复合函数
高一数学复合函数
高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。
本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。
2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。
（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。
（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。
（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。
3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。
（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。
（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。
4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。
链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。
5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。
具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。
复合函数
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a0
a0 时 0a4 2 a 4a 1 0
综上知函数的单调性
引理1：函数y f [ g ( x)],若u g ( x)在区间(a, b)上单增， 其值域为(c, d ), 又函数y f (u )在区间(c, d )上是增函数， 那么复合函数y f [ g ( x)]在区间(a, b)上是增函数。
1 x
2 x 2 x 1
的单调区间。
2.求函数y 2 的单调区间。 3.求函数y 4 2 的单调区间。
x x
则u 2 x 2 1在(,0)上单增，在(0,)上单减， y 2 在区间(,1)上单增，
u
y 2 , u (,1)
u
(,0)
u 2 x 2 1
(0,)
y 2u
y2
2 x 2 1
单增 单增 单增
单减 单增 单减
故y 23x1在(,0)上单减，在 (0,)上单增。
f (u1 ) f (u2 ) 即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上单减。
记u1 g ( x1 ), u2 g ( x2 ) 则u1 u2，且u1 , u2 (c, d ) 又y f (u )在区间(c, d )上单增
复合函数y f [ g ( x)]的单调性是由内层函数 u g ( x) 和外层函数 y f (u)单调性共同决定的。
g(x) f(x)
单增 单增
单增 单减 单减
单减 单增 单减
单减 单减 单增
f[g(x)] 单增
例1 ：求函数y 2
3 x 1
离散数学43.复合函数
定理2 设有函数 f：A→B， g：B→C和h：C→D， 则有 h(gf)＝(hg)f.
复合函数
复合函数(Compositions of functions)
因为函数是一种特殊的关系，所以和关系一样也有复合运 算。对于复合函数我们有下面的定义：
复合函数的图示
例1 设A={1,2, 3, 4}B={1, 2, 3, 4, 5},C={1, 2, 3}。 F : A→B，F={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉,〈4,5〉} G : B→C，G={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉, 〈4,3〉,〈5,2〉}
证明 1) 任取a1， a2∈A， 且a1≠a2，因为f是单射，所以 f(a1)≠f(a2)；又因为g是单射， 所以 g(f(a1))≠g(f(a2)).
因此, g。f是单射.
2) 任取c∈C，因为g是满射，所以存在b∈B，使得g(b)＝ｃ；
又因为 f是满射， 所以存在a∈A， 使得f(a)＝b. 所以 gf(a)＝g(f(a))＝g(b)＝c，
证明: 这可由关系的复合的可结合性得出， 这里我们直接 由函数相等的定义证明.
首先,h(gf)，(hg)f都是A到D的函数.所以对任一a∈A， 有 h(gf)(a)＝h(gf(a))=h(g(f(a)))＝(hg)(f(a)) ＝(hg)f(a).
g。f = {〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,2〉} ， f 。g={〈1,2〉,〈2,2〉,〈3,1〉}. 所以 g。f ≠ f 。g .
函数复合的下列性质也是明显的.
