的对应边相等)．【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】根据全等三角形的判定定理ASA 可以证得△ACD≌△ABE ，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．18.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km ．由题意列方程组得：{x +y =55y =9x −4． 解得：{x =5.9y =49.1答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．【知识点】二元一次方程组的应用【解析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由桥梁和隧道全长共55km，得x+y=55.桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得y=9x−4，然后列出方程组，解方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．19.【答案】解：(1)如图①中，△ABC即为所求(答案不唯一)．(2)如图②中，四边形ABDE即为所求．【知识点】尺规作图与一般作图、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质【解析】(1)根据等腰三角形的定义画出图形即可(答案不唯一)．(2)作应该底为1，高为3的平行四边形即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】833.628.0%②【知识点】用样本估计总体、中位数、条形统计图【解析】解：(1)由2016−2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；(2)将2016−2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；(3)①2016−2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016−2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×(1+25%)=1042亿件以上，因此②正确；故答案为：②．(1)根据2016−2020年快递业务量统计图可得答案；(2)根据中位数的意义，将2016−2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；(3)利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21.【答案】解：(1)∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，m−2=2，∴43∴m=3，∴B(3,2)，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=6；x(2)∵BC⊥y轴，∴C(0,2)，BC//x轴，∴BC=3，x−2=−2，令x=0，则y=43∴A(0,−2)，∴AC=4，∴S△ABC=1AC⋅BC=6，2∴△ABC的面积为6．【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】(1)因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；(2)因为BC⊥y轴，所以C(0,2)，利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标(0,−2)，由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC//x轴，所以S△ABC=1AC⋅BC，即可求解．2本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22.【答案】两直线平行，内错角相等cos B0.7227648【知识点】解直角三角形的应用、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：因为BC//OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°(两直线平行，内错角相等)(填推理依据)，因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400．BK=OB×cosB(填“sin B”或“cos B”)．所以北纬44°的纬线长C=2π⋅BK．=2×3×6400×0.72(填相应的三角形函数值)≈27648(km)(结果取整数)．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．23.【答案】解：(1)乙地接种速度为40÷80=0.5(万人/天)，0.5a=25−5，解得a=40．(2)设y=kx+b，将(40,25)，(100,40)代入解析式得：{25=40k+b40=100k+b，解得{k=14b=15，∴y=14x+15(40≤x≤100)．(3)把x=80代入y=14x+15得y=14×80+15=35，40−35=5(万人)．【知识点】一次函数的应用【解析】(1)由接种速度=接种人数÷接种天数求解．(2)利用待定系数法求解．(3)将x=80代入(2)问中解析式得出y=34，然后由40−34=6．本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．24.【答案】解：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∵CD是斜边AB 上的中线，AB= a，∴CD=12AB=12a.(2)四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB=∠ACB=90°，∴DF//AC；由折叠得，DF=DB，∵DB=12AB，∴DF=12AB；∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=90°−60°=30°，∴AC=12AB，∴DF=AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD=12AB，∴AD=DF，∴四边形ADFC是菱形．(3)如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°；由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE=∠FDE=12∠BDF=12×90°=45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠BDE+∠FDE=360°−90°=270°，由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE+∠BDE=270°，∴∠BDE=135°．综上所述，∠BDE=45°或∠BDE=135°．【知识点】四边形综合【解析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=12AB=12a；(2)由题意可得DF//AC，DF=12AB，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得AC=12AB，得DF=AC，则四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得DF= BD=AD，于是判断四边形ADFC是菱形；(3)题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此DF⊥AB又分两种情况，即点F与点D 在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第(3)题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．25.【答案】解：(1)如图，在Rt△PDQ中，AD=√3，∠PQD=60°，∴tan60°=ADDQ=√3，∴DQ=√33AD=1．(2)点P在AB上运动时间为3÷1=3(s)，∴点P在BC上时PB=√3(x−3)．(3)当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同(1)可得MQ=√33AD=1．∴DQ=DM+MQ=AP+MQ=x+1，当x+1=3时x=2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC=BCCD =√33，∴∠DBC=30°，∵∠PQD=60°，∴∠DEQ=90°．∵sin30°=EQDQ =12，∴EQ=12DQ=x+12，∵sin60°=ENEQ =√32，∴EN=√32EQ=√34(x+1)，∴y=12DQ⋅EN=12(x+1)×√34(x+1)=√38(x+1)2=√38x2+√34x+√38(0≤x≤2)．当2<x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ =DQ −DC =x +1−3=x −2，tan60°=CFCQ ， ∴CF =CQ ⋅tan60°=√3(x −2)，∴S △CQF =12CQ ⋅CF =12(x −2)×√3(x −2)=√32x 2−2√3x +2√3，∴y =S △DEQ −S △CQF =√38x 2+√34x +√38−(√32x 2−2√3x +2√3)=−3√38x 2+9√34x −15√38(2<x ≤3)．当3<x ≤4时，点P 在BC 上，如图，∵CP =CB −BP =√3−√3(x −3)=4√3−√3x ， ∴y =12DC ⋅CP =12×3(4√3−√3x)=6√3−3√32x(3<x ≤4)．综上所述，y ={ √38x 2+√34x +√38(0≤x ≤2)−3√38x 2+9√34x −15√38(2<x ≤3)6√3−3√32x(3<x ≤4)【知识点】四边形综合【解析】(1)由tan60°=ADDQ =√3求解．(2)点P 在AB 上运动时间为3÷1=3(s)，则点P 在BC 上时PB =√3(x −3)． (3)分类讨论①点P 在AB 上，点Q 在CD 上．②点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上．③点P 在BC 上．本题考查四边形综合应用，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形方法，通过数形结合求解．26.【答案】解：(1)将A(0,−74)，点B(1,14)代入y =x 2+bx +c 得：{−74=c14=1+b +c ， 解得{b =1c =−74，∴y=x2+x−74．(2)∵y=x2+x−74=(x+12)2−2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12．∴当x=−12时，y取最小值为−2，∵2−(−12)>−12−(−2)，∴当x=2时，y取最大值22+2−74=174．(3)①PQ=|−2m+1−m|=|−3m+1|，当−3m+1>0时，PQ=−3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当−3m+1<0时，PQ=3m−1，PQ的长度随m增大而增大，∴−3m+1>0满足题意，解得m<13．②∵0<PQ≤7，∴0<−3m+1≤7，解得−2≤m<13，如图，当x=−12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，−12<m<13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x =13关于抛物线对称轴直线x =−12对称后直线为x =−43， ∴−43<m <−12时，PQ 与图象有2个交点，当−2≤m ≤−43时，PQ 与图象有1个交点，综上所述，−2≤m ≤−43或−12≤m <13时，PQ 与图象交点个数为1，−43<m <−12时，PQ与图象有2个交点．【知识点】二次函数综合【解析】(1)利用待定系数法求解．(2)将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．(3)①由0<PQ≤7求出m取值范围，②通过数形结合求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。
吉林省2021年中考数学真题试卷及答案
吉林省2021年中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.化简()1--的结果为（）A.－1B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．【详解】解：()11--=，故选：C ．2.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（）A.37.00610⨯ B.47.00610⨯ C.370.0610⨯ D.40.700610⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：4700607.006010=⨯，故选：B ．3.不等式213x ->的解集是（）A.1x > B.2x > C.1x < D.2x <【答案】B【解析】【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．【详解】解：213x ->，231x >+，24x >，2x >．故选：B ．4.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A ．5.如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（）A.30°B.45︒C.50︒D.65︒【答案】D【解析】【分析】由圆内接四边形的性质得D ∠度数为60︒，再由APC ∠为PCD 的外角求解．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒，∵120B ∠=︒，∴18060D B ∠=︒-∠=︒，∵APC ∠为PCD 的外角，∴APC D ∠>∠，只有D 满足题意．故选：D ．6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x ，则所列方程为（）A.213337x x x ++=B.21133327x x x ++=C.21133327x x x x +++= D.21133372x x x x ++-=【答案】C【解析】【分析】根据题意列方程21133327x x x x +++=．【详解】解：由题意可得21133327x x x x +++=．故选C二、填空题（每小题3分，共24分）7.1＝_____．【答案】2【解析】【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．【详解】1＝3-1＝2故答案为：2．8.因式分解：22m m -=__________．【答案】()2m m -【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m 即可．【详解】22m m -=()2m m -故答案为：()2m m -9.计算：211x x x x -=--__________．【答案】1x x -【解析】【分析】根据同分母分式的加减法则运算．【详解】解：221111x x x x x x x x x --==----．故答案为：1x x -．10.若关于x 的一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．【答案】94【解析】【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=-=，解得94c =．故答案为：94．11.如图，已知线段2cm AB =，其垂直平分线CD 的作法如下：①分别以点A 和点B 为圆心，cm b 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；②作直线CD ．上述作法中b 满足的条作为b ___1.（填“>”，“<”或“=”）【答案】＞【解析】【分析】作图方法为：以A ，B 为圆心，大于12AB 长度画弧交于C ，D 两点，由此得出答案．【详解】解：∵2cm AB =，∴半径b 长度12AB >，即1cm b >．故答案为：>．12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，点B 的坐标为()4,0，连接AB ，若将ABO 绕点B 顺时针旋转90︒，得到''A BO △，则点'A 的坐标为__________．【答案】()7,4【解析】【分析】根据旋转的性质可求得O A ''和O B '的长度，进而可求得点'A 的坐标．【详解】解：作A C x '⊥轴于点C ，由旋转可得'90O ∠=︒，'O B x ⊥轴，∴四边形''O BCA 为矩形，∴''3BC A O OA ===，''4A C O B OB ===，∴点'A 坐标为()7,4．故答案为：()7,4．13.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．【答案】2.7【解析】【分析】根据//DE CF ，可得AD DE AC CF=，进而得出CF 即可．【详解】解：如图，过C 作CF AB ⊥于F ，则//DE CF ，∴AD DE AC CF =，即10.64.5CF=，解得 2.7CF =，故答案为：2.714.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．【答案】23π-【解析】【分析】连接CE ，由扇形CBE 面积﹣三角形CBE 面积求解．【详解】解：连接CE ，∵30A ∠=︒，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，∵CE CB =，∴CBE △为等边三角形，∴60ECB ∠=︒，2BE BC ==，∴226023603CBES ππ⨯==扇形，∵24BCE S BC ==△，∴阴影部分的面积为23π-．故答案为：23π-．三、解答题（每小题5分共20分）15.先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =．【答案】4x -，132-【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +---224x x x=--+4x =-，当12x =时，原式114322=-=-．16.第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．【答案】16【解析】【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：白黑白白、白黑、白黑1白、黑1黑1、黑黑2白、黑2黑、黑2共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16．答：取出的2个球都是白球的概率为16．【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．17.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .求证：AD ＝AE【答案】见解析.【解析】【分析】根据ASA △ADC ≌△AEB ，即可得出结论．【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝∴△ABE ≌△ACD （ASA ）∴AE=AD18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km ．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km【解析】【分析】设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由桥梁和隧道全长共55km ，得55x y +=．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ，得94y x =-，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由题意列方程组得：5594x y y x +=⎧⎨=-⎩．