简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。
求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。
首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。
其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。
再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。
最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。
以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。
学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。
复 合 函 数 的 求 导 法 则.
x 解： 设 2 由 y f (u) (v) ( x)
x 2
的导数
y u 2 , u tan v, v
得
x 2 2 y (u ) (tanv) (v) 2u sec v ( ) 2 1 x 2x 2 2 tanv sec v tan sec 2 2 2
e2 x (2x) sin 3x e2 x cos3x(3x)
2e2 x sin 3x 3e2 x cos3x
1 x
( A)2. y e e
1 x
x2 x2
解：y （e ） （e ） 1 1 x2 x e ( x 2 ) e（ ） x 1 1 2 1 1 x x2 x x e 2 xe 2 e 2 xe 2 x x
1 2 (1 ln x) 3 [1 (ln2 x)] 3 2 1 (1 ln 2 x) 3 [0 2 ln x(ln x)] 3
1 1 2 (1 ln x) 3 2 ln x 3 x 2
1
2
2 2 (1 ln x) 3 ln x 3x
2
综合运用求导法则求导
1 1 x [ln(1 x) ln( x 1)] 解：因为 y ln 2 x 1
所以
y
1 1 1 1 ( ) 2 1 x x 1 1 x2
练习 求下列函数的导数
( A)1. y e2 x sin 3x 解：y (e2 x ) sin 3x e2 x (sin 3x)
1 1 ' ' = [sin(4x)] = cos(4 x )(4 x ) sin 4 x sin 4 x 4 = sin 4 x cos(4x) 4 cot 4 x
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
简单的复合函数的求导法则
知识回顾 1、导数公式表
函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y cos x
x
y sin x
y x 1
导函数 y 0
y cos x
y sin x
x y e
Title ye y log a x(a 0, a 1)
y a x (a 0, a 1)
y a x ln a
y 1 x ln a
y ln x
y
1Leabharlann 2.导数的四则运算法则：设函数 f(x)、g(x) 是 x 的可导函数,则
1)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x) 2)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
1 1 1 2 1. y x( x 2 ), 求y '；y ' 2 x 2 x x x x x 1 2. y x sin cos , 求y '；y ' 1 cos x 2 2 2
2
二、讲授新课： 1.复合函数的概念:
对于函数y f ( ( x)), 令u ( x), 若y f (u )是中间变量u的函数， u ( x)是自变量x的函数，则称
求下列函数的导数.
(1) y (2 x 1) ；
5
(2) y ln(5 x 1)； 1 (3) y ； 3x 1 (4) y cos(1 2 x)；
复习检测
一般地，设函数u ( x)在点x处有导数u ' '( x), x 函数y f (u )在点x对应u处有导数y ' f '(u ), 则复合 u 函数y f ( ( x))在点x处也有导数，且y ' y ' u '， x u x 或写作 f ( ( x)) ' f '(u ) '( x). x
复合函数求导公式
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);
②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
1什么是复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
2复合函数怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数
x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
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例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
例4 设 y ln tan 2 x 求 y
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
例1：求 y sin 2x 的导数
分析：(sin x) cos x (sin 2x)cos 2x ?
x
y u, u 3x2 x 1
y cos u, u sin x
y um, u a bxn.
y sin u, u 1 1 x
00:10:27
问题： 如何求y (3x 2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 ' 18x 12
② 其实，y (3x 2)2 是一个复合函数，
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
简单复合函数的 求导法则
00:10:27
知识回顾
1、导数公式表
函数
y c(c是常数） y x (为实数）
y ax (a 0, a 1)
y ex
y log ax (a 0, a 1)
y ln x
y sin x y cosx
Title
y tan x
y cot x
导函数
y 0
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y
1 c os2
x
y 1 sin2 x
00:10:27
2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
例 3 设 y 1 x2 , 求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
由于 yu (u5 ) 5u4 , ux (2x 1) 2.
所以 yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
例2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
解1：yx (sin 2x) (2sin xcos x)
2(cosxcosxsin xsin x) 2cos 2x
解2： y sin 2x 可由y=sinu,u=2x复合而成
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x yx yu ux =2cos2x
练习2 设 y = (2x + 1)5，求 y .
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) '
eu 0.05 0.05e0.05x1
(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u 和u x 的复合函数。
根据复合函数求导法则有
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
00:10:27
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
பைடு நூலகம்
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
u(x)
v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'(x)
00:10:27
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u) 1 2u 2
1 (1 x2 )
也在心中运算
.
这样可以直接写出下式
yx 2
1 (1 x2 )
(1 x2 )x
x .
1 x2
(2) y e0.05x1
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
由 y u2 与 u 3x 2复合而成.
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数
yu , ux ,
y
' x
之间的关系: y' yx' yu ux
00:10:27
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么