复合函数单调性、函数奇偶性
函数单调性奇偶性周期性
函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。
复合函数奇偶性口诀
复合函数奇偶性口诀
复合函数奇偶性口诀：外奇内奇为奇，外奇内偶为偶，外偶内奇为偶，外偶内偶为偶。
怎么判断复合函数奇偶性
记Fx=f[gx]为复合函数，则F-x=f[g-x]，
如果gx是奇函数，即g-x=-gx ==> F-x=f[-gx]，
则当fx是奇函数时，F-x=-f[gx]=-Fx，Fx是奇函数；
当fx是偶函数时，F-x=f[gx]=Fx，Fx是偶函数。
如果gx是偶函数，即g-x=gx ==> F-x=f[gx]=Fx，Fx是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数的偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是
奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
复合函数的单调性判断
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。
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复合函数课件-高一上学期数学人教A版
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
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目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
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归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
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学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
7.函数的单调性、奇偶性、函数的图象
例、求下列函数的单调区间，并确定每一单调 区间上的单调性。
1− x (1) y = 1+ x
1 (2) y = 3
x2 − x
1 3 (3)y = x + x 2 − 3x + 6 3
练习(变式一)求下列函数的单调区间:
(1) y =
x2 + 2x − 3
(2) y = log 1
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
题在 上是增函数 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数 证明函数 例
证明： 证明：
设 x1 ， x2 是 R 上 任 意两 个实 数，且 x1 < x2 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =(3 x1 +2)-(3 x2 +2) =3 x1 +2-3 x2 -2 =3( x1 - x2 ) ∵ x1 < x2 ∴ x1 - x2 <0 ∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) =3( x1 - x2 )<0 ∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上 是增 函数 函
y +1 2．已知实数x，y满足 y = 3 − x ，则 的最值 x+3
2
三.【课堂小结】 【课堂小结】 1、作函数图象的基本方法有两种： 、作函数图象的基本方法有两种： (1)描点法 描点法 (2) 图象变换法：利用基本初等函数变换作图 图象变换法： 其中掌握好(1)平移变换：(2) 对称变换： (3) 伸缩变换 平移变换： 对称变换： 平移变换 2、图象对称性的证明： 、图象对称性的证明： 有关结论： 3、有关结论： 利用数形结合，求参数问题， 4、利用数形结合，求参数问题，交点个数问题等
复合函数的单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
1.若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:
函数
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.
2.若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:
函数
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.
04函数及其表示
题 型四
分段函数及其应用
【例 4】(09 年山东改编)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝ log21－x， x≤0， 则 f(2 013)的值为______． 0 fx－1－fx－2，x>0，
变式训练 4
பைடு நூலகம்
sin x( x 0) 1.已知f x 1 , 求f lg x x 0
f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1=f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1=f(-1)+f(1)-2, ∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1=f(-2)+f(1)-4, ∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1=f(-3)+f(1)-6, ∴f(-3)=6.
函 数
基本性质
周期性 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)= f (0)=0.
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.
正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数
1 f 9 的值 2
1
sin( x 2 ), 1 x 0, 2.（05山东卷函数) f ( x) x 1 ， 若 e , x 0.