解得： 5.949.1x y =⎧⎨=⎩．答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．四、解答题（每小题27分，共28分）19.图①、图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A ，点B 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A ，B ，C 为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A ，B ，D ，E 为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B 为顶点，AC 为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B 为顶点，AC 为底边，该ABC 即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，此时底1AE =，高3h =，因此四边形ABDE 即为所求．20.2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%．根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________．（3）下列推断合理的是__________（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上．【答案】（1）833.6；（2）28.0%；（3）②【解析】【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上，因此②正确；故答案为：②．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数423y x =-的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象相交于点(),2B m ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）6y x=；（2）6【解析】【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B 点，将B 代入到一次函数解析式中，可以求得B 点坐标，从而求得k ，得到反比例函数解析式；（2）因为BC y ⊥轴，所以()0,2C ，利用一次函数解析式可以求得它与y 轴交点A 的坐标()0,2-，由A ，B ，C 三点坐标，可以求得AC 和BC 的长度，并且//BC x 轴，所以12ABC S AC BC =⋅V ，即可求解．【详解】解：（1）∵B 点是直线与反比例函数交点，∴B 点坐标满足一次函数解析式，∴4223m -=，∴3m =，∴()3,2B，∴6k =，∴反比例函数的解析式为6y x=；（2）∵BC y ⊥轴，∴()0,2C ，//BC x 轴，∴3BC =，令0x =，则4223y x =-=-，∴()0,2A -，∴4AC =，∴162ABC S AC BC =⋅=△，∴ABC 的面积为622.数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44︒，求北纬44︒纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，O 是经过南、北极的圆，地球半径OA 约为6400km ．弦//BC OA ，过点O 作OK BC ⊥于点K ，连接OB ．若44AOB ∠=︒，则以BK 为半径的圆的周长是北纬44︒纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin 440.69︒=，cos440.72︒=．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．BK OB =⨯_______（填“sin B ”或“cos B ”）．所以北纬44︒的纬线长2C BKπ=⋅236400=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）≈（km ）（结果取整数）．【答案】两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648【解析】【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．【详解】解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．cos BK OB B =⨯（填“sin B ”或“cos B ”）．所以北纬44︒的纬线长2C BK π=⋅．2364000.72=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）()27648km ≈（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648.五、解答题（每小题8分，共16分）23.疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y （万人）与各自接种时间x （天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a 的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．【答案】（1）40a =；（2）()115401004y x x =+≤≤；（3）5万人【解析】【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．（2）利用待定系数法求解．（3）将80x =代入（2）问中解析式得出34y =，然后由40346-=．【详解】解：（1）乙地接种速度为40800.5÷=（万人/天），0.5255a =-，解得40a =．（2）设y kx b =+，将()40,25，()100,40代入解析式得：2540k b40100k b =+⎧⎨=+⎩，解得1k 4 b 15⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴()115401004y x x =+≤≤．（3）把80x =代入1154y x =+得18015354y =⨯+=，40355-=（万人）．24.如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线BC 上一点，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点F．（1）若AB a =．直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；（2）若DF BC ⊥，垂足为G ，点F 与点D 在直线CE 的异侧，连接CF ，如图②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF AB ⊥，直接写出BDE ∠的度数．【答案】（1）12a ；（2）菱形，见解析；（3）45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒【解析】【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得1122CD AB a ==；（2）由题意可得//DF AC ，12DF AB =，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得12AC AB =，得DF AC =，则四边形ADFC 是平行四边形，再由折叠得DF BD AD ==，于是判断四边形ADFC 是菱形；（3）题中条件是“点E 是射线BC 上一点”，因此DF AB ⊥又分两种情况，即点F 与点D 在直线CE 的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∵CD 是斜边AB 上的中线，AB a =，∴1122CD AB a ==．（2）四边形ADFC 是菱形．理由如下：如图②∵DF BC ⊥于点G ，∴90DGB ACB ∠=∠=︒，∴//DF AC ；由折叠得，DF DB =，∵12DB AB =，∴12DF AB =；∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒，∴12AC AB =，∴DF AC =，∴四边形ADFC 是平行四边形；∵12AD AB =，∴AD DF =，∴四边形ADFC 是菱形．（3）如图③，点F 与点D 在直线CE 异侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒；由折叠得，BDE FDE ∠=∠，∴11904522BDE FDE BDF ∠=∠=∠=⨯︒=︒；如图④，点F 与点D 在直线CE 同侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒，∴36090270BDE FDE ∠+∠=︒-︒=︒，由折叠得，BDE FDE ∠=∠，∴270BDE BDE ∠+∠=︒，∴135BDE ∠=︒．综上所述，45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ V 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）)3PB x =-；（3）22333(02)848(23)84833(34)2x x x y x x x x x ++≤≤⎪⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩【解析】【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60ADDQ︒==（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x =-．（3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上．【详解】解：（1）如图，在Rt PDQ 中，AD =，60PQD ∠=︒，∴tan 60ADDQ︒==∴313DQ AD ==．（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，∴点P 在BC 上时：)3PB x =-．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得313MQ AD ==．∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+，当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan 3BC BDC CD ∠==，∴30DBC ∠=︒，∵60PQD ∠=︒，∴90DEQ ∠=°．∵1sin 302EQ DQ ︒==，∴1122x EQ DQ +==，∵3sin 602EN EQ ︒==，∴()124EN EQ x ==+，∴()()()2111112248y DQ EN x x x =⋅=+⨯+=+()202848x x x =++≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图，∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CFCQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒=-，∴2113(2)2)222CQF S CQ CF x x =⋅=-⨯-=-+△，∴228482DEQ CQF y S S x x x ⎛=-=++--+ ⎝△△23393153(23)848x x x =-+-<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =-=-=，∴11(34)222y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：22333(02)8483333(23)8483363(34)2x x x y x x x x x ++≤≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求此二次函数的解析式；（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎪⎝⎭的图象交点个数及对应的m 的取值范围．【答案】（1）274y x x =+-；（2）最大值为174；最小值为－2；（3）①13m <；②423m -≤≤-或1123m -< 时，PQ 与图象交点个数为1，4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由07PQ <≤求出m 取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++得：74114c b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得174b c =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴274y x x =+-．（2）∵2271242y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∵抛物线开口向上，对称轴为直线12x =-．∴当12x =-时，y 取最小值为－2，∵112(2)22⎛⎫-->--- ⎪⎝⎭，∴当2x =时，y 取最大值27172244+-=．（3）①2131PQ m m m =-+-=-+，当310m -+>时，31PQ m =-+，PQ 的长度随m 的增大而减小，当310m -+<时，31PQ m =-，PQ 的长度随m 增大而增大，∴310m -+>满足题意，解得13m <．②∵07PQ <≤，∴0317m <-+≤，解得123m -≤<，如图，当12x =-时，点P 在最低点，PQ 与图象有1交点，m 增大过程中，1123m -<<，点P 与点Q 在对称轴右侧，PQ 与图象只有1个交点，直线13x =关于抛物线对称轴直线12x =-对称后直线为43x =-，∴4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点，当423m -≤≤-时，PQ 与图象有1个交点，综上所述，423m -≤≤-或1123m -< 时，PQ 与图象交点个数为1，4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点．。
2021年吉林长春中考数学试题(解析版)
{来源}2021年吉林省长春市中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2021年吉林省长春市中考数学试卷考试时间：100分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）{题目}1.（2021吉林长春，T1）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A.-2B.2C.12D.12A{答案} B{解析}本题考查了数轴，解题的关键是利用数形结合求出数轴上两点的距离．因为022，故选择B.{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的意义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2. （2021吉林长春,T2）2021年春运期间，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A. 2．75×107B. 2．75×109C. 2．75×108D. 2．75×109 {答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题的关键是能根据科学记数法的记数规则确定表示的结果．根据科学记数法的定义，需要将140 000改写成a×10n的形式(其中1≤a ＜10，n为整数)，因此，先确定a的值，再确定n的值即可．275000000＝2．75×108，故选择C．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}3. （2021吉林长春,T3）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）{答案}A{解析}本题考查了三视图，解题的关键是会从不同侧面观察立体图形，并且抽象出平面图形．主视图是从前面看得到的图形，按照这个方法得出本题答案． 解：主视图有二列，第一列有一层，第二列有两层，故选择 A .{分值}3{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}4. （2021吉林长春，T4）不等式-x+2≥0的解集为（ ） A.x ≥-2 B. x ≤-2 C. x ≥2 D. x ≤2 {答案}D{解析}本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．按照解不等式的步骤，先移项，然后后系数化为1即得到不等式的解集． 解：移项得-x ≥-2，系数化为1得， x ≤2，故选择D ． {分值}3{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}5.（2021吉林长春，T5）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ） A. ⎩⎨⎧=+=+y x y x 166119 B.⎩⎨⎧=-=-y x yx 166119 C.⎩⎨⎧=-=+y x yx 166119 D. ⎩⎨⎧=+=-y x yx 166119{答案} D{解析}本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是能从给定的问题中找出相等关系．不难发现题中有两个相等关系：x 人每人出9钱的总数-11钱＝买鸡的钱数为y ；x 人每人出6钱的总数+16钱＝买鸡的钱数为y ，据此列出方程组即可．解：∵每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，∴可列方程组为⎩⎨⎧=+=-yx yx 166119，故答案为D ． {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}{考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}6. （2021吉林长春,T6）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米，若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ）米. A. 3sin B. 3cosC.3sinD. 3cos{答案} A{解析}本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练并准确掌握锐角三角函数的计算公式．根据锐角三角函数定义得出sin =BCAB ，代入求出即可.∵sin =BCAB，AB =3，∴BC =3sin ，故选A. {分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形的应用} {类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题目}7. （2021吉林长春,T7）如图，在ABC 中，ACB 为钝角，用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ，使∠ADC=2∠B ，则符合要求的作图痕迹是（ ）.{答案}B{解析}本题考查了尺规作图及线段垂直平分线的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和判定．按作图的痕迹一一分析哪种作图的结束满足CD ＝BD ．