学生版 高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
高一数学下册《直线、圆的位置关系》知识点整理知识点总结
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结
大学网为大家整理了直线、圆的位置关系知识点整理，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。
直线和圆的位置关系
1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①dR,直线和圆相离.
2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
切线的性质
⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.
切线的判定定理
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线长定理
从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
看了上文为大家整理的直线、圆的位置关系知识点整理是不是感觉轻松了许多你呢?一起与同学们分享吧.。
人教A版高中数学必修二第四章 4.2.1 直线和圆的位置关系
练习： (1)若 直 线 y kx-2k与 圆( x-3)2 y 2 1 恒 有 两 个 交 点,则 实 数 k的 范 围 是 ____; (2)直 线 y kx被 圆 x 2 y2 2所 截 得 的 弦 AB的 长 为 _____; (3 )由 点 M (-1,4 )向 圆 ( x -2 )2 ( y -3)2 1所 引的切线的长是 ______ .
系;如果相,求 交出它们的交.点坐标
法一： 法
y l
B
法二 :比较 d与r的大小C .
A
O
x
弦长问题： 例 2过 .M (3,3)的直 l被x 线 2 圆 y24y2 10 所截得 45 的 ,求弦 直 l的 长 线 方 . 为 程
y
.O
x
M.
切线问题：
例 3从 . P 点 (4,5)向(圆 x2)2y24引切 , 线 求切线 ,并求方 其切程 线长。
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。
直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题及高考题和答案
直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=-0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=.经过圆22()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2224l r d =+，即l =二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。
2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则1212OO r r >+⇔圆1O与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含。
高中数学必修2直线与圆的位置关系2
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与 圆C相交？
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
高中 平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――直线和圆、圆与圆的位置关系圆的切线方程设法：（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200r y y x x =+.（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--. （3）过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200r y y x x =+.（4）过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.[例]经过点M （2，-1）作圆522=+y x 的切线，则切线方程为_________________. 2x-y-5=0[巩固] 过点P （3，1）作曲线C ：0222=-+x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________. 2x+y-3=01．若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置 关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2 的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|< d < r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|两圆的公共点个数0个 1个 2个 1个 0个2．两圆的共切线：（1）当两圆内含时，没有公切线； （2）当两圆内切时有一条公切线； （3）当两圆相交时，有两条外公切线；知识模块4圆与圆的位置关系 精典例题透析知识模块3切线及弦所在直线的方程设法∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.[巩固] (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.题型三：直线与圆相交的问题[例]已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4，所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3，解之得k ＝±3.[巩固] 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长．如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，所以OM ＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝3，所以AB ＝2AM ＝2OA 2－OM 2＝222－(3)2＝2.圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为___________. 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )．化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2013·山东)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________.解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2， ∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．已知直线y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当b ＝1＋k 2时，OA →·OB →等于___________.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入x 2＋y 2＝1得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，故x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－11＋k 2， 从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－1－2k 2b 21＋k 2＋b 2＝2b 21＋k 2－1＝1. 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是______________．由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，|2－3＋b |2＝2.∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.7．(2014·上海)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AO→＝0，则m 的取值范围为________．曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得＋＝0，（1）求矩形ABCD 的外接圆的方程；（2）已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，点(－1,1)在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得A (0，－2)． ∴|AP |＝4＋4＝22， ∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q 在圆P 内，∴l 与圆P 恒相交．设l 与圆P 的交点为M ，N ，则|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12， 故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.11．若直线l ：y ＝kx ＋1 (k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是_________. 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交． 12．设曲线C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为____________.B解析 由(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝3，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋(－3)2＝710＝71010. 能力提升训练要使曲线上的点到直线l 的距离为71010， 此时对应的点在直径上，故有两个点．13．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于____________.∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时， △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 15．(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.。
必修二 4.2.1 直线与圆的位置关系