f (1) f (a) 2 则 a 的所有可能值为（ C ）
函数的单调性与奇偶性
函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。
那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是单调减函数；若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。
理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。
分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。
今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。
注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。
(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。
比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。
我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。
若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。
如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。
若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。
例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。
分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。
证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，则，∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。
复合函数的性质探究
复合函数的性质探究在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？一、概念复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g （x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.二、定义域1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f 对lnx的作用范围不变，所以02.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.解：f（2x）的定义域为[-1，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.三、值域1.可以化归为二次函数的复合函数求值域例4求函数y=2x+41-x的值域.分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].2.可以化归为一次函数的复合函数求值域例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=sinx+cosx复合而成.因为t=sinx+cosx=2sin（x+π4），所以t∈[-2，-1）∪（-1，2].结合一次函数图像可知函数值域为[-2-12，-1）∪（-1，2-12].评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t≠-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题过程中必须紧扣定义域.3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.因为x∈R，所以t=x2+x+1=（x+12）2+34≥34，结合反比例函数图像可知y=2+1t∈（2，103]，所以原函数的值域为（2，103].4.可以化归为y=ax+bx（a，b∈R*）型函数的复合函数求值域例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-sinx复合而成.∵sinx∈[-1，1]，∴t=2-sinx∈[1，3]，由u=t+4t的图像可知u∈[4，5]，故y=-（t+4t）+2∈[-3，-2]，所以原函数的值域为[-3，-2].评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g （x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.四、单调性复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：y=f（u）增↗减↘u=g（x）增↗减↘增↗减↘y=f（g（x））增↗减↘减↘增↗以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例8已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a>0且a≠1，（1）若a>1，内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a1>0，解得a∴1（2）若0内函数t=2-ax是增函数，外函数y=logat是减函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a0>0，恒成立，∴0综上所述，0评注：复合函数y=f（g（x））的单调性判断步骤：①确定函数的定义域；②将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；③分别确定分解成的两个函数的单调性；④若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为减函数.当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.五、考题回顾复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.解：由题意设P（x0，1x0），（x0>0）则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.令x0+1x0=t（t≥2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t≥2）.当a≤2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，∴2a2-4a+2=8，∴a=-1，a=3（舍去）.当a>2时，PA2min=f（a）=a2-2，∴a2-2=8∴a=10，a=-10（舍去）.∴综上所述：a=-1或a=10.评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.解：（1）a=0，b=-3.（2）略.（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d∈[-2，2].当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2.当|d|0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d∴-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+∞）无实根.②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.又∵f（1）-d0，y=f（x）-d的图像不间断，∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.③当x∈（-1，1）时，f′（x）又∵f（-1）-d>0，f（1）-d∴f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|现在考虑函数y=h（x）的零点：（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2.而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点.（ⅱ）当|c|而f（x）=ti（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|评注：解决本题的关键还是通过换元的方法把复合函数分解为两个简单函数，而这两个简单函数是我们熟悉的三次函数.当然也可通过研究复合函数h（x）=f（f（x））-c的单调性来解决此题.复合函数往往是由简单函数“组合”而成的，解决其有关问题时，常用“逐步分解术”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题.作题人：（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
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有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
即我们所说的“同增异减”规律。
四、例题讲解例1 求下列函数的单调区间：y=log 4(x 2－4x+3)解法一：设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由 u ＞0,u=x 2－4x+3，x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.解法二：u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.例2 求下列复合函数的单调区间：y=log 31 (2x －x 2)解： 设 y=log 31u,u=2x －x 2.由u ＞0u=2x －x 2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.由于y=log 31u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x 2的单调性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由0＜x＜2 （复合函数定义域）x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由x＜2， (复合函数定义域)x≥1， (u减)解得1≤x＜2,所以[1，2)是原复合函数的单调增区间.例3 求y=267xx--的单调区间.解：设y=u,u=7－6x－x2,由u≥0,u=7－6x－x2解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。
由-7≤x≤1,（复合函数定义域）x≤-3,（u增）解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由－7≤x≤1 (复合函数定义域)x≥－3， (u减)解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.例4 求y=122)21(--xx的单调区间.解：设y=u)21(.由u∈R,u=x2－2x－1, 解得原复合函数的定义域为x∈R.因为y=u)21(在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由x∈R, (复合函数定义域)x≤1， (u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.函数的奇偶性典型例题一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2432)(x x x f += ⑶、1)(23--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
.)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。
一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。
命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
此命题错误。
一方面，对于函数|f(x)|=⎩⎨⎧<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。
如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。
命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。
此命题错误。
如函数f(x)=⎩⎨⎧∈+=∈=),12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。