假设点D 在AB 上存在，由CD ＝BD ，可得∠BCD=∠B ，所以有∠ADC=2∠B ，于是点D 在BC 垂直平分线上，故选B. {分值}3{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:垂直平分线常见辅助线的作法} {类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}8. （2021吉林长春,T8）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（0，3）和（3，0），∠ACB=90°，AC=2BC ，函数0,0ky k x x的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A.92B. 9C. 278D. 274{答案}D{解析}过点B 作BD ⊥x 轴，∴∠AOC ＝∠BDC =90°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACO=∠C BD ，∴△AOC ∽△CDB ，∴2AO OC AC CD BD BC，∵AO=3，CO=3，∴32BD CD，∴39322OD，∴B 点的坐标为（92，32），∵函数0,0ky k x x的图象经过点B ，∴9327224k.{分值}3{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似基本图形}{考点:一线三等角} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}9．（2021吉林长春,T9）计算：355 = .{答案}25{解析}本题考查了二次根式的化简与加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与合并法则．解：原式＝355=2525{分值}3{章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:二次根式的加减法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}10．（2021吉林长春,T10）分解因式：2ab b = . {答案}2b a{解析}本题考查了运用提公因式法把多项式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握提因式法分解因式的方法与步骤．先找到多项式各项的公因式，再提取公因式． 解：因为2ab b ＝2b a ． {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}x x根的判别式的值为. {题目}11．（2021吉林长春,T11）一元二次方程2310{答案}5{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式（b2－4ac)与一元二次方程根字母系数之间的关系．△=（﹣3）2﹣4×1×1=5.{分值}3{章节:[1-21-2-2]公式法}{考点:根的判别式}{类别:常考题}{难度:1-简单}{题目}12．（2021吉林长春,T12）如图，直线MN∥PQ，点A，B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°，过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度.{答案}57°{解析}本题考查了几何初步知识，涉及到的知识点有：平行线的性质、三角形的内角和定理，解题的关键是能熟练运用上述有关知识求得∠CDB的度数．解：如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAB＝∠ABD=33°，∵∠BCD＝90°，∴∠CDB＝90°－33°＝57°．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:两直线平行同位角相等}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}13．（2021吉林长春,T13）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为.{答案}422{解析}考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质等知识，由矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，AB=DC-DF ，DF=AD ，AB ∥FC ，∴△ABG ∽△FCG ，根据相似三角形的对为边成比例，即可求得GC ，FG 的长度，继而求得周长为422.{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形}{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}14．（2021吉林长春,T14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线28203y ax axa 与y 轴交于点A ，过A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点，若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .{答案}2{解析}考查二次函数图象与性质，由A 纵坐标为83，因顶点坐标公式，点P 的横坐标为1，根据对称关系求得M （2，83），M 为线段AB 中点，所以B （4, 83），代入直线AM 的解析式y kx 中，求得其解析式为23y x ，再由顶点坐标公式求得P （1, 83a）代入计算可得a =2.{分值}3{章节:[1-22-1-1]二次函数}{考点:含参系数的二次函数问题} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共10小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）{题目}15．（2021吉林长春,T15）先化简，再求值：22141a a a ，其中18a.{解析}本题考查了整式的混合计算-化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则和加减法法则进行计算。
2020-2021年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2020年长春市初中毕业学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题）1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）A. 1-B. 1.5-C. 3-D. 4.2-【答案】C【解析】【分析】根据数轴上数的特点，在-2和-4之间的数即为答案；【详解】由题可得，黑墨遮盖的数字在-2和-4之间，符合条件的数字只有-3．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了数轴的应用，准确分析是解题的关键．2. 为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 37910⨯B. 47.910⨯C. 50.7910⨯D. 57.910⨯ 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.【详解】四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，故选：A .【点睛】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.4. 不等式23x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】 先求出不等式的解集，再根据数轴的特点表示解集即可.【详解】解：23x +≥，解得1≥x ，在数轴上表示解集为：，故选：D . 【点睛】此题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，掌握数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键.5. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（ ）A. sin BD A AB =B. cos AB A AD =C. tan AD A BD =D. sin AD A AB= 【答案】A【解析】确定A ∠所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，△ABD 是直角三角形，90BDA ∠=︒，sin BD A AB ∴=，cos AD A AB=,tan BD A AD =． ∴选项B 、C 、D 都是错误的，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，20BDC ∠=︒，则AOC ∠的大小为（ ）A. 40︒B. 140︒C. 160︒D. 170︒【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【详解】∵20BDC ∠=︒,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故选：B .【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.7. 如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ．下列说法不一定正确的是（ ）A. BDN CDN ∠=∠B. ADC 2B ∠=∠C. ACD DCB ∠=∠D. 290B ACD ∠+∠=︒【答案】C【解析】【分析】 利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ，DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠，2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠，90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2=AP PC ．函数()0ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A. 02k <≤B. 233k ≤≤C. 232k ≤≤D. 834k ≤≤ 【答案】C【解析】【分析】设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ，由PCD ACB △∽△，用c 表示P 点坐标，再求得k 关于c 的解析式，最后由不等式的性质求得k 的取值范围．【详解】解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ，则3BC c =-，//PD AB ，OC c =，PCD ACB ∴△∽△， ∴PD CD CP AB CB CA==，2AP PC =，∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+， 2(13P c ∴+，2)3， 把2(13P c +，2)3代入函数(0)k y x x=>中，得 2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k 关于c 的解析式．二、填空题（本大题共6小题）9. 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费___________元．【答案】()3015m n +【解析】【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．【详解】解：根据单价×数量=总价得，共需花费()3015m n +元，故答案为：()3015m n +．【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．10. 分解因式：24x -= ．【答案】()()+22x x -．【解析】【分析】先把式子写成x 2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．【详解】x 2-4=x 2-22=（x+2）（x-2）．故答案为()()22x x +-.【点睛】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．11. 若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值是__________．【答案】1【解析】【分析】因为关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，故240b ac -= ，代入求解即可.【详解】根据题意可得：()2-2-4=0m 解得：m=1故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与方程的根的关系是关键. 12. 正五边形的一个外角的大小为__________度．【答案】72【解析】【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：360725︒=︒， 故答案为：72．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．13. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为___________（结果保留π）．【答案】2π- 【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明45C ∠=︒，根据ACB CAD S S S =-△阴扇形计算即可．【详解】解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12222ACB CAD S S S ππ⋅⋅∴=--⨯⨯=-△阴扇形， 故答案为2π-．【点睛】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k =--+（h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为_________．【答案】72【解析】【分析】 根据题意，可以得到点C 的坐标和h 的值，然后将点C 的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k 的值，本题得以解决．【详解】解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)，4AB ∴=， 抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==， ∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++， 解得，72k =． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题共10小题）15. 先化简，再求值：()()23231a a -+-，其中2a =【答案】27a +，9【解析】【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【详解】解：原式2269627a a a a =-++-=+， 当2a =22)79=+=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A、2A，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【答案】树状图见解析，1 9【解析】【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，∴P（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）19 =．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17. 图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【解析】【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图②面积为1；图③面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．18. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 【答案】2万斤 【解析】 【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤，则今年黑木耳的年销量为3x 万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤 依题意得80360203x x+= 解得：2x =经检验2x =是原方程的根，且符合题意． 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19. 如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：OE OF =．（2）若5BE =，2OF =，求tan OBE ∠的值． 【答案】（1）见解析1；（2）25【解析】 【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得OD OB =，由ASA 证得DFO BEO ∆∆≌，即可得出结论； （2）根据题意由（1）得OE=OF ，则OE=2，在Rt △OEB 中，由三角函数定义即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：在ABCD 中，OD OB = ∵BE AC ⊥，DF AC ⊥ ∴DF BE ∥ ∴FDO EBO ∠=∠ 又∵DOF BOE ∠=∠ ∴()DFO BEO ASA ∆∆≌∴OE OF =（2）∵OE OF =，2OF = ∴2OE = ∵BE AC ⊥ ∴90OEB ∠=︒在Rt OBE ∆中，5BE =，2tan 5OE OBE BE ∠==. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．20. 空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014—-2019年长春市空气质量级别天数统计表：2014-2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图：根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是_________年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为__________天，平均数为________天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是_________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为___________（精确到1%）．（空气质量为“优”=[（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]×100％（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【答案】（1）2018；（2）7，8；（3）2018，89%；（4）2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多【解析】【分析】（1）根据折线统计图中各年的“达标”天数比较即可得到答案；（2）根据统计表解答；（3）依次计算每年的空气质量为“优”增加的天数即可得到答案，利用公式计算增长率；（4）根据统计中空气质量为“达标”的天数最多的年份解答.