必修二 4.2.1 直线与圆的位置关系一、选择题1、已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax＋by＋r2＝0，则( )A．l∥g且与圆相离B．l⊥g且与圆相切C．l∥g且与圆相交D．l⊥g且与圆相离2、与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3、已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在4、圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个实用文档实用文档5、圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长等于( )A ． 6B ．522 C ．1 D ．56、已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与y 轴切于原点，那么( )A ．D ＝0，E ＝0，F ≠0B ．D ＝0，E ≠0，F ＝0C ．D ≠0，E ＝0，F ＝0 D ．D ≠0，E ≠0，F ＝07、直线3x ＋4y ＋12＝0与⊙C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9的位置关系是( )A ．相交并且过圆心B ．相交不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题8、P (3,0)为圆C ：x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，过P 点的最短弦所在的直线方程是______________．9、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为______________．10、已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为________．三、解答题11、已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．12、直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．实用文档13、求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．以下是答案一、选择题1、A [∵M在圆内，∴a2＋b2<r2．∴(0,0)到l的距离d＝r2a2＋b2>r即直线l与圆相离，又直线g的方程为y－b＝－ab(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∴l∥g．]2、C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或xa＋ya＝1，由d＝r求得k＝±1，a＝4．]3、B [由题意|c|a2＋b2＝1⇒|c|＝a2＋b2⇒c2＝a2＋b2，故为直角三角形．]4、C [通过画图可知有三个点到直线x＋y＋1＝0距离为2．]实用文档实用文档5、A [分别求出半径r 及弦心距d (圆心到直线距离)再由弦长为2r 2－d 2，求得．]6、C [与y 轴切于原点，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，0，得E ＝0，圆过原点得F ＝0，故选C ．]7、D [圆心到直线距离d >r ．]二、填空题8、x ＋y －3＝0解析 过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为 x ＋y －3＝0．9、x －3y ＋2＝0解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33，则过(1，3)切线方程为x －3y ＋2＝0．10、{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，实用文档得x ＝y ＝1．三、解答题11、解 设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由OA ⊥OB ，知k OA ·k OB ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ① 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0x 2＋y 2＋x －2cy ＋c ＝0，得5y 2－(2c ＋14)y ＋c ＋12＝0，则y 1＋y 2＝15(2c ＋14)，y 1y 2＝15(c ＋12) ② 又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，代入①得9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0③ 由②、③得，c ＝3．12、解 圆心到l 的距离d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4522＝5，显然l 存在斜率． 设l ：y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5－5k ＝0，d ＝|5－5k |k 2＋1．实用文档 ∴|5－5k |k 2＋1＝5，∴k ＝12或2． ∴l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．13、解 ①当斜率k 存在时，设切线方程为y －5＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋5＝0． 由圆心到切线的距离等于半径得|k －2＋k ＋5|k 2＋1＝2， 解得k ＝－512，∴切线方程为5x ＋12y －55＝0． ②当斜率k 不存在时，切线方程为x ＝－1，此时与圆正好相切． 综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －55＝0．。
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高中数学必修2 直线与圆的位置关系
【一】、圆的定义及其方程．
（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定
长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a
圆的一般方程：)04(02
2
2
2
>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ；
【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）
设),(00y x P 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系：
设直线0:=++C By Ax l 和圆2
2
2
)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为
d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它
们的位置关系如下：
相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；
利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，
则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r
①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ；
（五）
已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=0
1．位置关系的判定：
判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程
(1)△>0相交；
(2)△=0相切；
(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d<r相交；
(2)d=r相切；
(3)d>r相离。
例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。
例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值
1．切线问题：
例3：
(1)已知点P(x
0，y
)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；
(x
0x+y
y=r2)
例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：
(1)；（2） B(4，5)
(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。
注：
(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。
(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。
例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。
例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，
切点为A、B，求直线AB的方程。
2、弦长问题
例8、
(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。
(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。
(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB 的中点M的轨迹。
精选习题：
1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
6
5π D ．
3
2π
2 直线0=++c by ax 同时要经过第一第二 第四象限，则c b a 、、应满足（ ）
A ．0,0<>bc ab
B ．0,0<>bc ab
C ．0,0>>bc ab
D ．0,0<<bc ab 3 直线0943=--y x 与圆42
2=+y x 的位置关系是（
）
A ．相交且过圆心
B ．相切
C ．相离
D ．相交但不过圆心
4 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是(
)
A ．2
3
-
B ．3
2-
C ．
5
2 D ．2
5.若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交，则点P(a ，b)的位置是____ A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能
6．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x
7．若1(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．21
- Ｃ．2- Ｄ．2 8．直线
x a y
b 22
1-=在y 轴上的截距是（ ） A ．b B ．2
b - C ．b 2
D ．±b
9．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
10．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行
B ．垂直
C ．斜交
D ．与,,a b θ的值有关
11．直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）
A ．4
B
C D
12、若直线1=x 的倾斜角为α，则=α（ ）
A 、 0
B 、 45
C 、 90
D 、不存在
13．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A ．10x y ++= B ．10x y +-= C ．10x y -+= D ．10x y --=
14（安徽文）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是 （ ）
A ．1)
B ．1)
C ．(1)
D ．1)
15、经过点A （1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条
16、方程22
40x y -=表示的图形是（ ） A 、两条相交而不垂直的直线 B 、一个点 C 、两条垂直直线 D 、两条平行直线
17、下列说法正确的是 A 、 若直线1l 与2l 的斜率相等，则1l ∥2l ； B 、若直线1l ∥2l ，则1l 与2l 的斜率相等；
C 、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；
D 、若直线1l 与2l 的斜率都不存在，则1l ∥2l
8 动点在圆12
2=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是(
)
A ．4)3(2
2=++y x B ．1)3(2
2=+-y x C ．14)32(2
2
=+-y x
D ．2
1)23(22=++
y x
19.直线l 过点A(0，2)且与半圆C ：(x-1)2+y 2=1(y≥0)有两个不同的交点，则直线l 的斜率的范围是____
20已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为
21、m 为任意实数时，直线（m －1）x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点 。
22.若圆x 2+y 2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k
23.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x 上，求它的方程。
24.已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ 中点的轨迹方程。
25．已知过点)3,3(--M 的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程．。