复合函数
复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。
这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。
要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。
二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。
分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。
本题用换元和“凑型”的办法解决。
解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。
把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。
解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。
分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。
随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
复合函数的概念
复合函数的概念在数学领域，复合函数的概念非常重要，它是由一系列函数（也称为嵌套函数）组合而成的复合函数。
在本文中，将解释复合函数的性质和用法，以及它们的具体形式。
复合函数的定义复合函数是由一系列函数（内函数）组合而成的函数，它们具有特定的语法结构。
一般情况下，复合函数由两部分组成：外函数和内函数。
外函数是父函数，它包含一个变量或参数，内函数是子函数，它是另一个函数，并且要求先于外函数求值，并最终返回给外函数，外函数使用子函数的输出作为参数进行求值。
举个例子，假设有两个函数f(x)=x+1，g(x) = x2，此时，f g (x)是一个复合函数，其中f为外函数，g为内函数，f g (x)=f(g(x))=x2+1。
复合函数的特性复合函数具有许多独特的特性，让它们在数学中十分重要。
首先，复合函数有极值。
这是因为嵌套函数中的最大值和最小值可以被运用到复合函数中。
其次，复合函数可以组合成更为复杂的函数，这使得它们可以更有效地表达复杂的问题和模型。
此外，复合函数是可链接的函数，即两个复合函数可以连接在一起，形成一个更复杂的复合函数。
综上所述，复合函数具有强大的表达能力，可以解决各种数学问题。
复合函数的用法复合函数可以用于解决各种数学问题，从而获得更复杂的解决方案。
例如，当解决偏微分方程时，复合函数可以用于求解此类方程的拟合曲线，从而解决各种不稳定或反转的问题。
此外，复合函数还可以应用于统计学中，用于建立复杂的概率模型，以求解各种统计学问题。
最后，复合函数还可以用于计算距离。
例如，假设有一个点形成的X-Y轴，并由三个点组成线段，则可以计算出两个点之间的距离，使用复合函数组件来计算，从而更加有效地解决此类问题。
总结从上文可以看出，复合函数在数学领域有着非常重要的地位，它是由一系列函数组合而成的复合函数。
复合函数具有独特的特性，并可以用于解决各种数学问题，例如偏微分方程、统计学问题和距离计算等。
因此，复合函数可以为数学研究提供更准确、更有效的解决方案。
复合函数分析
论复合函数一、复合函数的概念一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数))(()(x g f x F y ==叫由两个函数复合而成的复合函数。
即复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.也可以说，一个x 经过u ，有唯一确定的y 与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成一种函数关系，这种函数称为复合函数.这里的x 是自变量，y 是变量，而u 是中间变量。
通常称)(x g 为内函数，)(u f 为外函数，这里写)(u f 而不写)(x f ，是为了避免内函数的自变量和外函数自变量的混淆，在处理问题的时候，是把内函数的值域作为外函数的定义域，即令)(x g u =。
例1、12+=x y .这是二次函数12+=x u 与幂函数21u y =的复合.例2、121+-=x y .这是一次函数12+-=x u 与反比例函数uy 1=的复合.例3、x x y +=.可以看成幂函数21x u =与二次函数u u y +=2的复合.例4、xx y 422-=.这是二次函数x x u 42-=与指数函数u y 2=的复合.例5、x x y +-=224.这是指数函数x u 2=与二次函数u u y 42-=的复合.例6、)2(log 22x x y +=.这是将二次函数x x u 22+=与对数函数u y 2log =的复合.例7、x x y 222log 2)log (+=这是将二次函数x u 2log =与对数函数u u y 22+=的复合注意，例4和例5，例6和例7，内外函数调换位置，得到的复合函数是不一样的.例8、1lg 2+=x y 。
这里实际上是三个函数的复合，首先是二次函数12+=x u 和幂函数21u t =的复合，然后再与对数函数t y lg =复合。
二、复合函数的定义域对于复合函数的定义域，首先要注意))(()(x g f x F =的定义域是x 的取值范围，而不是u 的取值范围。
总结复合函数
总结复合函数1. 复合函数的定义复合函数是指由两个或多个函数通过组合运算而成的一种新函数。
假设有函数f和g，其中f的定义域包含了g的值域，那么可以将g的输出作为f的输入，形成复合函数f(g(x))。
复合函数的定义如下：f(g(x)) = f(g(x))其中，g(x)为内函数，f(x)为外函数。
2. 复合函数的求导法则在求解复合函数的导数时，可以使用链式法则来简化计算。
链式法则是一种求导法则，用于求解复合函数的导数。
设有复合函数y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导函数，那么复合函数的导数可以表示为：dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，df/dg表示外函数f对内函数g 的导数，dg/dx表示内函数g的导数。