【详解】（1）从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数分别为：245、236、288、276、325、306，故答案为：2018；（2）从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数由小到大重新排列为：1、5、5、9、13、15，所以中位数为5972+=，平均数为1559131586+++++=，故答案为：7、8；（3）从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数依次增加的天数为：43-30=13，51-43=8，65-51=14，123-65=58，126-123=3，故增加天数最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为58100%89%65⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多.【点睛】此题考查了统计知识，正确理解统计表的意义，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键. 21. 已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为_________千米/时，a 的值为____________． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1）40，480；（2）100120y x =-；（3）135小时或235小时【解析】 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480； （2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可；（3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可．【详解】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）； a=40×6×2=480， 故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象过点()2,80，()6,480，所以2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100120k b =⎧⎨=-⎩所以y 与x 之间的函数关系式为100120y x =-； （3）两车相遇前：()801002240100x +-=- 解得：135x =两车相遇后：()801002240100x +-=+ 解得：235x =答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的A DE ∆'为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】（3）在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB=___________．【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3）3 5【解析】【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可．（2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题．（3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADA′=90°，由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA=DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ，∴∠QFP=∠FPQ，∴QF=QP，∴△PFQ 是等腰三角形． （3）如图③中，∵四边形PGQF 是菱形， ∴PG=GQ=FQ=PF ， ∵QF=QP ，∴△PFQ ，△PGQ 都是等边三角形，设QF=m ， ∵∠FQP=60°，∠PQD ′=90°， ∴∠DQD ′=30°， ∵∠D ′=90°， ∴1133222FD DF FQ m QD D F m '==='='=，， 由翻折可知，3AD QD PQ CQ FQ m ='====，， ∴52AB CD DF FQ CQ m ==++=， ∴332552AD AB m ==． 故答案为：35． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23. 如图①，在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ 为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC 的一条直角边平行时，直接写出t 的值． 【答案】（1）45t =；（2）54t -或2135t -；（3）509t <<或497455t <<；（4）518或65.【解析】 【分析】（1）由题意直接根据AB=4，构建方程进行分析求解即可；（2）由题意分两种情形：当点P 在线段AB 上时，首先利用勾股定理求出AC ，再求出AE 即可解决问题．当点P 在线段BC 上时，在Rt △PCE 中，求出CE 即可；（3）根据题意求出两种特殊情形下△PDQ 是等腰直角三角形时t 的值，即可求解当△PDQ 为锐角三角形时t 的取值范围；（4）根据题意分两种情形：如图7，当点P 在线段AB 上，QM ∥AB 时以及如图8，当点P 在线段BC 上，QM ∥BC 时，分别求解即可．【详解】解：（1）当点P 与点B 重合时，54t =．解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，4AB =，3BC =，所以5AC =，3sin 5A =，4cos 5A =． 如图3，当点P 在AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t =⋅=． 所以54CE AC AE t =+=-．如图4，当点P 在BC 上时，在Rt PCE ∆中，75PC t =-，3cos sin 5C A ==． 所以321cos (75)355CE PC C t t =⋅=-=-． （3）先考虑临界值等腰直角三角形PDQ ，那么PE DE =． 如图5，当点P 在AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE AP A t =⋅=．而54256DE AC AE CD t t t =--=--=-， 由PE DE =，得356t t =-．解得59t =． 如图6，当点P 在BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t =⋅=-=-． 而3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， 由PE DE =，得28214555t t -=-，解得4945t =．再数形结合写结论．当PDQ ∆为锐角三角形时，509t <<，或497455t <<．（4）t 的值为518或65． 如图7，当点P 在AB 上时，延长QM 交BC 于点N ． 作QG AB ⊥于G ，作DH BC ⊥于H ． 由QMAB ，M 是PD 的中点，可知N 是BH 的中点．在Rt PQG ∆中，26PQ PE t ==，所以42455QG PQ t ==． 在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==． 由242463555BC BH HC HC t t t =++=++=，解得518t =． 如图8，当点P 在BC 上时，作PK QM ⊥于K ． 由QM BC ∥，M 是PD 的中点，可知2DH PK =．在Rt PQK ∆中，882(75)55PQ PE PC t ===-，所以324(75)525PK PQ t ==-． 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==．由2DH PK =，得8242(75)525t t =⨯-，解得65t =．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题. 24. 在平面直角坐标系中，函数221y x ax =--（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤时，若函数221y x ax =--（a 为常数）图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG 三个顶点的坐标分别为()1,1E --、()1,1F a --、()0,1G a -．当函数221y x ax =--（a 为常数）的图象与EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P '（P '与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP ''=，直接写出a 的值．【答案】（1）()0,1A -；（2）221y x x =+-，当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）1a =-12a =；（4）23a =-或43- 【解析】【分析】（1）由题意可知当x=0时，代入221y x ax =--，进行求解即可得出结果；（2）根据题意先求出函数的表达式，进而得出抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，则当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大；（3）由题意分0a >，那么对称轴在y 轴右侧以及0a <，那么对称轴在y 轴左侧两种情况，依次建立含a 的方程分别进行求解即可；（4）根据题意分当点P 在EF 边上时以及当点P 在FG 边上时两种情况，进而求得PP ′并利用2AA PP ''=，建立含a 的方程分别进行求解即可.【详解】解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，所以()0,1A -． （2）将点()1,2代入2211y x ax =--=-，得2121a =--，解得1a =-． 所以2221(1)2y x x x =+-=+-如图1所示，抛物线的开口向上，对称轴为1x =-．因此当1x >-时，y 随x 的增大而增大．（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a --． 如图2，如果0a >，那么对称轴在y 轴右侧，最低点就是()0,1A -．已知最低点到直线2y a =的距离为2，所以()212a --=．解得12a =． 如图3，如果0a <，那么对称轴在y 轴左侧，顶点()2,1a a --就是最低点． 所以()2212a a ---=．整理，得()212a +=．解得1a =3），或1a =-+．（4）23a =-，或43-． 抛物线221y x ax =--的对称轴为x a =，()0,1A -，所以2AA a '=-．①如图4，当点P 在EF 边上时，1p x =-．因为1EA OA ==，所以点P 在对称轴x a =的左侧．所以()21PP a '=+．由2AA PP ''=，得()241a a -=+．解得23a =-． ②如图5，当点P 在FG 边上时，1p y a =-．解方程2211x ax a --=-，得2x a a a =±+．所以22PP a a '=+．由2AA PP ''=，得224a a a -=+．解得43a =-，或0a =（舍去）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．。
2021年吉林省长春市中考数学试卷
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .2021年吉林省长春市中|考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题,每题3分,共24分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(3分)3的相反数是()A．﹣3 B．﹣ C．D．32．(3分)据统计,2021年长春市接待旅游人数约67000000人次,67000000这个数用科学记数法表示为()A．67×106×105×107×1083．(3分)以下图形中,可以是正方体外表展开图的是()A．B．C．D．4．(3分)不等式组的解集为()A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜35．(3分)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC．假设∠A =62° ,∠AED =54° ,那么∠B的大小为()A．54°B．62°C．64°D．74°6．(3分)如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．假设拿掉边长2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,那么这块矩形较长的边长为()A．3a +2b B．3a +4b C．6a +2b D．6a +4b7．(3分)如图,点A ,B ,C在⊙O上,∠ABC =29° ,过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D ,那么∠D的大小为()A．29°B．32°C．42°D．58°8．(3分)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A的坐标为(﹣4 ,0 ) ,顶点B在第二象限,∠BAO =60° ,BC交y轴于点D ,DB：DC =3：1．假设函数y =(k＞0 ,x＞0 )的图象经过点C ,那么k的值为()A．B．C．D．二、填空题(每题3分,总分值18分,将答案填在答题纸上)9．(3分)计算：×=．10．(3分)假设关于x的一元二次方程x2+4x+a =0有两个相等的实数根,那么a的值是．11．(3分)如图,直线a∥b∥c ,直线l1 ,l2与这三条平行线分别交于点A ,B ,C和点D ,E ,F．假设AB：BC =1：2 ,DE =3 ,那么EF的长为．12．(3分)如图,那么△ABC中,∠BAC =100° ,AB =AC =4 ,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D ,那么的长为．(结果保存π )13．(3分)如图1 ,这个图案是我国汉代的赵爽在注解<周髀算经>时给出的,人们称它为"赵爽弦图〞．此图案的示意图如图2 ,其中四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．假设EF =2 ,DE =8 ,那么AB的长为．14．(3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第|一象限,点B ,C 的坐标为(2 ,1 ) , (6 ,1 ) ,∠BAC =90° ,AB =AC ,直线AB交x轴于点P．假设△ABC 与△A'B'C'关于点P成中|心对称,那么点A'的坐标为．三、解答题(本大题共10小题,共78分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )15．(6分)先化简,再求值：3a (a2 +2a +1 )﹣2 (a +1 )2 ,其中a =2．16．(6分)一个不透明的口袋中有一个小球,上面分别标有字母a ,b ,c ,每个小球除字母不同外其余均相同,小园同学从口袋中随机摸出一个小球,记下字母后放回且搅匀,再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图(或列表)的方法,求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．17．(6分)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31° ,AB的长为12米,求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米) (参考数据：sin31°=0.515 ,cos31° =0.857 ,tan31° =0.60 )18．(7分)某校为了丰富学生的课外体育活动,购置了排球和跳绳．排球的单价是跳绳的单价的3倍,购置跳绳共花费750元,购置排球共花费900元,购置跳绳的数量比购置排球的数量多30个,求跳绳的单价．19．(7分)如图,在菱形ABCD中,∠A =110° ,点E是菱形ABCD内一点,连结CE 绕点C顺时针旋转110° ,得到线段CF ,连结BE ,DF ,假设∠E =86° ,求∠F的度数．20．(7分)某校八年级|学生会为了解本年级|600名学生的睡眠情况,将同学们某天的睡眠时长t (小时)分为A ,B ,C ,D ,E (A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t ＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6 )五个选项,进行了一次问卷调查,随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理,绘制成如下条形统计图,根据统计图提供的信息解答以下问题：(1 )求n的值；(2 )根据统计结果,估计该年级|600名学生中睡眠时长缺乏7小时的人数．21．(8分)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y (件)．甲车间加工的时间为x (时) ,y与x之间的函数图象如下图．(1 )甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．(2 )求乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．22．(9分)【再现】如图①,在△ABC中,点D ,E分别是AB ,AC的中点,可以得到：DE∥BC ,且DE =BC．(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明．【应用】在(1 )【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH 是菱形?你添加的条件是：．(只添加一个条件)(2 )如图③,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,对角线AC ,BD相交于点O．假设AO =OC ,四边形ABCD面积为5 ,那么阴影局部图形的面积和为．23．(10分)如图①,在Rt△ABC中,∠C =90° ,AB =10 ,BC =6 ,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,P ,Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止．设点P 运动的时间为t秒．(1 )求线段AQ的长；(用含t的代数式表示)(2 )连结PQ ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值；(3 )如图②,过点P作PE⊥AC于点E ,以PE ,EQ为邻边作矩形PEQF ,点D为AC 的中点,连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠局部图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2时t的值．24．(12分)定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x＜0时,它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x﹣1 ,它的相关函数为y =．(1 )点A (﹣5 ,8 )在一次函数y =ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值；(2 )二次函数y =﹣x2+4x﹣．