复杂函数单调性
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
运用导数法解答函数单调性问题的步骤
知识导航对于简单的函数单调性问题，我们一般直接分析函数的解析式和图象，利用函数单调性的定义，便能快速求得问题的答案.对于较为复杂的函数单调性问题，如函数中含有高次式、指数式、对数式，我们常借助导数法来解题.而运用导数法来解答较为复杂的函数单调性问题，能将复杂问题简单化，提高解题的效率.运用导数法解答函数单调性问题，一般有以下几个步骤：1.根据已知条件，明确函数y =f ()x 的定义域；2.对函数f ()x 求导，求出其导函数y '=f '()x ;3.解不等式f '()x <0或f '()x >0.f '()x <0的解集为函数的单调递减区间；f '()x >0的解集为函数的单调递增区间；4.根据函数的单调性建立关系式，求得问题的答案.值得注意的是，运用导数法求解函数单调性问题，一定要先考虑函数的定义域，否则可能得到错解.例1.已知函数f ()x =x 4-3x 2+6，试判断函数f ()x 的单调性.解：∵f ()x =x 4-3x 2+6，∴f '()x =4x 3-6x =4x (x+x-，令f '()x >0，解得<x <0或x.令f '()x <0，解得0<x <或x <.∴函数f ()x 在区间æèçöø÷和+∞)上为增函数；在区间æèçø-∞,和上为减函数.该函数式为4次式，需采用导数法来求解，先对函数求导，然后讨论导函数与0之间的关系，根据导函数与函数单调性之间的关系，判定函数的单调区间及单调性.例2.已知函数f ()x =13x 3+x 2+ax ，试判断函数f ()x 的单调性.解：∵f ()x =13x 3+x 2+ax ，∴f '()x =x 2+2x +a ,当∆=4-4a ≤0，即a ≥1时，x 2+2x +a ≥0恒成立，∴f '()x ≥0，函数f ()x 在R 上恒成立.当∆=4-4a >0，即a <1时，f '()x =x 2+2x +a =0存在两个不同的实根：x 1=-1-1-a ;x 2=-1+1-a ，且x 1<x 2.由f '()x =x 2+2x +a >0,得当x ∈(-∞,-1-1-a )或x ∈(-1+1-a ,+∞)时函数f ()x 单调递增.由f '()x =x 2+2x +a <0,得当-1-1-a <x <-1+1-a 时函数f ()x 单调递减.综上可知：当a ≥1时，f ()x 在R 上单调递增；当a <1时，f ()x 在(-∞,-1-1-a )和(-1+1-a ,+∞)上单调递增；在(-1-1-a ,-1+1-a )上单调递减.该函数的解析式中含有参数.在运用导数法求解时，要先运用求根公式求出导函数的零点，再用零点将函数的定义域划分为三个区间段，分别讨论每个区间段上函数的单调性即可解题.例3.若f ()x =-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上为减函数，则b 的取值范围是.解：∵f ()x =-12x 2+b ln(x +2)，∴f '()x =-x +b x +2≤0在(-1,+∞)上恒成立，即b ≤x (x +2)在(-1,+∞)上恒成立，∵x ()x +2=()x +12-1>-1，∴b ≤-1.该函数式中含有对数式，我们需运用导数法来解题，先对函数求导，使在(-1,+∞)上f '(x )≤0，便可确保函数在区间在(-1,+∞)上单调递减.解不等式即可解题.可见，导数法是解答复杂函数单调性问题的重要工具.在运用导数法解答函数单调性问题时，同学们要明确导函数与函数单调性之间的关系，运用导数法解答函数单调性问题的步骤，灵活运用导数来解题.（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县第一中学)何发科40。
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
复合函数的单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
1.若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:
函数
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.
2.若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:
函数
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
函数的单调性证明
函数的单调性证明函数的单调性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数的增减关系。
在数学证明中，为了证明一个函数的单调性，我们通常需要使用导数的概念和相关的数学性质。
下面将从定义单调性开始，介绍函数单调性的证明方法和常用的技巧。
一、定义和性质在数学中，对于定义在区间上的函数f(x)，我们说它是单调递增的，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)小于或等于f(b)，即f(a)<=f(b)。
如果不等号取等号即为单调递增严格的定义。
类似地，函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)大于或等于f(b)，即f(a)>=f(b)。
同样，当不等号取等号时，为单调递减严格的定义。
对于一个单调递增的函数f(x)，我们有以下性质：1.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上任意一点的左极限总是小于或等于右极限，即f(a-)≤f(a+)≤f(b-)≤f(b+)；2.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其必须在该区间内是有界的；3.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上是可积的；4.若函数在区间[a,b]上连续，则其在该区间上的函数值区间是连续的。
二、证明方法在证明函数的单调性时，我们常常使用导数的相关性质。
导数可以表示函数的变化率，而单调性对应于导数的正负性。
具体的证明方法主要有以下几种。
1.利用导数的定义证明利用导数的定义f'(x) = lim(h->0)(f(x+h) - f(x))/h来证明函数的单调性。
首先计算导数f'(x)，然后判断f'(x)在给定区间内的正负性来推断函数的单调性。
2.利用导数的性质证明利用导数的性质来证明函数的单调性，包括导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减，以及导数恒为0表示函数是常数等。
这种方法通常适用于已知函数的导数形式的情况。
3.利用导数的比较性质证明对于两个函数f(x)和g(x)，如果在给定区间内f'(x)>=g'(x)，那么我们可以推断f(x)>=g(x)，即f(x)单调递增；如果f'(x)<=g'(x)，那么我们可以推断f(x)<=g(x)，即f(x)单调递减。
3.1 函数的单调性和极值
1 2
图3-7
例4 3 2 解 函数 f ( x) (1 x) (3x 2) 的定义域为（ , ），
3 2 f ( x ) ( 1 x ) ( 3 x 2 ) 求函数 的单调区间.
f ' ( x) 3(1 x) 2 (3x 2) 2 6(1 x) 3 (3x 2)
故只能有 f ' ( x0 ) 0 . 我们称使 f ' ( x0 ) 0 的点 x0 为 f ( x) 的驻点.
定理3.7说明,可导的极值点一定是驻点,但是,驻点却不
一定是极值点,如图3-9中的点x3就是其一;而不可导点,也不
23 2 f ( x ) ( x 5 ) ( x 1 ) 一定不是极值点,如图3-7中, 在点 x
x 3 x 的单调区间. 2 f ' ( x ) 3 x 1 ＞0 x (,) 解 由于
例1 求函数 f ( x) =
， 因此 f ( x) 在（ , ）内是单调增加的，如图 3 5 .
图3-5
x 例2 求函数 f ( x) x e 的单调区间. x x 1 e 解 由于 f '( x) 1 e ，令 f ' ( x) 0 ，即 = 0， 得 x 0 .列表3-1讨论如下：
则 f ( x)在 x0 处不取极值.
证 ⑴根据单调性判别法,在( x0 , x0 )内 f ( x) 单调减少,在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 单调增加,由 f ( x) 在 x0 处的连续性 ,
对 x ( x0 ) ( x0 , x0 ) 有 f ( x) ＞
在 x0 处 取得极小值. ⑵同理可证.
f ( x0 )