3. 复合函数的示例3.1. 标准三角函数的复合函数假设有复合函数y = sin(cos(x))，其中内函数g(x) = cos(x)，外函数f(x) =sin(x)。
对复合函数y求导，根据链式法则有：dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)计算内函数g(x)的导数：dg/dx = -sin(x)计算外函数f(g(x))对内函数g(x)的导数：df/dg = cos(g(x)) = cos(cos(x))将以上结果代入链式法则：dy/dx = (cos(cos(x))) * (-sin(x)) = -sin(x) * cos(cos(x))3.2. 自然指数函数的复合函数假设有复合函数y = e^(-2x)，其中内函数g(x) = -2x，外函数f(x) = e^x。
对复合函数y求导，根据链式法则有：dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)计算内函数g(x)的导数：dg/dx = -2计算外函数f(g(x))对内函数g(x)的导数：df/dg = e^g(x) = e^(-2x)将以上结果代入链式法则：dy/dx = (e^(-2x)) * (-2) = -2e^(-2x)4. 复合函数的应用复合函数在数学和物理领域中有广泛的应用。
复合函数定义
复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函间变量,y为因变量（即函数）。
生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。
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偶 偶 奇 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 奇
总结：“一偶则偶，同奇则奇”。
1、函数y＝(1/2)1－x的单调增区间为( A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1)
)
2、函数f(x)＝1/(2x+1)在(－∞，＋∞)上( ) A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值
复合函数定义：
如果y是u的函数，u又是x的函数， 即y=f(u)、u=g(x)，那么y关于x的函 数y=f(g(x))叫做函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数，其中u是中间变量，自 变量为x，函数值y。y f (u ) 是外层函 u g ( x) 是内层函数。 数，
注意：若内层函数u=g(x)值域为M ,外层函数 y=f(u)定义域为N,则必须满足M N。
② y f ( x) h(h 0) 的图象可由 y f ( x) 的图象 沿 y 轴向上或向下平移 h 个单位得到。
口诀：左加右减，上加下减。
图象的对称变换 ：
① y f ( x) 与 y f ( x) 的图象关于 y 轴对称； ② y f ( x) 与 y f ( x) 的图象关于 x 轴对称； ③ y f ( x) 与 y f ( x)的图象关于原点轴对称；
1、已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数 y＝f(2x)的定义域为________．
2、已知y f ( x 3)的定义域是 [4,5)，则 f (2 x 3)的定义域为________ 。
图象的平移变换 ：
① y f ( x a)(a 0) 的图象可由 y f ( x) 的图象 沿 x 轴向右平移 a 个单位得到； y f ( x a)(a 0)的图象可由 y f ( x)的图象 沿 x 轴向左平移 a 个单位得到；
-1 y f ( x) 的图象关于 y x 对称； y f ( x ) ④ 与
图象的对称变换 ：
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下 方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余 部分不变； ⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分 作出，再利用偶函数关于y轴的对称性作出
说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数 y f ( g ( x)) 中 x 的取值范围。 ⑵ 中间变量 u 的取值范围即为 g ( x) 的值域。 ⑶ f ( g ( x)) 与 g ( f ( x)) 表示不同的复合 函数。
例题：函数 y 3
u
2பைடு நூலகம்x 1
是由
y 3 和u 2x 1
x≤0的图象。
1、函数y＝-2-x的图象一定过第__象限。
2、为了得到函数y＝3×(1/3)x的图象， 可以把函数y＝(1/3)x的图象________________。 3、函数y＝log2x与y＝log1/2x的图象关于 ________。 4、函数y＝(1/2)|x|的图象有什么特征？你 能根据图象指出其值域和单调区间吗？
复合而成的函数。 练习：函数 y lg( x 4x 3)
2
复合函数单调性：
函数u g ( x)是定义在M上的增函数， y f (u )是定义在N上的增函数，
且{u | u g ( x), x M } N , 求证：复合函数 y f ( g ( x))是M上的增函数。
复合函数单调性：
总结：“同增异减”。
练习1、讨论下列函数的单调性。
1 x2 4 x （ 1 ）y ( ) ； 3 2 （2）y lg( x 2 x 3).
练习2、讨论函数y=loga(ax－1) 的单调性其中a＞0，且a≠1。
复合函数奇偶性：
u g ( x) y f (u ) y f ( g ( x))