①当点B (m ,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值；②当﹣3≤x≤3时,求函数y =﹣x2 +4x﹣的相关函数的最|大值和最|小值；(3 )在平面直角坐标系中,点M ,N的坐标分别为(﹣,1 ) , (,1 ) ,连结MN．直接写出线段MN与二次函数y =﹣x2 +4x +n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．2021年吉林省长春市中|考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题,每题3分,共24分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(3分) (2021•长春)3的相反数是()A．﹣3 B．﹣ C．D．3【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．【解答】解：3的相反数是﹣3应选A．【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同,我们称其中一个数为另一个数的相反数,特别地,0的相反数还是0．2．(3分) (2021•长春)据统计,2021年长春市接待旅游人数约67000000人次,67000000这个数用科学记数法表示为()A．67×106×105×107×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝|对值与小数点移动的位数相同．当原数绝|对值≥1时,n是非负数；当原数的绝|对值＜1时,n 是负数．【解答】×107．应选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(3分) (2021•长春)以下图形中,可以是正方体外表展开图的是()A．B．C．D．【分析】观察选项中的图形,确定出作为正方体外表展开图的即可．【解答】解：以下图形中,可以是正方体外表展开图的是,应选D【点评】此题考查了几何体的展开图,熟练掌握正方体的外表展开图是解题关键．4．(3分) (2021•长春)不等式组的解集为()A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜3【分析】先求出每个不等式的解集,再求出每个解集的公共局部即可．【解答】解：解不等式①得：x≤1 ,解不等式②得：x＜3 ,∴不等式组的解集为x≤1 ,应选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的应用,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．5．(3分) (2021•长春)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC．假设∠A =62° ,∠AED =54° ,那么∠B的大小为()A．54°B．62°C．64°D．74°【分析】根据平行线的性质得到∠C =∠AED =54° ,根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC ,∴∠C =∠AED =54° ,∵∠A =62° ,∴∠B =180°﹣∠A﹣∠C =64° ,应选C．【点评】此题考查了平行线的性质,三角形的内角和,熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．6．(3分) (2021•长春)如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．假设拿掉边长2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,那么这块矩形较长的边长为()A．3a +2b B．3a +4b C．6a +2b D．6a +4b【分析】观察图形可知,这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长 +边长2b的小正方形的边长的2倍,依此计算即可求解．【解答】解：依题意有3a﹣2b +2b×2=3a﹣2b +4b=3a +2b．故这块矩形较长的边长为3a +2b．应选：A．【点评】考查了列代数式,关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．7．(3分) (2021•长春)如图,点A ,B ,C在⊙O上,∠ABC =29° ,过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D ,那么∠D的大小为()A．29°B．32°C．42°D．58°【分析】作直径B′C ,交⊙O于B′ ,连接AB′ ,那么∠AB′C =∠ABC =29° ,由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC =54°,接下来,由切线的性质可证明∠OCD =90° ,最|后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数．【解答】解：作直径B′C ,交⊙O于B′ ,连接AB′ ,那么∠AB′C =∠ABC =29° ,∵OA =OB′ ,∴∠AB′C =∠OAB′ =29°．∴∠DOC =∠AB′C +∠OAB′ =58°．∵CD是⊙的切线,∴∠OCD =90°．∴∠D =90°﹣58° =32°．应选B．【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理,求得∠ABC =∠OAB′ =29°是解题的关键．8．(3分) (2021•长春)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A 的坐标为(﹣4 ,0 ) ,顶点B在第二象限,∠BAO =60° ,BC交y轴于点D ,DB：DC =3：1．假设函数y =(k＞0 ,x＞0 )的图象经过点C ,那么k的值为()A．B．C．D．【分析】根据平行四边形的性质得出点B的横坐标,再由DB：DC =3：1得出点C 的横坐标,由∠BAO =60° ,得∠COD ,即可得出点C坐标,即可得出k的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形,点A的坐标为(﹣4 ,0 ) ,∴BC =4 ,∵DB：DC =3：1 ,∴B (﹣3 ,OD ) ,C (1 ,OD ) ,∵∠BAO =60° ,∴∠COD =30° ,∴OD =,∴C (1 ,) ,∴k =,应选D．【点评】此题考查了平行四边形的性质,掌握平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二、填空题(每题3分,总分值18分,将答案填在答题纸上)9．(3分) (2021•长春)计算：×=．【分析】根据二次根式的乘法法那么进行计算即可．【解答】解：×=；故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的乘法,掌握二次根式的运算法那么：乘法法那么=是此题的关键,是一道根底题．10．(3分) (2021•长春)假设关于x的一元二次方程x2+4x+a =0有两个相等的实数根,那么a的值是4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=16﹣4a =0 ,解之即可得出a值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2 +4x +a =0有两个相等的实数根,∴△=42﹣4a =16﹣4a =0 ,解得：a =4．故答案为：4．【点评】此题考查了根的判别式,牢记"当△=0时,方程有两个相等的实数根〞是解题的关键．11．(3分) (2021•长春)如图,直线a∥b∥c ,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A ,B ,C和点D ,E ,F．假设AB：BC =1：2 ,DE =3 ,那么EF的长为6．【分析】由a∥b∥c ,可得=,由此即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c ,∴=,∴=,∴EF =6 ,故答案为6．【点评】此题考查平行线分线段成比例定理,解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理,属于中|考常考题型．12．(3分) (2021•长春)如图,那么△ABC中,∠BAC =100°,AB =AC =4 ,以点B 为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D ,那么的长为．(结果保存π )【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠B的度数,再代入弧长公式计算即可．【解答】解：∵△ABC中,∠BAC =100° ,AB =AC ,∴∠B =∠C =(180°﹣100° ) =40° ,∵AB =4 ,∴的长为=．故答案为．【点评】此题考查了弧长公式：l =(弧长为l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R ) ,也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．13．(3分) (2021•长春)如图1 ,这个图案是我国汉代的赵爽在注解<周髀算经>时给出的,人们称它为"赵爽弦图〞．此图案的示意图如图2 ,其中四边形ABCD 和四边形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．假设EF =2 ,DE =8 ,那么AB的长为10．【分析】在直角△ABF中,利用勾股定理进行解答即可．【解答】解：依题意知,BG =AF =DE =8 ,EF =FG =2∴BF =BG﹣BF =6 ,∴直角△ABF中,利用勾股定理得：AB ===10．故答案是：10．【点评】此题考查勾股定理的证明,解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．14．(3分) (2021•长春)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第|一象限,点B ,C的坐标为(2 ,1 ) , (6 ,1 ) ,∠BAC =90° ,AB =AC ,直线AB交x轴于点P．假设△ABC与△A'B'C'关于点P成中|心对称,那么点A'的坐标为(﹣2 ,﹣3 )．【分析】根据等腰直角三角形,可得AB的长,再根据锐角三角函数,可得AD ,BD 的长,再根据待定系数法,可得函数解析式,根据自变量与函数值得对应关系,可得P点坐标,根据中点坐标公式,可得答案．【解答】解：如图,点B ,C的坐标为(2 ,1 ) , (6 ,1 ) ,得BC =4．由∠BAC =90° ,AB =AC ,得AB =2,∠ABD =45° ,∴BD =AD =2 ,A (4 ,3 ) ,设AB的解析式为y =kx +b ,将A ,B点坐标代入,得,解得,AB的解析式为y =x﹣1 ,当y =1时,x =1 ,即P (1 ,0 ) ,由中点坐标公式,得x A′ =2x P﹣x A =2﹣4 =﹣2 ,y A′ =2y A′﹣y A =0﹣3 =﹣3 ,A′ (﹣2 ,﹣3 )．故答案为：(﹣2 ,﹣3 )．【点评】此题考查了等腰直角三角形,利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．三、解答题(本大题共10小题,共78分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )15．(6分) (2021•长春)先化简,再求值：3a (a2+2a+1 )﹣2 (a+1 )2 ,其中a =2．【分析】原式利用单项式乘以多项式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最|简结果,把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=3a3 +6a2 +3a﹣2a2﹣4a﹣2 =3a3 +4a2﹣a﹣2 ,当a =2时,原式=24 +16﹣2﹣2═36．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法那么是解此题的关键．16．(6分) (2021•长春)一个不透明的口袋中有一个小球,上面分别标有字母a ,b ,c ,每个小球除字母不同外其余均相同,小园同学从口袋中随机摸出一个小球,记下字母后放回且搅匀,再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图(或列表)的方法,求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸出的小球的标号相同的情况数,即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：a b ca(a ,a )(b ,a )(c ,a )b(a ,b )(b ,b )(c ,b )c(a ,c )(b ,c )(c ,c )所有等可能的情况有9种,其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种,那么P ==．【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．(6分) (2021•长春)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31° ,AB 的长为12米,求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米) (参考数据：sin31° =0.515 ,cos31° =0.857 ,tan31° =0.60 )【分析】过B作地平面的垂线段BC ,垂足为C ,构造直角三角形,利用正弦函数的定义,即可求出BC的长．【解答】解：过B作地平面的垂线段BC ,垂足为C．在Rt△ABC中,∵∠ACB =90° ,∴BC =AB•sin∠BAC =12×≈6.2 (米)．即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题．18．(7分) (2021•长春)某校为了丰富学生的课外体育活动,购置了排球和跳绳．排球的单价是跳绳的单价的3倍,购置跳绳共花费750元,购置排球共花费900元,购置跳绳的数量比购置排球的数量多30个,求跳绳的单价．【分析】首|先设跳绳的单价为x元,那么排球的单价为3x元,根据题意可得等量关系：750元购进的跳绳个数﹣900元购进的排球个数=30 ,依此列出方程,再解方程可得答案．【解答】解：设跳绳的单价为x元,那么排球的单价为3x元,依题意得：﹣=30 ,解方程,得x =15．经检验：x =15是原方程的根,且符合题意．答：跳绳的单价是15元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程．19．(7分) (2021•长春)如图,在菱形ABCD中,∠A =110° ,点E是菱形ABCD内一点,连结CE绕点C顺时针旋转110° ,得到线段CF ,连结BE ,DF ,假设∠E =86° ,求∠F的度数．【分析】由菱形的性质有BC =CD ,∠BCD =∠A =110° ,根据旋转的性质知CE =CF ,∠ECF =∠BCD =110° ,于是得到∠BCE =∠DCF =110°﹣∠DCE ,根据全等三角形的判定证得△BCE≌△DCF ,根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵菱形ABCD ,∴BC =CD ,∠BCD =∠A =110° ,由旋转的性质知,CE =CF ,∠ECF =∠BCD =110° ,∴∠BCE =∠DCF =110°﹣∠DCE ,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF ,∴∠F =∠E =86°．【点评】此题主要考查了菱形的性质,旋转的性质,全等三角形的性质和判定,由旋转的性质得到CE =CF ,∠ECF =∠BCD是解题的关键．20．(7分) (2021•长春)某校八年级|学生会为了解本年级|600名学生的睡眠情况,将同学们某天的睡眠时长t (小时)分为A ,B ,C ,D ,E (A：9≤t≤24；B：8≤t ＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6 )五个选项,进行了一次问卷调查,随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理,绘制成如下条形统计图,根据统计图提供的信息解答以下问题：(1 )求n的值；(2 )根据统计结果,估计该年级|600名学生中睡眠时长缺乏7小时的人数．【分析】(1 )将各频数相加即可；(2 )先计算缺乏7小时(即最|后两组：D和E组) ,两组的百分比,与总人数600的积就是结果．【解答】解：(1 )n =12 +24 +15 +6 +3 =60；(2 ) (6 +3 )÷60×600 =90 ,答：估计该年级|600名学生中睡眠时长缺乏7小时的人数为90人．【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据．21．(8分) (2021•长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y (件)．甲车间加工的时间为x (时) ,y与x之间的函数图象如下图．(1 )甲车间每小时加工服装件数为80件；这批服装的总件数为1140件．(2 )求乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．【分析】(1 )根据工作效率=工作总量÷工作时间,即可求出甲车间每小时加工服装件数,再根据这批服装的总件数=甲车间加工的件数 +乙车间加工的件数,即可求出这批服装的总件数；(2 )根据工作效率=工作总量÷工作时间,即可求出乙车间每小时加工服装件数,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合工作结束时间,即可求出乙车间修好设备时间,再根据加工的服装总件数=120 +工作效率×工作时间,即可求出乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )根据加工的服装总件数=工作效率×工作时间,求出甲车间加工服装数量y 与x之间的函数关系式,将甲、乙两关系式相加令其等于1000 ,求出x值,此题得解．【解答】解：(1 )甲车间每小时加工服装件数为720÷9 =80 (件) ,这批服装的总件数为720 +420 =1140 (件)．故答案为：80；1140．(2 )乙车间每小时加工服装件数为120÷2 =60 (件) ,乙车间修好设备的时间为9﹣(420﹣120 )÷60 =4 (时)．∴乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y =120 +60 (x﹣4 ) =60x﹣120 (4≤x≤9 )．(3 )甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y =80x ,当80x +60x﹣120 =1000时,x =8．答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．【点评】此题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程,解题的关键是：(1 )根据数量关系,列式计算；(2 )根据数量关系,找出乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )根据数量关系,找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式．22．(9分) (2021•长春)【再现】如图①,在△ABC中,点D ,E分别是AB ,AC的中点,可以得到：DE∥BC ,且DE =BC．(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明．【应用】在(1 )【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?你添加的条件是：AC =BD．(只添加一个条件)(2 )如图③,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,对角线AC ,BD相交于点O．假设AO =OC ,四边形ABCD面积为5 ,那么阴影局部图形的面积和为．【分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG =EF、EF∥GH ,继而可判断出四边形EFGH的形状；【应用】(1 )同【探究】的方法判断出EF =AC ,即可判断出EF =FG ,即可得出结论；(2 )先判断出S△BCD =4S△CFG ,同理：S△ABD =4S△AEH ,进而得出S四边形EFGH =,再判断出OM =ON ,进而得出S阴影=S四边形EFGH即可．【解答】解：【探究】平行四边形．理由：如图1 ,连接AC ,∵E是AB的中点,F是BC的中点,∴EF∥AC ,EF =AC ,同理HG∥AC ,HG =AC ,综上可得：EF∥HG ,EF =HG ,故四边形EFGH是平行四边形．【应用】(1 )添加AC =BD ,理由：连接AC ,BD ,同(1 )知,EF =AC ,同【探究】的方法得,FG =BD ,∵AC =BD ,∴EF =FG ,∵四边形EFGH 是平行四边形 ,∴▱EFGH 是菱形；故答案为AC =BD ；(2 )如图2 ,由【探究】得 ,四边形EFGH 是平行四边形 ,∵F ,G 是BC ,CD 的中点 ,∴FG ∥BD ,FG =BD ,∴△CFG ∽△CBD , ∴ ,∴S △BCD =4S △CFG ,同理：S △ABD =4S △AEH ,∵四边形ABCD 面积为5 ,∴S △BCD +S △ABD =5 ,∴S △CFG +S △AEH = ,同理：S △DHG +S △BEF = ,∴S 四边形EFGH =S 四边形ABCD ﹣ (S △CFG +S △AEH +S △DHG +S △BEF ) =5﹣ = ,设AC 与FG ,EH 相交于M ,N ,EF 与BD 相交于P ,∵FG ∥BD ,FG =BD ,∴CM =OM =OC ,同理：AN =ON =OA ,∵OA =OC ,∴OM =ON ,易知 ,四边形ENOP ,FMOP 是平行四边形 ,∴S 阴影 =S 四边形EFGH = , 故答案为．【点评】此题是四边形综合题,主要考查了三角形的中位线定理,平行四边形的判定,菱形的判定,相似三角形的判定和性质,解【探究】的关键是判断出HG∥AC ,HG =AC ,解【应用】的关键是判断出S四边形EFGH =,是一道根底题目．23．(10分) (2021•长春)如图①,在Rt△ABC中,∠C =90° ,AB =10 ,BC =6 ,点P 从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,P ,Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．(1 )求线段AQ的长；(用含t的代数式表示)(2 )连结PQ ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值；(3 )如图②,过点P作PE⊥AC于点E ,以PE ,EQ为邻边作矩形PEQF ,点D为AC 的中点,连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠局部图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2时t的值．【分析】(1 )利用勾股定理先求出AC ,根据AQ =AC﹣CQ即可解决问题；(2 )分两种情形列出方程求解即可；(3 )①分三种情形a、如图1中,当0≤t≤时,重叠局部是四边形PEQF．b、如图2中,当＜t≤2时,重叠局部是四边形PNQE．C、如图3中,当2＜t≤3时,重叠局部是五边形MNPBQ．分别求解即可；②分两种情形a、如图4中,当DE：DQ =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．b、如图5中,当NE：PN =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；【解答】解：(1 )在Rt△ABC中,∵∠C =90° ,AB =10 ,BC =6 ,∴AC ===8 ,∵CQ =t ,∴AQ =8﹣t (0≤t≤4 )．(2 )①当PQ∥BC时,=,∴=,∴t =s．②当PQ∥AB时,=,∴=,∴t =3 ,综上所述,t =s或3s时,当PQ与△ABC的一边平行．(3 )①如图1中,a、当0≤t≤时,重叠局部是四边形PEQF．S =PE•EQ =3t• (8﹣4t﹣t ) =﹣16t2 +24t．b、如图2中,当＜t≤2时,重叠局部是四边形PNQE．S =S四边形PEQF﹣S△PFN = (16t2﹣24t )﹣•[5t﹣(8﹣t )]•[5t﹣(8﹣t0] =﹣．C、如图3中,当2＜t≤3时,重叠局部是五边形MNPBQ．S =S四边形PBQF﹣S△FNM =t•[6﹣3 (t﹣2 )]﹣•[t﹣4 (t﹣2 )]•[t﹣4 (t﹣2 )] =﹣t2 +30t﹣24．②a、如图4中,当DE：DQ =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．那么有(4﹣4t )：(4﹣t ) =1：2 ,解得t =s ,b、如图5中,当NE：PN =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．∴DE：DQ =NE：FQ =1：3 ,∴(4t﹣4 )：(4﹣t ) =1：3 ,解得t =s ,综上所述,当t =s或s时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．【点评】此题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会构建方程解决问题,属于中|考压轴题．24．(12分) (2021•长春)定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x＜0时,它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x﹣1 ,它的相关函数为y =．(1 )点A (﹣5 ,8 )在一次函数y =ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值；(2 )二次函数y =﹣x2+4x﹣．①当点B (m ,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值；②当﹣3≤x≤3时,求函数y =﹣x2 +4x﹣的相关函数的最|大值和最|小值；(3 )在平面直角坐标系中,点M ,N的坐标分别为(﹣,1 ) , (,1 ) ,连结MN．直接写出线段MN与二次函数y =﹣x2 +4x +n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】(1 )函数y =ax﹣3的相关函数为y =,将然后将点A (﹣5 ,8 )代入y =﹣ax +3求解即可；(2 )二次函数y =﹣x2+4x﹣的相关函数为y =,①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时,y =x2﹣4x +,然后可此时的最|大值和最|小值,当0≤x≤3时,函数y =﹣x2 +4x﹣,求得此时的最|大值和最|小值,从而可得到当﹣3≤x≤3时的最|大值和最|小值；(3 )首|先确定出二次函数y =﹣x2 +4x +n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值,然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：(1 )函数y =ax﹣3的相关函数为y =,将点A (﹣5 ,8 )代入y =﹣ax +3得：5a +3 =8 ,解得：a =1．。
【中考真题】2021年吉林省中考数学试卷(附答案)
2021年吉林省中考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．化简()1--的结果为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．22．据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（ ） A ．37.00610⨯B ．47.00610⨯C ．370.0610⨯D ．40.700610⨯3．不等式213x ->的解集是（ ） A ．1x >B ．2x >C ．1x <D ．2x <4．如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（ ）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．65︒6．古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x ，则所列方程为（ ）A ．213337x x x ++= B ．21133327x x x ++= C ．21133327x x x x +++= D ．21133372x x x x ++-=二、填空题7＝_____．8．因式分解：22m m -=__________． 9．计算：211x xx x -=--__________． 10．若关于x 的一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．11．如图，已知线段2cm AB =，其垂直平分线CD 的作法如下：①分别以点A 和点B 为圆心，cm b 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；②作直线CD ．上述作法中b 满足的条作为b ___1.（填“>”，“<”或“=”）12．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，点B 的坐标为()4,0，连接AB ，若将ABO 绕点B 顺时针旋转90︒，得到''A BO △，则点'A 的坐标为__________．13．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．14．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =． 16．第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .求证：AD ＝AE18．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km ．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．19．图①、图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A ，点B 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A ，B ，C 为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A ，B ，D ，E 为顶点画一个面积为3的平行四边形． 20．2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%． 根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件． （2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________． （3）下列推断合理的是__________（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数423y x =-的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象相交于点(),2B m ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．（1）求反比例函数的解析式； （2）求ABC 的面积．22．数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44︒，求北纬44︒纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，O 是经过南、北极的圆，地球半径OA 约为6400km ．弦//BC OA ，过点O 作OK BC ⊥于点K ，连接OB ．若44AOB ∠=︒，则以BK 为半径的圆的周长是北纬44︒纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin440.69︒=，cos440.72︒=． 小组成员给出了如下解答，请你补充完整： 解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（ ）（填推理依据）， 因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒， 在Rt BOK 中，6400OB OA ==．BK OB =⨯_______（填“sin B ”或“cos B ”）． 所以北纬44︒的纬线长2C BK π=⋅236400=⨯⨯⨯ （填相应的三角形函数值）≈ （km ）（结果取整数）．23．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y （万人）与各自接种时间x （天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a 的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24．如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线BC 上一点，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点F ．（1）若AB a ．直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；（2）若DF BC ⊥，垂足为G ，点F 与点D 在直线CE 的异侧，连接CF ，如图②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF AB ⊥，直接写出BDE ∠的度数．25．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求此二次函数的解析式；（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． ①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎪⎝⎭的图象交点个数及对应的m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【详解】 解：()11--=， 故选：C ． 【点睛】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则． 2．B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数． 【详解】解：4700607.006010=⨯， 故选：B ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a 的值以及n 的值． 3．B 【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解． 【详解】 解：213x ->，231x >+， 24x >， 2x >．故选：B ． 【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 4．A 【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 故选：A ． 【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 5．D 【分析】由圆内接四边形的性质得D ∠度数为60︒，再由APC ∠为PCD 的外角求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒， ∵120B ∠=︒，∴18060D B ∠=︒-∠=︒， ∵APC ∠为PCD 的外角， ∴APC D ∠>∠，只有D 满足题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 6．C 【分析】 根据题意列方程21133327x x x x +++=． 【详解】 解：由题意可得21133327x x x x +++=． 故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．7．2【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．【详解】＝3-1＝2故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式、实数的运算；正确化简二次根式是解题的关键．8．()2m m -【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m 即可．【详解】22m m -=()2m m -故答案为：()2m m -【点睛】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．9．1x x - 【分析】根据同分母分式的加减法则运算．【详解】 解：221111x x x x x x x x x --==----． 故答案为：1x x -． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键10．94【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=-=， 解得94c =． 故答案为：94． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11．＞【分析】作图方法为：以A ，B 为圆心，大于12AB 长度画弧交于C ，D 两点，由此得出答案． 【详解】解：∵2cm AB =，∴半径b 长度12AB >， 即1cm b >．故答案为：>．【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法． 12．()7,4【分析】根据旋转的性质可求得O A ''和O B '的长度，进而可求得点'A 的坐标．【详解】解：作A C x '⊥轴于点C ，由旋转可得'90O ∠=︒，'O B x ⊥轴，∴四边形''O BCA 为矩形，∴''3BC A O OA ===，''4A C O B OB ===，∴点'A 坐标为()7,4． 故答案为：()7,4．【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．13．2.7【分析】根据//DE CF ，可得AD DE AC CF =，进而得出CF 即可． 【详解】解：如图，过C 作CF AB ⊥于F ，则//DE CF ， ∴AD DE AC CF =，即10.64.5CF=， 解得 2.7CF =，故答案为：2.7【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14．23π【分析】连接CE ，由扇形CBE 面积﹣三角形CBE 面积求解．【详解】解：连接CE ，∵30A ∠=︒，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，∵CE CB =，∴CBE △为等边三角形，∴60ECB ∠=︒，2BE BC ==， ∴226023603CBE S ππ⨯==扇形，∵2BCE S BC ==△∴阴影部分的面积为23π-故答案为：23π-【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE 为等边三角形与扇形面积的计算．15．4x -，132-【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +---224x x x =--+4x =-， 当12x =时，原式114322=-=-． 【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．16．16【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16． 答：取出的2个球都是白球的概率为16． 【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．17．见解析.【分析】根据ASA △ADC ≌△AEB ，即可得出结论．【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝∴△ABE ≌△ACD （ASA ）∴AE=AD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．18．港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km【分析】设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由桥梁和隧道全长共55km ，得55x y +=．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ，得94y x =-，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由题意列方程组得：5594x y y x +=⎧⎨=-⎩． 解得： 5.949.1x y =⎧⎨=⎩． 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．19．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B 为顶点，AC 为 底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B 为顶点，AC 为底边，该ABC 即为所求（答案不唯一）． （2）如图②中，此时底1AE =，高3h =，因此四边形ABDE 即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．20．（1）833.6；（2）28.0%；（3）②【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件， 故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上，因此②正确；故答案为：②．【点睛】本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21．（1）6y x =；（2）6 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B 点，将B 代入到一次函数解析式中，可以求得B 点坐标，从而求得k ，得到反比例函数解析式；（2）因为BC y ⊥轴，所以()0,2C ，利用一次函数解析式可以求得它与y 轴交点A 的坐标()0,2-，由A ，B ，C 三点坐标，可以求得AC 和BC 的长度，并且//BC x 轴，所以12ABC S AC BC =⋅，即可求解． 【详解】解：（1）∵B 点是直线与反比例函数交点，∴B 点坐标满足一次函数解析式， ∴4223m -=， ∴3m =，∴()3,2B ，∴6k =， ∴反比例函数的解析式为6y x =； （2）∵BC y ⊥轴，∴()0,2C ，//BC x 轴，∴3BC =，令0x =，则4223y x =-=-， ∴()0,2A -，∴4AC =， ∴162ABC S AC BC =⋅=△， ∴ABC 的面积为6【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22．两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．【详解】解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．cos BK OB B =⨯（填“sin B ”或“cos B ”）． 所以北纬44︒的纬线长2C BK π=⋅．2364000.72=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）()27648km ≈（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648.【点睛】本题考查了解直角三角形和平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．23．（1）40a =；（2）()115401004y x x =+≤≤；（3）5万人 【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．（2）利用待定系数法求解．（3）将80x =代入（2）问中解析式得出34y =，然后由40346-=．【详解】解：（1）乙地接种速度为40800.5÷=（万人/天）， 0.5255a =-，解得40a =．（2）设y kx b =+，将()40,25，()100,40代入解析式得：2540k b 40100k b =+⎧⎨=+⎩， 解得1k 4b 15⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()115401004y x x =+≤≤． （3）把80x =代入1154y x =+得18015354y =⨯+=， 40355-=（万人）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）12a ；（2）菱形，见解析；（3）45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒ 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得1122CD AB a ==； （2）由题意可得//DF AC ，12DF AB =，由“直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半”，得12AC AB =，得DF AC =，则四边形ADFC 是平行四边形，再由折叠得DF BD AD ==，于是判断四边形ADFC 是菱形；（3）题中条件是“点E 是射线BC 上一点”，因此DF AB ⊥又分两种情况，即点F 与点D 在直线CE 的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∵CD 是斜边AB 上的中线，AB a ， ∴1122CD AB a ==．（2）四边形ADFC 是菱形．理由如下：如图②∵DF BC ⊥于点G ，∴90DGB ACB ∠=∠=︒，∴//DF AC ；由折叠得，DF DB =， ∵12DB AB =， ∴12DF AB =；∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒， ∴12AC AB =，∴DF AC =，∴四边形ADFC 是平行四边形；∵12AD AB =，∴AD DF =，∴四边形ADFC 是菱形．（3）如图③，点F 与点D 在直线CE 异侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒；由折叠得，BDE FDE ∠=∠， ∴11904522BDE FDE BDF ∠=∠=∠=⨯︒=︒；如图④，点F 与点D 在直线CE 同侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒，∴36090270BDE FDE ∠+∠=︒-︒=︒，由折叠得，BDE FDE ∠=∠，∴270BDE BDE ∠+∠=︒，∴135BDE ∠=︒．综上所述，45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．25．（1）1；（2）)3PB x =-；（3）22(02)8483)(34)2x x x y x x x x x ++≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60AD DQ︒== （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x =-． （3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上．【详解】解：（1）如图，在Rt PDQ中，AD =，60PQD ∠=︒，∴tan 60AD DQ︒==∴13DQ AD ==．（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，∴点P 在BC 上时：)3PB x =-．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得1MQ AD ==． ∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+，当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan 3BC BDC CD ∠==， ∴30DBC ∠=︒，∵60PQD ∠=︒，∴90DEQ ∠=°． ∵1sin 302EQ DQ ︒==， ∴1122x EQ DQ +==，∵sin 60EN EQ ︒==，∴)1EN EQ x ==+，∴()))21111122y DQ EN x x x =⋅=++=+)202x x x =++≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图，∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CF CQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒=-，∴211(2)2)22CQF S CQ CF x x x =⋅=--=-+△，∴228482DEQ CQF y S S x x x ⎛=-=++--+ ⎝△△2(23)848x x x =-+-<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =-=-=，∴11(34)222y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：222)3)848(34)x xy x x xx x++≤≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩．【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．26．（1）274y x x=+-；（2）最大值为174；最小值为－2；（3）①13m<；②423m-≤≤-或123m-≤<时，PQ与图象交点个数为1，4132m-<<-时，PQ与图象有2个交点．【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由07PQ<≤求出m取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将70,4A⎛⎫-⎪⎝⎭，点11,4B⎛⎫⎪⎝⎭代入2y x bx c=++得：74114c b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩， 解得174b c =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴274y x x =+-． （2）∵2271242y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线12x =-． ∴当12x =-时，y 取最小值为－2， ∵112(2)22⎛⎫-->--- ⎪⎝⎭， ∴当2x =时，y 取最大值27172244+-=． （3）①2131PQ m m m =-+-=-+，当310m -+>时，31PQ m =-+，PQ 的长度随m 的增大而减小，当310m -+<时，31PQ m =-，PQ 的长度随m 增大而增大，∴310m -+>满足题意， 解得13m <． ②∵07PQ <≤，∴0317m <-+≤， 解得123m -≤<， 如图，当12x =-时，点P 在最低点，PQ 与图象有1交点，m 增大过程中，1123m -<<，点P 与点Q 在对称轴右侧，PQ 与图象只有1个交点，直线13x =关于抛物线对称轴直线12x =-对称后直线为43x =-， ∴4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点，当423m -≤≤-时，PQ 与图象有1个交点，综上所述，423m-≤≤-或123m-≤<时，PQ与图象交点个数为1，4132m-<<-时，PQ与图象有2个交点．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。
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2021年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.(2021·吉林省长春市·历年真题)−(−2)的值为()A. 12B. −12C. 2D. −22.(2021·吉林省长春市·历年真题)据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%.其中52860000000这个数用科学记数法表示为()A. 0.5286×1011B. 5.286×1010C. 52.86×109D. 5286×1073.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图是一个几何体的三视图，这个几何体是()A. 圆锥B. 长方体C. 球D. 圆柱4.(2021·吉林省长春市·历年真题)关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是()A. 8B. 9C. 10D. 115.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为30米，∠A=α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为()A. 30sinα米B. 30sinα米 C. 30cosα米 D. 30cosα米6.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=35°，则∠ACB的大小为()A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°7.(2021·吉林省长春市·历年真题)在△ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是()A. B.C. D.8.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图，在平面直角坐标(k>0,x>0)的图象上，系中，点A、B在函数y=kx(x>0)的图象过点A作x轴的垂线，与函数y=−kx交于点C，连结BC交x轴于点D.若点A的横坐标为1，BC=3BD，则点B的横坐标为()A. 32B. 2C. 52D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.(2021·山东省·其他类型)分解因式：a2+2a=______．10.(2021·吉林省长春市·历年真题)不等式组{2x>−1x≤1的所有整数解为______ ．11.(2021·吉林省长春市·历年真题)将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC//EF，则∠ADE的大小为______ 度.12.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB=90°，则这段铁轨的长度为______ 米.(铁轨的宽度忽略不计，结果保留π)13.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA=2，点B在第一象限.标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为______ ．14.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.(2021·吉林省长春市·历年真题)先化简，再求值：(a+2)(a−2)+a(1−a)，其中a=√5+4．16.(2021·吉林省长春市·历年真题)在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同.小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局.小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球.用画树状图(或列表)的方法，求小明获胜的概率．17.(2021·吉林省长春市·历年真题)为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同.求每千克有机大米的售价为多少元？18.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点AD，连结BE交AC于点M．O，AC=4，BD=8，点E在边AD上，AE=13(1)求AM的长．(2)tan∠MBO的值为______ ．19.(2021·吉林省长春市·历年真题)稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%.其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．根据以上信息回答下列问题：(1)2020年玉米产量比2019年玉米产量多______ 万吨．(2)扇形统计图中n的值为______ ．(3)计算2020年水稻的产量．=0，(4)小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：12%+(−2%)+(−10%)3就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．20.(2021·吉林省长春市·历年真题)图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：(1)在图①中，连结MA、MB，使MA=MB；(2)在图②中，连结MA、MB、MC，使MA=MB=MC；(3)在图③中，连结MA、MC，使∠AMC=2∠ABC．21.(2021·吉林省长春市·历年真题)《九章算术》中记载，浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x(小时)02468箭尺读数y(厘米)618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x.纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？(箭尺最大读数为100厘米)22.(2021·吉林省长春市·历年真题)实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF=______ 度.操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF=______ 度.在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：(1)设AM与NF的交点为点P.求证：△ANP≌△FNE；(2)若AB=√3，则线段AP的长为______ ．23.(2021·吉林省长春市·历年真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D为边AC的中点.动点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD.作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A.设点P的运动时间为t秒．(1)线段AD的长为______ ；(2)用含t的代数式表示线段BP的长；(3)当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；(4)当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．24.(2021·吉林省长春市·历年真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x−m)2+2m(m为常数)的顶点为A．(1)当m=1时，点A的坐标是______ ，抛物线与y轴交点的坐标是______ ；2(2)若点A在第一象限，且OA=√5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；(3)当x≤2m时，若函数y=2(x−m)2+m的最小值为3，求m的值；(4)分别过点P(4,2)、Q(4,2−2m)作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N.当抛物线y=2(x−m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标.若点B到y轴的距离与点C 到x轴的距离相等，直接写出m的值．答案和解析1.【答案】C【知识点】相反数【解析】解：−(−2)的值为2．故选：C．直接根据相反数的定义可得答案．此题考查的是相反数的概念，掌握其概念是解决此题关键．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：52860000000=5.286×1010．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．3.【答案】D【知识点】由三视图判断几何体【解析】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得为圆柱．故选：D．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4.【答案】A【知识点】根的判别式【解析】解：根据题意得△=(−6)2−4m>0，解得m<9．故选：A．根据判别式的意义得到△=(−6)2−4m>0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．5.【答案】A【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：∵sinα=BCAB =BC30，∴BC=30sinα米．故选：A．根据sinα=BCAB求解．本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6.【答案】C【知识点】圆周角定理、切线的性质【解析】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ACB=90°−∠BAC=90°−35°=55°．故选：C．先根据切线的性质得到∠ABC=90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．7.【答案】A【知识点】尺规作图与一般作图、等腰三角形的性质【解析】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD=CD，推出AD=DC=BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．根据等腰三角形的定义一一判断即可．本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．8.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：作BE⊥x轴于E，∴AC//BE，∴△CDF∽△BDE，∴CFBE =DFDE=CDBD，∵BC=3BD，∴CFBE =DFDE=21，∴CF=2BE，DF=2DE，设B(kb,b)，∴C(1,−2b)，∵函数y=−kx(x>0)的图象交于点C，∴−k=1×(−2b)=−2b，∴k=2b，∴B的横坐标为kb =2bb=2，故选：B．作BE⊥x轴于E，则AC//BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出CFBE =DFDE=21，即可CF=2BE，DF=2DE，设B(kb ,b)，则C(1,−2b)，代入y=−kx(x>0)即可求得k=2b，从而求得B的坐标为2．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．9.【答案】a(a+2)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：a2+2a=a(a+2)．直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．本题考查了提公因式法因式分解的运用．10.【答案】0、1【知识点】一元一次不等式组的整数解【解析】解：解不等式2x>−1，得：x>−0.5，则不等式组的解集为−0.5<x≤1，∴不等式组的整数解为0、1，故答案为：0、1．求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11.【答案】75【知识点】平行线的性质【解析】解：如图，∠C=30°，∠E=45°，∵BC//EF，∴∠1=∠E=45°，∴∠ADE=∠1+∠C=45°+30°=75°，故答案为：75．由“两直线平行，同位角性质”得到∠1=∠E=45°，再根据三角形的外角定理求解即可．此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．12.【答案】100π【知识点】弧长的计算=100π(米)．【解析】解：圆弧长是：90π×200180故答案是：100π．，代入计算即可．根据圆的弧长计算公式l=nπr180本题主要考查了弧长的计算公式，正确理解公式是解题的关键．13.【答案】(3,1)【知识点】等腰直角三角形、平移中的坐标变化【解析】解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，∵△ABO是等腰直角三角形，OA=2，∴AP=OP=1，∠AOB=45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP=PO=1，由题意知点B2的坐标为(3,1)，故答案为：(3,1)．过点B作BP⊥y轴于点P，由△ABO是等腰直角三角形，OA=2知AP=OP=1，∠AOB=45°，继而得△BPO是等腰直角三角形，据此可知BP=PO=1，再根据题意可得答案．本题主要考查坐标与图形的变化—平移及等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质及平移的性质．14.【答案】−2+2√5【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、正方形的性质【解析】解：把A(2,4)代入y=ax2中得4=4a，解得a=1，∴y=x2，设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，∴点E坐标为(m,4−2m)，∴m2=4−2m，解得m=−1−√5(舍)或m=−1+√5．∴CD=2m=−2+2√5．故答案为：−2+2√5．通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为(m,4−2m)，将点坐标代入解析式求解．本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．15.【答案】解：原式=a2−4+a−a2=a−4，当a=√5+4时，原式=√5+4−4=√5．【知识点】整式的混合运算【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．本题考查的是整式的混合运算，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．16.【答案】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，∴小明获胜的概率为39=13．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为(x−2)元，依题意得：420x =300x−2，解得：x=7，经检验，x=7是原方程的解，且符合题意．答：每千克有机大米的售价为7元．【知识点】分式方程的应用【解析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为(x−2)元，根据数量=总价÷单价，结合用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.【答案】14【知识点】菱形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质【解析】解：(1)在菱形ABCD中，AD//BC，AD=BC，∴△AEM∽△CBM，∴AMCM =AEBC，∵AE=13AD，∴AE=13BC，∴AMCM =AEBC=13，∴AM=13CM=14AC=1．(2)∵AO=12AC=2，BO=12BD=4，AC⊥BD，∴∠BOM=90°，AM=OM=12AO=1，∴tan∠MBO=OMBO =14．故答案为：14．(1)由菱形的性质可得△AEM∽△CBM，再由AMCM =AEBC求解．(2)由tan∠MBO=MOBO求解．本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法．19.【答案】85 15【知识点】扇形统计图、条形统计图【解析】解：(1)792−707=85(万吨)，故答案为：85；(2)1−82.5%−2.5%=15%，∴n=15，故答案为：15；(3)147×(1−2%)=144.06(万吨)，答：2020年水稻的产量为144.06万吨；(4)正确的计算方法为：(792+144.06+24−707−147−27)÷(707+147+27)×100%≈9%，因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．(1)2020年玉米产量减去2019年玉米产量即可；(2)1减去另外两个百分数即可求解；(3)根据水稻产量下降约2%求解即可；(4)因为式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．20.【答案】解：如图，【知识点】尺规作图与一般作图【解析】(1)根据勾股定理得MA=MB=√10．(2)连接AC，取AC中点M，MA=MB=MC=√10．(3)取△ABC内心M，由圆周角定理得∠AMC=2∠ABC．本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．21.【答案】解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y =kx +b ，则{b =62k +b =18， 解得：{k =6b =6， ∴y =6x +6；结论应用】应用上述发现的规律估算：①x =12时，y =6×12+6=78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y =90时，6x +6=90，解得：x =14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14=22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．【知识点】一次函数的应用【解析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y =kx +b ，利用待定系数法即可求解；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①利用前面求得的函数表达式求出x =12时，y 的值即可得出箭尺的读数；②利用前面求得的函数表达式求出y =90时，x 的值，由本次实验记录的开始时间是上午8：00，即可求解．本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．22.【答案】45 60 2√3−2【知识点】四边形综合【解析】操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠BAD=90°，由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，即∠EAF=45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，由折叠的性质得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，∴∠ANF=180°−90°=90°，由操作一得：∠EAF=45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN=45°，∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，∴2(45°+∠NFE)+∠CFE=180°，∴∠NFE=∠CFE=30°，∴∠AEF=90°−30°=60°，故答案为：60；(1)证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN=FN，∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，∴∠NAP=∠NFE=30°，在△ANP和△FNE中，{∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，∴△ANP≌△FNE(ASA)；(2)由(1)得：△ANP≌△FNE，∴AP=FE，PN=EN，∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，∴∠NEF=∠CEF=60°，∴∠AEB=60°，∵∠B=90°，∴∠BAE=30°，AB=1，∴BE=√33∴AE=2BE=2，设PN=EN=a，∵∠ANP=90°，∠NAP=30°，∴AN=√3PN=√3a，AP=2PN=2a，∵AN+EN=AE，∴√3a+a=2，解得：a=√3−1，∴AP=2a=2√3−2，故答案为：2√3−2．操作一：由正方形的性质得∠BAD=90°，再由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，即可求解；操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN=45°，则∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，求出∠NFE=∠CFE=30°，即可求解；(1)由等腰直角三角形的性质得AN=FN，再证∠NAP=∠NFE=30°，由ASA即可得出结论；(2)由全等三角形的性质得AP=FE，PN=EN，再证∠AEB=60°，然后由含30°角的直AB=1，AE=2BE=2，AN=√3PN=√3a，AP=2PN=角三角形的性质得BE=√332a，由AN+EN=AE得出方程，求解即可．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF=45°是解题的关键，属于中考常考题型．23.【答案】2【知识点】几何变换综合【解析】解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =√AB 2−BC 2=4，∴AD =12AC =2． 故答案为：2．(2)当0<t ≤5时，点P 在线段AB 上运动，PB =AB −AP =5−t ，当5<t <8时，点P 在BC 上运动，PB =t −5．综上所述，PB ={5−t(0<t ≤5)t −5(5<t <8)． (3)如图，当点A′落在AB 上时，DP ⊥AB ，∵AP =t ，AD =2，cosA =45，∴在Rt △APD 中，cosA =AP AD =t 2=45，∴t =85．如图，当点A′落在BC 边上时，DP ⊥AC ，∵AP =t ，AD =2，cosA =45，∴在Rt △APD 中，cosA =AD AP =2t =45，∴t =52．如图，点A′运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴85<t<52时，点A′在△ABC内部．(4)如图，0<t<5时，∵∠AA′D=∠B=∠A′AD，∠ADP+∠A′AD=∠BAC+∠B=90°，∴∠ADP=∠BAC，∴AE=12AD=1，∵cosA=AEAP =1t=45，∴t=54．如图，当5<t<8时，∵∠AA′B=∠B=∠A′AD，∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠A′AD=90°，∴PE//BA，∴∠DPC=∠B，∵在Rt△PCD中，CD=12AC=2，CP=8−t，tan∠DPC=43，∴tan∠DPC=DCPC =28−t=43，∴t=132．综上所述，t=54或132．(1)由勾股定理求解．(2)分类讨论点P在AB及BC上运动两种情况．(3)分别求出点A′落在AB与BC上两个临界值求解．(4)分类讨论点P在AB及BC上两种情况，通过添加辅助线求解．本题考查三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握特殊三角形的性质及解直角三角形的方法，通过分类讨论求解．24.【答案】(12,1)(0,32)【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)当m=12时，y=2(x−12)2+1，∴顶点A(12,1)，令x=0，得y=32，∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,32)，故答案为：(12,1)，(0,32)；(2)∵点A(m,2m)在第一象限，且OA=√5，∴m2+(2m)2=(√5)2，且m>0，解得：m=1，∴抛物线的解析式为y=2(x−1)2+2，当x<1时，函数值y随x的增大而减小；(3)∵当x≤2m时，若函数y=2(x−m)2+m的最小值为3，∴分两种情况：2m<m，即m<0时，或2m>m，即m>0时，①当m<0时，2(2m−m)2+m=3，解得：m=1(舍)或m=−32，②当m>0时，2(m−m)2+m=3，解得：m=3，综上所述，m的值为−32或3；(4)如图1，当m>0时，∵P(4,2)、Q(4,2−2m)，∴M(m,2)，N(m,2−2m)，抛物线y=2(x−m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C 在MN边上，∴令y=2，则2=2(x−m)2+2m，∴x=m+√1−m，(x=m−√1−m不符合题意，舍去)，∴B(m+√1−m,2)，C(m,2m)，根据题意，得2m=m+√1−m，解得：m=√5−12，若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2−2m =m +√1−m ，解得：m =11±√1318， 若点B 在PQ 边上，点C 在NQ 边上，则4=2−2m ，解得：m =−1<0，不符合题意；当m <0时，如图2，若点B 在NQ 边上，点C 在PM 边上，则2−2m =2(x −m)2+2m ，∴x =m ±√1−2m ，∴|m +√1−2m|=2或|m −√1−2m|=2，解得：m =±√6−3，综上所述，m 的值为√5−12或11±√1318或±√6−3． (1)将m =12代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x =0，即可求得答案；(2)运用勾股定理建立方程求解即可；(3)分两种情况进行讨论：①当m <0时，2(2m −m)2+m =3，解方程即可得出答案；②当m >0时，2(m −m)2+m =3，解方程即可得出答案；(4)分情况讨论：当m >0时，若点B 在PM 边上，点C 在MN 边上，令y =2，则2=2(x −m)2+2m ，解方程即可；若点B 在PM 边上，点C 在NQ 边上，则2−2m =m +√1−m ，解方程即可；若点B 在PQ 边上，点C 在NQ 边上，则4=2−2m ，不符合题意；当m <0时，若点B 在NQ 边上，点C 在PM 边上，无解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，矩形性质等，熟练掌握二次函数图象和性质，矩形性质等相关知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．。